Simulazione Dello Sviluppo Di Una Rete Di Neuroni Regolato Da Processi Bioelettrochimici Dipendenti Dall’Attività Elettrica

Università degli Studi di Genova

Facoltà di Ingegneria

D.I.B.E.

Simulazione dello Sviluppo

di una Rete di Neuroni

Regolato da Processi Bioelettrochimici

Dipendenti dall’Attività Elettrica

Relatore: Chiar.mo Prof. Massimo Grattarola

Correlatore: Dott. Ing. Marco Bove

Allievo: Michele Giugliano

Ad Arcangelo e Teresa… ..le persone più importanti della mia vita

Be careful… …be cautious…

…but be adventurous… …‘cause it pays off!

Simulazione dello Sviluppo di una Rete di NeuroniRegolato da Processi Bioelettrochimici Dipendenti dall’Attività Elettrica

DIBE - Università degli Studi di Genova a

Indice

• Introduzione

• Capitolo 1: Meccanismi di Trasporto Attraverso una Membrana

Biologica

1.1 Elettrochimica delle Membrane Biologiche

1.2 Energia Libera di Gibbs

1.3 Potenziale Elettrochimico di una Sostanza

1.4 Modello Circuitale Equivalente di Membrana

1.5 Equazione del Potenziale Elettrico di Membrana

1.6 Dinamica delle Conduttanze di Membrana e Modello di Hodgkin-

Huxley

1.7 Descrizione Discreta di un Canale Ionico

1.8 Cinetica Stocastica

1.9 Tempo di Vita di uno Stato

1.10 Variabile di Attivazione del Gate

1.11 Canale Ionico Multi-Stato


DIBE - Università degli Studi di Genova b

1.12 Confronto con il Modello Deterministico

1.13 Convergenza in Probabilità

1.14 Rumore di Membrana e Attività Spontanea

1.15 Algoritmi di Simulazione al Calcolatore della Cinetica Stocastica

1.16 Analogia con l’Equazione di Langevin

1.17 Formula di Kramers

• Capitolo 2: Modello di Neurone Integra-e-Spara

2.1 Riduzione della Complessità

2.2 Analisi del Modello Biofisico Deterministico

2.3 Analisi nel Piano delle Conduttanze Massime di Membrana

2.4 Derivazione del Modello Integra-e-Spara

2.5 Introduzione delle Non-Linearità

2.6 Analisi del Modello Integra-e-Spara

2.7 Stimolazione Tempo-Variante

2.8 Modello Integra-e-Spara Stocastico

2.9 Formula di Kramers e Attività Spontanea

2.10 Previsione dell’Intervallo inter-spike

• Capitolo 3: Processi Dipendenti dall’Attività Elettrica: la Sintesi

Proteica

3.1 Espressione Proteica e Conduttanze di Membrana

3.2 La Dinamica del Calcio Intracellulare

3.3 Introduzione della Regolazione Dinamica

3.4 Proprietà del Modello Regolato

3.5 Analisi della Regolazione Dinamica

3.6 Robustezza del Modello Regolato Dinamicamente


DIBE - Università degli Studi di Genova c

3.7 Dinamica del Calcio Approssimata

3.8 Introduzione della Regolazione Dinamica nel Modello Integra-e-Spara

3.9 Attività Elettrica Strutturata e Robustezza

• Capitolo 4: Modello Matematico di una Rete di Neuroni

4.1 La Sinapsi

4.2 Cinetica Stocastica per una Sinapsi Chimica

4.3 Dinamica Deterministica per la Sinapsi Chimica

4.4 Il Fenomeno della Sincronizzazione dell’Attività

4.5 Simulazione di Reti Estese

4.6 Sintesi Proteica e Sinapsi Eccitatoria

4.7 Sintesi Proteica nel Modello Integra-e-Spara

4.8 Integratore o Rilevatore di Coincidenze?

• Capitolo 5: Crescita Cellulare e Auto-organizzazione

5.1 Sviluppo del Sistema Nervoso

5.2 Il Modello di Crescita

5.3 Evoluzione dell’Efficacia Sinaptica

5.4 Simulazione del Modello di Crescita

5.5 Risultati delle Simulazioni

5.6 Auto-organizzazione della Topologia

• Conclusioni e Prospettive Future

• Appendice A


DIBE - Università degli Studi di Genova d

• Appendice B

• Riferimenti Bibliografici

I miei ringraziamenti vanno

al Prof. Massimo Grattarola, per avermi dato la possibilità di approfondire

questi argomenti, tracciando la strada… e permettendomi di trovarla anche

dentro di me. Senza la sua guida avrei sicuramente smarrito la rotta,

perdendomi nei miei slanci meno intelligenti.

