Physical Properties

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ว30202 สมบตเชงกลของสาร โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

สาขาวชาฟสกส โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

1

สมบตเชงกลของสาร

ภาพสะพานทเหนคงเปนทคนตาของนกเรยนหลายคนเพราะหากเดนทางโดยรถยนตจากกรงเทพมหา -นครสโรงเรยนมหดลวทยานสรณ แนนอนวานกเรยนตองเหนสะพานพระรามแปดททอดยาวขามแมนาเจาพระยา ซงนบเปนสถาปตยกรรมทมความงดงามอกแหงหนงของประเทศไทยเลยทเดยว กอนจะเกดความงดงามเชนน วศวกรตองใชความรเกยวกบสมบตเชงกลของวสดทจะนามาเปนโครงสราง เพอใหไดสะพานคงทนแขงแรงสามารถรองรบนาหนกของรถทแลนผาน รวมไปถงตว

สะพานเอง ยงไมรวมถงการสกหรอหรอเสอมสภาพจากปจจยอนๆ ในบทเรยนนนกเรยนจะไดศกษาสมบตเชงกลของของแขง รวมไปถงของเหลวซงจะกลาวถงในภายหลง เพอเปนพนฐานความรใชในการอธบายสมบตตางๆของสงทนกเรยนพบเหนในชวตประจาวน และเปนพนฐานสาหรบการศกษาดานวสดศาสตรในระดบทสงขน

คณสมบตเชงกลของวสด เชน ความแขง (Hardness) ความแขงแรง (Strength) ความเหนยว (Ductility) ฯลฯ เปนสงทจะบอกวาวสดนนๆ สามารถทจะรบหรอทนทานแรง หรอพลงงานเชงกลภายนอกทมากระทาไดดมากนอยเพยงใด ในงานวศวกรรมคณสมบตเชงกลมความสาคญมากทสด เพราะเมอเราจะเลอกใชวสดใดๆ กตาม สงแรกทจะนามาพจารณากคอ คณสมบตเชงกลของมน การทเครองจกรหรออปกรณใดๆ จะสามารถทางานไดอยางปลอดภยขนอยกบคณสมบตเชงกลของวสดทใชทาเครองจกร อปกรณนนๆ เปนสาคญ สถานะของสาร

จากความรเดม เราทราบวาสถานะของสาร ม 3 สถานะ คอ ของแขง ของเหลว และแกส สารทมสถานะเปนของเหลวหรอแกสบางทเรยกรวมกนวาของไหลเพราะสารทงสองสถานะสามารถไหลได

1. ของแขง เปนสถานะทมรปรางและปรมาตรคงทในอณหภมปกต มรปทรงตางๆเชน กอนหน ไม ยาง ดนสอ เทยนไข และเหลก เปนตน

2. ของเหลว เปนสถานะทมรปรางไมคงทแนนอนในอณหภมปกต จะเปลยนตามภาชนะทบรรจอย แตมปรมาตรคงท เชน นา นามน ปรอท แอลกอฮอล เปนตน

3. แกส เปนสถานะทมรปรางและปรมาตรไมคงทแนนอนในอณหภมปกต มการเปลยนแปลงอยเสมอ รปรางและปรมาตรจะเหมอนกบรปรางภาชนะทบรรจ เชนแกส



2

ในทนจะขอกลาวถงคณสมบตเชงกลของสารในสถานะของแขง สวนของเหลวจะกลาวถงในลาดบตอไป 1. ความเคน (Stress)

ความเคนหมายถง แรงตานทานภายในเนอวสดทมตอแรงภายนอกทมากระทาตอหนงหนวยพนท แตเนองจากความไมเหมาะสมทางปฏบต และความยากในการวดหาคาน เราจงมกจะพดถงความเคนในรปของแรงภายนอกทมากระทาตอหนงหนวยพนท ดวยเหตผลทวา แรงกระทาภายนอกมความสมดลกบแรงตานทานภายใน

