PFDS §5.2 Queues@shtaag

2012年3月4日日曜日

First...

http://www.kmonos.net/pub/Presen/PFDS.pdf

2012年3月4日日曜日

FIFO Queue

type foo Queue = foo list x foo list

fun head (x :: f, r) = x

fun tail (x :: f, r) = (f, r)

fun snoc ((f, r), x) = (f, x :: r)

O(1)

O(1)

O(1)

リスト終端への挿入にconsを用いるため、リスト後半をreverseして保持

2012年3月4日日曜日

FIFO Queue

invariant to maintain

ｆはｒが[ ]の時のみ[ ]

これがないとf = [ ]時にheadがr終端からの取り出しになりheadがO(n)かかる

2012年3月4日日曜日

FIFO Queue

to maintain invariant...

fun checkf ([ ], r) = (rev r, [ ]) | checkf q = q

fun snoc ((f, r), x) = checkf (f, x :: r)

fun tail (x :: f, r) = checkf (f, r)

2012年3月4日日曜日

snoc = 1 step + 1 credit

tail (w/o reverse) = 1 step

tail (w/ reverse) = (m+1) steps - m credits

tail . tail . tail . snoc 3 . snoc 2 . snoc 1

Banker’s method

2012年3月4日日曜日

snoc 1 -> [] [1] -> [1] []

snoc 2 -> [1] [2]

snoc 3 -> [1] [3,2]

tail -> [] [3,2] -> [2,3] []

tail -> [3] []

tail -> [] []

2

1

1

3

1

1

9

2

2

2

1

1

1

9

real amortized

+1

+1

-2

checkf w/ 1 step

checkf w/ 2 step

2012年3月4日日曜日

snoc 1 -> [] [1] -> [1] []

snoc 2 -> [1] [2]

snoc 3 -> [1] [3,2]

tail -> [] [3,2] -> [2,3] []

tail -> [3] []

tail -> [] []

2

1

1

3

1

1

9

2

2

2

1

1

1

9

real amortized

積み立てておいたcreditを消費

+1

+1

-2

2012年3月4日日曜日

Φ = length of the rear list

snoc = 1 step + 1 potential (for 1 elem)

tail (w/o reverse) = 1 step

tail (w/ reverse) = (m+1) steps - m potentials

Physicist’s method

2012年3月4日日曜日

snoc 1 -> [] [1] -> [1] []

snoc 2 -> [1] [2]

snoc 3 -> [1] [3,2]

tail -> [] [3,2] -> [2,3] []

tail -> [3] []

tail -> [] []

2

1

1

3

1

1

9

2

2

2

1

1

1

9

real amortized

+1

+1

-2

2012年3月4日日曜日