Al Dott. Marco Bove, il cui inestinguibile entusiasmo e la brillante curiosità

sono state per me vero motivo di crescita. Quelle conversazioni

..improvvise, ..sincopate.. e così emozionanti hanno arricchito e stimolato la

mia mente.

alla mia famiglia , perché ha creduto nei miei interessi e mi ha consentito di

svilupparli, “sopportando” il mio freddo nervosismo per trasformarlo in

meraviglioso affetto.

al Prof. Mauro Parodi, Ing. Martinoia, Walter, e ancora Ivano, Roberto,

Davide, Marco, Simona, Fabia,

e ..in particolare a Laura.. piacevolissima compagna di ..nuotata!

In questi mesi moltissime altre persone mi hanno dato conforto e aiuto,

anche solo regalandomi un sorriso in una giornata di pioggia: se ho

dimenticato di citare qualche nome, la colpa è della mia testa.. non del mio

cuore.


DIBE – Università degli Studi di Genova i

Introduzione

Lo studio della dinamica di una rete di neuroni è un problema fondamentale

di ricerca nelle neuroscienze. Questa disciplina di recente definizione, tende

ad unire aree scientifiche dalle tradizioni assai differenti, come la

neurofisiologia e la neuroanatomia, la biochimica e la genetica, la

psicologia cognitiva, l’ intelligenza artificiale e la teoria formale delle reti

neurali, nel tentativo di elaborare una rappresentazione completa e

soddisfacente della fisiologia del sistema nervoso di un essere vivente, di

modificare situazioni patologiche oltreché di progettare sistemi artificiali

forniti di comportamenti ispirati dalla neurobiologia.

Figura I.1: Confronto fra le dimensioni di un neurone piramidale e un

microelettrodo, per misurazioni elettrofisiologiche.


DIBE – Università degli Studi di Genova ii

Lo scopo di questa tesi è stato quello di indagare le proprietà di auto-

organizzazione e di differenziamento funzionale del sistema nervoso di un

essere vivente, tipiche dell’embriogenesi. Attraverso la semplificazione

della descrizione matematica di alcuni fenomeni bioelettrochimici

dipendenti dall’attività elettrica, quali la sintesi proteica, l’elongazione

neuritica e la sinaptogenesi, sono stati ridotti drasticamente i tempi richiesti

per la simulazione al calcolatore della dinamica di una rete di neuroni in fase

di organizzazione, con la prospettiva di mantenere un’elevata

corrispondenza e consistenza con i risultati sperimentali.

Con il progredire delle tecniche di misura elettrofisiologica (Neher et al.,

’83) e con le recenti scoperte sull’elaborazione dell’informazione per alcune

modalità sensoriali (Hubel, ‘89), si stanno delineando sempre più

chiaramente i contorni di una caratterizzazione delle proprietà di auto-

organizzazione delle popolazioni di neuroni, e delle basi cellulari di forme

elementari di comportamento, quali la generazione di attività ritmica per il

controllo motorio, e semplici forme di apprendimento. Gli aspetti formali di

questi studi hanno contribuito a delineare una nuova area di ricerca

identificata come neuroscienza computazionale, il cui scopo è quello di

riconoscere, attraverso la modellistica matematica e la simulazione al

calcolatore del sistema nervoso, il contenuto di informazione dei segnali

biologici a differenti livelli.

Il comportamento estremamente ricco e complesso manifestato dalle cellule

nervose reali, rende molto complessa la formulazione di descrizioni

dettagliate e precise del funzionamento anche di un singolo neurone, e in

questi ultimi anni vari modelli sono stati sviluppati, dei quali un’ampia

classe gode delle stesse caratteristiche qualitative. Esistono due approcci per

lo studio dei fenomeni dell’eccitabilità e dell’elaborazione neuronale

dell’informazione afferente: il primo descrive con precisione i fenomeni di

trasporto ionico attraverso una membrana biologica, mentre il secondo

individua relazioni fra ingresso e uscita, per un insieme arbitrario di

grandezze misurabili. Con riferimento al primo dei due, la maggior parte dei


DIBE – Università degli Studi di Genova iii

modelli descritti in letteratura (Morris et al., ’81; Chay, ’90; Buchholtz et al.,

‘92) mantiene lo stesso formalismo originalmente proposto da Hodgkin e

Huxley (Hodgkin et al., ’52), premi Nobel per la fisiologia negli anni '50: il

repertorio comune a molti fenomeni eccitabili o oscillatori viene

brillantemente descritto dall’ipotesi di una dipendenza non lineare delle

caratteristiche di permeabilità ionica di membrana, dal potenziale elettrico

ai capi della stessa (si veda il primo capitolo).

