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Regra de três simples Regra de três simples Regra de três simples é um processo prático para Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Passos utilizados numa regra de três Passos utilizados numa regra de três simples: simples: 1º) 1º) Construir uma tabela, agrupando as Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. em correspondência. 2º) 2º) Identificar se as grandezas são diretamente Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. ou inversamente proporcionais. 3º) 3º) Montar a proporção e resolver a equação. Montar a proporção e resolver a equação.

Regra De TrêS Simples E Composta Autor Antonio Carlos

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Regra de três simplesRegra de três simples

Regra de três simples é um processo prático para Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos resolver problemas que envolvam quatro valores dos

quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três Passos utilizados numa regra de três simples:simples:

1º)1º) Construir uma tabela, agrupando as Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes na mesma linha as grandezas de espécies diferentes

em correspondência.em correspondência. 2º)2º) Identificar se as grandezas são diretamente Identificar se as grandezas são diretamente

ou inversamente proporcionais.ou inversamente proporcionais. 3º)3º) Montar a proporção e resolver a equação. Montar a proporção e resolver a equação.

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Exemplos:Exemplos:

1) Com uma área de absorção de 1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?qual será a energia produzida?

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Identificação do tipo de Identificação do tipo de relaçãorelação : :

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Cont.Cont.

Inicialmente colocamos uma seta para Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Observe que: AumentandoAumentando a área de a área de absorção, a energia solar absorção, a energia solar aumentaaumenta.. Como as palavras correspondem Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são as grandezas são diretamente proporcionaisdiretamente proporcionais. . Assim sendo, colocamos uma outra seta no Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação Montando a proporção e resolvendo a equação temostemos::

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Exercício 2Exercício 2

2) Um trem, deslocando-se a uma 2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?480km/h?

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Identificação do tipo de relação:Identificação do tipo de relação:

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Cont.Cont.

Inicialmente colocamos uma seta para Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).coluna). Observe que: Observe que: AumentandoAumentando a a velocidade, o tempo do percurso velocidade, o tempo do percurso diminuidiminui..

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Cont.Cont.

Como as palavras são contrárias Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são que as grandezas são inversamente inversamente proporcionaisproporcionais. Assim sendo, colocamos . Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. cima) na 1ª coluna. Montando a Montando a proporção e resolvendo a equação temosproporção e resolvendo a equação temos::

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Exercício 3Exercício 3

3) Bianca comprou 3 camisetas e 3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?preço?

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Cont.Cont.

Observe que: Observe que: AumentandoAumentando o o número de camisetas, o preço número de camisetas, o preço aumentaaumenta.. Como as palavras correspondem Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são afirmar que as grandezas são diretamente proporcionaisdiretamente proporcionais.. Montando Montando a proporção e resolvendo a equação a proporção e resolvendo a equação temostemos::

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Exercício 4Exercício 4

4) Uma equipe de operários, 4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?fará o mesmo trabalho?

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Cont.Cont.

Observe que: Observe que: DiminuindoDiminuindo o número de o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para horas trabalhadas por dia, o prazo para término término aumentaaumenta.. Como as palavras são contrárias Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são que as grandezas são inversamente inversamente proporcionaisproporcionais.. Montando a proporção e Montando a proporção e resolvendo a equação temosresolvendo a equação temos: :

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Regra de três compostaRegra de três composta

A regra de três composta é utilizada em A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.direta ou inversamente proporcionais.

Exemplos:Exemplos: 1) Em 8 horas, 20 caminhões 1) Em 8 horas, 20 caminhões

descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?descarregar 125m3?

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Inicialmente colocamos uma seta Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o para baixo na coluna que contém o

x (2ª coluna). x (2ª coluna).

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Cont.Cont.

A seguir, devemos comparar cada A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.grandeza com aquela onde está o x. Observe que: Observe que: AumentandoAumentando o número de horas de o número de horas de trabalho, podemos trabalho, podemos diminuirdiminuir o número de o número de caminhões. Portanto a relação é caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcionalinversamente proporcional ( (seta para seta para cima na 1ª colunacima na 1ª coluna). ).

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Cont.Cont.

AumentandoAumentando o volume de areia, o volume de areia, devemos devemos aumentaraumentar o número de o número de caminhões. Portanto a relação é caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcionaldiretamente proporcional ( (seta para seta para baixo na 3ª colunabaixo na 3ª coluna). Devemos igualar a ). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.o sentido das setas.

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Montando a proporção e Montando a proporção e resolvendo a equação temosresolvendo a equação temos::

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Exercício 2Exercício 2

2) Numa fábrica de brinquedos, 8 2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?homens em 16 dias?

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Observe que:Observe que:

AumentandoAumentando o número de homens, a o número de homens, a produção de carrinhos produção de carrinhos aumentaaumenta. Portanto a . Portanto a relação é relação é diretamente proporcionaldiretamente proporcional (não (não precisamos inverter a razão).precisamos inverter a razão).

AumentandoAumentando o número de dias, a o número de dias, a produção de carrinhos produção de carrinhos aumentaaumenta. Portanto a . Portanto a relação também é relação também é diretamente proporcionaldiretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.produto das outras razões.

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Montando a proporção e Montando a proporção e resolvendo a equação temosresolvendo a equação temos::

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Exercício 3Exercício 3

3) Dois pedreiros levam 9 dias 3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para será o tempo necessário para completar esse muro?completar esse muro?

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Cont.Cont.

Inicialmente colocamos uma seta Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas para as grandezas diretamente diretamente proporcionaisproporcionais com a incógnita e com a incógnita e discordantes para as discordantes para as inversamente inversamente proporcionaisproporcionais, como mostra a figura , como mostra a figura abaixo:abaixo:

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Montando a proporção e Montando a proporção e resolvendo a equação temosresolvendo a equação temos::

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Exercícios complementaresExercícios complementares

Agora chegou a sua vez de tentar. Agora chegou a sua vez de tentar. PratiquePratique tentando fazer esses exercícios:tentando fazer esses exercícios:

1)1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas.encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas.

2)2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias.Resposta: 35 dias.

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Cont.Cont. 3)3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por Vinte operários, trabalhando 8 horas por

dia, gastam 18 dias para construir um muro de dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias.construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias.

4)4) Um caminhoneiro entrega uma carga em Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia.Resposta: 10 horas por dia.

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Cont.Cont.

5)5) Com uma certa quantidade de Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025 metros.minutos? Resposta: 2025 metros.

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Antonio Carlos Carneiro BarrosoAntonio Carlos Carneiro Barroso

Professor de Matemática do Colégio Professor de Matemática do Colégio Estadual Dinah Gonçalves em Valéria Estadual Dinah Gonçalves em Valéria Salvador-BahiaSalvador-Bahia

Graduado pela UFBAGraduado pela UFBA Pós graduado em Metodologia e Pós graduado em Metodologia e

Didática do Ensino SuperiorDidática do Ensino Superior http://ensinodematemtica.blogspot.comhttp://ensinodematemtica.blogspot.com 04/07/200904/07/2009