Phase Field

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The phase-field method is briefly described. The phase-field equations are derived from both thermodynamic and kinetic arguments. The application to solidification is discussed.

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  • 1. 1 Modlisation des procds et des microstructures Modlisation en champde phaseValentin Chapuis 12.12.2008Laboratoire de simulation des matriaux - IMX-FSTI

2. 2 Plan Applications Champ de phase Dfinitions Modle thermodynamique Modliser la solidification Un modle simple : mtal pur Complexifications Anisotropie Alliages binaires AB Modle gomtrique Solidification dun alliage binaireLaboratoire de simulation des matriaux - IMX-FSTI 3. 3 Applications Solidification Transformations ltat solide Coalescence et croissance de grains Propagation de fissures Dynamique des dislocations Laboratoire de simulation des matriaux - IMX-FSTI 4. 4Champ de phase dfinitions (I) Modle qui traite une interface microscopiquement abrupte comme une zone diffuse immerge dans la zone de calcul , Beckermann and al., [2] Mthode qui utilise des arguments thermodynamiques et cintiques pour dcrire lvolution dune microstructure sans suivre linterface , L.Q. Chen, [1]Laboratoire de simulation des matriaux - IMX-FSTI 5. 5Champ de phase dfinitions (II) Mthode qui utilise une variable de phase, fonction du temps et de lespace, pour dcrire ltat du matriau. Le comportement de cette variable est gouverne par une quation couple aux quations de conservations traditionnelles , W.J. Boettinger and al., [3] Mthode qui dcris une microstructure (i.e. les domaines et les interfaces) comme un tout en untilisant une ou plusieurs variables de champ , L.Q. Chen, [1]Laboratoire de simulation des matriaux - IMX-FSTI 6. 6Variable de phase (I) Dcrit localement ltat du matriau (phase, paramtre dordre, orientation, ) Varie dune manire rapide mais continue sur les interfacesBoettinger et al., [3] xLaboratoire de simulation des matriaux - IMX-FSTI 7. 7 Variable de phase (II) Boettinger et al., [3]Laboratoire de simulation des matriaux - IMX-FSTI 8. 8 Modle thermodynamique Lvolution dune microstructure mne toujours une augmentation de lentropie totale du systme S, donc une diminution de lnergie libre totale F U TS, qui peut contenir plusieurs contributions (interfaces, dformation lastique, magntisation, ) On cherche la valeur de qui localement permet de diminuer/minimiser lnergie libre F, sous laction dun champ externe appliqu (temprature, champ lectrique, contrainte,) Laboratoire de simulation des matriaux - IMX-FSTI 9. 9 Energie libre totale Considrons le cas (simple) dune variable de champ unique voluant sous leffet des champs de temprature et de concentration. 2222cFf ( , c, T )c V 22 f(,c,T) = nergie libre locale = coefficient de gradientLaboratoire de simulation des matriaux - IMX-FSTI 10. 10 Fonction dnergie libre locale (I) Le choix de f est arbitraire et dpend du phnomne modliser, mais toujours une fonction contenantplusieurs tats dquilibre spars par une barrirednergie Dynamique des dislocations : f( ) f sin 2 ( ) Dcomposition dune phase:1214f( ) 4 f2 4 Croissance de grains :12 1 4 2 2 f ( 1, 2 ,...)4 fi i ij2 i4i i j iLaboratoire de simulation des matriaux -IMX-FSTI 11. 11 Fonction dnergie libre locale (II) Solidification (0=solide, 1=liquide) Beaucoup de fonctions diffrentes, dpendantes dutype de solidification Souvent, deux contributions principales Fonction double-well g() Diffrencie les phases Fonction dinterpolation p() Effet dun champ appliqu f ( , v) W g ( ) p( ) G (v ) Exemple: compos pur22 15 2 31 5 f ( ,T )4 f(1 ) T Tm8 35 G f (1, T ) f (0, T )T TmLaboratoire de simulation des matriaux - IMX-FSTI 12. 12 Fonction dnergie libre locale (III) Formes de la fonction double puits g() et dela fonction dinterpolation p() Boettinger et al., [3] Laboratoire de simulation des matriaux - IMX-FSTI 13. 