Funciones

Lara MartínezNeus Solanes

Matemáticas 2.0

1ero CT1

Introducción•Cuando una magnitud depende de otra se suele decir que esta en función de ella. El concepto matemático de función exige que esta dependencia sea elemento, es decir, a un elemento le corresponde sólo un elemento.

•Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido".

y = f(x)

Introducción II

Todas las funciones deben de cumplir las siguientes condiciones:

• Todo elemento debe tener una única imagen. Es decir, ningún elemento del dominio puede tener más de una imagen.•El conjunto formado por todos los elementos de x que son imagen de algún elemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f.

Dominio de una función

•El dominio de una función está formado por aquellos valores de x (números reales) para los que se puede calcular la imagen f(x).•En la siguiente web, podremos ver la representación de los dominios:•http://hosted.drpic.com/81VN11S4EI

Recorrido de una función•El recorrido de una función es el conjunto de valores que toma la variable dependiente, es decir, todos los valores de la variable dependiente que son imagen de algún valor de la variable independiente. Este conjunto se denota como Im f o Recorrido f.•Si consideramos la función que a cada número le asocia su cuadrado, y = x², su dominio serán todos los números reales, es decir, existe el cuadrado de cualquier número. Pero la variable dependiente y sólo tomará valores mayores que 0, ya que el cuadrado de un número es siempre positivo.•Decimos que el recorrido de la función y = x² es todos los números reales positivos.

Funciones Algebraicas•Las funciones algebraicas son aquellas construidas por un número finito de operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, potenciaciin y radicación) aplicadas a la función identidad, f (x) = x, y a la función constante, f (x) = k.

Llas funciones algebraicas abarcan un tipo determinado de funciones, en la cual se incluyen las siguientes funciones:

•Funciones polinómicas•Funciones racionales•Funciones irracionales•Funciones definidas a trozos

Funciones polinómicas•Las funciones polinómicas son del tipo f(x)= A(x), donde A (x) es un polinomio

Se consideran funciones polinómicas si estan definidas de la siguiente manera:.

Función polinómica: función lineal

•En este apartado podemos distinguir otros tipos como la función lineal:• La función lineal (función polinomial de primer grado) es de la forma y = f (x) = ax + b; a y b son números dados; el dominio y contradominio es el conjunto de todos los números reales. •La gráfica de cualquier función lineal es una línea recta. La a representa la pendiente de la recta y b, el intercepto con el eje y (u ordenada en el origen). Como por dos puntos diferentes, en el plano cartesiano, se puede trazar una sola línea recta, basta con calcular las coordenadas de dos de los puntos para trazar la gráfica de una función lineal; es conveniente que dichos puntos sean los interceptos con los ejes del plano. Como ya mencionamos antes, el intercepto con el ejey, es b; para hallar el intercepto con el eje x (o abscisa en el origen), se iguala la ecuación de la función a 0 y se despeja el valor respectivo para x.

Funciones racionales•Las funciones racionales son funciones obtenidas al dividir un polinomio por otro polinomio distinto de cero. Para una única variable x una función racional se puede escribir como:

donde P y Q son polinomios y x es una variable indeterminada siendo Q un polinomio no nulo. Existe la posibilidad de encontrar valores de x tales que Q(x) sea igual a cero. Por este motivo las funciones racionales están definidas en todos los números que no anulan el polinomio denominador Tienen dos propiedades:

- Toda función racional es de clase ∞ en un dominio que no incluya las raíces del polinomio Q(x).

- Todas las funciones racionales, tienen una asintota vertical y horizontal

Funciones irracionales•Las funciones irracionales son funciones en las que no todas las imágenes son números racionales, pero si reales. •El dominio de una función viene condicionado por el índice de la raíz:

•Si es par , el dominio lo forman todos aquellos números reales del radicando que no sean negativos.• Si es impar, el radicando puede ser positivo, negativo o cero.

Funciones definidas a trozos•Cuando una función se define utilizando más de una

expresión algebraica, se dice que está definida a trozos.•Se puede expresar de la siguiente manera:

OPERACIONESSuma de funciones

•Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

(f + g)(x) = f(x) + g(x)Por ejemplo:Sean las funciones f(x) = 3 x + 1, y g(x) = 2 x - 4.

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2 x - 4 = 5 x - 3.

Resta de funciones•Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

(f - g)(x) = f(x) - g(x)Para que esto sea posible es necesario que f y g están definidas en un mismo intervalo.Por ejemplo:Dadas las funciones f (x) = x² - 3, y g(x) = x + 3, definir la función (f - g)(x).

(f - g)(x) = f(x) - g(x) = x² - 3 - (x + 3) = x² - 3 - x - 3 = x² - x - 6

OPERACIONES IIProducto de funciones

•Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por

(f·g)(x) = f(x)·g(x)

Cociente de funciones•Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por

(f/g)(x) = f(x)/g(x)(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la

función g no se anula.)

Función compuesta•Dos funciones f y g pueden combinarse para formar

una función compuesta, de las siguientes maneras: (f o g) (x) = f( g(x) ) (g o f ) (x) = g( f(x) )

Se define f o g y se lee g compuesta con f:(f o g)(x) = f [g(x)]

En este caso se sustituye la variable x de la función f por g(x)Los valores g(x) deberán estar en el dominio de f para (f o g), y que los valores f(x) deberán estar en el dominio de g para (g o f).

Propiedades · La composición de funciones es asociativa, es decir: · La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir: Por ejemplo, dadas las funciones numéricas f(x)=x+1 y g(x)=x² , entonces f(g(x))=x+1, en tanto que g(f(x))=(x+1)² . La inversa de la composición de dos funciones es:

Función inversaEs la que a cada valor de la variable y se le asigna un valor de la variable x, de manera que la variable independiente de f pasa a ser la variable dependiente de y viceversa. Para comprobar que la función inversa es la correcta, se tiene que hacer la función compuesta de las dos y el resultado tiene que dar x.

Esquema

http://www.gliffy.com/publish/1658776/

Para verlo ampliado entrar en esta página