Geometría Analítica

La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas

del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas.

Su desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana, impulsada con la

aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y más tarde con el

desarrollo de la geometría algebraica. Actualmente la geometría analítica tiene

múltiples aplicaciones allá de las matemáticas y la ingeniería, pues forma parte

ahora del trabajo de administradores para la planeación de estrategias y logística

en la toma de decisiones.

Las dos cuestiones fundamentales de la geometría analítica son:

1. Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener

su ecuación.

2. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica

o lugar geométrico de los puntos que verifican dicha ecuación.

Lo novedoso de la geometría analítica es que representa las figuras geométricas

mediante fórmulas del tipo , donde es una función u otro tipo de

expresión matemática: las rectas se expresan como ecuaciones polinómicas de

grado 1 (por ejemplo, ), las circunferencias y el resto

de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (la

circunferencia , la hipérbola ), etc.

Biografías

Menecmo

El matemático griego Menecmo se destacó

especialmente en el estudio de la Geometría,

particularmente por la inclusión de los

procedimientos algebraicos para la solución de

los problemas geométricos. Por ello, se le

considera el “padre de la Geometría Analítica”.

Menecmo fue amigo de Platón y, por supuesto,

miembro de la Academia platónica. Como parte

del círculo de miembros de la Academia,

Menecmo fue discípulo de Arquitas de Tarento

( 428-347 A.C) en Matemática, quien a su vez

estudió la Geometría dirigido por Eudoxio de

Cnidos. Según el historiador Proclo, Menecmo

es el más famoso de los discípulos del

matemático, filósofo y astrónomo griego

Eudoxio de Cnidos, reconocido inventor de

instrumentos de observación y de medida.

Por otra parte, Menecmo fue maestro de Aristóteles y, posiblemente del

gobernante y gran conquistador Alejandro Magno.

Se le atribuye a Menecmo el “descubrimiento de las secciones cónicas” mientras

intentaba resolver el problema de la “Duplicación del Cubo” que consistía en

construir mediante el uso exclusivo de la regla y el compás, los instrumentos

ideales de la Geometría griega, el lado de un cubo con el doble de volumen que el

de un cubo cuyo lado, en la forma de un segmento dibujado, se daba como dato

de partida.

Arquímedes

Arquímedes de Siracusa (en griego

antiguo Ἀρχιμήδης) (Siracusa

(Sicilia), ca.287 a. C. – ibídem, ca. 212 a. C.)

fue un matemático

griego, físico, ingeniero, inventor y astrónomo.

Aunque se conocen pocos detalles de su vida,

es considerado uno de los científicos más

importantes de la antigüedad clásica. Entre sus

avances en física se encuentran sus

fundamentos en hidrostática, estática y la

explicación del principio de la palanca. Es

reconocido por haber diseñado innovadoras

máquinas, incluyendo armas de asedio y

el tornillo de Arquímedes, que lleva su nombre.

Experimentos modernos han probado las

afirmaciones de que Arquímedes llegó a diseñar

máquinas capaces de sacar barcos enemigos

del agua o prenderles fuego utilizando una serie de espejos.

Se considera que Arquímedes fue uno de los matemáticos más grandes de la

antigüedad y, en general, de toda la historia. Usó el método exhaustivo para

calcular el área bajo el arco de una parábola con el sumatorio de una serie infinita,

y dio una aproximación extremadamente precisa del número Pi. También definió

la espiral que lleva su nombre, fórmulas para los volúmenes de las superficies de

revolución y un ingenioso sistema para expresar números muy largos.

Arquímedes murió durante el sitio de Siracusa (214–212 a. C.), cuando fue asesinado por

un soldado romano, a pesar de que existían órdenes de que no se le hiciese ningún daño.

A diferencia de sus inventos, los escritos matemáticos de Arquímedes no fueron muy

conocidos en la antigüedad. Los matemáticos de Alejandría lo leyeron y lo citaron, pero la

primera compilación integral de su obra no fue realizada hasta c. 530 d. C. por Isidoro de

Mileto. Los comentarios de las obras de Arquímedes escritas por Eutocio en el siglo VI las

abrieron por primera vez a un público más amplio. Las relativamente pocas copias de

trabajos escritos de Arquímedes que sobrevivieron a través de la Edad Mediafueron una

importante fuente de ideas durante el Renacimiento, mientras que el descubrimiento

en 1906 de trabajos desconocidos de Arquímedes en el Palimpsesto de Arquímedes ha

ayudado a comprender cómo obtuvo sus resultados matemáticos.

