5.4 Ra5.4 Raííces de polinomiosces de polinomios

Las raLas raííces de polinomios cumplen estas reglas:ces de polinomios cumplen estas reglas:

1.1. En una ecuaciEn una ecuacióón de grado n, hay n ran de grado n, hay n raííces reales o ces reales o complejas.complejas.

2.2. Si n es impar hay al menos una raSi n es impar hay al menos una raííz realz real3.3. Si existen raSi existen raííces complejas, ces complejas, ééstas se encuentran por pares stas se encuentran por pares

conjugados ( es decir conjugados ( es decir λλ++µµi y i y λλ--µµi )i )

CALCULOS CON POLINOMIOS (MATLAB)CALCULOS CON POLINOMIOS (MATLAB)

FunciFuncióónn DescripciDescripcióónnfzerofzero RaRaííz de una sola funciz de una sola funcióónnrootsroots Encuentra raEncuentra raííces de polinomiosces de polinomiospolypoly Construye polinomios con raConstruye polinomios con raííces ces

especespecííficasficaspolyvalpolyval EvalEvalúúa un polinomioa un polinomio

polyvalmpolyvalm EvalEvalúúa un polinomio con a un polinomio con argumento matricialargumento matricial

residueresidue ExpansiExpansióón de la fraccin de la fraccióón parcialn parcialpolyderpolyder DiferenciaciDiferenciacióón n polinomialpolinomial

convconv MultiplicaciMultiplicacióón de polinomiosn de polinomiosdeconvdeconv DivisiDivisióón de polinomiosn de polinomios

EjerciciosEjercicios

1.1. Evaluar las raEvaluar las raííces de los siguientes polinomiosces de los siguientes polinomiosa. a. f(xf(x)=x)=x55 –– 3.5x3.5x44 +2.75x+2.75x33 +2.125x+2.125x22 –– 3.875x +1.253.875x +1.25b. b. f(xf(x)=9.34 )=9.34 –– 21.97x + 16.3x21.97x + 16.3x22 --3.704x3.704x33

2.2. Evaluar los polinomios del apartado 1, para los valores escalareEvaluar los polinomios del apartado 1, para los valores escalares s 1, 91, 9

3.3. Evaluar la derivada de los polinomios del apartado 1.Evaluar la derivada de los polinomios del apartado 1.4.4. Crear un polinomio cCrear un polinomio cúúbico cuyas rabico cuyas raííces son 0.5, 1, 1ces son 0.5, 1, 1--3i,1+3i3i,1+3i5.5. Multiplicar los polinomios del apartado 1.Multiplicar los polinomios del apartado 1.6.6. Dividir los polinomios a entre b del apartado 1.Dividir los polinomios a entre b del apartado 1.

7.7. Cuando se requiere encontrar la acidez de una soluciCuando se requiere encontrar la acidez de una solucióón de n de hidrhidróóxido de magnesio en xido de magnesio en áácido clorhcido clorhíídrico, se obtiene la drico, se obtiene la siguiente ecuacisiguiente ecuacióónn

A(xA(x)=x)=x33+3.6x+3.6x22--36.436.4

donde x es la concentracidonde x es la concentracióón del n del ionion hidrhidróógeno. Encugeno. Encuééntrese la ntrese la concentraciconcentracióón del n del ionion hidrhidróógeno para una solucigeno para una solucióón saturada (la n saturada (la acidez es igual a cero) empleando dos macidez es igual a cero) empleando dos méétodos diferentes en todos diferentes en MATLAB.MATLAB.

8. En análisis de sistemas de control, las funciones de transferencia que se desarrollan matemáticamente, relacionan la dinámica de la entrada del sistema con la salida. La función de transferencia para un sistema térmico está dada por

Donde G(s) es la ganancia del sistema, C(s) es la salida del sistema, N(s) es la entrada del sistema y s = frecuencia compleja de la transformada de Laplace. Factorizar los polinomios del numerador y denominador, para que la función de transferencia pueda expresarse en la forma:

