Geometría ElementalGeometría ElementalPolígonosPolígonos

Integrantes:Integrantes:Ariana Aguilera.Ariana Aguilera.

Carolina Andrade.Carolina Andrade.Katherine Aravena.Katherine Aravena.

Francisco arias.Francisco arias.Constanza barraza.Constanza barraza.

Gabriel bustos.Gabriel bustos.Mauricio Cáceres.Mauricio Cáceres.

Laura caneo.Laura caneo.Kareen NorambuenaKareen Norambuena..

Colegio Tierra del Fuego Quillota

Polígono es una superficie plana, formada por trazos unidos en sus extremos. El número de lados, debe ser mayor o igual a 3.

Vértice.

Lados.

Diagonal.

Polígonos

Tipos de polígonosTipos de polígonos a. Convexo: a. Convexo: todos sus ángulos son menores a 180º, y todas todos sus ángulos son menores a 180º, y todas

sus diagonales son interiores.sus diagonales son interiores. b. Cóncavo: b. Cóncavo: un ángulo mide mas de 180º, y una de sus un ángulo mide mas de 180º, y una de sus

diagonales es externa. diagonales es externa. c. Regulares:c. Regulares: Sus ángulos y sus lados son congruentes Sus ángulos y sus lados son congruentes d. Irregulares:d. Irregulares: Sus ángulos y lados son diferentes. Sus ángulos y lados son diferentes.

a. b. c. d.a. b. c. d.

Altura,Altura, es una recta perpendicular, trazada desde un es una recta perpendicular, trazada desde un vértice al lado opuesto. vértice al lado opuesto.

Altura de polígonos

Altura del triángulo equilátero

Ejemplo: Calcular altura de un triángulo equilátero de 10 cm de lado.

Diagonales de un polígonoDiagonal, es un segmento que une dos vértices opuestos.

Nº de diagonales de un polígono

8.66 cm

4 · (4 − 3) : 2 = 2

Diagonal del cuadrado

Diagonal del rectángulo

5 · (5 − 3) : 2 =5

Ejercicios: Completa la tabla. Ejercicios: Completa la tabla.

3

4

5

6 6

8

Regular

Irregular

Irregular

10

Calcular la diagonal de un cuadrado de 5 cm Calcular la diagonal de un cuadrado de 5 cm de lado. de lado.

50

Calcular la diagonal de un rectángulo de 10 cm de base y 6 cm de altura.

136

Calcular número de diagonales. Calcular número de diagonales.

6 · (6 − 3) : 2 = 9 : 2 = 9

CuadriláterosCuadriláteros

Los cuadriláteros son figuras geométricas que Los cuadriláteros son figuras geométricas que tienen cuatro lados y cuatro ángulos.tienen cuatro lados y cuatro ángulos.

• Se clasifican en: Paralelógramos, Trapecios y Se clasifican en: Paralelógramos, Trapecios y Trapezoides.Trapezoides.

• Paralelógramos: Cuadrilátero que tiene dos pares Paralelógramos: Cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos. Los paralelogramos son: el de lados paralelos. Los paralelogramos son: el cuadrado, rectángulo, rombo y romboide.cuadrado, rectángulo, rombo y romboide.

a) Cuadrado: Todos sus lados son de igual medida. Todos sus ángulos miden 90º.

b) Rectángulo: Tiene dos pares de igual medida. Todos sus ángulos son rectos.

P = 4 · l

P= 2 (a+b)

c) Rombo: Todos sus lados son de igual medida. Sus ángulos no son rectos; dos son agudos y dos son obtusos (los ángulos opuestos).

d) Romboide: Tiene dos pares de lados de igual medida. Dos pares de sus ángulos son agudos y dos pares son obtusos

P = 4 · l

P = 2b + 2a

• Trapecios: Son cuadriláteros que tiene solamente un par de lados paralelos.

•Los trapecios son: trapecio isósceles, trapecio rectángulo, trapecio trisolátero y trapecio escaleno.

a) Trapecio isósceles: tiene un par de lados paralelos de igual medida.

Sus ángulos basales son igualesAD = BC< DAB = < ABCe no es perpendicular con f e = f Las diagonales no son bisectrices. α + β = 180 ºAE = EB, ED = EC, EG = 2EF El trazo FG (perpendicular a las bases divide a cada base en la mitad) P= a + b + c +d

b) Trapecio trisolátero: Es el que tiene tres lados de igual medida. Sus ángulos basales son de igual medida, respectivamente

c) Trapecio rectángulo: Es el que tiene dos ángulos rectos, es decir, un ángulo de 90º.

P= a + b + c +d

P= a + b + c +d

d) Trapecio escaleno: Tiene todos sus lados de distinta medida. Sus ángulos basales también son diferentes.

• Trapezoides: Son aquellos cuadriláteros que no tienen lados paralelos. Ellos son el trapezoide simétrico y el trapezoide asimétrico.