Apolonio de Perge

Apolonio de Perge, Apolonio de

Perga o Apolonio de

Pérgamo (Griego antiguo:

Ἀπολλώνιος) (Perge, c. 262 -

Alejandría, c. 190 a. C.) fue

un geómetra griego famoso por su

obra Sobre las secciones cónicas. Fue

Apolonio quien dio el nombre

de elipse, parábola e hipérbola, a las

figuras que conocemos.

También se le atribuye la hipótesis de

las órbitas excéntricas o teoría de los

epiciclos para intentar explicar el

movimiento aparente de los planetas y

de la velocidad variable de la Luna.

Sus extensos trabajos sobre geometría tratan de las secciones cónicas y de las

curvas planas y la cuadratura de sus áreas. Recopiló su obra en ocho libros y fue

conocido con el sobrenombre de El Gran Geómetra.

Nació: Alrededor del 262 A.C. en Perga, Grecia Ionia (Ahora Turquía) y falleció:

Alrededor del 190 A.C en Alejandría, Egipto.

Se sabe que estuvo en Alejandría durante los reinados de Ptolomeo Evergetes y

Ptolomeo Filopater, a la vez que fue tesorero general de Ptolomeo Filadelfo. Por

las fuentes se puede afirmar que era entre veinticinco y cuarenta años más joven

que Arquímedes, de allí la estimación de sus años de nacimiento y muerte. Fuera

de ello, lo poco que se sabe de su vida es que estudió en Alejandría y en esta

ciudad se dedicó a la enseñanza; y que vivió al menos un tiempo en Pérgamo.

Coetáneamente al nombramiento de bibliotecario, Apolonio recibió el encargo de educar al hijo de Tolomeo Filadelfo, el futuro Tolomeo III Evergetes. Durante los veinte años que pasó en Alejandría al frente de la Biblioteca, Apolonio compuso su obra fundamental, Las Argonáuticas, al mismo tiempo que otros numerosos libros sobre gramática. Pero Apolonio no supo granjearse la amistad de su alumno, ya que cuando Tolomeo Evergetes subió al trono (246 a. de C.), fue obligado a abandonar Alejandría y a retirarse a Rodas, donde permaneció hasta el final de su vida.

Nicolas de Oresme

Matemático y astrónomo francés. Estudió Teología en París, donde sabemos que se encontraba en 1348. En 1356 era "magister" en el Colegio de Navarra (París) y a continuación obtuvo el grado de "magister theologiae". Canónigo en Ruán y en París, fue obispo de Lisieux a partir de 1377.

Este singular escolástico y teólogo de la Baja Edad Media es famoso por la genialidad y la modernidad de sus gustos científicos y culturales. Cultivador de la "geometría especulativa" en el Tratado de la latitud de las

formas, en el Algorismo de las proporciones, en elDe difformitate quantitatum (1370) y en otros trabajos todavía inéditos, anticipa muchos aspectos de la matemática moderna, como la representación analítica de las variaciones intensivas mediante el método de las coordinadas, el tratado de los irracionales mediante potencias con exponente fraccionario y el espacio cuatridimensional. Como físico, considera posible el movimiento diurno de la Tierra, y descubrió que el movimiento de los graves es uniformemente acelerado.

Johannes Kepler

Johannes Kepler (Weil der

Stadt, Alemania, 27 de diciembre de 1571 -

Ratisbona,Alemania, 15 de

noviembre de 1630), figura clave en

la revolución científica, astrónomo y

matemático alemán; fundamentalmente

conocido por sus leyes sobre el movimiento

de los planetas en su órbita alrededor del Sol.

Fue colaborador de Tycho Brahe, a quien

sustituyó como matemático imperial

de Rodolfo II.

En 1935 la UAI decidió en su honor llamarle

«Kepler» a un astroblema lunar.