90153771524269

)()()( 234

23

+++++++

==ssss

ssssNsCsG

))()()(())()((

)(4321

321

bsbsbsbsasasas

sG++++

+++=

AplicacionesAplicacionesLa ley de los gases ideales estLa ley de los gases ideales estáá dada por:dada por:

pVpV==nRTnRTAunque esta ecuaciAunque esta ecuacióón se usa ampliamente por los ingenieros yn se usa ampliamente por los ingenieros ycientcientííficos,ficos,

6. Ecuaciones 6. Ecuaciones algebraicas linealesalgebraicas lineales

6.1 Antecedentes matem6.1 Antecedentes matemááticosticos

6.1 Antecedentes matem6.1 Antecedentes matemááticosticos

NotaciNotacióón matricialn matricial

Una matriz consiste de un arreglo rectangular de elementosrepresentado por un solo símbolo. [A] es la notación breve para lamatriz y aij designa un elemento individual de la matriz. El conjuntohorizontal de elementos se llama un renglón (o fila) y uno verticalcolumna. El subíndice i denota el número de renglón en el cual seencuentra el elemento, y el subíndice j designa la columna.

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nmnnn

m

m

aaaa

aaaaaaaa

A

.........

...

...

321

2232221

1131211

La matriz en la figura tiene n renglones y m columnas, y se dice que tiene dimensión n x m. Ésta se conoce como una matriz de n x m.A las matrices con dimensión renglón n=1 como

[B]=[b1 b2 … bn]se les conoce como vectores renglónLas matrices con dimensión m=1, como

se conocen como vectores columna.

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

=cc

C.

][ 2

1

⎦⎣ nc

A las matrices en las que n=m se les llama matrices cuadradas. A las matrices en las que n=m se les llama matrices cuadradas. PorPorejemplo una matriz de 4x4 esejemplo una matriz de 4x4 es

A la diagonal que contiene los elementos aA la diagonal que contiene los elementos a1111, a, a2222, a, a3333, a, a4444 se lese lellama diagonal principal de la matriz

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

44434214

34333213

24232212

14131211

aaaaaaaaaaaaaaaa

A

llama diagonal principal de la matriz

Tipos especiales de matrices cuadradasTipos especiales de matrices cuadradas

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1000010000100001

[I]

identidad Matriz

[ ]

jiij aa =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

872731215

A

simétrica Matriz

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

44

3433

242322

14131211

00000

0

superiorr triangulaMatriz

aaaaaaaaaa

A

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

440000330000220000a11

[A]

diagonal Matriz

aa

a

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

44434214

333213

2212

11

000000

inferiorr triangulaMatriz

aaaaaaa

aaa

A [ ]

al. tridiagonmatrizde especial nombre el da le sey 3 de

banda de anchoun ieneanterior t matriz La00

0000

bandeadaMatriz

4443

343332

232212

1211

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

aaaaa

aaaaa

A

Reglas de operaciones de matricesReglas de operaciones de matrices

La suma de dos matrices, por ejemplo [A] y [B], se obtiene al suLa suma de dos matrices, por ejemplo [A] y [B], se obtiene al sumar losmar losttéérminos correspondientes de cada matriz. Los trminos correspondientes de cada matriz. Los téérminos de la matrizrminos de la matrizresultante [C] son:resultante [C] son:

ccijij = a= aijij + + bbijij

para i=1,2,para i=1,2,……,n,n, y j=1,2,, y j=1,2,……,m,m. De igual manera, la resta de dos. De igual manera, la resta de dosmatrices, por ejemplo [E] menos [F], se obtiene al restar los tmatrices, por ejemplo [E] menos [F], se obtiene al restar los téérminosrminoscorrespondientes ascorrespondientes asíí::

ddijij = = eeijij –– ffijij

para i=1,2,para i=1,2,……,n,n, y j=1,2,, y j=1,2,……,m,m. . La suma es conmutativa [A]+[B] = [B]+[A]La suma es conmutativa [A]+[B] = [B]+[A]La suma tambiLa suma tambiéén es asociativa; es decir,n es asociativa; es decir,

([A]+[B])+[C] = [A]+([B]+[C])([A]+[B])+[C] = [A]+([B]+[C])

La multiplicaciLa multiplicacióón de una matriz [A] por un escalar g se obtiene aln de una matriz [A] por un escalar g se obtiene almultiplicar cada elemento de [A] por g,multiplicar cada elemento de [A] por g,

El producto de dos matrices se representa como [C]=[A][B], dondeEl producto de dos matrices se representa como [C]=[A][B], donde losloselementos de [C] estelementos de [C] estáán definidos comon definidos como

Donde n=la dimensiDonde n=la dimensióón de la columna de [A] y la dimensin de la columna de [A] y la dimensióón rengln renglóón den de[B].