13 Equations de champ de phase Situations non-stationnaires Si les coefficients de gradient sont constant Allen-CahnCahn-Hilliard p ( r , t)Fci ( r , t )FL pqM ij t( r , t)tc j ( r , t)q f2 2c f2 2MM c c(1 c)(c c)tt c Laboratoire de simulation des matriaux -IMX-FSTI 14. 14 Solidification dun mtal pur (I) 1. Dfinir la fonction dnergie libre locale Tm TBoettinger and al., [3] f ( ,T ) W g( ) Lp( ) Tm22g( )(1 )32 p( ) (6 1510) 2. Introduire f dans lquation de Allen-Cahn 2 22W30M L 2 M 2(1 )(1 2 ) (TmT) (1)2 tTmLaboratoire de simulation des matriaux -IMX-FSTI 15. 15Solidification dun mtal pur (II) LTm TGG L (T ) G S (T ) L T L TmTm -SL GL(T) G L (T ) S LT HLGS(T) G S (T ) SSTHS-SSL SLSS SF TmHL HS HFL TTmLaboratoire de simulation des matriaux - IMX-FSTI 16. 16Solidification dun compos pur (III)3. Lier les paramtres W, , M aux paramtres physiquesTmW3M6 6 L = paisseur de linterface = nergie interfaciale solide-liquide L = chaleur latente de fusion = coefficient cintiqueLaboratoire de simulation des matriaux - IMX-FSTI 17. 17 Anisotropie (I) Les nergies dinterface sont gnralementanisotropiques et cela peut avoir un effetimportant sur la morphologie de croissance dela structure considre Le coefficient devient une fonction delangle entre la normale linterface et laxex (cas 2D), dfini par: x =0/ yn tan( )=1 / x y Laboratoire de simulation des matriaux -IMX-FSTI 18. 18 Anisotropie (II) Lnergie libre F devient alors22 1 21 2 Ff ( , c, T ) cc ( )v 22 Ce qui mne une formulation plus complexe desquations de Allen-Cahn et Cahn-Hilliard, puisque lecoefficient est maintenant fonction de la variablede phaseAnisotropie cubiquelors de la solidificationde Ni pur. Chen, [1]Laboratoire de simulation des matriaux - IMX-FSTI 19. 19Alliage binaire ABConstruction de f(,c,T)1. Construire une fonction qui dcris la fois le liquide et le solide du compos i fi ( ,T ) (1 p( )) f i s (T ) p( )) f i l (T ) Wi g ( ) 2. Construire la fonction qui reprsente une solution (ici rgulire AA BB AB) des composs en prsence f ( , c, T ) (1 c) f A ( , T ) cf B ( , T ) RT (1 c) ln(1 c) c ln( c) c(1 c)S (1 p( ))L p( ) AABB AB 2 Laboratoire de simulation des matriaux -IMX-FSTI 20. 20 Modle gomtrique (I) Considrons une variable de phase (x,y,z,t).Linterface est alors reprsent par unevaleur constante de (p. ex. 0.5). Sa normale est donne parn Et sa courbure1 2 n Laboratoire de simulation des matriaux - IMX-FSTI 21. 21Modle gomtrique (II) La description de linterface liquide-solide estdonne par lquation de Gibbs-Thomson Alliage binaire, nergie de surface isotrope vnk TmmL c LT k T TmSF L La vitesse normale linterface est donne par 1vntLaboratoire de simulation des matriaux - IMX-FSTI 22. 22 Modle gomtrique (III) On substitue vn et pour obtenir 2vn k k Tt Cette quation ne donne pas de solutionunique, il est ncessaire de spcifier un profiltype Laboratoire de simulation des matriaux - IMX-FSTI 23. 23Modle gomtrique (IV) En utilisant un potentiel en double puits pour ladrivation du modle, on dfinit la variation de dans la direction perpendiculaire linterfacen comme:10.90.80.70.6 1 n 1 tanh0.5220.40.30.20.1 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 45 n2Laboratoire de simulation des matriaux - IMX-FSTI 24. 24Modle gomtrique (IV) On obtient alors les relations suivantes (1) n2(1 )(1 2 )n2 2 En substituant dans lquation de phase2(1)(1 2 )(1 )k2 k Tt Laboratoire de simulation des matriaux -IMX-FSTI 25. 25 Modle gomtrique (V) Lquation de variation de la concentration estobtenue par loi de mlange de la loi de Fick c(1 ) DS cSDLcLt Les concentrations du liquide et du solide sontexprimes en fonction de la concentrationnominalec kccL cSk (1)k (1 )Laboratoire de simulation des matriaux - IMX-FSTI 26. 26 Rfrences1) Phase-field models for microstructure evolution, L.-Q. Chen, Annu. Rev. Mater. Res. 2002, 32, pp.113-140 2) Modeling Melt Convection in Phase-Field Simulations of Solidification, C. Beckermann and al., Journal of Computational Physics 1999, 154, pp.468-496 3) Phase-Field Simulation of Solidification, W.J. Boettinger and al., Annu. Rev. Mater. Res. 2002, 32, pp.163-194Laboratoire de simulation des matriaux - IMX-FSTI