Esistono naturalmente moltissimi livelli intermedi di descrizione: quando lo

scopo è ottenere una più approfondita comprensione delle strategie usate dal

sistema nervoso per elaborare l’informazione afferente ed efferente, la scelta

del modello è fortemente condizionata dalla disponibilità di dati

sperimentali neurobiologici, dal momento che non tutte le caratteristiche e le

grandezze fisiche di interesse sono direttamente accessibili

macroscopicamente.

In questa tesi sono state ignorate le fenomenologie spazio-varianti e la

propagazione dei segnali nervosi e i meccanismi di trasduzione,

elaborazione e trasmissione dell’informazione associata ai segnali biologici

sono stati riguardati come fenomeni puntuali e localizzati.

Nel primo capitolo, è stata approfondita la natura stocastica e discreta dei

processi che governano il trasporto ionico, la generazione e la propagazione

del segnale nervoso (DeFelice et al., ’83). La ricchezza di questa descrizione

consente di giustificare in modo molto semplice alcune proprietà e

fenomenologie di ordine superiore, quale l’attività elettrica spontanea

(DeFelice et al., ’93; Chow et al., ’96). Tale caratteristica emerge

naturalmente dalla dinamica collettiva e dalle fluttuazioni spontanee dello

stato conformazionale dei canali ionici, e se in un sistema sensoriale quasi

certamente potrebbe risultare dannosa, il suo ruolo in altre parti di un

sistema nervoso preposte alla pianificazione, alla coordinazione e al

controllo motorio potrebbe addirittura essere indispensabile, in vista di una

inibizione di comportamenti riflessi non appropriati o la generazione di

risposte di tipo completamente nuovo.


DIBE – Università degli Studi di Genova iv

Nel secondo capitolo è stata esaminata una procedura matematica

formalmente giustificata, di riduzione dei modelli biofisici verso un modello

semplificato noto in letteratura come modello integra-e-spara (Destexhe,

'97; Amit et al., '96; Hopfield et al., '95; Abbott et al., '90). Questo

procedimento ha permesso di mantenere una stretta correlazione con i

parametri e con i comportamenti previsti dalle descrizioni più dettagliate,

guadagnando diversi ordini di grandezza relativamente ai tempi richiesti per

la simulazione al calcolatore, specie nel caso di reti estese e densamente

interconnesse. La stessa attività spontanea è stata recuperata in questa

descrizione ridotta, insieme agli strumenti di analisi sviluppati per i modelli

completi, e nella maggior parte dei casi si è potuto giungere alla derivazione

di risultati significativi in forma chiusa.

Esiste però, una vasta evidenza sperimentale che l’interpretazione comune a

questi modelli matematici sia imprecisa, quando si consideri una scala

temporale caratteristica dei processi metabolici, quali l’espressione genetica

e la sintesi proteica (Abbott et al., ’93). I neuroni biologici mantengono le

proprie caratteristiche elettriche in una varietà di condizioni diverse,

nonostante la crescita cellulare, la rimozione proteica dei canali di

membrana e la variabilità della composizione ionica extracellulare. Pertanto

sembra pertinente l’estensione dei modelli di membrana eccitabile verso una

comprensione più dettagliata dei processi metabolici che caratterizzano

l’evoluzione di una singola cellula nervosa. Dai punti di vista

embriogenetico e ontogenetico, la sintesi proteica e quindi il meccanismo di

controllo della distribuzione dei recettori di membrana e dei canali ionici,

deve per esempio garantire una stazionarietà di comportamento, in

condizioni di grande variabilità. Queste proprietà sono state analizzate e

trasposte nel modello ridotto, completando la sua descrizione con le stesse

equazioni approssimate, descriventi i fenomeni di sintesi proteica.