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

nmnn

m

m

gagaga

gagagagagaga

AgD

........

..

..

][][

21

22221

11211

∑=

=n

ikjikij bac

1

[B].

Ejemplo Obtener [Z]=[X][Y], dadosEjemplo Obtener [Z]=[X][Y], dados

SoluciSolucióón.n.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

2795

][ 406813

][ YX

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅

=828

84822922

249074502198765821937153

][Z

La multiplicaciLa multiplicacióón de dos matrices se puede realizar si la primera matrizn de dos matrices se puede realizar si la primera matriztiene tantas columnas como el ntiene tantas columnas como el núúmero de renglones en la segundamero de renglones en la segundamatriz.matriz.

ln x l x mmn x [C] [B] [A] =

Las dimensiones interiores son iguales:

es posible la multiplicación

Las dimensiones exterioresdefinen las dimensiones

del resultado

Si las dimensiones de las matrices son adecuadas, la multiplicacSi las dimensiones de las matrices son adecuadas, la multiplicaciióónnmatricial es asociativa matricial es asociativa

([A][B])[C] = [A]([B][C])([A][B])[C] = [A]([B][C])y distributiva, y distributiva,

[A]([B]+[C]) = [A][B]+[A][C][A]([B]+[C]) = [A][B]+[A][C]Sin embargo, la multiplicaciSin embargo, la multiplicacióón generalmente no es conmutativa:n generalmente no es conmutativa:

[A][B][A][B]≠≠[B[B][A]][A]

Si una matriz [A] es cuadrada y no singular, existe otra matriz Si una matriz [A] es cuadrada y no singular, existe otra matriz [A][A]--11,,llamada inversa de [A], para la cualllamada inversa de [A], para la cual

[A] [A][A] [A]--11=[A] =[A] --11 [A] = [I][A] = [I]

Ejercicio. Escribir un programa que permita ingresar dos matricEjercicio. Escribir un programa que permita ingresar dos matrices yes ymultiplicarlas. Probar el programa con la siguiente operacimultiplicarlas. Probar el programa con la siguiente operacióón:n:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

1034111027202123

149024901

La transpuesta de una matriz implica transformar sus renglones eLa transpuesta de una matriz implica transformar sus renglones enncolumnas y viceversa. Por ejemplo, dada la matriz de 4x4columnas y viceversa. Por ejemplo, dada la matriz de 4x4

La transpuesta, designada por [La transpuesta, designada por [A]A]TT, est, estáá definida como

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

44434214

34333213

24232212

14131211

aaaaaaaaaaaaaaaa

A

definida como

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

44342414

43332313

42322212

41312111

aaaaaaaaaaaaaaaa

A T

La traza de una matriz es la suma de los elementos en su diagonaLa traza de una matriz es la suma de los elementos en su diagonallprincipal y se designa como principal y se designa como tr[Atr[A] y se calcula como] y se calcula como

Una matriz es aumentada al agregar una columna (o columnas) a laUna matriz es aumentada al agregar una columna (o columnas) a lamatriz original. Por ejemplo, si tenemos una matriz [A] y aumenmatriz original. Por ejemplo, si tenemos una matriz [A] y aumentamostamosla matriz identidad, resulta otra matriz de dimensiones 3x6

∑=

=n

iiiaAtr

1][

la matriz identidad, resulta otra matriz de dimensiones 3x6

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

44434214

34333213

24232212

14131211

aaaaaaaaaaaaaaaa

A [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1000010000100001

44434214

34333213

24232212

14131211

aaaaaaaaaaaaaaaa

A

Ejercicio. Escribir un programa que permita ingresar unaEjercicio. Escribir un programa que permita ingresar unamatriz cuadrada y calcular su traza. Pruebe el programa calculamatriz cuadrada y calcular su traza. Pruebe el programa calculando lando latraza de la matriz:traza de la matriz:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−

404190306020

0312

RepresentaciRepresentacióón de ecuaciones algebraicas lineales en forma matricialn de ecuaciones algebraicas lineales en forma matricial

a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn = b2

. .