P= a + b + c +d

a) trapezoide simétrico: Tiene dos pares de lados de igual medida.

b) Trapezoide asimétrico: Puede tener dos lados de igual medida, tres lados de igual medida o bien ninguno.

EjerciciosEjerciciosCalcular el perímetro de un rectángulo de 10 cm de base y 6 cm de altura.

P = 2 · (10 + 6) = 32 cm

EjerciciosEjercicios

Calcular elCalcular el perímetroperímetro de unde un cuadradocuadrado de 5 cm de 5 cm

de lado.de lado. P = 4 · 5 = 20 cmP = 4 · 5 = 20 cm

TRIÁNGULOTRIÁNGULO

Es un polígono de tres lados, es decir, una porción de Es un polígono de tres lados, es decir, una porción de plano limitada por tres segmentos unidos, dos a dos, plano limitada por tres segmentos unidos, dos a dos, por sus extremos. Los tres segmentos que limitan el por sus extremos. Los tres segmentos que limitan el triángulo se denominan triángulo se denominan ladoslados, y los extremos de los , y los extremos de los

lados, lados, vérticesvértices. .

Clasificación de los triángulos Clasificación de los triángulos según sus lados :según sus lados :

EquiláterosEquiláteros (sus tres lados (sus tres lados

iguales)iguales)

Isósceles (dos lados iguales y uno desigual)

Escaleno (tres lados desiguales)

Según sus ángulos:Según sus ángulos:

Rectángulos (un ángulo recto)

Acutángulos (tres ángulos agudos)

Obtusángulos (un ángulo obtuso)

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOSTRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Un Un triángulo rectángulotriángulo rectángulo tiene un tiene un

ángulo recto y dos agudosángulo recto y dos agudos..

Hipotenusa :

La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, y es lado mayor del triángulo.

Catetos :

Los catetos son los lados opuestos a los ángulos agudos, y son los lados menores del triángulo

Área de un triángulo rectángulo:

El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de los catetos partido por 2.

Del cateto :

En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

CongruenciaCongruencia

Dos figuras son congruentes si tienen el Dos figuras son congruentes si tienen el mismo tamaño y la misma forma.mismo tamaño y la misma forma.

Existen diferentes formas de mover una Existen diferentes formas de mover una figura plana, estas son:figura plana, estas son:

- Trasladar- Trasladar - Invertir- Invertir - Girar o rotar- Girar o rotar

a) trasladar: existe traslación si dos a) trasladar: existe traslación si dos figuras son de igual tamaño, de igual figuras son de igual tamaño, de igual forma e igual posición (una delante de la forma e igual posición (una delante de la otra)otra)

b) invertir: existe inversión cuando dos b) invertir: existe inversión cuando dos figuras tienen el mismo tamaño, la misma figuras tienen el mismo tamaño, la misma forma y están en posición inversa o forma y están en posición inversa o enfrentada.enfrentada.

c) rotación o giro: existe rotación cuando c) rotación o giro: existe rotación cuando una figura tiene el mismo tamaño, misma una figura tiene el mismo tamaño, misma forma y ha girado sobre uno de sus forma y ha girado sobre uno de sus puntos.puntos.

SemejanzasSemejanzas

figuras que son idénticas, excepto en sus figuras que son idénticas, excepto en sus dimensiones.dimensiones.

Dos triángulos son semejantes siempre que sus Dos triángulos son semejantes siempre que sus ángulos sean congruentes y si sus lados ángulos sean congruentes y si sus lados homólogos (ángulos opuestos a los ángulos homólogos (ángulos opuestos a los ángulos iguales)son proporcionalesiguales)son proporcionales ..

Una de las figuras es Una de las figuras es

una ampliación de la una ampliación de la otra. Por ejemplo, todas otra. Por ejemplo, todas las circunferencias las circunferencias que se muestran en la que se muestran en la figura de la son figura de la son semejantes.semejantes.

Entre los Entre los rectángulos, ya no rectángulos, ya no hay semejanza hay semejanza general. Por general. Por ejemplo, los ejemplo, los rectángulos de la rectángulos de la figura siguiente no figura siguiente no son semejantes.son semejantes.

Para determinar la semejanza entre las Para determinar la semejanza entre las figuras existen criterios que son los figuras existen criterios que son los siguientes: siguientes:

CRITERIO DE SEMEJANZA ENTRE CRITERIO DE SEMEJANZA ENTRE DOS POLÍGONOS: DOS POLÍGONOS:

Para que dos polígonos (con el mismo Para que dos polígonos (con el mismo número de lados) sean semejantes se número de lados) sean semejantes se deben cumplir dos condiciones:deben cumplir dos condiciones:

    1. Los ángulos respectivos deben ser 1. Los ángulos respectivos deben ser iguales:iguales:                                               A = A´ ; B = B                                              A = A´ ; B = B´ ; C = C´ ; . . .´  ;  C = C´ ; . . .

