INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA

“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”

EXTENSIÓN - BARQUISIMETO

Realizado por:

Stefanía Colmenarez

Matemática II (SAIA)

Diseño de Obras Civiles

II Semestre

Marzo, 2016

~ 2 ~

Introducción

La integral definida es un tema que tiene bastante importancia en el

área de la tecnología, esto es debido a sus aplicaciones y su misma

concepción, esencial para el entendimiento de diversos términos

matemáticos. Además de ello, la integral definida cuenta con diversos

elementos, parámetros y lineamentos para poder ser aplicada dentro de las

funciones, siendo el teorema fundamental del cálculo una de ellas, por lo que

en la siguiente investigación se abordara de manera ordenada y sistemática

cada una de esas partes indispensables para lograr comprender y aplicar de

la manera correcta esta integral, y de esta manera, hacer fácil y sencillo el

entendimiento de la misma, además de abordar las diversas aplicaciones

prácticas que tiene dando ejemplos para hacer la explicación más clara y

concisa.

En esta investigación se tratara la importancia que tienen las

integrales definidas en el área tecnológica y se presentaran algunos

ejemplos donde se evidenciara la aplicación de las mismas en el tema antes

mencionado.

~ 3 ~

Integral Definida

Definición: Dada una función no negativa 𝑓(𝑥), y un intervalo [𝑎, 𝑏] en el

cual la función esté definida, llamaremos integral definida de 𝑓(𝑥) en [𝑎, 𝑏] al

área encerrado por la curva 𝑓 entre 𝑎 𝑦 𝑏, y el eje 𝑂𝑋. Lo denotaremos

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

baenxfdedefinidaIntegraldxxfxfdeÁreaR

b

a

,)()()(

Propiedades de la integral definida

Dada una función integrable 𝑓 en [𝑎, 𝑏], entonces:

Si 𝑓0 en [𝑎, 𝑏] entonces b

a

dxxf )( 0. (es decir, si la función es

positiva, el valor de la integral también lo será. Por tanto,

cuando la función sea negativa, la integral será también

negativa).

a

a

dxxf )( =0

~ 4 ~

Si 𝑎 < 𝑐 < 𝑏, entonces: b

a

dxxf )( = c

a

dxxf )( + b

c

dxxf )(

b

a

dxxf )( = a

b

dxxf )(

b

a

dxxf )( + b

a

dxxg )( =

b

a

dxxgxf ))()((

b

a

dxxfk )( = b

a

dxxfk )(·

Teorema fundamental del cálculo integral

Antes de demostrar el teorema fundamental, debemos dar una serie

de definiciones y demostrar otro teorema previo.

Teorema del valor medio del cálculo integral:

Si f es continua en [𝑎, 𝑏], entonces existe 𝑐[𝑎, 𝑏] tal que:

b

a

dxxf )( = f(c)·(b – a)

Demostración:

Si 𝑓(𝑥) es continua entonces alcanza un valor máximo 𝑀 y uno

mínimo 𝑚 en [𝑎, 𝑏] luego el área de la función estará comprendida entre la

del rectángulo pequeño, de altura 𝑚 y área 𝑚 · (𝑏 − 𝑎), y el área del

rectángulo grande, de altura 𝑀 y área 𝑀(𝑏 − 𝑎), es decir:

M

m

a b

f(x)

~ 5 ~

𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤𝑏

𝑎 𝑀(𝑏 − 𝑎) , que dividiendo entre (𝑏 − 𝑎) nos

queda:

𝑚 ≤∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

𝑏−𝑎≤ 𝑀

Como la función 𝑓(𝑥) es continua, toma todos los valores

comprendidos entre el máximo y el mínimo, ya que se debe cumplir el

teorema de Darboux es decir, 𝑘[𝑚, 𝑀], 𝑐[𝑎, 𝑏] tal que 𝑓(𝑐) = 𝑘

Concretamente si 𝑘 =ab

dx)x(f

b

a

(que es un valor comprendido entre 𝑚

y 𝑀) entonces,

𝑐[𝑎, 𝑏] tal que 𝑓(𝑐) =ab

dxxf

b

a

)(

o equivalentemente, 𝑐[𝑎, 𝑏] tal que

b

a

)ab)·(c(fdx)x(f

Teorema Fundamental del Cálculo Integral

Si 𝑓 es una función continua en [𝑎, 𝑏], entonces su función asociada

𝐹(𝑥) = x

a

dxxf )( , con 𝑥 [𝑎, 𝑏], es derivable y se verifica que 𝐹’(𝑥) = 𝑓(𝑥).