. .an1x1+an2x2+…+anmxn = bn

El sistema de ecuaciones lineales mostrado, puede ser escrito enforma concisa mediante notación matricial

[A]{X}={B}

Donde [A] es la matriz cuadrada n x n de coeficientes,Donde [A] es la matriz cuadrada n x n de coeficientes,

{B} es el vector columna de n por 1 de las constantes,{B} es el vector columna de n por 1 de las constantes,

{{B}B}TT = [b= [b11 bb22 …… bbnn]]

y {X} es el vector columna n por 1 de las incy {X} es el vector columna n por 1 de las incóógnitasgnitas

{{X}X}TT = [x= [x11 xx22 …… xxnn]]

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nmnnn

m

m

aaaa

aaaaaaaa

A

.........

...

...

321

2232221

1131211

6.2 Eliminaci6.2 Eliminacióón de Gaussn de Gauss

6.2.1 Soluci6.2.1 Solucióón de sistemas pequen de sistemas pequeñños de ecuacionesos de ecuaciones

METODO GRAFICO. Para dos ecuaciones se puede obtener unasolución al graficarlas en coordenadas cartesianas con un eje quecorresponda a x1 y el otro a x2.

Ejemplo El mEjemplo El méétodo grtodo grááfico para dos ecuacionesfico para dos ecuacionesPlanteamiento del problema.Planteamiento del problema. Con el mCon el méétodo grtodo grááfico resuelvafico resuelva3x3x11 + 2x+ 2x22 = 18= 18--xx11 + 2x+ 2x22 = 2= 2SoluciSolucióónn

0 1 2 3 4 5 60

2

4

6

8

10

x1

x2

DETERMINANTES Y LA REGLA DE CRAMER. DETERMINANTES Y LA REGLA DE CRAMER.

DETERMINANTESDETERMINANTES. Para un sistema de tres ecuaciones simult. Para un sistema de tres ecuaciones simultááneasneas[A][X]=[B], donde [A] es la matriz de coeficientes[A][X]=[B], donde [A] es la matriz de coeficientes

El determinante D se forma a partir de los coeficientes del sistEl determinante D se forma a partir de los coeficientes del sistema de laema de lasiguiente manera

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333231

232221

131211

][aaaaaaaaa

A

siguiente manera

3231

222113

3331

232112

3332

232211

333231

232221

131211

aaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaaaaaaa

D +−==

REGLA DE CRAMER.REGLA DE CRAMER. La regla de Cramer establece que cadaLa regla de Cramer establece que cadaincincóógnita de un sistema de ecuaciones lineales algebraicas puedegnita de un sistema de ecuaciones lineales algebraicas puedeexpresarse como una fracciexpresarse como una fraccióón de dos determinantes conn de dos determinantes conDenominador D y con el numerador obtenido a partir de D, alDenominador D y con el numerador obtenido a partir de D, alreemplazar la columna de coeficientes de la increemplazar la columna de coeficientes de la incóógnita en cuestignita en cuestióón porn porlas constantes b1, b2,las constantes b1, b2,……, bn. Por ejemplo, x1 se calcula como, bn. Por ejemplo, x1 se calcula como

Daabaabaab

x 33323

23222

13121

1 =

Ejercicio Regla de CramerEjercicio Regla de CramerPlanteamiento del problema.Planteamiento del problema. Utilice la regla de Cramer para Utilice la regla de Cramer para resolverresolver0.3x0.3x11 + 0.52x+ 0.52x22 + x+ x33 = = --0.010.010.5x0.5x11 + x+ x22 +1.9x+1.9x33 = 0.67= 0.670.1x0.1x11 + 0.3x+ 0.3x22 + 0.5x+ 0.5x33 = = --0.44 0.44

