By:

CESEN ISRAEL

CORDOVA ANDRES

PASOS GENERALES DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS

FINITOS

Típicamente para el problema de análisis de tensión estructural

se procura determinar desplazamientos y asentamientos en todas

las partes de la estructura, que está en el equilibrio y esta sujeta a

cargas aplicadas.

Para muchas estructuras, es difícil de determinar la distribución

de deformaciones usando métodos convencionales, y así el método

de elemento finito necesariamente es usado.

El método de elementos finitos implica el modelado de la

estructura utilizando pequeños elementos interconectados llamados

elementos finitos.

Una función de desplazamiento está asociado con cada elemento

finito.

Cada elemento de interconexión está vinculada, directa o

indirectamente, a cualquier otro elemento aunque comunes (o

compartida), incluyendo interfaces de los nodos y / o líneas de

contorno y / o superficies.

Mediante el uso de esfuerzo conocido / propiedades de

deformación para el material que forma la estructura, se puede

determinar el comportamiento de un nodo dado en términos de las

propiedades de cada otro elemento en la estructura.

El conjunto total de ecuaciones que describen el comportamiento

de los resultados de cada nodo en una serie de ecuaciones

algebraicas mejor expresados en notación matricial.

CARACTERÍSTICAS DEL METODO

Permite obtener una solución numérica aproximada sobre

un cuerpo, estructura o dominio (medio continuo) —sobre el

que están definidas ciertas ecuaciones diferenciales en forma

débil o integral que caracterizan el comportamiento físico del

problema— dividiéndolo en un número elevado de subdominios

no-intersectantes entre sí denominados «elementos finitos».

El conjunto de elementos finitos forma una partición del

dominio también denominada discretización. Dentro de cada

elemento se distinguen una serie de puntos representativos

llamados «nodos».

Dos nodos son adyacentes si pertenecen al mismo elemento

finito; además, un nodo sobre la frontera de un elemento finito

puede pertenecer a varios elementos. El conjunto de nodos

considerando sus relaciones de adyacencia se llama «malla».

Los cálculos se realizan sobre una malla de puntos (llamados

nodos), que sirven a su vez de base para discretización del

dominio en elementos finitos.

La generación de la malla se realiza usualmente con programas

especiales llamados generadores de mallas, en una etapa previa

a los cálculos que se denomina pre-proceso.

De acuerdo con estas relaciones de adyacencia o conectividad se

relaciona el valor de un conjunto de variables incógnitas definidas

en cada nodo y denominadas grados de libertad.

El conjunto de relaciones entre el valor de una determinada

variable entre los nodos se puede escribir en forma de sistema de

ecuaciones lineales (o linealizadas).

La matriz de dicho sistema de ecuaciones se llama matriz de

rigidez del sistema. El número de ecuaciones de dicho sistema es

proporcional al número de nodos.

Típicamente se programa computacionalmente para calcular el

campo de desplazamientos y, posteriormente, a través de relaciones

cinemáticas y constitutivas las deformaciones y tensiones

respectivamente.

DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DEL MÉTODO

El desarrollo de un algoritmo de elementos finitos para resolver un

problema definido mediante ecuaciones diferenciales y condiciones

de contorno requiere en general cuatro etapas:

1. El problema debe reformularse en forma variacional.

2. El dominio de variables independientes (usualmente un

dominio espacial para problemas dependientes del tiempo)

debe dividirse mediante una partición en

subdominios, llamados elementos finitos. Asociada a la

partición anterior se construye un espacio vectorial de

dimensión finita, llamado espacio de elementos finitos. Siendo

la solución numérica aproximada obtenida por elementos finitos

una combinación lineal en dicho espacio vectorial.

3. Se obtiene la proyección del problema variacional original

sobre el espacio de elementos finitos obtenido de la

partición. Esto da lugar a un sistema con un número de

ecuaciones finito, aunque en general con un número elevado

de ecuaciones incógnitas. El número de incógnitas será igual

a la dimensión del espacio vectorial de elementos finitos

obtenido y, en general, cuanto mayor sea dicha dimensión

tanto mejor será la aproximación numérica obtenida.