รปท 1 แรงภายนอกและแรงภายในทกระทาตอวตถ

รปท 2 แรงเคนปกตและแรงเคนเฉอน

พจารณาพนทหนาตดดงรปท 1 ซงถกแบงออกเปนพนทเลก ๆ พจารณา ซงแสดงในรปท 2 พบวามแรง กระทาบนพนท แรงนเกดจากแรงองคประกอบสองทศทาง

คอ และ ซงเกดในแนวตงฉาก(Normal) และในแนวขนาน(Tangent ) ถา เปนพนทเลกๆเขาใกลศนย แรง มขนาดเลกมาก ผลหารของแรงภายในตอพนทเลกๆนเรยกวา ความเคน (Stress) ซงหมายถง ความเขมของแรงภายในบนพนททแรงกระทาหรอแรงลพธภายในตอพนทหนาตดทแรงกระทา โดยความเคนแบงออกเปน 2 ประเภท ดงน 1. 1 ความเคนปกต (Normal Stress) ความเคนปกตเปนความเขมของแรง หรอแรงภายในตอหนวยพนท แรงภายในนนตองกระทาตงไดฉากกบพนท ใชสญลกษณ คอ ( Sigma ) สาหรบพนใดๆเมอ

0ΔA → จะไดวา

dAdF

σ n=

โดยกาหนดให หมายถง ความเคน (Stress) มหนวยเปนปาสกาล (Pa,

1 Pa = 1N/m2) หรอ kgf/mm2 หรอ psi (lbf/in2) F หมายถง แรงภายนอกทมากระทา มหนวยเปน N หรอ kgf หรอ lbf A หมายถง พนทภาคตดขวางทแรงกระทา : m2 หรอ mm2



3

ความเคนปกตเฉลย วตถทมรปแบบสมาเสมอ คงทตลอด เมอมแรงกระทาในแนวแกนทางดานปลายทงสองของวตถ ไม

วาจะเปนวตถทแขวนอย (Hanger)หรอมการมดรวมกนอย (Truss Member) หรอยดดวยโบลท วตถเหลานจะเกดความเคนเฉลยกระจายทวทงพนทหนาตดตลอดแนวแกนของวตถ สาหรบการวเคราะห ภาระภายในบนภาคตด ขวางจะพจารณาพนทหนาตดของวตถทตงฉากกบแรง ถาไมคดนาหนกของวตถจะไดดงรปท การสมดลของสวนวตถทถกตดจะเกดแรงลพธภายใน (Internal Result Force) ทกระทาบนภาคตดขวาง(Cross Section)จะมคาสมดลเทากบขนาดของแรงภายนอกทมากระทา

รปท 3 แรงภายนอกและแรงภายในทกระทาตอวตถ

รปท 4 แสดงแรงภายในทเกดขนบนหนาตด

หากตดวตถใหมรปแบบคงทจะเกดความเคนปกตคงท ( Constant Normal Stress ) กระจายอยอยางสมาเสมอตลอดพนทหนาตดของวตถ เนองจากแตละพนท บนพนทสมาเสมอหนาตดนจะมแรงกระทา σΔAΔF = และผลรวมของแรงบนพนทเลก ๆ เหลานจะมคาเทากบแรง F ซงเปนผลลพธของแรงภายใน ถาเราพจารณาพนทเลกมากๆ โดยหนดให dAΔA = และ dFΔF = และคาความเคน คงท จะไดดงน

ดงนน σAF = เมอกาหนดให หมายถง ความเคนเฉลย ณ จดทกจดบนพนทหนาตด F หมายถง ผลลพธของแรงปกตภายใน ซงแรงนจะผานจดศนยถวงของวตถในแนวแกนทแรงกระทาบนพนทหนาตด A หมายถง พนทหนาตดของวตถทแรงลพธกระทาเพอทจะใหคงไวซงการเปลยนแปลงรปแบบอยางสมาเสมอ ของวตถ

