Funções

Domínio e Imagem

AlgoritmoLei da Função

input output

domínio imagem

Valores possíveis

Valores obtidos

Ex1:

0 rry

4044 xxxy

4 ;4

Ex2: 6)1(2

1 xy

;1313121612

1061

2

1Domxxxx

*Ex3:8

34

1

xy

Im

)28,(

282824483

408

3

4

Dom

xxxxx

Cuidado!

Exercícios e Exemplos (* indica maior grau de dificuldade)

(Reais não negativos)

condição

Dom=

Dom=

Leis de

Podem ser usadas para simplificar cálculos

00 bb

000. aouaba00 bb

ba entãobcacc 0

bcacc 0

000. aouaba

*Ex: 6 3x1xy

Im03x1x

Modo 1:

03x01x

0301 xxou

Ou

01x

03x

[1

[3

,3

01x

03 x

|1

|3

1,

,31,Dom

Modo 2:(mais fácil): Seja f(x) = 3431 2 xxxx

| |1 3---------------+++ +++

,31,Dom

Caso típico

312 xxx

Fazer pela reta.

| | |

-2 1 3

++++++++++++++ ------------------ +++-------

1 3

*Ex. 25 413

1

xxxy

| | |------------------------ ++++++++++++++ +++++++++

-3 1 4

,,Dom 13

Casos de divisão

00 b.ab

a

00 b.ab

a

Outros casos:

11

2

x

xy 1

1

2

x

x

....011201

120

1

1201

1

2

xxx

x

x

xx

x

x

*Ex:

Ex:

01

3

x

x 3

-1

++++++

++++++++++++

----------------

------

,31,Dom

1

3log

x

xy

Outros exemplos: Livro J. Stewart pag. 23 (1.1) – Ex. 23 a 40

.

Definição – Valor absoluto

a para

|a|=

-a para

0a

0a

|a| = max {-a,a}

| | |distância-3 5

distância0

|-3| = 3 |5| = 5

Obs.

babab|a|)c

babb|a|)b

a|a|)a 22

ou

Exercícios de valor absoluto

Ex1. ,5|32| xxf 532 |x|

,,x:solução

xxcaso

xxcaso

14

45322

153210

0

Ex2. 5,1512322|3| xxxxxf

Ex3. 22 32|3||2| xxxx

*Ex4.

...xx

xxf

22

31003

2

342

32

342

Ex5. ?342 xxdegráficoqual

Função BATMAN

342 xxxf 342 xxxf

condição

Outros:Desafios

1)Domínio de

2)Determinar x tais que

x

xxf

1

2

1 xx

Funções

F

input output

domínio imagem

Vamos finalizar agora enfatizando a importância de se calcular o domínio de uma função

Ex: Seja

,14,

532)(

Dom

xxf

O que ocorre se tentamos fazer o gráfico da f de - 4 a 1 (num pacote MAPLE (comando PLOT), ou MATHEMATICA, etc).(Laboratório).

Se não soubermos o domínio podemos obter gráficos vazios que expressam a realidade (vazios)

Como vimos

Funções Crescentes - Decrescentes

modelos

crescente decrescenteExemplos iniciais:

Seja 2xxf Quais os intervalos de crescimento?

Crescente ),[ 0Decrescente ],( 0

O que ocorre em x=0

O mesmo para

65 x-xf(x) 2

Crescente 2,

Decrescente ,2

Crescente )()( 2121 xfxfxx Decrescente )()( 2121 xfxfxx

Pontos Especiais

Máximos – Mínimos

Observe que o crescimento (decrescimento) de uma função pode indicar pontos máximos/mínimos locais

Modelos

0x0x

0x0x

Funções contínuas X funções descontinuas

Modelos:

A:

B:

xabs

xxxxyex

1,

1,23,,: 2

Função côncava x convexa

ou côncava para baixo x côncava para cima

Ex.

3

2

2

?!

xy

xy

cimaparacôncavaxy

baixoparacôncavaxy

cimaparacôncavaxy

Cima Baixo

INFLEXÃO: Neste ponto a concavidade muda

Não é ponto de inflexão(descontinua em x=0)

3xy

Simetria , Periodicidade, Tendência

Funções pares X impares - lâmina

modelos

par impar

xxfxsenxfxxf 3 xxfxxf cos2

Caracterização

xfxfimparéf

xfxfparéf

Desenvolver:

32 1x,

x,x

xxx

xxxf

852

2

Complete o gráfico para x<0, sabendo que :a) f é parb) f é impar

Use MAPLE

Outros exemplos

1

1

2

xxxf)b

xxxf)a

x

xxf)d

x

xxf)c

1

1

2

Nem par nem impar

impar

par

impar

Funções Periodicas

F é periódica se o seu comportamento se repetir rigorosamente em intervalos de amplitude alfa.

