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金融风险与金融数学 1

金融风险和金融数学史树中

北京大学金融数学与金融工程研究中心北京大学光华管理学院金融系


什么是风险和什么是金融风险？• 风险是可能发生的危险。• 风险＝不确定性。• 金融风险就是金融中可能发生的危险。• 换句话说，就是可能发生的钱财损失。• 金融风险＝金融中的不确定性。• 金融风险包括市场风险，信用风险、流动性风险，营运风险等等。


什么是金融经济学和金融数学？• 金融经济学与其他经济学科的主要区别就在于市场环境的不确定性。• 金融经济学主要研究不确定性市场环境下的金融商品的定价理论。• 金融数学就是金融商品定价的数学理论。• 因此，也可以说，金融经济学以至金融数学都是研究金融风险的理论。


研究不确定性的数学－概率论• 直到现在为止，研究不确定性的最主要的数学学科是概率论 ( 其他还有：模糊数学、混沌理论、集值分析、微分包含等 ) 。• 概率论几乎可以说是起源于研究“金融风险”的。那是一种简单的“金融风险”问题：赌博。


概率论的早期历史

• Blaise Pascal (1623-1662)

Pierre de Fermat (1601-1665)

1654 年 Pascal 与 Fermat 的五封通信，奠定概率论的基础。他们当时考虑一个掷骰子问题，开始形成数学期望的概念，并以“输赢的钱的数学期望”来为赌博“定价”。


Pascal － Fermat 问题• 二人掷骰子赌博，先掷满 5 次双 6 点者赢。有一次， A 掷满 4 次双 6 点，

B 掷满 3 次双 6 点。由于天色已晚，两人无意再赌下去，那么该怎样分割赌注？• 答案： A 得 3/4, B 得 1/4.• 结论：应该用数学期望来定价。


概率论的早期历史 ( 续 )

Jacob Bernoulli (1654-1705)

1713 年发表《猜度术 (Ars Conjectandi) 》。这是当时最重要、最有原创性的概率论著作。由此引起所谓“圣彼德堡悖论”问题。


“圣彼德堡悖论”问题• 有这样一场赌博：第一次赢得 1 元，第一次输第二次赢得 2 元，前两次输第三次赢得 4 元，……一般情形为前 n 次输，第 n+1 次赢得元。问：应先付多少钱，才能使这场赌博是“公平”的？• 如果用数学期望来定价，答案将是无穷！

2n


“圣彼德堡悖论”• 1738 年发表《对机遇性赌博的分析》提出解决“圣彼德堡悖论”的“风险度量新理论”。指出用“钱的数学期望”来作为决策函数不妥。应该用“钱的函数的数学期望”。Daniel Bernoulli （ 1700-1782)


期望效用函数 1944 年在巨著《对策论与经济行为》中用数学公理化方法提出期望效用函数。这是经济学中首次严格定义风险。John von

Neumann (1903-1957)

Oskar Morgenstern (1902-1977)


用期望效用函数来刻划风险• 所谓期望效用函数是定义在一个随机变量集合上的函数，它在一个随机变量上的取值等于它作为数值函数在该随机变量上取值的数学期望。用它来判断有风险的利益，那就是比较“钱的函数的数学期望”。• 假定 (x,y,p) 表示以概率 p 获得 x, 以概率 (1-p) 获得 y 的机会，那么其期望效用函数值为 u((x,y,p))=pu(x)+(1-p)u(y).


有风险与无风险之间的比较机会 (x,y,p) 与肯定得到 px

+(1-p)y 之间的利益比较就是比较 u((x,y,p))=pu(x)+(1-p)u(y) 与 u(px+(1-p)

y) 之间的大小。如果它们相等，表示对风险中性 (不在乎 ) ；一般取 < ，表示对风险厌恶。取 > 表示对风险爱好。


Arrow-Pratt 风险厌恶度量这就归结为函数 u 的凸性的比较。它的程度可用 -u’’/u’ 来度量。它由 Arrow (1

965) 和 Pratt (1964) 所提出。


期望效用函数的争论• 期望效用函数似乎是相当人为、相当主观的概念。一开始就受到许多批评。其中最著名的是“ Allais 悖论” (1953) 。• 由此引起许多非期望效用函数的研究，涉及许多古怪的数学。但都不很成功。 Maurice Allais (191