Kepler nació en el seno de una familia

de religión protestante luterana, instalada en

la ciudad de Weil der Stadt en Baden-

Wurtemberg, Alemania. Su abuelo había sido el alcalde de la ciudad, pero cuando

nació Kepler, la familia se encontraba en decadencia. Su padre, Heinrich Kepler,

era mercenario en el ejército del Duque deWürttemberg y, siempre en campaña,

raramente estaba presente en su domicilio. Su madre, Katherina Gulden mann,

que llevaba una casa de huéspedes, era una curandera y herborista, la cual más

tarde fue acusada de brujería.[cita requerida] Kepler, nacido prematuramente a los siete

meses de embarazo, ehipocondríaco de naturaleza endeble, sufrió toda su vida

una salud frágil. A la edad de tres años, contrae la viruela, lo que, entre otras

secuelas, debilitará su vista severamente.

A pesar de su salud, fue un niño brillante que gustaba impresionar a los viajeros

en el hospedaje de su madre con sus fenomenales facultades matemáticas

Heinrich Kepler tuvo además otros tres hijos: Margarette, de la que Kepler se

sentía muy próximo, Christopher, que le fue siempre antipático, y Heinrich.

De 1574 a 1576, vivió con Heinrich –un epiléptico– en casa de sus abuelos

mientras que su padre estaba en una campaña y su madre se había ido en su

búsqueda.

Al regresar sus padres, Kepler se trasladó a Leonberg y entra en la escuela latina

en 1577. Sus padres le hicieron despertar el interés por la astronomía. Con cinco

años, observó el cometa de 1577, comentando que su madre lo llevó a un lugar

alto para verlo. Su padre le mostró a la edad de nueve años el eclipse de

luna del 31 de enero de 1580, recordando que la Luna aparecía bastante roja.

Kepler estudió más tarde el fenómeno y lo explicó en una de sus obras de óptica.

Su padre partió de nuevo para la guerra en 1589, desapareciendo para siempre.

René Descartes

(La Haye, Francia, 1596 - Estocolmo, Suecia, 1650) Filósofo y matemático francés. René Descartes se educó en el colegio jesuita de La Flèche (1604-1612), donde gozó de un cierto trato de favor en atención a su delicada salud.

Obtuvo el título de bachiller y de licenciado en derecho por la facultad de Poitiers (1616), y a los veintidós años partió hacia los Países Bajos, donde sirvió como soldado en el ejército de Mauricio de Nassau. En 1619 se enroló en las filas del duque de Baviera; el 10 de noviembre, en el curso de tres sueños

sucesivos, René Descartes experimentó la famosa «revelación» que lo condujo a la elaboración de su método.

Tras renunciar a la vida militar, Descartes viajó por Alemania y los Países Bajos y regresó a Francia en 1622, para vender sus posesiones y asegurarse así una vida independiente; pasó una temporada en Italia (1623-1625) y se afincó luego en París, donde se relacionó con la mayoría de científicos de la época. En 1628 decidió instalarse en los Países Bajos lugar que consideró más favorable para cumplir los objetivos filosóficos y científicos que se había fijado, y residió allí hasta 1649.

Los cinco primeros años los dedicó principalmente a elaborar su propio sistema del mundo y su concepción del hombre y del cuerpo humano, que estaba a punto de completar en 1633 cuando, al tener noticia de la condena de Galileo, renunció a la publicación de su obra, que tendría lugar póstumamente.

En 1637 apareció su famoso Discurso del método, presentado como prólogo a tres ensayos científicos. Descartes proponía una duda metódica, que sometiese a juicio todos los conocimientos de la época, aunque, a diferencia de los escépticos, la suya era una duda orientada a la búsqueda de principios últimos sobre los cuales cimentar sólidamente el saber.

Este principio lo halló en la existencia de la propia conciencia que duda, en su famosa formulación «pienso, luego existo». Sobre la base de esta primera evidencia, pudo desandar en parte el camino de su escepticismo, hallando en Dios el garante último de la verdad de las evidencias de la razón, que se manifiestan como ideas «claras y distintas».

