- 1. Aula 6 - Recursividade David Menotti Algoritmos e Estruturas
de Dados I DECOM UFOP
2. Algoritmos e Estrutura de Dados I David Menotti Conceito de
Recursividade Fundamental em Matemtica e Cincia da Computao Um
programa recursivo um programa que chama a si mesmo Uma funo
recursiva definida em termos dela mesma Exemplos Nmeros naturais,
Funo fatorial, rvore Conceito poderoso Define conjuntos infinitos
com comandos finitos Renato Ferreira 3. Algoritmos e Estrutura de
Dados I David Menotti Recursividade A recursividade uma estratgia
que pode ser utilizada sempre que o clculo de uma funo para o valor
n, pode ser descrita a partir do clculo desta mesma funo para o
termo anterior (n-1). Exemplo Funo fatorial: n! = n * (n-1) * (n-2)
* (n-3) *....* 1 (n-1)! = (n-1) * (n-2) * (n-3) *....* 1 logo: n! =
n * (n-1)! 4. Algoritmos e Estrutura de Dados I David Menotti
Recursividade Definio: dentro do corpo de uma funo, chamar
novamente a prpria funo recurso direta: a funo A chama a prpria
funo A recurso indireta: a funo A chama uma funo B que, por sua
vez, chama A 5. Algoritmos e Estrutura de Dados I David Menotti
Condio de parada Nenhum programa nem funo pode ser exclusivamente
definido por si Um programa seria um loop infinito Uma funo teria
definio circular Condio de parada Permite que o procedimento pare
de se executar F(x) > 0 onde x decrescente Objetivo Estudar
recursividade como ferramenta prtica! Renato Ferreira 6. Algoritmos
e Estrutura de Dados I David Menotti Recursividade Para cada
chamada de uma funo, recursiva ou no, os parmetros e as variveis
locais so empilhados na pilha de execuo. 7. Algoritmos e Estrutura
de Dados I David Menotti Execuo Internamente, quando qualquer
chamada de funo feita dentro de um programa, criado um Registro de
Ativao na Pilha de Execuo do programa O registro de ativao armazena
os parmetros e variveis locais da funo bem como o ponto de retorno
no programa ou subprograma que chamou essa funo. Ao final da execuo
dessa funo, o registro desempilhado e a execuo volta ao subprograma
que chamou a funo 8. Algoritmos e Estrutura de Dados I David
Menotti Exemplo Fat (int n) { if (n 0){ f = f * n; n = n 1; }
return f; } 10. Algoritmos e Estrutura de Dados I David Menotti
Recursividade Portanto, a recursividade nem sempre a melhor soluo,
mesmo quando a definio matemtica do problema feita em termos
recursivos 11. Algoritmos e Estrutura de Dados I David Menotti
Fibonacci Outro exemplo: Srie de Fibonacci: Fn = Fn-1 + Fn-2 n >
2, F0 = F1 = 1 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... Fib(int n) {
if (n 0 ) { m = (l + r) / 2; marca(m, h); regua(l, m, h 1);
regua(m, r, h 1); } } 18. Algoritmos e Estrutura de Dados I David
Menotti Execuo: rgua regua(0, 8, 3) marca(4, 3) regua(0, 4, 2)
marca(2, 2) regua(0, 2, 1) marca(1, 1) regua(0, 1, 0) regua(1, 2,
0) regua(2, 4, 1) marca(3, 1) regua(2, 3, 0) regua(3, 4, 0)
regua(4, 8, 2) marca(6, 2) regua(4, 6, 1) marca(5, 1) regua(4, 5,
0) regua(5, 6, 0) regua(6, 8, 1) marca(7, 1) regua(6, 7, 0)
regua(7, 8, 0) 19. Algoritmos e Estrutura de Dados I David Menotti
Anlise de Complexidade O Define-se uma funo de complexidade f(n)
desconhecida n mede o tamanho dos argumentos para o procedimento em
questo Identifica-se a equao de recorrncia T(n): Especifica-se T(n)
como uma funo dos termos anteriores Especifica-se a condio de
parada (e.g. T(1)) 20. Algoritmos e Estrutura de Dados I David
Menotti Anlise da Funo Fatorial Qual a equao de recorrncia que
descreve a complexidade da funo fatorial? T(n) = 1 + T(n-1) T(1) =
1 T(n) = 1 + T(n-1) T(n-1) = 1 + T(n-2) T(n-2) = 1 + T(n-3) ...
T(2) = 1 + T(1) 21. Algoritmos e Estrutura de Dados I David Menotti
Anlise de Funes Recursivas Alm da anlise de custo do tempo, deve-se
analisar tambm o custo de espao Qual a complexidade de espao da
funo fatorial (qual o tamanho da pilha de execuo)? 22. Algoritmos e
Estrutura de Dados I David Menotti Anlise da Funo Recursiva
Considere a seguinte funo: Pesquisa(n) { (1) if (n 1, tenham sido
substitudos por frmulas contendo apenas T(1). 1 n/3K = 1 n = 3K 1
25. Algoritmos e Estrutura de Dados I David Menotti Resolvendo a
Equao Considerando que T(n/3K ) = T(1) temos: T(n) = (n/3i ) + T(1)
= n (1/3i ) + 1 Aplicando a frmula do somatrio de uma PG finita (a0
rn )/(1-r), temos: n (1 (1/3)K )/(1 -1/3) + 1 n (1 (1/3K ))/(1
-1/3) + 1 n (1 (1/n))/(1 -1/3) + 1 (n 1)/(2/3) + 1 3n/2 i=0 K-1 i=0
K-1 O(n) 26. Algoritmos e Estrutura de Dados I David Menotti
Exerccio Crie uma funo recursiva que calcula a potncia de um nmero:
Como escrever a funo para o termo n em funo do termo anterior? Qual
a condio de parada? Qual a complexidade desta funo? 27. Algoritmos
e Estrutura de Dados I David Menotti Funo de Potncia Recursiva int
pot(int base, int exp) { if (!exp) return 1; /* else */ return
(base*pot(base, exp-1)); } Anlise de complexidade: T(0) = 1; T(b,n)
= 1 + T(b,n-1); O(n) 28. Algoritmos e Estrutura de Dados I David
Menotti Exerccios Implemente uma funo recursiva para computar o
valor de 2n O que faz a funo abaixo? void f(int a, int b) { //
considere a > b if (b = 0) return a; else return f(b, a % b); }
29. Algoritmos e Estrutura de Dados I David Menotti Respostas
Algoritmo de Euclides. Calcula o MDC (mximo divisor comum) de dois
nmeros a e b Pot(int n) { if (n==0) return 1; else return 2 *
Pot(n-1); }