1-) 1986 年诺贝尔经济奖获得者。


Knight 的《风险、不确定性与利润》 (1921)• Knight 不承认“风险 = 不确定性”，提出“风险”是有概率分布的随机性，而“不确定性”是不可能有概率分布的随机性。• Knight 的观点并未被普遍接受。但是这一观点成为研究方法上的区别。Frank Hyneman

Knight (1885-1972)


Arrow-Debreu 的不确定状态• 1954 年 Arrow 和 Debreu 发表一般经济均衡的严格数学公理化证明。• 他们在处理不确定性时采用 Knight 的观点。光有状态，没有概率。

Kenneth J. Arrow （ 1921-) 1972年诺贝尔经济学奖获得者

Gerard Debreu (1921-)1983年诺贝尔经济奖获得者


Arrow (1953) 《证券价值对于风险的最优配置的作用》 Arrow 的文章被认为是第一篇用数学模型论证证券如何分散金融风险的研究论文。


“华尔街的革命”


‘在华尔街发生的两次革命已经开创了在金融界需要研究型的数学家的专长。第一次革命是对股权基金管理的诀窍引进数量方法，它开始于 Harry Markowitz 在 1952 年发表的博士论文《证券组合选择》。第二次金融中的革命开始于 1973 年 Fisher Black 和 Myron Scholes ( 请教了 Robert Merton)发表对期权定价问题的解答。 Black-Scholes 公式给金融行业带来了现代鞅和随机分析的方法；这种方法使投资银行能够对无穷无尽的“衍生证券”进行生产、定价和套期保值。……’


1990 年诺贝尔经济奖获得者

Harry Markowitz, (1927-) 《证券组合选择理论》

Merton Miller, (1923-2000) Modigliani-Miller 定理 (MMT)

William Sharpe, (1934-) 资本资产定价模型（ CAPM)


1997 年诺贝尔经济奖获得者

Fisher Black (1938-1995)期权定价公式1973 年 Black-Scholes-Merton期权定价理论问世

Robert Merton, (1944-)《连续时间金融学》

Myron Scholes, (1941-) 期权定价公式


Markowitz 证券组合选择问题• 一个投资者同时在许多种证券上投资，那么应该如何选择各种证券的投资比例，使得投资收益最大，风险最小。• Markowitz 把证券的收益率看作一个随机变量，而收益定义为这个随机变量的数学期望，风险则定义为这个随机变量的标准差。• 如果把各证券的投资比例看作变量，问题就归结为怎样使证券组合的收益最大、风险最小的数学规划。


Markowitz 问题的数学形式


Markowitz 理论的基本结论• 对每一固定收益都求出其最小风险，那么在风险－收益平面上，就可画出一条曲线，它称为组合前沿。• 在证券允许卖空的条件下，组合前沿是一条双曲线的一支；在证券不允许卖空的条件下，组合前沿是若干段双曲线段的拼接。• 组合前沿的上半部称为有效前沿。对于有效前沿上的证券组合来说，不存在收益和风险两方面都优于它的证券组合。


风险－收益图和有效前沿

风险

收益


风险－收益图和有效前沿


沪深两市的风险收益图


Markowitz 的基本思想•风险在某种意义下是可以度量的。•各种风险有可能互相抑制，或者说可能“对冲”。因此，投资不要“把鸡蛋放在一个篮子里”，而要“分散化”。•在某种“最优投资”的意义下，收益大意味着要承担的风险也更大。


互相关的概念


关于我国股市的互相关

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0. 55

1997-12-17

1998-01-28

1998-03-11

1998-04-22

1998-06-03

1998-07-15

1998-08-26

1998-10-07

1998-11-18

1998-12-30

1999-02-10

1999-03-24

1999-05-05

1999-06-16

07/28/1999

09/08/1999

10/20/1999

12/01/1999

01/12/2000

02/23/2000

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05/17/2000

06/28/2000

08/09/2000

09/20/2000

平均相关系数 CAPM市场风险


Tobin 的二基金分离定理• 由于 Markowitz 问题是线性问题，因而两个有不同收益的解的线性组合就可生成整个组合前沿。• 这两个特殊的组合可以看成“基金”。这个结果称为二基金分离定理。它是

Tobin (1958) 首先提出的。James Tobin, (1918-) 1981年诺贝尔经济学奖获得者


资本资产定价模型 (CAPM)