แรงภายใน Internal Force

พนทหนาตด cross section area

แรงภายนอก External Force

F

F

F

F

F

F F F F F

A



4

1.2 ความเคนเฉอน ( Shear Stress ) ความเคนเฉอน ใชสญลกษณคอ τ เกดขนเมอมแรงมากระทาใหทศทางขนานกบพนทภาคตดขวางดงรป

ท 2 แรงเฉอน tFΔ กระทาในแนวขนานบนพนทเลกๆ ΔA ทาใหเกดความเคนเฉอนบนพนทหนาตด สาหรบพนใดๆเมอ 0ΔA → จะไดวา

dAdF

AΔFlimτ tt

0ΔA==

→

dAdFτ t=

รปท 5 รปแสดงแรงกระทาททาใหความเคนปกตและความเคนเฉอน

ในกรณวตถมคณสมบตสมาเสมอมดงรปท 5 ความเคนเฉอนจะมคาเทากนในทกๆจดบนระนาบเดยวกน

เทากบความเคนเฉอนเฉลย โดยมคาเทากบแรงเฉอน (Shear Force) หารดวยพนทภาคตดขวาง A ซงขนานกบทศทางของแรงเฉอน ดงน

∫∫∫ ==

=

At

t

dAττdAdF

τdAdF

จะได τAFt = เมอ τ หมายถง ความเคนเฉอนเฉลย ณ จดทกจดบนพนทหนาตด

tF หมายถง ผลลพธของแรงเฉอนภายใน ซงแรงนมคาเทากบแรงเฉอนภายนอกทกระทาตอวตถ A หมายถง พนทหนาตดของวตถทมระนาบขนานกบแนวของแรงเฉอนทกระทา ในทางปฏบตความเคนทเกดจะมทงความเคนอดหรอดง และความเคนเฉอนพรอมๆกนกนดงรปท 5 สวนในกรณทเกดความเคนเฉอนอยางเดยวเชนกรณทมแรงภายนอกพยายามดงวตถใหเลอนออกจากกน ความเคนเฉอนจะมคาเทากบ อตราสวนระหวางแรงเฉอนตอพนททมระนาบขนานกบแรงเฉอนนนดงรปท 6 A

รปท 6 แสดงการเคลอนผานกนของวตถเมอไดรบความเคนเฉอน

Fn F Ft

F F

F F

จากรปจะได F/Aτ =

A



5

2. ความเครยดกบการเปลยนแปลงรปราง ( Strain ) ความเครยด (Strain) คอ การเปลยนแปลงรปรางของวสด (Deformation) เมอมแรงภายนอกมากระทา (เกดความเคน) การเปลยนรปของวสดนเปนผลมาจากการเคลอนทภายในเนอวสด ซงลกษณะของมนสามารถแบงเปน 2 ชนดใหญ ๆ คอ

1. การเปลยนรปแบบอลาสตกหรอความเครยดแบบคนรป (Elastic Deformation or Elastic Strain) เปนการเปลยนรปในลกษณะทเมอปลดแรงกระทา อะตอมซงเคลอนไหวเนองจากผลของความเคนจะเคลอนกลบเขาตาแหนงเดม ทาใหวสดคงรปรางเดมไวได ตวอยางไดแก พวกยางยด, สปรง ถาเราดงมนแลวปลอยมนจะกลบไปมขนาดเทาเดม

2. การเปลยนรปแบบพลาสตกหรอความเครยดแบบคงรป (Plastic Deformation or Plastic Strain) เปนการเปลยนรปทถงแมวาจะปลดแรงกระทานนออกแลววสดกยงคงรปรางตามทถกเปลยนไปนน โดยอะตอมทเคลอนทไปแลวจะไมกลบไปตาแหนงเดม

