Métodos Numéricos 01

  • View
    34.681

  • Download
    3

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Métodos Numéricos 01.

Text of Métodos Numéricos 01

  • 1. Parte II. Mtodos Numricos

2. 1. Modelos matemticos 3. Un modelo matemtico se define como una formulacin o una ecuacin que expresa las caractersticas esenciales de un sistema fsico o de un proceso en trminos matemticos. En general:( ) ,() ,( ) Variable Variables f dependiente = ParmetrosFunciones de fuerza independientes 4. Cada libre de un objeto FUAplicando la segunda ley de Newton:F = ma a = F / mSustituyendo:dv F=dt mLa fuerza neta est dada por:FDF = FD + FU 5. FD = mg FU = -cv Combinando las ecuaciones, se obtiene: dvc=g v dtmCondicione inicial: v(0) = 0 m/s Resolviendo la ecuacin diferencial: gm -(c/m)t v(t) = ( 1-e) c 6. Los mtodos numricos nos permiten resolver la ecuacin diferencial mediante operaciones aritmticas: Pendiente verdaderadvdt v(t i+1)vPendiente aproximada v(t i+1) - v(t i) v = v(t i)t i+1 - t i tti t i+1 t 7. Aproximando la primera derivada: v(t i+1) - v(t i)c dv v = [g - m v(t i)] (t i+1 - t i ) = t i+1 - t i dt tReordenando: c v(t i+1) = v(ti) + [g - v(ti) ](t i+1 ti) mEsta aproximacin se conoce formalmente como mtodo de Euler:Valor nuevo = Valor anterior + pendiente x tamao de paso 8. 2. Programacin y Software 9. Diagramas de Flujo SMBOLO NOMBRE FUNCINTerminal Inicio o final de un programaProcesoClculos o manipulacin de datos Entrada/SalidaEntrada o salida de datosDecisin Comparacin, pregunta o decisin Unin Confluencia de lneas de flujo Fin de pgina Interrupcin Ciclo de cuentaIteraciones Lneas de flujoFlujo de la lgica del algoritmo 10. Secuencia Instruccin 1 Instruccin 1 Instruccin 2Instruccin 2Instruccin 3Instruccin 4 Instruccin 3 Instruccin 4 a. Diagrama de flujo b. Pseudocdigo 11. SeleccinVerdadero Condicin IF condicin THEN?Bloque verdadero ENDIFBloque verdadero a. Diagrama de flujo b. Pseudocdigo 12. Falso Verdadero Condicin IF condicin THEN?Bloque verdadero ELSEBloque Bloque falso Bloque falso verdadero ENDIFa. Diagrama de flujo b. Pseudocdigo 13. FalsoVerdaderoCondicin 1?FalsoVerdadero Condicin 2Bloque 1 ?IF condicin1 THENBloque1 Bloque 3Bloque 2 ELSEIF condicion2Bloque2 ELSEBloque3 ENDIFa. Diagrama de flujob. Pseudocdigo 14. Expresin de pruebaSELECT CASE Expr. de prueba CASE Valor1Bloque1 Valor1 Valor2 Otro CASE Valor2 Bloque 1 Bloque 2 Bloque 3 Bloque2 CASE ELSEBloque3END SELECT a. Diagrama de flujo b. Pseudocdigo 15. Repeticin Bloque 1 DO Bloque1 IF Condicin EXITVerdaderoBloque2 Condicin ENDDO? Falso Bloque 2 a. Diagrama de flujo b. Pseudocdigo 16. i = inicio Verdadero i > fin? i=i + incrDO i=inicio,fin,incremento BloqueFalsoENDDO Bloque a. Diagrama de flujo b. Pseudocdigo 17. MATLABEXCEL + VBA IF / THEN If b < > 0 Then IF condicion THEN r1 = -c/bBloque verdadero End If ENDIFIF / THEN / ELSE If a < 0 Then IF condicion THEN b = Sqr(Abs(a))Bloque verdadero Else ELSEb = Sqr(a)Bloque falso End If ENDIF 18. MATLABEXCEL + VBA IF / THEN / ELSEIFIf class = 1 Then IF condicion1 THEN x = x+8Bloque1 ElseIf class < 1 Then ELSEIF condicion2x = x-8Bloque2 Else ELSE x = x-64Bloque3 End If ENDIF 19. EXCEL + VBAMATLAB CASE SELECT CASE Expresin de Select Case a+b