Sharpe (1964) 和另一些经济学家，则进一步在一般经济均衡的框架下，假定所有投资者都以 Markowitz 的准则来决策，而导出全市场的证券组合是有效的以及所谓资本资产定价模型 (Capital Asset Pricing Model, CAPM)。这一模型认为，每种证券的收益率都只与市场收益率和无风险收益率有关。


资本资产定价模型 (CAPM)

无风险收益率证券收益率市场收益率

E : 平均值 (数学期望 )Cov: 协方差； Var: 方差


各种证券的风险－收益图


无套利假设 Miller 与 Modigliani (1958)的 M-M 定理不但为公司理财这门新学科奠定了基础，并且首次在文献中明确提出无套利假设。所谓无套利假设是指在一个完善的金融市场中，不存在套利机会 ( 即确定的低买高卖之类的机会 )。

Franco Modigliani, (1918-) 1985 年诺贝尔经济奖获得者


无套利假设和 B-S 期权定价理论•以无套利假设作为出发点的一大成就也就是 Black-Scholes 期权定价理论。•期权是指以某固定的执行价格在一定的期限内买入某种股票的权利。期权在它被执行时，如果股票的市价高于期权规定的执行价格，那么期权的价格就是市价与执行价格之差；反之，期权是无用的，其价格为零。•现在要问，期权未到期时的价值。


为解决这一问题， Black 和 Scholes 先把模型连续动态化。他们假定模型中有两种证券，一种是债券，它是无风险证券，其收益率是常数；另一种是股票，它是风险证券，沿用 Markowitz 的传统，它也可用证券收益率的期望和方差来刻划，但是动态化以后，其价格的变化满足一个随机微分方程，其含义是随时间变化的随机收益率，其期望值和方差都与时间间隔成正比。这种随机微分方程称为几何布朗运动。


然后，利用每一时刻都可通过股票和期权的适当组合对冲风险，使得该组合变成无风险证券，从而就可得到期权价格与股票价格之间的一个偏微分方程，其中的参数是时间、期权的执行价格、债券的利率和股票价格的“波动率”。出人意料的是这一方程居然还有显式解。于是 Black-Scholes 期权定价公式就这样问世了。


Black-Scholes 期权定价公式


Black-Scholes 期权定价公式• c(x,t) 是股价为 x, 时刻为 t 的欧式买入期权的价值；• K 为期权的执行价； T 是到期日； r 是无风险利率；为股票价格的波动率（标准差）；• N 称为累积正态分布函数；•除了需要估计以外，其他都可直接观察到，用起来很方便。


Black-Scholes 模型和方程式债券方程：股票方程：

Black-Scholes 方程


Black-Scholes 期权定价公式

股价

期权价t=T

t<T

K


Black-Scholes 公式计算软件


用期权对冲股价风险合成的投资组合差价

股价

股价

期权价

买入股票

卖出 (看跌 ) 期权股价

获利


Black-Scholes-Merton的基本思想•“没有免费的午餐” (无套利假设 )。• 无套利假设可用来为金融产品，尤其是为金融衍生产品定价。• 如果一个投资组合使所有市场风险都被对冲，那么它就相当于无风险证券 (国库券 ) 。


Black-Scholes-Merton 理论的历史意义• The Black-Scholes option pricing model esta

blished the everyday use of mathematical models as essential tools in the world of finance, both in the classroom and on the trading floor.

•无论是在教室里还是在交易大厅中， Black-Sholes 期权定价模型都作为实质性的工具，确立了数学模型在金融界的日常运用。


历史意义 (续 )• The model offers a methodology to predict the s

eemingly unpredictable by using the lessons of complex mathematics and probability theory to forecast stock valuations, making it possible to successfully manage risk in the financial market.

•模型提供一种方法论，它用复杂的数学和概率论来预测看起来是不可预知的股票估值，使得有可能来成功地管理金融市场中的风险。


历史意义 (续 )• In less than thirty years it has changed the c

ourse of economic theory and financial practice.

•在不到三十年的时间里，它已经改变了经济理论的课程和金融实践。


历史意义 (续 )• The work of Robert Merton, Fischer Black

and Myron Scholes is the culmination of a series of discoveries and theories spanning the twentieth century.