วสดทกชนดจะมพฤตกรรมการเปลยนรปทงสองชนดนขนอยกบแรงทมากระทา หรอความเคนวามมากนอยเพยงใด หากไมเกนพกดการคนรป (Elastic Limit) แลว วสดนนกจะมพฤตกรรมคนรปแบบอลาสตก (Elastic Behavior) แตถาความเคนเกนกวาพกดการคนรปแลววสดกจะเกดการเปลยนรปแบบถาวรหรอแบบพลาสตก (Plastic Deformation) นอกจากความเครยดทง 2 ชนดนแลว ยงมความเครยดอกประเภทหนงซงพบในวสดประเภทโพลเมอร เชน พลาสตก เรยกวาความเครยดกงอลาสตกจะมลกษณะทเมอปราศจากแรงกระทาวสดจะมการคนรป แตจะไมกลบไปจนมลกษณะเหมอนเดม การวดและคานวณหาคาความเครยดมอย 2 ลกษณะคอ

2.1 ความเครยดตามยาวหรอความเครยดเชงเสน (Linear Strain) สญลกษณ คอ ε จะเกดขนเมอแรงทมากระทามลกษณะเปนแรงดงหรอแรงกด คาของความเครยดจะเทากบความยาวทเปลยนไปตอความยาวเดม อยางไรกตามโดยทวไปคาความเครยดเชงเสนนจะขนอยกบตาแหนงของวสด และอาจคานวณไดโดยการพจารณาการยดตวของชนสวน dL เลกๆ ณ ตาแหนงนนๆ

รปท 7 แสดงการยดของชนสวน dL ใดๆในวตถเมอไดรบความความเคนดง

ความเครยดเชงเสน ณ ตาแหนงใดๆ เปนไปตามสมการ

จากรปชนสวน dL มความเครยดเทากบ

เมอ δd คอความยาวทเปลยนแปลงไปจากเดมของชนสวน dL

dLd dL δ+

ddLδε =

ddLδε =



6

ถาหากชนสวนทรบแรงดงมพนทหนาตดคงทตลอดความยาว มคณสมบตเปนเนอเดยวกนตลอด และแรงดงกระทาผานจดศนยถวงของหนาตด ความเครยดตามยาวทเกดขนจะมคาคงท มคาเทากบความเครยดเฉลย ดงน

รปท 8 ความเครยดตามยาวเฉลย

วตถมความยาวเดมเปน L0 และมความยาวเปลยนไปจากเดม เปน 0LL −=δ เมอไดรบความเคน ความเครยดเฉลยมคาเทากบ

0Lδε =

2.2 ความเครยดเฉอน ความเครยดเฉอน (Shear Strain) ใชกบกรณทแรงทกระทามลกษณะเปนแรงเฉอน (τ ) ดงรป คาของ

ความเครยดจะเทากบระยะทเคลอนทไปตอระยะหางระหวางระนาบ ดงสมการ

γ =ah

รปท 9 ความเครยดเฉอน

เมอ γ = θθ ≈tan (หนวย radian ในกรณทเปนมมเลกๆ) a = ระยะทเคลอนไป (displacement ) h = ระยะหางระหวางระนาบ θ = มมทเปลยนไป

จะเหนไดวาคาของความเครยดทงสองแบบไมมหนวย เพราะตวตงและตวหารมหนวยเปนความยาวอยแลว 3. ความสมพนธระหวางความเคนกบความเครยด (Stress-Strain Relationship) ในการแสดงความสมพนธระหวางความเคนและความเครยด ในทนเราจะใชเสนโคงความเคน-ความเครยด (Stress-Strain Curve) ซงไดจากการทดสอบแรงดง (Tensile Test) เปนหลก โดยจะพลอตคาของความเคนในแกนตงและความเครยดในแกนนอน ดงรปท 10 การทดสอบแรงดงนอกจากจะใหความสมพนธระหวางความเคน-ความเครยดแลว ยงจะแสดงความสามารถในการรบแรงดงของวสด ความเปราะ เหนยวของวสด (Brittleness

F F



7

and Ductility) และบางครงอาจใชบอกความสามารถในการขนรปของวสด (Formability) ไดอกดวย

รปท 10 เสนโคงความเคน-ความเครยด (Stress-Strain Curve) แบบมจดคราก (Yield Point)

