PENGANTAR TEORIPROBABILITAS

1

Kosa kata Teori Probabilitas

PercobaanSuatu kegiatan yang belum diketahui hasilnya dengan

pasti untuk pengamatan statistika Ruang sampel

himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan statistika

setiap kemungkinan yang dapat terjadi disebut anggota ruang sampel (sample points)

Kejadianhimpunan bagian dari ruang sampel

Peluang suatu kejadian Ajumlah anggota himpunan bagian dari ruang sampel yang

termasuk pada kejadian A2

Kosa kata Teori Probabilitas

Probabilitas terambilnya kelereng

merah atau biru!

4

1

4

3

Percobaan Pengambilan

sebuah kelereng dari kotak

Ruang sampel Merah Biru

Kejadian A: terambilnya

kelereng merah B: terambilnya

kelereng biru Peluang kejadian

Peluang kejadian A Peluang kejadian B

peluang kejadian

B

peluang kejadian

A

Peluang suatu kejadian …Jumlah hasil yang muncul dibagi jumlah hasil yang mungkin cara menghitung (counting)

3

KONSEP MENDASAR

• Probabilitas, P dari suatu peristiwa atau keadaan memiliki nilai :

0 ≤P≤1• Jumlah dari seluruh kemungkinan

dari suatu kegiatan harus sama dengan 1

4

Contoh 1: two rules of probability. Kebutuhan cat pada sebuah toko berada pada kisaran : 0, 1, 2, 3, aatu 4 gallon per hari. Pengamatan selama 200 hari kerja menghasilkan data kebutuhan sebagai berikut :

5

Persentasi kemungkinan :

6

Perumusan Probabilitas

1. Perumusan Klasik (Objective Probabilty )

Objective Probability dapat juga ditentukan dengan metoda logika (mis pada kasus mata uang logam atau dadu)

2. Perumusan Empiris Berdasarkan pada peristiwa yang telah terjadi (menggunakan data historis)

terjadimungkinygperistiwankeseluruhajumlah

terjadimungkinygAperistiwajumlahAP )(

peristiwasemuajumlah

AperistiwajumlahAP )(

7

Contoh :

Hasil pelemparan sekeping mata uang logam sebanyak 10.000 kali adalah 5.010 kali keluar angka dan 4990 keluar gambar. Berapa probabilitas keluarnya angka jika sekeping mata uang dilempar sekali ?

Jawab :

Seandainya peristiwa A adalah munculnya angka, maka :

peristiwasemuajumlah

AperistiwajumlahAP )(

501,0000.10

010.5

8

3. Perumusan Secara Subyektif

Digunakan bila probabilitas peristiwa tidak dapat ditentukan secara teoritis ataupun empiris.

Didasarkan pada keyakinan dan analisis pengambil keputusan

Agar dapat dirumuskan dengan baik, pertimbangkan sebanyak mungkin informasi yang relevan dengan peristiwa tersebut

9

Mutually exclusiveDua peristiwa dikatakan mutually exclusive jika kedua peristiwa tersebut tidak dapat terjadi pada waktu yang bersamaan, atau A∩B ={ }

Karena A U B = A + B, maka : P (A U B)=P(A) + P(B)

10

Contoh:Pada pelemparan sebuah dadu satu kali jika A adalah peristiwa munculnya mata dadu 3 dan B adalah peristiwa munculnya mata dadu 5, berapakah probabilita munculnya mata dadu 3 atau 5 ?

Jawab :Tidak mungkin mata dadu 3 keluar sekaligus bersama 5, maka peristiwa A & B adalah mutually exclusive

P(AUB) = P(A) + P(B)= 1/6 + 1/6 = 1/3

11

Soal Mutually Exclusive

• Sebuah toko memiliki koleksi tas terbaru dengan 4 warna, hijau, putih, merah dan biru• P(hijau) = 0.09• P(putih) = 0.15• P(merah) = 0.21• P(biru) = 0.23

• Hitung peluang pembeli mengambil tas koleksi terbaru?• Peluang membeli tas hijau, putih, merah atau biru…• P(hijau)+P(putih)+P(merah)+P(biru) = 0.09 + 0.15 + 0.21 + 0.23

12

Non mutually exclusive

Dua peristiwa dikatakan non mutually exclusive jika kedua peristiwa tersebut bisa terjadi pada waktu yang bersamaan, atau A∩B≠{ }

AUB=A+B-(A∩B), untuk menghindari penghitungan gandaP(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

Contoh:Survey 100 responden, diketahui 60 responden suka film action, 50 orang suka film drama, dan 10 orang suka keduanya. Jika dari 100 responden tersebut diambil1 orang secara acak, berapa probabilita menemukan respondedn yang suka filn action atau responden yang suka film drama?