Pierre de Fermat

(Beaumont, Francia, 1601 - Castres, id., 1665) Matemático francés. Poco se conoce de sus primeros años, excepto que estudió derecho, posiblemente en Toulouse y Burdeos. Interesado por las matemáticas, en 1629 abordó la tarea de reconstruir algunas de las demostraciones perdidas del matemático griego Apolonio relativas a los lugares geométricos; a tal efecto desarrollaría, contemporánea e independientemente de René Descartes, un método algebraico para tratar cuestiones de geometría por medio de un sistema de coordenadas.

Diseñó también un algoritmo de diferenciación mediante el cual pudo determinar los valores máximos y mínimos de una curva polinómica, amén de trazar las correspondientes tangentes, logros todos ellos que abrieron el camino al desarrollo ulterior del cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz. Tras asumir correctamente que cuando la luz se desplaza en un medio más denso su velocidad disminuye, demostró que el camino de un rayo luminoso entre dos puntos es siempre aquel que menos tiempo le cuesta recorrer; de dicho principio, que lleva su nombre, se deducen las leyes de la reflexión y la refracción. En 1654, y como resultado de una larga correspondencia, desarrolló con Blaise Pascal los principios de la teoría de la probabilidad.

Otro campo en el que realizó destacadas aportaciones fue el de la teoría de números, en la que empezó a interesarse tras consultar una edición de la Aritmética de Diofanto; precisamente en el margen de una página de dicha edición fue donde anotó el célebre teorema que lleva su nombre y que tardaría más de tres siglos en demostrarse. De su trabajo en dicho campo se derivaron importantes resultados relacionados con las propiedades de los números primos, muchas de las cuales quedaron expresadas en forma de simples proposiciones y teoremas.

Desarrolló también un ingenioso método de demostración que denominó «del descenso infinito». Extremadamente prolífico, sus deberes profesionales y su particular forma de trabajar (sólo publicó una obra científica en vida) redujeron en gran medida el impacto de su obra.

Isaac Newton

Isaac Newton nació en las primeras horas del 25 de diciembre de 1642 (4 de enero de 1643, según el calendario gregoriano), en la pequeña aldea de Woolsthorpe, en el Lincolnshire. Su padre, un pequeño terrateniente, acababa de fallecer a comienzos de octubre, tras haber contraído matrimonio en abril del mismo año con Hannah Ayscough, procedente de una familia en otro tiempo acomodada. Cuando el pequeño Isaac acababa de cumplir tres años, su madre contrajo de nuevo matrimonio con el reverendo Barnabas Smith, rector de North Witham, lo que tuvo como consecuencia un hecho que influiría decisivamente en el desarrollo del carácter de Newton: Hannah se trasladó a la casa de su nuevo marido y su hijo quedó en Woolsthorpe al cuidado de su abuela materna.

Del odio que ello le hizo concebir a Newton contra su madre y el reverendo Smith da buena cuenta el que en una lista de «pecados» de los que se autoinculpó a los diecinueve años, el número trece fuera el haber deseado incendiarles su casa con ellos dentro. Cuando Newton contaba doce años, su madre, otra vez viuda, regresó a Woolsthorpe, trayendo consigo una sustanciosa herencia que le había legado su segundo marido (y de la que Newton se beneficiaría a la muerte de ella en 1679), además de tres hermanastros para Isaac, dos niñas y un niño.

La manzana de Newton

Un año más tarde Newton fue inscrito en la King's School de la cercana población de Grantham. Hay testimonios de que en los años que allí pasó alojado en la casa del farmacéutico, se desarrolló su poco usual habilidad mecánica, que ejercitó en la construcción de diversos mecanismos (el más citado es un reloj de agua) y juguetes (las famosas cometas, a cuya cola ataba linternas que por las noches asustaban a sus convecinos). También se produjo un importante cambio en su carácter: su inicial indiferencia por los estudios, surgida probablemente de la timidez y el retraimiento, se cambió en feroz espíritu competitivo que le llevó a ser el primero de la clase, a raíz de una pelea con un compañero de la que salió vencedor.

Fue un muchacho «sobrio, silencioso, meditativo», que prefirió construir utensilios, para que las niñas jugaran con sus muñecas, a compartir las diversiones de los demás muchachos, según el testimonio de una de sus compañeras femeninas infantiles, quien, cuando ya era una anciana, se atribuyó una relación sentimental adolescente con Newton, la única que se le conoce con una mujer.