ELIMINACIELIMINACIÓÓN DE INCOGNITAS.N DE INCOGNITAS. Es un mEs un méétodo algebraico. Setodo algebraico. Seilustrarilustraráá con un sistema de dos ecuaciones simultcon un sistema de dos ecuaciones simultááneas:neas:aa1111xx11 + a+ a1212xx22 = b= b1 1 (1)(1)aa2121xx11 + a+ a2222xx22 = b= b22 (2)(2)Por ejemplo, la ecuaciPor ejemplo, la ecuacióón (1) se multiplica por an (1) se multiplica por a21 21 y la ecuaciy la ecuacióón (2) porn (2) poraa1111 para darpara daraa2121aa1111x1 + ax1 + a2121aa1212xx22 = a= a2121bb1 1

aa1111aa2121xx11 + a+ a1111aa2222xx22 = a= a1111bb22

Restando las ecuaciones, se elimina el tRestando las ecuaciones, se elimina el téérmino xrmino x11, para obtener, para obteneraa2222aa1111xx22--aa1212aa2121xx22 = b= b22aa1111--bb11aa2121

Despejando xDespejando x2 2 , y posteriormente x, y posteriormente x11,,

21122211

2121221 aaaa

babax

−−

=21122211

1212112 aaaa

babax−−

=

6.2.2 Eliminaci6.2.2 Eliminacióón de Gaussn de Gauss--SimpleSimple

El mEl méétodo de eliminacitodo de eliminacióón de n de incognitasincognitas consisticonsistióó de dos pasosde dos pasos1. Las ecuaciones se manipularon para eliminar una de las inc1. Las ecuaciones se manipularon para eliminar una de las incóógnitas gnitas

de las ecuaciones. El resultado de de las ecuaciones. El resultado de ééste paso de eliminaciste paso de eliminacióón fue el n fue el de una sola ecuacide una sola ecuacióón con una incn con una incóógnita.gnita.

2. En consecuencia, 2. En consecuencia, éésta ecuacista ecuacióón se pudo resolver directamente y el n se pudo resolver directamente y el resultado sustituirse atrresultado sustituirse atráás, en una de las ecuaciones originales para s, en una de las ecuaciones originales para encontrar la incencontrar la incóógnita restante.gnita restante.

ÉÉsta tsta téécnica bcnica báásica puede extenderse a sistemas grandes desica puede extenderse a sistemas grandes deecuaciones desarrollando un algoritmo para eliminar incecuaciones desarrollando un algoritmo para eliminar incóógnitas ygnitas ysustituir hacia atrsustituir hacia atráás. La eliminacis. La eliminacióón de Gauss el mn de Gauss el máás bs báásico de dichossico de dichosesquemas. esquemas.

El mEl méétodo esttodo estáá ideado para resolver un sistema general de nideado para resolver un sistema general de necuacionesecuacionesaa1111xx11 + a+ a1212xx22 + a+ a1313xx33 + + …… + a+ a1n1nxxnn = b= b1 1 (1)(1)aa2121xx11 + a+ a2222xx22 + a+ a2323xx33 + + …… + a+ a2n2nxxnn = b= b22 (2) (2)

..

..aan1n1xx11 + a+ an2n2xx22 + a+ an3n3xx3 3 + + …… + + aannnnxxnn = b= bn n (3) (3)

EliminaciEliminacióón hacia delante de incn hacia delante de incóógnitas. La primera fase consiste engnitas. La primera fase consiste enreducir el conjunto de ecuaciones a un sistema triangular superireducir el conjunto de ecuaciones a un sistema triangular superior.or.Se elimina la incSe elimina la incóógnita, x1, desde la segunda hasta la ngnita, x1, desde la segunda hasta la n--éésimasimaecuaciecuacióón. Para ello se multiplica la ecuacin. Para ello se multiplica la ecuacióón (1) por an (1) por a2121/a/a1111

111

211

11

21212

11

21121 ... b

aa

xaaa

xaaa

xa nn =+++

La La úúltima ecuaciltima ecuacióón se resta de la ecuacin se resta de la ecuacióón (2), para obtenern (2), para obtener

Donde el superDonde el superííndice indica que los elementos han cambiado susndice indica que los elementos han cambiado susvalores originales

'2

'22

'22

111

2121

11

212212

11

2122

...