Ex. y = sen(x) periodo = 2

Dn

nnxnxy

1,Período = 1

Logo, período é o menor intervalo de repetição

AULA

Modelagem e análise de funções

De uma forma simples:

“Qualquer descrição matemática do mundo real é um modelo”

Manipulando um modelo esperamos entender algo da realidade.

Linguagem matemática

1) Uma caixa sem tampa é feita a partir de uma folha retangular medindo 12 x 20 cm e cortando-se nos cantos quadrados de lados x. Expresse:

a) volume da caixa em função de x

b) a superfície da caixa em função de x

c) analise o domínio, o gráfico, da função obtida.

x12

20

...)220(2)212(2)212()220(

)212()220(

xxxxxxs

xxxv

2)expresse a área de uma janela com o formato abaixo em função do raio x, dado o perímetro de 15 metros

ll

|x x

2

22222

2215

2152

1215

2

12

2

12

2

1

2152

1

1522

xx)x(a

xxxx))(x(xxxlx)x(a

))(x(l

xlxp

3)Expresse o volume de água contido no tanque abaixo em função da altura h

h 20

10

3

2hrv

Qual a relação entre r e h?

123

2

22010

3

2

hh

h

)h(vLogo

hr

hr

r

4)Num triângulo retângulo de lados 3,4,5 inscreve-se um retângulo conforme a figura abaixo.Qual a área deste retângulo em função de x ?

34

5

xy

h

a=x.y falta a relação entre x e y

xhy

x

h

yh

5

11

5

h3

4

5 50

25

12

5

12

51

5

12

5

12 2

,x

xxx

xah

h

Operações Gráficas com Funções

- Translação

y = f(x)

Imagem (vertical)

Argumento (horizontal)

C)x(f

C)x(f

)Cx(f

)( Cxf

- Mudanças de Escala

Imagem (vertical))x(f.Cy

)x(f.Cy

0<C<1

C > 1

)x(fy

Argumento (horizontal))x.C(fy

)x.C(fy

)x(fy

0<C<1

C > 1

Reflexão

Imagem (vertical)

)x(fy )x(fy

Argumento (horizontal)

)x(fy )x(fy

Exemplos:Obtenha as funções pedidas a partir da função base e indique que transformação foi realizada.

xydepartira

xy

xydepartira

xy

xydepartiraxy

xy

xydepartiraxy

11

2

1

1

12

1)3

2)2

5

5)1

Limites

limite de seqüências

transparências

A idéia de limites

Podemos dizer que :

Sem a idéia de limites não existiria cálculo.

O que é a velocidade instantânea?

É o limite das velocidades médias.

O que é declividade de uma curva?

É o limite das declividades das secantes.

O que é o comprimento de uma curva?

É o limite co comprimento dos polígonos inscritos

O que é a soma de uma série infinita?

É o limite das somas dos termos finitos

Qual a área sob uma região com uma curva?

É o limite das áreas das regiões limitadas pelas retas (ver figura)

Idéia de limites com E, S nas lâminas

Exemplos típicos laterais:

|a

Função não definida em a

af

axax

xflimxflim

ou

limlim

|a

eaf )(

|||||||||||

|||||||||

ax

bafxf

)()(lim

Limites laterais

......b

Usando a idéia de continuidadecontinuidade

Vemos que é possível calcular em todo domínio, quando polinômio, por exemplo,

xxx)x(p 23 23

0

0lim

x

xp 1

2

x

xplim

Exemplos gráficos:

2

1

x)x(f

4

822

x

xx)x(f )(f 4

)(xf )(xp

Usando MAPLE para determinar domínios

Vamos começar pela última função 532)( xxf

Usando o comando

Solve ; temos como solução Real Range ,

Real Range

0532 xabssqrt ,1

4,

Verifique o domínio de todas as funções que enfocamos e teste também algumas mais complicadas, como:

3

4

2

13log)(

2

x

x

x

xxf