การทดสอบแรงดง (Tension Test) วธการทดสอบนน เราจะนาตวอยางทจะทดสอบมาดงอยางชา ๆ แลวบนทกคาของความเคนและความเครยดทเกดขนไว แลวมาพลอตเปนเสนโคงดงรปท 10 ขนาดและรปรางของชนทดสอบมตาง ๆ กน ขนอยกบชนดของวสดนน ๆ มาตรฐานตาง ๆ ของการทดสอบ เชน มาตรฐานของ ASTM (American Society of Testing and Materials), BS (British Standards), JIS (Japanese Industrial Standards) หรอแมแต มอก. (มาตรฐานผลตภณฑอตสาหกรรมไทย) ไดกาหนดขนาดและรปรางของชนทดสอบไว ทงนเพอใหผลของการทดสอบเชอถอได พรอมกบกาหนดความเรวในการเพมแรงกระทาเอาไวดวย จากการศกษาเสนโคงความเคน-ความเครยด เราพบวา เมอเราเรมดงชนทดสอบอยางชา ๆ ชนทดสอบจะคอย ๆ ยดออก จนถงจดจดหนง (จด A) ซงในชวงนความสมพนธระหวางความเคน-ความเครยดจะเปนสดสวนคงท ทาใหเราไดกราฟทเปนเสนตรง ตามกฎของฮค (Hook's law) ซงกลาววาความเคนเปนสดสวนโดยตรงกบความเครยด จด A น เรยกวาพกดสดสวน (Proportional Limit) และภายใตพกดสดสวนน วสดจะแสดงพฤตกรรมการคนรปแบบอลาสตก (Elastic Behavior) นนคอเมอปลอยแรงกระทา ชนทดสอบจะกลบไปมขนาดเทาเดม เมอเราเพมแรงกระทาตอไปจนเกนพกดสดสวน เสนกราฟจะคอย ๆ โคงออกจากเสนตรง วสดหลายชนดจะยงคงแสดงพฤตกรรมการคนรปไดอกเลกนอยจนถงจด ๆ หนง (จด B) เรยกวา พกดยดหยน (Elastic limit) ซงจดนจะเปนจดกาหนดวาความเคนสงสดทจะไมทาใหเกดการแปรรปถาวร (Permanent Deformation or Offset) กบวสด



8

นน เมอผานจดนไปแลววสดจะมการเปลยนรปอยางถาวร (Plastic Deformation) ลกษณะการเรมตนของความเครยดแบบพลาสตกนเปลยนแปลงไปตามชนดของวสดในโลหะหลายชนด เชน พวกเหลกกลาคารบอนตา (Low Carbon Steel) จะเกดการเปลยนรปอยางรวดเรว โดยไมมการเพมความเคน (บางครงอาจจะลดลงกม) ทจด C

ซงเปนจดทเกดการเปลยนรปแบบพลาสตก จด C นเรยกวาจดคราก (Yield Point) และคาของความเคนทจดน

เรยกวา ความเคนจดคราก (Yield Stress) หรอ Yield Strength คา Yield Strength นมประโยชนกบวศวกรมาก เพราะเปนจดแบงระหวางพฤตกรรมการคนรปกบพฤตกรรมการคงรป และในกรณของโลหะจะเปนคาความแขงแรงสงสดทเราคงใชประโยชนไดโดยไมเกดการเสยหาย วสดหลายชนดเชน อะลมเนยม ทองแดง จะไมแสดงจดครากอยางชดเจน แตเรากมวธทจะหาไดโดยกาหนดความเครยดท 0.10 - 0.20% ของความยาวกาหนดเดม (Original Gage Length) แลวลากเสนขนานกบกราฟชวงแรกไปจนตดเสนกราฟทโคงไปทางดานขวา ดงรปท 11 คาความเคนทจดตดนจะนามาใชแทนคาความเคนจดครากได ความเคนทจดนบางครงเรยกวา ความเคนพสจน (Proof Stress) หรอความเคน 0.1 หรอ 0.2% offset ดงแสดงในรปท 11