4. El último paso es el cálculo numérico de la solución del

sistema de ecuaciones.

• Los pasos anteriores permiten construir un problema de cálculo

diferencial en un problema de álgebra lineal. Dicho problema en

general se plantea sobre un espacio vectorial de dimensión no-

finita, pero que puede resolverse aproximadamente

encontrando una proyección sobre un sub-espacio de

dimensión finita, y por tanto con un número finito de ecuaciones

(aunque en general el número de ecuaciones será elevado

típicamente de miles o incluso centenares de miles).

• La discretización en elementos finitos ayuda a construir un

algoritmo de proyección sencillo, logrando además que la

solución por el método de elementos finitos sea generalmente

exacta en un conjunto finito de puntos.

PASO 1 - DISCRETIZAR Y SELECCIONAR LOS TIPOS DE

ELEMENTOS

PASO 2 - CONSISTE EN ELEGIR UNA FUNCIÓN DE

DESPLAZAMIENTO DENTRO DE CADA ELEMENTO

PASO 3 - DEFINIR LAS RELACIONES TENSIÓN /

DESPLAZAMIENTO Y LA TENSIÓN / DEFORMACIÓN

PASO 4 - DEDUCIR LA MATRIZ DE RIGIDEZ DEL

ELEMENTO Y ECUACIONES

PASO 1

DISCRETIZAR Y SELECCIONAR LOS TIPOS DE ELEMENTOS

Consiste en dividir el cuerpo en un sistema equivalente de

elementos finitos con nodos asociados y seleccionar el tipo de

elemento más adecuado para modelar de forma más cercana al

comportamiento físico real.

La estructura es dividida en una cantidad finita de elementos, con

ayuda de un preprocesador.

Este paso es uno de los más cruciales para obtener una solución

exacta del problema, de esta forma, determinar el tamaño o la

cantidad de elementos en cierta área o volumen del elemento a

analizar representa una ventaja del método, pero a la vez implica

que el usuario debe estar muy conciente de esto para no generar

cálculos innecesarios o soluciones erróneas.

El número total de elementos usados y su variación en el tamaño

y el tipo dentro de un cuerpo dado son criterio de la persona que

esta resolviendo el problema.

Los elementos deben ser lo suficientemente pequeños como para

dar resultados utilizables y sin embargo lo suficientemente grande

como para reducir el esfuerzo computacional.

Los elementos pequeños son deseables generalmente donde los

resultados cambian rápidamente, como donde los cambios de la

geometría ocurren; los elementos grandes pueden ser usados

donde los resultados son relativamente constantes.

El cuerpo discretizado o malla se crean a menudo con programas

de generación de malla o programas de preprocesado disponibles

para el usuario.

La elección de los elementos utilizados en un análisis de

elementos finitos depende de la constitución física del cuerpo bajo

condiciones reales de carga y de cuan cercanos a la realidad quiere

que sean los resultados el analista.

Tener un criterio sobre la idoneidad de una idealización en una dos

o tres dimensiones es necesario.

Además, la elección del elemento más adecuado para un

problema particular es una de las tareas principales que deben ser

llevadas a cabo por el diseñador.

A continuación se mostraran algunos elementos que son

generalmente utilizados en la practica:

Elementos de Línea Primarios (Unidimensionales).

Elementos planos (Bidimensionales).

Elementos Sólidos (Tridimensionales).

Elementos Axisimétricos (Tridimensionales).

Tienen una sección transversal pero generalmente están

representados por una línea.

Estos elementos se utilizan a menudo para modelar cerchas y

estructuras de marco.

ELEMENTOS DE LÍNEA PRIMARIOS

(UNIDIMENSIONALES).

Los elementos de líneas primarias consisten en barras o

armaduras (Truss) y elementos viga (o Beam).

ELEMENTOS TRUSS

El elemento truss, es un elemento caracterizado básicamente por

que solo puede comportarse como un miembro sometido a dos

fuerzas (se sabe por tanto que estas cargas deben estar

dirigidas a lo largo del eje longitudinal del elemento).