• Merton、 Black 和 Scholes 的工作是整个二十世纪中一系列发现和理论的累积。


历史意义 (续 )• From Louis Bachelier, an obscure French math

ematician who wrote at the turn of the century, through the contributions of scholars such as Harry Markowitz, John Lintner, William Sharpe, Eugene Fama, Franco Modigliani, and Merton Miller, the quest to apply the lessons of probability theory to the stock market has been a key focus of twentieth-century American finance.


历史意义 (续 )•从一位鲜为人知的法国数学家 Bachelier 在世纪之交撰文，再通过诸如 Markowitz、Lintner 、 Sharpe 、 Fama 、 Modigliani、Miller 这样的学者的贡献，寻求把概率论应用于股市已经成为二十世纪美国金融学的关键的焦点。－引自哈佛商学院 Baker 图书馆网页


资产定价基本定理• Black-Scholes 理论的成功使人们认识到用“无套利假设”来为金融商品定价是非常强有力的。这一思想被 Stephen Ross (1940-) 等进一步发展为“资产定价基本定理” (1978)。

这一定理的最简单情形可在下述模型中来叙述：假定当前状态确定，未来有 S 种不确定状态。市场中有 J 种证券。


资产定价基本定理 ( 续 )

• 资产定价基本定理：无套利假设等价于存在 S 个正常数，使得每种证券的当前价格等于其 S 种未来价格与这 S 个常数的乘积和。•如果有一种始终为 1 的无风险证券，那么这 S 个常数可看作每一状态发生的概率。


资产定价基本定理 ( 续 )• 与以前的“赌博定价”相比较，它既不再是用“钱的数学期望”来“定价”，也不再是用“钱的函数的数学期望”来“定价”，而是用“钱对某种概率的数学期望”来“定价”。• 如果无风险证券有收益，同样的结果对证券的“折现价格”也成立。• 对于一般的动态情形，这里的概率即所谓“等价概率鞅测度”。用这种方法定价就称为“鞅方法”。


资产定价基本定理 ( 续 )• 1979 年， Cox, Ross 和 Rubinstein 就用这样的方法，先对离散时间的期权定价，再取极限连续化，同样得到 Black-

Scholes 期权定价公式。• 这一方法不但容易理解，并且是一种有效的计算方法。这就是所谓“二叉树方法”。现在已成为一种常用的方法。


二叉树计算方法


市场有效性假设• 于是问题归结为“无套利假设”是否总成立。 Black-Sc

holes 公式的成功说明“无套利假设”在许多情况下都是成立的。• 一般情况下，这是市场是否有效的问题，即“市场价格是否完全反映可接受的信息”的问题 (Fama, 1970) 。 Eugene F. Fama

(1939-)


市场有效性假设 ( 续 )

• 通常市场有效性分为三类：弱有效 ( 价格已反映其历史，这时技术分析无效 ) 、半强有效 ( 价格已反映所有公开信息，这时基本分析无效 ) 和强有效 ( 价格已反映所有内部信息，这时“黑箱操作”无效 ) 。许多实证检验都支持前两种有效，但后一种有效则不一定。


市场有效性与信息传递• 近年来人们逐渐认识到，市场有效性与其他“市场分析”手段之间并没有那么水火不相容。尤其是怎样来度量“市场效率”成为人们所关注的问题。• 市场是否有效的关键在于市场信息传递是否有效。股市中出现的做庄、跟风等现象都引起人们关注。最近出现的一门新学科《行为金融学》就研究这类问题。


Grossman-Stiglitz 悖论• 这类问题的研究引起大量数学家不熟悉、甚至从未考虑过的数学问题。下述悖论就是一个例子。• 如果市场已经充分反映各种信息，那么投资者就没有必要搜集信息。但是如果谁都不搜集信息，市场如何充分反映各种信息？ (Gross

man-Stiglitz, 1980)

Stanford J. Grossman

Joseph E. Stiglitz


狂怒的大女子主义者的寓言和股票市场我写这个寓言是在 1997年 10月股市大跌的一个星期之后。它发生在一个地点不明的愚昧的大女子主义村子里。在这个村子里，有 50对夫妇，每个女人在别人的丈夫对妻子不忠实时会立即知道，但从来不知道自己的丈夫是否忠实。该村严格的大女子主义章程要求，如果一个女人能够证明她的丈夫不忠实，她必须在当天杀死他。又假定女人们都赞同这一章程，并且都很聪明，也都能意识到别的女人的聪明；同时，还都很仁慈，即她们从不向那些丈夫不忠实的女人通风报信。假定在这个村子里发生了这样的事：所有这 50个男人都不忠实，但没有哪一个女人能够证明她的丈夫的不忠实，以至这个村子能够快活而又小心翼翼地一如既往。