ความเคน ความเครยดพสจน

ความเครยด

รปท 11 เสนโคงความเคน-ความเครยดแบบทไมมจดคราก

หลงจากจดครากแลว วสดจะเปลยนรปแบบพลาสตกโดยความเคนจะคอย ๆ เพมอยางชา ๆ หรออาจจะคงทจนถงจดสงสด (จด D) คาความเคนทจดนเรยกวา Ultimate Strength หรอความเคนแรงดง (Tensile Strength) ซงเปนคาความเคนสงสดทวสดจะทนไดกอนทจะขาดหรอแตกออกจากกน (Fracture) เนองจากวสดหลายชนดสามารถเปลยนรปอยางพลาสตกไดมาก ๆ คาความเคนสงสดนสามารถนามาคานวณใชงานได นอกจากน คานยงใชเปนดชนเปรยบเทยบคณสมบตของวสดไดดวยวา คาวา ความแขงแรง (Strength) ของวสด หรอ กาลงวสดนน โดยทวไป จะหมายถงคาความเคนสงสดทวสดทนไดนเอง

0.1 – 0.2 %



9

ทจดสดทาย (จด E) ของกราฟ เปนจดทวสดเกดการแตกหรอขาดออกจากกน (Fracture) สาหรบโลหะบางชนด เชน เหลกกลาคารบอนตาหรอโลหะเหนยว คาความเคนประลย (Rupture Strength) นจะตากวาความเคนสงสด เพราะเมอเลยจด D ไป พนทภาคตดขวางของตวอยางทดสอบลดลง ทาใหพนทจะตานทานแรงดงลดลงดวย ในขณะทเรายงคงคานวณคาของความเคนจากพนทหนาตดเดมของวสดกอนทจะทาการทดสอบแรงดง ดงนนคาของความเคนจงลดลง สวนโลหะอน ๆ เชน โลหะทผานการขนรปเยน (Cold Work) มาแลว มนจะแตกหกทจดความเคนสงสด โดยไมมการลดขนาดพนทภาคตดขวาง ดงรป 12 a ทานองเดยวกบพวกวสดเปราะ (Brittle Materials) เชน เซรามค ทมการเปลยนรปอยางพลาสตกนอยมากหรอไมมเลย สวนกรณของวสดทเปนพลาสตกจะเกดแตกหกโดยทตองการความเคนสงขน ดงรป 12 b

รปท 12 เปรยบเทยบเสนโคงความเคน-ความเครยดของวสดเปราะและวสดพลาสตก เสนโคงความเคน-ความเครยดน นอกจากจะใชบอกคาความแขงแรง ณ จดคราก (Yield Strength) ความเคนสงสดและความเคนประลยแลว ยงจะใชบอกคาตาง ๆ ไดอกดงน คอ

3.1 ความเหนยว (Ductility) คาทใชวดจะบอกเปนเปอรเซนต การยดตว (Percentage Elongation) และการลดพนทภาคตดขวาง (Reduction of Area) ในทางปฏบตเรามกใชคา %El มากกวาเพราะสะดวกในการวด ความเหนยวของวสดนจะเปนตวบอกความสามารถในการขนรปของมน คอถาวสดมความเหนยวด (%El สง) กสามารถนาไปขนรป เชน รด ตขนรป ดงเปนลวด ฯลฯ ไดงาย แตถามความเหนยวตา (เปราะ , Brittle) กจะนาไปขนรปยาก หรอทาไมได เปนตน 3.2. Modulus of Elasticity or Stiffness ภายใตพกดสดสวนซงวสดมพฤตกรรมเปนอลาสตก อตราสวนระหวางความเคนตอความเครยดจะเทากบคาคงท คาคงทนเรยกวา Modulus of elasticity (E) หรอ Young's