(es decir, la función asociada de f(x) es una primitiva suya)

~ 6 ~

Demostración:

Por definición, tenemos que:

𝐹’(𝑥) = h

xFhxF

h

)()(lim

0

Además, por las propiedades 4 y 3 de las integrales definidas:

𝐹(𝑥 + ℎ) – 𝐹(𝑥) = hx

a

dxxf )( − x

a

dxxf )( = hx

x

dxxf )(

Y por el teorema del valor medio del cálculo integral, ∃𝑐 [𝑥, 𝑥 + ℎ] tal

que:

hx

x

dxxf )( = 𝑓(𝑐) · (𝑥 + ℎ – 𝑥) = 𝑓(𝑐) · ℎ

Teniendo en cuenta todo lo anterior:

𝐹’(𝑥) = )()(lim)(·

lim)()(

lim*00

xfcfh

cfh

h

xFhxF

hhoh

Como 𝑐 [𝑥, 𝑥 + ℎ], cuando ℎ 0 entonces ‘𝑐’ tiene que tender

necesariamente a 𝑥.

Hemos probado entonces que 𝐹(𝑥), tal y como la hemos definido, es

una primitiva de 𝑓(𝑥).

~ 7 ~

La Integral Definida y el Área Tecnológica

Para exponer la importancia que tienen las integrales definidas en el

área tecnológica se partirá de una pequeña investigación que se realizó con

el antes mencionado.

El cálculo integral en el área tecnológica ha sido de gran importancia

en los distintos ámbitos en los que se desarrolla esta área, ya sea en lo que

se refiere al software, al hardware, al manejo de datos o de señales. En fin,

son muchas y muy variadas las aplicaciones que tiene el cálculo integral, el

cual ha sido base de distintos procesos y avances tecnológicos actuales

tanto en la ingeniería en computación como en las demás ingenierías.

Un ejemplo claro acerca de la trascendencia del cálculo integral,

específicamente de la integral definida, en lo que respecta al hardware de

una computadora, es en el análisis de circuitos, en el cual se pueden ver

aplicaciones directas de integrales, como es el caso del cálculo de la energía

disipada a partir de la potencia que tenga el circuito, asimismo, es importante

al observar el comportamiento de un condensador debido a que la tensión de

éste, no solo depende de la corriente que circula por él, sino que también de

la suma de las corrientes que atravesaron con anterioridad, es decir, la carga

acumulada, lo cual es posible calcular mediante integrales definidas y con

esto se podría afirmar que dicho dispositivo tiene memoria de corrientes,

como es el caso también de las bobinas; esto nos lleva al análisis de

circuitos RLC debido a que muchos de los elementos que están presentes en

estos casos tienen en sus ecuaciones algunas integrales, las cuales tienen

que ser derivadas y para lograrlo es necesario utilizar el Teorema

Fundamental del Cálculo.

~ 8 ~

En este sentido, no solamente el cálculo integral es enfocado a las

operaciones con aparatos físicos, sino también está presente en fenómenos

como son las señales, especialmente las sinusoidales. Para estas señales,

es posible determinar el valor medio de una señal genérica en cierto intervalo

de tiempo, así como su valor eficaz e inclusive determinar otra señal

sinusoidal de la misma frecuencia, gracias a las integrales definidas.