...

bxaxao

baabxa

aaaxa

aaa

nn

nnn

=++

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

valores originales

El procedimiento se repite con las ecuaciones restantes, obteniEl procedimiento se repite con las ecuaciones restantes, obteniééndosendoseel siguiente sistema modificadoel siguiente sistema modificado

aa1111xx11 + a+ a1212xx22 + a+ a1313xx33 ++……+a+a1n1nxxnn = b= b11

aa2222’’xx22+ a+ a2323’’xx33++……+a+a2n2n’’xxnn= b= b22’’aa3232’’xx22+ a+ a3333’’xx33++……+a+a3n3n’’xxnn= b= b33’’

. .. .

. . . . aan2n2’’xx22+ a+ an3n3’’xx33++……++aannnn’’xxnn= b= bnn’’

Se repite el procedimiento antes descrito para eliminar la segunSe repite el procedimiento antes descrito para eliminar la segundadaincincóógnita. Se realiza la eliminacignita. Se realiza la eliminacióón en forma similar en las ecuacionesn en forma similar en las ecuacionesrestantes para obtenerrestantes para obtener

aa1111xx11 + a+ a1212xx22 + a+ a1313xx33 ++……+a+a1n1nxxnn = b= b11

aa2222’’xx22+ a+ a2323’’xx33++……+a+a2n2n’’xxnn= b= b22’’aa3333’’’’xx33++……+a+a3n3n’’’’xxnn= b= b33’’’’

. .. .

. . . . aan3n3’’’’xx33++……++aannnn’’’’xxnn= b= bnn’’’’

El procedimiento puede continuar usando las ecuaciones pivoteEl procedimiento puede continuar usando las ecuaciones pivoterestantes. La restantes. La úúltima manipulaciltima manipulacióón en n en éésta secuencia es el uso de lasta secuencia es el uso de la(n(n--1) 1) éésimasima ecuaciecuacióón para eliminar el tn para eliminar el téérmino rmino xxnn--11 de la nde la n--éésimasimaecuaciecuacióón.n.

aa1111xx11 + a+ a1212xx22 + a+ a1313xx33 ++……+a+a1n1nxxnn = b= b11

aa2222’’xx22+ a+ a2323’’xx33++……+a+a2n2n’’xxnn= b= b22’’aa3333’’’’xx33++……+a+a3n3n’’’’xxnn= b= b33’’’’

. .. .. . . .

aannnn(n(n--1)1)xxnn= = bbnn

(n(n--1)1)

SustituciSustitucióón hacia atrn hacia atráás.s. Ahora se despeja Ahora se despeja xxnn..

2,...,1-n1,-ni para x

restantes. x lasevaluar para repite se ntoprocedimie El .despejar xy ecuación

ésima 1)-(n laen atrás haciasustituir puede se resultadoÉst

)1(1

)1()1(

i

1-n

)1(

)1(

=−

=

=

−+=

−−

−

−

∑i

ii

n

ijj

iij

ii

nnn

nn

n

a

xab

ab

x

SustituciSustitucióón hacia atrn hacia atráássXXnn==bbnn / / aan,nn,n

DO i=nDO i=n--1, 1,1, 1,--11sumsum=0=0DO j=i+1, nDO j=i+1, n

sumsum==sumsum++aai,ji,j xxjj

END DOEND DOxxii = (= (bbii--sumsum)/)/aai,ii,i

END DOEND DO

EliminaciEliminacióón hacia delanten hacia delanteDO k=1, nDO k=1, n--11

DO i=k+1, nDO i=k+1, nfactor=factor=aai,ki,k / / aak,kk,k

DO j=k+1 , nDO j=k+1 , naai,ji,j==aai,ji,j –– (factor) ((factor) (aak,jk,j))

END DOEND DObbii==bbii –– (factor) ((factor) (bbkk))

END DOEND DOEND DOEND DO

ProblemasProblemas

1. En la figura se muestra un sistema de reactores interconecta1. En la figura se muestra un sistema de reactores interconectados dos entre sentre síí. Determinar las concentraciones en todas las corrientes de . Determinar las concentraciones en todas las corrientes de circulacicirculacióón.n.

Q01=5C01=10

Q03=5C03=10

C1

C3

C4C2

C5Q15=3

Q12=3

Q31=1

Q55=2

Q15=2

Q41=11

Q24=1

Q34=8

Q25=8

Q=[m3/min]C=[mg/m3]