ความเคน ความเครยด

12 a วสดเปราะ

ความเคน ความเครยด

12 b วสดพลาสตก



10

Modulus หรอ Stiffness มกมหนวยเปน ksi (1 ksi=1000 psi) หรอ kgf/mm2 หรอ GPa ถาแรงทมากระทาเปนแรงเฉอนเราเรยกคาคงทนวา Shear Modulus หรอ Modulus of Rigidity (G) คา E และ G ของวสดแตละชนดจะมคาเฉลยคงท และเปนตวบอกความสามารถคงรป (Stiffness, Rigidity) ของวสด นนคอ ถา E และ G มคาสง วสดจะเปลยนรปอยางอลาสตกไดนอย แตถา E และ G ตา มนกจะเปลยนรปอยางอลาสตกไดมาก คา E และ G นมประโยชนมากสาหรบงานออกแบบวสดทตองรบแรงตาง ๆ ตารางท 1 จะแสดงตวอยางคา E ของวสด ตางๆ

ตารางท 1 ตวอยางคามอดลสของยงสาหรบวสดบางชนด

วสด มอดลสของยง , E ( x 1011 N/m2 )

ตะกว 0.16

แกว 0.55

อลมเนยม 0.70

ทองเหลอง 0.91

ทองแดง 1.1

เหลก 1.9

เหลกกลา 2.0

ทงสเตน 3.6 การคานวณหาคามอดลสของยง คามอดลสของยง คออตราสวนระหวางความเคนตอความเครยด มความสมพนธตามสมการ

εσ

=E เมอแทนคาความเคนและความเครยด จะไดวา

0Ll

AF

EΔ

=

δ

0LAFE ⋅=

เมอ E หมายถง คามอดลสของยง ( Young’s Modulus ) มหนวยเปน N/m2

F หมายถง แรงเคน มหนวยเปน N A หมายถง พนทหนาตด มหนวยเปน m2 L0 และ δ หมายถง ความยาวของวตถเดมและความยาวทเปลยนแปลงตามลาดบมหนวยเปน m



11

*** การคานวณระยะยดกรณทวตถมพนทหนาตดไมสมาเสมอ

กรณทวตถมพนทหนาตดไมสมาเสมอ เราจะพจารณาจากสวนเลกๆในวตถทมความยาว dL เมอไดรบ

แรงเคนตามยาวดงรปทาใหวตถยดออกโดยแตละสวน dL เลกๆ จะยดออกเปนระยะ δd ตางๆกนขนอยกบพนทหนาตดของชนสวน dL ดงนนในการหาระยะยดทงหมดของวตถ จงตองอาศยการอนทเกรตตลอดความยาวของวสด กรณออกแรงเคนกระทาตอวตถ และวตถยงคงมสภาพยดหยนเปนไปตามกฎของฮก จะสามารถคานวณหาระยะยดทงหมดของวสด(δ ) ไดดงน จากนยามของความเครยด จะไดวา dLd εδ =

เมอแทนคาจากนยามของความเคน εσ

=E

จะได ดงนนความยาวทยดออกทงหมด

ในกรณท F และ A คงท จะไดวา AEFL

=δ

ตวอยางการคานวณเรองสมบตเชงกลของของแขง ตวอยาง 1 ลวดทองแดงเสนหนงยาว 4 เมตร มพนทภาคตดขวาง 1 x 10-8ตารางเมตร มคายงมอดลสเปน 1.1 x 1011