pruebaCase Is < -50CASE Valor1x = -5 Bloque1 Case Is < 0CASE Valor2x = -5 Bloque2Case ElseCASE ELSE x=5 Bloque2End Select END SELECT 20. MATLAB EXCEL + VBA DOEXIT DODoBloque1i = i+1IF Condicin EXITIf i >= 10 Then Exit DoBloque2j = i*x ENDDO Loop DOFOR DOFOR i=inicio,fin,incremento For i=1 To 10 Step 2 Bloquex = x+i ENDDO Next i 21. EXCEL + VBA MATLAB IF / THEN IF condicion THENif b ~= 0 Bloque verdadero r1 = -c/b; ENDIFend IF / THEN / ELSE IF condicion THENif a < 0 Bloque verdadero b = sqr(abs(a)); ELSE else Bloque falso b = sqr(a); ENDIFend 22. MATLABEXCEL + VBA IF / THEN / ELSEIF IF condicion1 THEN if class = =1 Bloque1x = x+8; ELSEIF condicion2elseif class < 1 Bloque2x = x-8; ELSE else Bloque3x = x-64; ENDIFend 23. EXCEL + VBA MATLAB CASE SELECT CASE Expresin de Switch a+b pruebacase 1CASE Valor1x = -5; Bloque1 case 2CASE Valor2x = -5 + (a+b)/10; Bloque2case ElseCASE ELSE x = 5; Bloque2end END SELECT 24. EXCEL + VBAMATLAB DOEXIT DOwhile (1)Bloque1i = i+1;IF Condicin EXITIf i >= 10, break, endBloque2j = i*x; ENDDO end DOFOR DOFOR i=inicio,fin,incremento for i=1 : 2 : 10 Bloque x = x+i; ENDDO end 25. Problemas adicionales 26. 3. Aproximaciones y errores deredondeo 27. Cifras significativasLas cifras significativas de un nmero son aquellas que pueden utilizarse de forma confiable. Se trata del nmero de dgitos que pueden utilizarse con certeza, ms uno estimado. 28. Exactitud y precisinAumenta la exactitud Aumenta la precisin (a)(b)Valor calculado o medido (c)(d)Valor verdadero 29. Definiciones de errorError verdaderoEt = Valor verdadero valor aproximadoError relativo fraccional verdadero Error verdaderot = Valor verdadero 30. Ejercicio. Clculo de errores Suponga que se tiene que medir la longitud de un puente y la de un remache, y se obtiene 4099 y 4.9 cm, respectivamente. Si los valores verdaderos son 5000 y 5 cm respectivamente, calcule a. El error verdadero b. El error relativo porcentual verdadero en cada caso. 31. Error aproximado Ea = Aproximacin actual Aproximacin anteriorError relativo fraccional aproximado Error aproximado a = Aproximacin actual 32. A menudo no interesa el signo del error, sino mas bien que su valor absoluto porcentual sea menor que una tolerancia porcentual prefijada s. En tales casos, los clculos se repiten hasta que| a |< sSi se cumple con el siguiente criterio, se tendr la seguridad de que el resultado es correcto en al menos n cifras significativas, s = (0.5 x 102-n) % 33. Ejercicio. Estimacin del error con mtodos iterativos La funcin exponencial se calcula utilizando la serie, x2 x3 xn e = 1+ x + + + ... +x 2! 3! n!As cuntos ms trminos se le agreguen a la serie, la aproximacin ser cada vez una mejor estimacin del valor verdadero de ex. Empezando con el primer trmino ex = 1 y agregando trmino por trmino, calcule los errores: relativo porcentual verdadero y normalizado a un valor aproximado. Estimar el valor de e0.5, hasta que el valor absoluto del error aproximado sea menor que un criterio de error preestablecido con tres cifras significativas. 34. Errores de redondeoError originado por la omisin de cifras significativas de un valor numrico.Por ejemplo, estimado = 3.1416 exacto = 3.1415926535.Error de redondeo = | estimado - exacto |