Mat Cau Va Mat Tron Xoay (Rat Hay)

GV THỰC HIỆN : ÐỖ TRẦN MINH VŨ

BỘ MÔN : TOÁN

Phát biểu định lý trung tuyến trong tam giác ?

A

BM

C

AM2 = AB2+AC2 BC2

2 4

Tập hợp các điểm trong mặt phẳng cách đều một điểm cố định là gì?

1/. ĐỊNH NGHĨA

Cho một điểm O cố định và một số thực dương R.

Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách điểm O một khoảng bằng R được gọi là mặt cầu tâm O bán kính R. Ký hiệu : S(O;R) hay viết tắt là (S)

Như vậy ta có : S(O;R) = {M / OM = R } .

OM R

A3

A2

A1

BO

Nếu OA = R thì điểm A nằm trên mặt cầu S(O;R)Nếu OA < R thì điểm A nằm trong mặt cầu S(O;R)

Nếu OA > R thì điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O;R)

2/ Bán kính, đường kính của mặt cầu:

A

BO

* Nếu điểm A nằm trên mặt cầu S(O;R)

thì đoạn thẳng OA được gọi là

bán kính mặt cầu (S).

* B đối xứng với A qua tâm O

thì AB được gọi là đường kính

của mặt cầu (S).

Tìm tập hợp tất cả những điểm M trong

không gian sao cho tổng bình phương các khoảng cách

từ M tới hai điểm cố định A và B bằng một hằng số k2.

Ví dụ 1:

A

B

O

M

Giải:

Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB, với M bất kỳ ta có:

OM2 = MA2+MB2 AB2

2 4= k2

2AB2

4*Nếu

k2

2AB2

4> thì đặt Ta có:

{M/ MA2+MB2= k2} = {M/ OM = R}=S(O;R).Khi đó quỹ tích điểm M là mặt cầu tâm O bán

kính

{M/ MA2+MB2= k2}= ???

2AB2

4

k2

R=

2AB2

4

k2

R=

k2

2AB2

4= thì OM = 0 hay M 0

Khi đó quỹ tích điểm M là một điểm O.

*Nếu k2

2AB2

4< thì quỹ tích là tập rỗng.

*Nếu

Ví dụ 2:

Cho tam giác ABC vuông tại B, DA (ABC)

a/ Xác định mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D

b/ Cho AB = 3a, BC = 4a, AD = 5a. Tính bán kính mặt cầu nói trên. D

A

B

C

Giải:

a/ Ta có: DA (ABC) DA BC

Lại có: AB BC nên BC DB.

Suy ra: DAC = DBC = 900

Vậy A,B,C,D nằm trên mặt cầu tâm O là trung điểm DC

b/ R = 5a 2

2

I

A

D

B

C

O

Bài 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU

VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG

I. Vị trí tương đối của một mặt cầu và một mặt phẳng:Cho một mặt cầu S(O;R) và mp(P) bất kỳ. Gọi H = hc O /mp(P)

Khi đó OH = d O, mp(P)

O

H

R

Ta xét các trường hợp sau :

Khi đó mọi điểm M (P) thì OM>OH. Vậy mọi điểm của (P) đều nằm ngoài mặt cầu (S)

Vậy (S) (P) =

M

Nếu OH > R:

P



I. Vị trí tương đối của một mặt cầu và một mặt phẳng:Cho một mặt cầu S(O;R) và mp(P) bất kỳ.

Gọi H = hc O / mp(P)

Khi đó OH = d O, mp(P)

O

H

R

Ta xét các trường hợp sau :

Khi đó điểm H (S). M (P), M H . thì OM > OH = R .

Vậy (S) (P) = H

M

Điểm H gọi là tiếp điểm của (S) và (P)

Mặt phẳng (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S)

P

Nếu OH = R:



O

H

R

Khi đó mp(P) sẽ cắt mặt cầu (S)

theo một đ tròn C( H, r ) với r =

R2 – d2

I. Vị trí tương đối của một mặt cầu và một mặt phẳng:

Cho một mặt cầu S(O;R) và mp(P) bất kỳ.

Gọi H = hc O / mp(P)

Khi đó OH = d O, mp(P) Ta xét các trường hợp sau :

M

Khi d=0 thì (S)(P) = C (O;R)

C(O;R) gọi là đường tròn lớn của mặt cầu S(O;R).Vậy (S)(P) = C(H,r)

P

Nếu OH < R:



O R

II. Vị trí tương đối của một mặt cầu và một đường thẳng:

Cho một mặt cầu S(O;R) và đường thẳng (d) bất kỳ.

Gọi H = hc O /(d)

Khi đó OH = d O, (d) Ta xét các trường hợp sau :

Vậy d (S) =

P

Nếu d> R:

(C)H

d Nếu d không đi qua O thì: (O,d)(S)= C(O;R)

Khi đó: d (C)=

Nếu d đi qua O thì d cắt mặt cầu

tại 2 điểm A,B với AB là đường

kính của mặt cầu



O



Gọi H = hc O /(d)


Vậy d (S) = {H}

P

Nếu d= R:

(C)H


Khi đó: d (C)= {H}

Ta nói rằng d tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) tại điểm H, điểm H gọi là tiếp điểm của d và (S)

Đường thẳng d gọi là tiếp tuyến của mặt cầu (S)



O



Gọi H = hc O /(d)


Vậy d cắt (S) tại 2 điểm

P

Nếu d< R:

(C)H


Khi đó: d cắt (C) tại 2 điểm



O

III.Các tính chất của tiếp tuyến:

Định lý 1:

Qua điểm A nằm trên mặt cầu

S(O;R) có vô số tiếp tuyến của

mặt cầu (S). Tất cả các tiếp tuyến

này đều nằm trên tiếp diện của (S)

tại điểm A.

Pa A



O

III.Các tính chất của tiếp tuyến:

Định lý 2:

Qua điểm A nằm ngoài mặt cầu

S(O;R) có vô số tiếp tuyến với

mặt cầu (S). Độ dài các đoạn

thẳng kẻ từ A tới các tiếp điểm

đều bằng nhau.

A

M

M’

(C)

p

Ví dụ:

Cho mặt cầu S(O;a) và một điểm A, biết OA = 2a, qua A kẻ

một tiếp tuyến tiếp xúc (S) tại B và cũng qua A kẻ một cát tuyến

cắt (S) tại C và D, biết CD = a 3 . a/ Tính

AB. b/ Tính d(O,CD)

OA

B

DH

C

Đáp số:

a/ AB = a 3

b/ d(O,CD) = a

2

Technology

Mat Cau Va Mat Tron Xoay (Rat Hay)