Una estructura los elementos se pueden modelar como un

elementos Truss si cumplen estos tres requerimientos:

Su longitud es mucho mayor que su alto o ancho (entre 8 y

10 veces).

Esta es conectada con el resto de la estructura con

pasadores que no transfieren momentos.

Las cargas externas solo son aplicadas en el extremo de los

elementos, y son paralelas al mismo (Carga Axial).

Los elementos Truss solo pueden ser sometidos a tracción o

compresión.

La figura muestra la geometría y las fuerzas nodales en un

elemento truss tridimensional.

Como se muestra en la figura, un elemento truss tridimensional

posee tres grados de libertad por nodo, esto es tres

desplazamientos sobre los ejes globales X, Y y Z.

ELEMENTOS BEAM

Es probablemente el más usado, además de sus aplicaciones

obvias en estructuras, muchos otros sistemas, como uniones

mecánicas, sistemas de conductos, tuberías y vigas en puentes

pueden ser modeladas con el elemento ‘beam’.

Para miembros estructurales para ser modelados con elementos

‘Beam’, una de sus dimensiones debe ser mucho mayor, por lo

menos 10 veces más grande que las otras dos.

Al contrario al elemento truss, el elemento beam puede estar

sometido a cargas transversales y/o momentos flectores en adición

a la tracción y compresión.

El elemento beam tridimensional posee seis grados de libertad por

nodo, esto es, tres desplazamientos y tres rotaciones sobre los

ejes globales X, Y y Z.

Los perfiles comunes de elementos beam, son la sección

I, sección en T, caja, circular y canales.

Dentro de las propiedades de la sección, se debe

especificar el área axial, la resistencia a la torsión y el

momento de inercia.

ELEMENTOS PLANOS (BIDIMENSIONALES).

Son elementos cargados por fuerzas en su propio plano .

Se trata de elementos triangulares o cuadriláteros.

El más simple de los elemntos bidimensionales tienen

nodos de esquina con lados rectos (elemntos

lineares), aunque tambien hay elementos de orden superior

que incluyen nodos intermedios (elementos cuadraticos) y

lados curvos.

Los elementos pueden tener a lo largo de ellos espesores

variables o ser constante.

A menudo se utilizan para modelar una amplia gama de

problemas de ingeniería.

Dependiendo el tipo del tipo de esfuerzo al que esta sometido

el elemento, este se debe modelar como esfuerzo plano o

deformación unitaria plana.

Plane Stress Elements (Esfuerzo plano)

Plane Strain Elements (Deformación plana)

ESFUERZO PLANO

El esfuerzo plano se define como un estado de esfuerzo en el

cual el esfuerzo normal en el eje de z, perpendicular al plano x-y

y todos los esfuerzos cortantes asociados perpendiculares al

plano x-y son asumidos como de magnitud 0. En resumen, el

esfuerzo plano es un estado de esfuerzo en el cual no existen

esfuerzos perpendiculares al plano x-y por lo que todos los

esfuerzos se desarrollan en este mismo plano y no fuera.

DEFORMACIÓN PLANA

Un estado deformacional en el que la deformación longitudinal y

las deformaciones angulares correspondientes a un plano

paralelo a la sección transversal son nulas.

ELEMENTOS SÓLIDOS (TRIDIMENSIONALES).

Los elementos tridimensionales mas comunes son los tetraedros

y hexaedros (elementos brick), que se utilizan cuando se hace

necesario llevar a cabo un análisis de esfuerzo tridimensional.

Los elementos tridimensionales básicos tienen solo nodos de

esquina y lados rectos, mientras que elementos de mayor orden

con nodos midedge (y posibles nodos midface) tienen superficies

curvadas para sus lados.

Los elementos sólidos son elementos tridimensionales con tres

grados de libertad translacional por nodo.

Los nodos son usualmente introducidos en la intersección de los

tres planos, o en la mitad de la intersección de dos planos.

La precisión de estos elementos se puede incrementar colocando

nodos en la mitad de los lados.