2. Los lados respectivos deben ser 2. Los lados respectivos deben ser proporcionales: proporcionales: 

AB / A´B´ = BC / B´C´ = CD / C´DAB / A´B´ = BC / B´C´ = CD / C´D´ = constante ´ = constante

Dos polígonos son semejantes si y Dos polígonos son semejantes si y solamente si los ángulos solamente si los ángulos correspondientescorrespondientes

son congruentes y los lados son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales.correspondientes son proporcionales.

Criterios de semejanzas de Criterios de semejanzas de triángulostriángulos

1.-Dos triángulos son semejantes si tienen dos 1.-Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.ángulos iguales.

2.-Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo que forman.

3.- Dos triángulos son semejante si sus lados son proporcionales.

ejerciciosejercicios 1º1º Una fotografía rectangular de 10 cm x 15 cm se Una fotografía rectangular de 10 cm x 15 cm se

enmarca dejando una franja de 5 cm de ancho por enmarca dejando una franja de 5 cm de ancho por todo el borde, como muestra la figura (NO está a todo el borde, como muestra la figura (NO está a escala). ¿Son semejantes los rectángulos que se escala). ¿Son semejantes los rectángulos que se forman al interior y al exterior? Explica forman al interior y al exterior? Explica

Thales era un hombre que se destacó en varia áreas : comerciante, hábil en ingeniería, astrónomo, geómetra

Se destaco que en sus teoremas geométricos aparecen los inicios del concepto de demostración y se podría decir que son el punto de partida en el proceso de organización racional de las matemáticas.

Teorema de Thales

TeoremaTeorema

""Si tres o más rectas paralelas son intersecadas por dos Si tres o más rectas paralelas son intersecadas por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionalespor las paralelas, son proporcionales

En el dibujo: Si L1 // L2 // L3 T y S son transversales, los segmentos a,b,c,d son proporcionales, es decir:

T S

L1

L2

L3

a c

db

a/b=c/d

en la figura Len la figura L1 1 // L// L22 // L // L3 , 3 , T y S son transversales, T y S son transversales, calcula x y el trazo CDcalcula x y el trazo CD

L1

L2

L3

T

S

x+4

x+1

3 2

C

D

Formamos la proporción

3/2=x+4/x+1

3(x + 1) = 2(x + 4)

3x + 3 = 2x + 8

3x - 2x= 8 - 3

X=5

Luego, como CD = x + 4

CD= 5 + 4 = 9

Triángulos de ThalesTriángulos de Thales

En dos triángulos de Thales, sus lados, tienen la misma En dos triángulos de Thales, sus lados, tienen la misma razón de semejanzarazón de semejanza

B C

A

DE

De acuerdo a esto, en la figura BC// ED, entonces, con los lados de los triángulos AED y ABC ocurre:

AE/AB=ED/BC

Aplicaciones de esta ideaAplicaciones de esta idea Calcula la altura del siguiente edificioCalcula la altura del siguiente edificio

x

5

3 12

Escribimos la proporción

3/5=15/x

Por que 3+12=15

Y resolvemos la proporción

3 • x = 5 • 15

x = 75 3 X = 25

teorema de Euclides

en un triangulo rectangulo, segun el teorema de euclides, se cumple que:

el cuadrado de la longitud de un cateto es igual al producto de la longitud de la hipotenusa por la longitud de la proyección del mismo cateto

la altura elevado al cuadrado es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa

H^2 = m x n

b^2 = a x m

c^2 = a x n

Ejemplo

C

BA 40 10D

Triangulo ∆ABC Rectángulo en C Encontrar h

40 x 10 = 400si 400 es igual que h al cuadrado

se saca la raiz a √(400)

√(400) = 20

h = 20

h

El triángulo es un polígono formado por tres lados y tres ángulos. La suma de todos sus ángulos siempre es 180 grados. Para calcular el área se emplea la siguiente fórmula: Área del triángulo = (base . altura) / 2

Linkografia Linkografia Ariana Aguilera: polígonosAriana Aguilera: polígonos

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Carolina Andrade: cuadriláterosCarolina Andrade: cuadriláteros

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- Katherine Aravena: triángulos

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Constanza Barraza: semejanzas.Constanza Barraza: semejanzas.

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Gabriel Bustos: teorema de Thales.Gabriel Bustos: teorema de Thales.

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Kareen Norambuena:Kareen Norambuena:

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http://www.ditutor.com/geometria/perimetro_cuadrado.htmlhttp://www.ditutor.com/geometria/perimetro_cuadrado.html

http://www.ditutor.com/geometria/perimetro_rombo.htmlhttp://www.ditutor.com/geometria/perimetro_rombo.html

http://www.ditutor.com/geometria/perimetro_romboide.htmlhttp://www.ditutor.com/geometria/perimetro_romboide.html

http://www.geoka.net/triangulos/area_triangulo.htmlhttp://www.geoka.net/triangulos/area_triangulo.html

Marcia Caneo:Marcia Caneo:

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