Guillaume François

Guillaume François Antoine, marqués de

l'Hôpital1 (París, 1661 – París, 2 de

febrero de1704) fue un matemático francés. El

logro más conocido atribuído a su nombre es

el descubrimiento de la regla de L'Hôpital, que

se emplea para calcular el valor límite de una

fracción donde numerador y denominador

tienden a cero o ambos tienden a infinito.

L'Hôpital nació en París, Francia. Inicialmente

planeó una carrera militar, pero su pobre

visión le obligó a cambiar a las matemáticas.

Resolvió el problema de la braquistócrona,

independientemente de otros matemáticos

contemporáneos, como Isaac Newton. Murió

en París.

Es también el autor del primer libro de texto

conocido sobre cálculo diferencial, L'Analyse

des Infiniment Petits pour l'Intelligence des

Lignes Courbes (Análisis de los infinitamente pequeños para el entendimiento de

las líneas curvas). Publicado en 1696, el texto incluye las clases de su

profesor, Johann Bernoulli, en donde Bernoulli discute la indeterminación0/0. Este

es el método para resolver estas indeterminaciones a través de derivadas

sucesivas que lleva su nombre.

En 1694 Bernoulli y l'Hôpital acordaron que l'Hôpital le pagaría trescientos francos

anuales para que le transmitiera sus descubrimientos, que l'Hôpital describiría en

su libro. En 1704, tras la muerte de l'Hôpital, Bernoulli reveló la existencia del trato,

asegurando que la mayoría de los descubrimientos que aparecían en el libro de

l'Hôpital's eran suyos. En 1922 se encontraron documentos que apoyaban la tesis

de Bernoulli. La creencia generalizada de que l'Hôpital trató de aprovecharse del

descubrimiento de la regla que lleva su nombre ha resultado falsa. Publicó su libro

anónimamente, agradeciendo la ayuda prestada por Bernoulli en la introducción, y

nunca dijo ser el descubridor de la regla.

Leonhard Euler

(Basilea, Suiza, 1707-San Petersburgo, 1783) Matemático suizo. Las facultades que desde temprana edad demostró para las matemáticas pronto le ganaron la estima del patriarca de los Bernoulli, Johann, uno de los más eminentes matemáticos de su tiempo y profesor de Euler en la Universidad de Basilea. Tras graduarse en dicha institución en 1723, cuatro años más tarde fue invitado personalmente por Catalina I para convertirse en asociado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, donde coincidió con otro miembro de la familia

Bernoulli, Daniel, a quien en 1733 relevó en la cátedra de matemáticas.

A causa de su extrema dedicación al trabajo, dos años más tarde perdió la visión del ojo derecho, hecho que no afectó ni a la calidad ni al número de sus hallazgos. Hasta 1741, año en que por invitación de Federico el Grande se trasladó a la Academia de Berlín, refinó los métodos y las formas del cálculo integral (no sólo gracias a resultados novedosos, sino también a un cambio en los habituales métodos de demostración geométricos, que sustituyó por métodos algebraicos), que convirtió en una herramienta de fácil aplicación a problemas de física. Con ello configuró en buena parte las matemáticas aplicadas de la centuria siguiente (a las que contribuiría luego con otros resultados destacados en el campo de la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales), además de desarrollar la teoría de las funciones trigonométricas y logarítmicas (introduciendo de paso la notación e para definir la base de los logaritmos naturales).

En 1748 publicó la obra Introductio in analysim infinitorum, en la que expuso el concepto de función en el marco del análisis matemático, campo en el que así mismo contribuyó de forma decisiva con resultados como el teorema sobre las funciones homogéneas y la teoría de la convergencia. En el ámbito de la geometría desarrolló conceptos básicos como los del ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo, y revolucionó el tratamiento de las funciones trigonométricas al adoptar ratios numéricos y relacionarlos con los números complejos mediante la denominada identidad de Euler; a él se debe la moderna tendencia a representar cuestiones matemáticas y físicas en términos aritméticos.

En el terreno del álgebra obtuvo así mismo resultados destacados, como el de la reducción de una ecuación cúbica a una bicuadrada y el de la determinación de la constante que lleva su nombre.

Bibliografias

- www.biografiasyvidas.com/biografia/ - www.wikipedia.org - www.google.es/imagenes