Jawab : P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B) =60/100 + 50/100 – 10/100 = 1

13

Mutually exclusive &non mutually exclusive

14

Probabilita Peristiwa Independen

Jika terdapat dua peristiwa yang berurutan, kedua peristiwa tersebut dikatakan independen jika peristiwa pertama tidak mempengaruhi peristiwa kedua P (A∩B)= P (A) . P (B)contoh : setumpuk kartu bridge lengkap (52 kartu) diambil 2 helai satu persatu, dan kartu pertama dikembalikan sebelum kartu kedua diambil. Berapakah probabilitas kartu pertama adalah heart (A) dan kartu kedua adalah diamond (B) ?

Jawab:P(A) = 13/52P(B) = 13/52sehingga :

P(A∩B) = 13/52 . 13/52 = 0,0625

15

Probabilita Peristiwa Dependen atau Probabilita Bersyarat

P(A∩B)=P(A). P(B/A)

P(B/A) adalah probabilitas peristiwa B dengan syarat peristiwa A sudah terjadi

Contoh :

Sama dengan soal sebelumnya, tetapi kartu pertama yang terambil tidak dikembalikan. Hitung probabilita kartu pertama heart (A) dan kartu kedua diamond(B)

Jawab :

P(A) = 13/52

P(B/A) = 13/51

P(A∩B) = 13/52 . 13/51 =

16

Di sebuah kotak terdapat 3 bola putih dan 7 bola hitam. Jika diambil 2 bola satu persatu dan dengan cara tanpa pengembalian, berapa probabilita bola pertama yang terambil adalah putih dan bola kedua adalah hitam ?

Jawab :

Bila A adalah peristiwa menemukan bola putih, B adalah peistiwa menemukan bola hitam, maka P(A) = 3/10 dan P(B) = 7/10

P(A∩B) = P(A). P(B/A)

= 3/10 . 7/9

= 21/90

17

18

Teorema Bayes

IlustrasiPada awal kompetisi sepakbola, pendukung sebuah klub juara bertahan memperkirakan bahwa klub mereka mempunyaikesemptan yang baik untuk menjadi juara kompetisi tahun ini 9mereka membuat probabilita awal). Setelah kompetisi berjalan 6 bulan (putran petama), pendukung klub tersebut menghadapi kenyataan bhwa klub mereka telah mederita banyak kekalahan. Kini mereka harus merevisi probabilita klub mereka menjadi juara tahun ini. Dengan kata lain, mereka dapat membuat probabilita yang lebih baik karena memiliki informasi tambahan. Probabiliti sebelum direvisi disebut prior probability, sedangkan probabilita yang baru disebut probabilita revisi atau posterior probability.

Rumus Teorema Bayes :

n

i

AAPAP

AAPAP

AP

AAPAAP

111

1111

)/().(

)/().(

)(

)()/(

19

Contoh :Pada sebuah kotak terdapat 2 dadu yang tidak sama beratnya, yaitu dadu I dan dadu II . Probabilitas munculnya mata dadu 5 jika dadu I dilempar adalah 0,4 dan probabilitas munculnya mata 5 jika dadu II dilempar adalah 0,7.a. Jika diambil sebuah dadu dari kotak tersebut secara acak, berapa probabilita untuk

mendapatkan dadu I ?b. Jika diambil sebuah dadu dari kotak tersebut secara acak dan dadu tersebut kemudian

dilempar dan ternyata muncul mata 5, berapa probabilitas dadu tersebut dadu I ?Jawab :c. P = jumlah dadu I/ Jumlah semua dadu yang ada = ½. (prior probability).d. Pertanyaan b. adalah pertanyaan a. yang diberi informasi tambahan. Maka dapat dibuat

suatu probabilita yang lebih baik lagi

A1 = peristiwa mendapatkan dadu IA2 = peristiwa mendapatkan dadu IIA = peristiwa munculnya mata dadu 5