นวตนตอตารางเมตร จะตองออกแรงดงเทาใดจงจะทาใหลวดเสนนยดออกอก 1 มลลเมตร

แนวคด หาแรงทใชในการดงลวดจาก δ

0LAFE ⋅= จะได

0LEAF δ⋅⋅

=

จากโจทย L0= 4 m , A = 1 x 10-8 m2 , E = 1.1 x 1011 N/m2 , δ = 1 x 10-3 m

แทนคา Nm

mxNmxmxF 275.0)(4

)(101)(101.1)(101 321128

=⋅⋅

=−−−

ตอบ 0.275 นวตน

dL

d dL δ+

ddLδε =

dd LE

σδ =

∫∫ ==LL

dLAEFdL

Eσδ



12

ตวอยางท 2 สายเคเบลเหลกมพนทภาคตดขวาง 3.0 x 10-4 ตารางเมตร ผกตดกบลฟทซงหนก 8000 นวตน ถาใน การใชลฟทกาหนดใหความเคนทกระทากบสายเคเบลมคาไมเกน 0.25 ของขอบเขตความยดหยน จงหาคาความเรงสงสดในการเคลอนทขนของลฟท ถาสายเคเบลเหลกมคาขอบเขตความยดหยน 2.8 x 108 นวตนตอตามรางเมตร แนวคด เขยนแรงทเกดขนกบตวลฟท F 800 x 9.8 N ตอบ ลฟทเคลอนทดวยความเรงสงสดไดไม เกน 16.45 เมตร/วนาท2

จาก AF

=σ หรอ AF σ=

แทนคา F = 0.25 x 2.8 x 108x 3.0 x 10-4 N F = 2.1 x 104 N หาคาความเรงจาก ∑ = maF แทนคา

216.45m/sa800

13,160a

800a7,84021,000a800F

=

=

=−⋅=− )8.9800( x

ตวอยางท 3 ลวดเหลกดงลฟทมความเคนทขดจากดความยดหยนเทากบ 2 x 108 นวตนตอตารางเมตร และม

พนทหนาตด 2.0 x 10-4 เมตร2 ถาลฟทมสมภาระมวล 2,000 กโลกรม ลฟทนสามารถเคลอนทดวยความเรงสงสดเทาใด ลวดจงจะไมยดเกนขดจากด กาหนดคา g = 9.8 m/s2 ( 10.2 เมตร/วนาท2 )

m=800 kg



13

ตวอยางท 4 ลวดทาดวยโลหะตางชนดกนสองเสนยาวเทากน มพนทหนาตดเปน 0.1 และ 0.18 ตารางเซนตเมตร เมอดงลวดทงสองดวยแรงเทากน มนจะยดออกยาวเทากบ 0.3 และ 0.2 เซนตเมตร ตามลาดบ จงหาอตราสวนของมอดลสของยงของลวดเสนทหนง ตอมอดลลสของยงของลวดเสนทสอง ( 6/5 )

ตวอยางท 5 ลกตมมมวล 20 กโลกรม สายแขวนลกตมเปนลวดเหลกยาว 10 เมตร มพนทภาคตดขวาง 5 x 10-6 ตา

รางแมตร ปลอยใหลกตมแกวงเปนมมกวาง โดยมอตราเรวทจดตาสด 10 เมตร/วนาท ความยาวของเสนลวดทยดเพมขนจากเมอแขวนอยนงมคาเทาใด ใหมอดลสยงของเหลกมคาเทากบ 20 x 1010 นวตน/ตารางเมตร ( 2 x 10-3 m )



14

ตวอยางท 6 จงคานวณหาระยะยดของวตถเนองจากแรงภายนอกขนาด 100 กโลนวตน ทกระทาทปลายทงสองดานของแผนวตถหนา 20 มลลเมตร ยาว 10 เมตร โดยมความของปลายสองดานไมเทากน ดานหนงกวาง 40 มลลเมตร และปลายอกดานหนงกวาง 120 มลลเมตร ดงแสดงในรป เมอวตถมคามอดลสของยงเปน 200 จกะพาสคล

กาหนด ∫ = xdx

xln1 และ dxxu

dxdxdu ⋅= )()(

แนวคด เนองจากวตถมพนทหนาตดไมสมาเสมอจงหาความยาวทเปลยนแปลงโดยการอนทเกรต

จาก ∫∫ ==LL

dLAEFdL

Eσδ และ A = xy

…………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………..

หนา 20 มลลเมตร กวาง 40 มลลเมตร

x dx

10 เมตร

y F = 100 กโลพาสคล

y

กวาง 120 มลลเมตร

F = 100 กโลพาสคล x

Technology

Physical Properties