Es importante señalar que el cálculo de las integrales definidas no

solamente nos permite ver las características de las señales, sino también

nos permiten expandirlas trigonométricamente mediante las series de

Fourier, lo cual puede ser útil si queremos conocer las frecuencias de los

componentes que forman la señal, lo cual podría llevarnos a poder eliminar

los ruidos de alta frecuencia, lo cual es necesario conocer si se está

diseñando algún software de edición de música. Pero no solamente las

series de Fourier nos ayudan para el manejo de frecuencias y señales, sino

que también se aplica en la compresión de datos, ya que permite identificar

ciertos términos de la expansión trigonométrica necesarios y poder

conservarlos.

Por otra parte; si lo que se quiere es trabajar con imágenes es

necesario contar con histogramas que representen la relación entre la escala

de grises que tenga una imagen con la cantidad de pixeles que posea dicha

imagen; al tratar el histograma como una función continua en cierto rango, el

cual su tratamiento tiene que ver con el cálculo de integral definida; esto con

el fin de modificar la imagen, ya sea para que se vea más nítida o para

comprimirla.

Es por ello que se puede concluir y afirmar que todas estas

aplicaciones de las integrales definidas guardan una estrecha relación con el

área tecnológica, y es allí donde radica la importancia de la misma.

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Una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos,

infinitamente pequeños. Para poner un buen ejemplo de la importancia de las

integrales definidas en el área tecnológica, se tratara el método de exhaución

usado por los egipcios para calcular áreas de círculos, el cual es aplicado

para modelar en tres dimensiones.

El método de exhaución consiste en que en un círculo se traza un

polígono, el cual tiene las características de que todos sus lados o esquinas

tocan al círculo, y al sacar el área de ese polígono, sale un área que es

aproximada al área real del círculo. Es obvio que entre más lados tenga el

polígono, más precisa será el área que sacamos, ya que se reduce el

espacio ocupado por las áreas despreciables que se forman entre el

polígono y el círculo.

Esto podría ser interpretado en cálculo de integral definida como una

suma infinita de las áreas en el polígono de n lados que se forman en cada n

“pedazos” del polígono. Este mismo principio es usado en las gráficas por

computadora, para producir las gráficas más precisas y reales de acuerdo a

las capacidades de sus procesadores. No importa cuánto avance la

tecnología, nunca se podrá alcanzar a modelar una figura tridimensional que

sea perfectamente redonda. Esto, aparte de que es humanamente imposible

de hacer para el usuario, también es imposible de procesar para la

computadora. Lo que se hace es “aproximar” una figura que parezca redonda

para nuestros ojos pero en realidad sea un polígono tridimensional con

superficies planas, pero que nosotros no podemos alcanzar a ver. No se

puede conseguir una figura perfectamente redonda debido a que no se

puede sumar infinitamente áreas o volúmenes para formar una figura, así

~ 10 ~

que se lo que se hace en la computación gráfica es fijar un límite de cuántas

sumas puede hacer el procesador para obtener la figura deseada, que

aunque no sea perfecta, es más que suficiente para convencer al ojo

humano. Esto se hace en base al concepto de sumas de Riemann.

Para dejar más claro el ejemplo anterior, se abordar el ejemplo de la

consola Nintendo 64. 5. Esta fue una de las primeras consolas en el mercado

en usar gráficas tridimensionales, por lo cual, sus capacidades eran limitadas

comparadas con las consolas actuales, por lo cual, se tenían que hacer

modelos tridimensionales con los que la consola trabajara correctamente (es

decir, que no fueran exageradamente detallados) y que fueran lo

suficientemente reales para los jugadores. Así, se marcaba un modelo en

tercera dimensión que presentara el balance entre estos dos elementos, que

fuera procesable para la consola y que se viera real para el usuario. Y como

resultado quedaba un modelo que a pesar que se veía claramente que era

un polígono, la consola podía trabajar perfectamente con él.

Por tanto se puede concluir que debido al avance de la tecnología,

actualmente se pueden lograr hacer modelos tridimensionales cada vez más

precisos; esto gracias al uso de las integrales definidas.