P(A1∩A) = P(A1). P(A/A1) = 0,5 . 0,4 = 0,2

P(A) = P(dadu I, mata 5) + P(dadu II, mata 5) = P (A1). P(A/A1) + P (A2). P(A/A2) = 0,5 . 0,4 + 0,5 . 0,7 = 0,55Maka P (A1/A) = P(A1∩A) /P(A) = 0,2 / 0,55 = 0,36 (posterior probability)

)(

)()/( 1

1 AP

AAPAAP

20

Seperti soal sebelumnya, tetapi dadu yang terpilih dari kotak dilempar 2 kali dan keduanya menghasilkan mata dadu 5. hitunglah probabilita bahwa dadu tersebut adalah dadu I

A1 = peristiwa menemukan dadu IA2 = peistiwa menemukan dadu IIA = peristiwa muncul mata 5 dua kali berturut turutP(A1∩A) = P(A1).P(A/A1) = 0,5 (0,4 . 0,4) = 0,08

P(A) = 0,08 + 0,245 = 0,325

Maka P(A1/A) = 0,08/0,325 = 0,246

)(

)()/( 1

1 AP

AAPAAP

21

Permutasi, Kombinasi & Probabilita

PermutasiDigunakan unt menghitung jumlah cara menyusun suatu obyek dengan memperhatikan urutannya. Pda permutasi urutan obyek diperhatikan sehingga A, B, C tidak sama dengan C, B, A. Rumus permutasi adalaha :

P disebut permutasi sebanyak r obyek dari n obyek yang ada.

Contoh :5 orang hendak duduk di suatu deretan kursi. Ada berapa cara atau susunan duduk yang dapat dibuat ke 5 orang tersebut ?

Jawab :

22

Lima orang remaja A, B, C, D, E hendak berfoto tiga orang demi tiga orang berjajar dari kiri ke kanan. Ada berapa macam kemungkinanfoto yg berbeda yang dapat dibuat jika kita memperhatikan urutan ketiga orang tersebut ? (Ans 60)

23

KombinasiKombinasi digunakan untuk menghitung banyaknya cara menyusun suatu obyek tanpa memperhatikan urutannya. Pada kombinasi A,B,C sama dengan B,C,A sama dengan C, B, A, karena urutannya tidak diperhatikan.Rumus kombinasi adalah

Contoh :Ada berapa macam kombinsi tim cerdas cermat yan terdiri dari 3 orang, dapat dibentu dari 5 orang yang ada ?

Soal :Sepuluh orang hadir disuatu pesta. Jika mereka berjabat tangan satu per satu, ada berap kali jabat tangan yang terjadi ? (ans 45)

24

Aturan Bayes

• Seorang pegawai mempunyai dua mobil, satu sedan dan satu lagi Toyota Kijang.

• Untuk pergi bekerja dia menggunakan sedan 75% dan Kijang 25%. • Bila dia menggunakan sedan biasanya dia tiba kembali dirumah pukul 17.30

sebanyak 75% • Bila menggunakan Kijang dia tiba pukul 17.30 sebanyak 60%.

• Bila dia tiba dirumah pukul 17.30, berapakah peluangnya dia memakai sedan ?

S : Kejadian Pegawai bekerja menggunakan sedan P(S) = 0.75

K : Kejadian Pegawai bekerja menggunakan kijang P(K) = 0.25

T : Kejadian Pegawai tiba dirumah pukul 17.30 Dengan sedan tiba kembali dirumah pukul 17.30 P(T|S) = 0.75 Dengan kijang tiba kembali dirumah pukul 17.30 P(T|K) = 0.6

Tentukan P(S|T)

25

Aturan Bayes

1915

75.0*75.06.0*25.0

75.0*75.0)|(

)|()()|()(

)|()()|(

TSP

STPSPKTPKP

STPSPTSP

Bila tiba dirumah pukul 17.30, berapakah peluangnya memakai sedan ?

P(S) = 0.75 P(K) = 0.25 P(T|S) = 0.75 P(T|K) = 0.6

26

• Nilai harapan (Expected Value)

27