寓言和股票市场 ( 续 ) 有一天早晨，森林的远处有一位德高望重的女族长来拜访。她的诚实众所周知，她的话就像法律。她暗中警告说村子里至少有一个风流的丈夫。这个事实，根据她们已经知道的，只该有微不足道的后果，但是一旦这个事实成为公共知识，会发生什么？答案是，在女族长的警告之后，将先有 49个平静的日子，然后，到第 50天，在一场大流血中，所有的女人都杀死了她们的丈夫。要弄明白这一切是如何发生的，我们首先假定这里只有一个不忠实的丈夫 A先生。除了 A太太外，所有人都知道 A先生的背叛，因而当女族长发表她的声明的时候，只有 A太太从中得知一点新消息。作为一个聪明人，她意识到如果任何其他的丈夫不忠实，她将会知道。因此，她推断出 A先生就是那个风流鬼，于是在当天就杀了他。


寓言和股票市场 ( 续 ) 现在假定有两个不忠实的男人， A先生和 B先生。除了 A太太和 B太太以外，所有人都知道这两起背叛，而 A太太只知道 B太太家的， B太太只知道 A太太家的。 A太太因而从女族长的声明中一无所获。但是第一天过后， B太太并没有杀死 B先生，她推断出 A先生一定也有罪。 B太太也是这样，她从 A太太第一天没有杀死 A先生这一事实得知， B先生也有罪。于是在第二天， A太太和 B太太都杀死了她们的丈夫。如果情形改为恰好有三个有罪的丈夫， A先生、 B 先生和C先生，那么女族长的声明在第一天不会造成任何影响，但类似于前面描述的推理过程， A太太、 B太太和 C太太会从头两天里未发生任何事推断出，她们的丈夫都是有罪的，因而在第三天杀死了他们。借助一个数学归纳法的过程，我们能够得出结论 :如果所有 50个丈夫都是不忠实的，他们的聪明的妻子们终究能在第 50天证明这一点，使那一天成为正义的大流血日。


寓言和股票市场 ( 续 ) 现在我们把森林远处来的女族长的警告代替为对去年(1997)夏天泰国、马来西亚和其他亚洲国家的通货问题的警告；妻子们的紧张和不安代替为投资者的紧张和不安；妻子们只要自己的“公牛”没有被刺伤就心满意足代替为投资者们只要自己的“公牛”没有被刺伤就心满意足；杀丈夫代替为抛股票；警告和杀戮之间的 50天间隔代替为东亚问题和大崩盘之间的延迟，你就会得到这次大崩盘的成因。更清楚地说，利益息息相关的金融集团们可能已经在怀疑其他的亚洲经济是不堪一击的，但直到某人如此公开地说，并最终发觉了他们自身的不堪一击以前，他们是不会行动的。这样，马来西亚总理在 1997年 4月批评西方银行的讲话就起着女族长的警告那样的作用，促成了他最担心的这次危机。


寓言和股票市场 ( 续 )

幸好不像是故事中的丈夫们那样，市场是能够再生的。华尔街波涛后来的此起彼伏说明，如果妻子们能够让丈夫们在炼狱中短暂停留之后再复活的话，这种类比就会更加逼真。这就是地球村中的生与死、买和卖。 --摘自： Paulos, J. A., 1998, Once upon a Number, Basic Books. L.A.. (中译本：保罗斯， J. A.,2001，跨越缺口，史树中等译，上海科技出版社。 )


结束语• 金融风险在理论上是通过数学来刻划的。• 从 Markowitz 开始，金融市场风险主要用收益率的方差来描述。• 这样定义的风险可通过证券组合来互相抑制，以至对冲。• 由“无套利假设”出发的 Black-Scholes-

Merton 理论是一项有上百年历史的伟大科学成就。


结束语 ( 续 )

• Black-Scholes-Merton 理论大大促进衍生证券市场的发展，而衍生证券市场为金融风险防范提供了强有力的工具。• Black-Scholes-Merton 理论也大大促进了数学的发展。• 但是还有大量金融风险的数学问题有待人们去深入研究，甚至还有崭新的数学领域有待人们去开拓。


报告到此结束，谢谢大家！

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