Nel quarto e nel quinto capitolo vengono poste le basi per lo sviluppo di

simulazioni di reti estese, e di modelli complessi di descrizione della

connettività tempo-variante delle stesse. La maggior parte delle cellule


DIBE – Università degli Studi di Genova v

nervose di un essere vivente si organizza in reti neuronali funzionalizzate

nel corso dell’embriogenesi. Fra gli innumerevoli fattori che influenzano la

struttura definitiva, è ormai chiaro che l’attività elettrica gioca un ruolo

predominante (Nelson et al., ’89; Fields et al., ’92). Molti meccanismi che

determinano la connettività sinaptica, come la crescita neuritica, il

comportamento del cono di crescita (struttura progenitrice delle sinapsi), la

morte cellulare, la sinaptogenesi e le variazioni dell’efficacia sinaptica sono

processi modulati dall’attività elettrica. Questa per esempio, è in grado di

arrestare la crescita delle arborizzazioni neuritiche, e di generare delle

retrazioni o delle alterazioni morfologiche nel cono di crescita (Fields et al.,

’92; van Ooyen et al., ’94).

Il risultato di questi processi è una reciproca influenza fra lo sviluppo della

struttura, della funzione e della connettività e l’attività della rete stessa,

caratteristica dei sistemi auto-organizzanti. La particolare forma delle

equazioni che descrivono il modello integra-e-spara consente l’impiego

dello stesso schema di connettività utilizzato nei modelli complessi,

garantendo l’ottimizzazione delle procedure di simulazione e rendendo

possibile lo studio di reti dinamiche auto-organizzanti.

In tale prospettiva, appare delinearsi più chiaramente l’idea che in

condizioni diverse, una cellula nervosa possa modificare le proprie

caratteristiche intrinseche, al fine di mantenere un particolare programma di

attività elettrica. Sperimentalmente, è stata data dimostrazione di una

quantità di meccanismi dipendenti dall’attività elettrica, quali plasticità

sinaptica (Nelson et al., ’89), meccanismi dipendenti dalla concentrazione di

calcio intracellulare (Fields et al., ‘92; van Ooyen, ’94), l’attivazione

neuronale di geni regolatori, variazioni strutturali (Turrigiano et al., ’95) e

reattività ai fattori neurotrofici durante la sinaptogenesi (Barinaga, ’95), e la

simulazione di questi processi al calcolatore, permette di giungere ad una

comprensione più profonda delle relazioni e dipendenze causali fra le varie

grandezze elettriche e biochimiche.


1DIBE – Università degli Studi di Genova

Capitolo 1

Meccanismi di Trasporto Attraverso

una Membrana Biologica

1.1 Elettrochimica delle Membrane Biologiche

Come ogni altra cellula di un organismo vivente, un neurone è dotato di una

membrana plasmatica. Negli anni ‘70, fu avanzata l’ipotesi che i due strati

costituenti tale membrana fossero formati dalla giustapposizione di

molecole fosfolipidiche orientate in senso opposto. E’ infatti proprietà di tali

sostanze assumere in soluzione acquosa, un’organizzazione tridimensionale

di questo tipo, in virtù delle caratteristiche idrofobiche e idrofiliche delle

code lipidiche e delle teste fosforilate, rispettivamente, che le compongono.

Di notevole rilevanza, è la capacità di questa struttura di ostacolare il

passaggio di sostanze elettricamente cariche. Mentre i dipoli di acqua, dotati

di piccole dimensioni e privi di carica elettrica netta, possono attraversare



facilmente tale barriera, così non avviene per i sali e per i composti

insolubili in acqua.

Se da un lato l’insorgenza di questa proprietà garantisce la segregazione

spaziale del citoplasma della cellula dall’ambiente esterno, dall’altro

richiede opportuni meccanismi funzionali per il trasporto dei vari tipi di ioni

e molecole, indispensabili per il metabolismo cellulare. In generale, questi

meccanismi possono essere classificati in due famiglie: meccanismi di

trasporto attivo e passivo. Nei primi è indispensabile la presenza di reazioni

chimiche esoergoniche, ovvero è necessaria una spesa energetica per

mantenere un flusso di materia da un estremità all’altra della membrana. Al

contrario, il trasporto passivo non richiede spesa energetica alcuna, e lo

scambio avviene in virtù di gradienti elettrochimici indotti dalla particolare

composizione chimica del citoplasma e del fluido intercellulare.

L’instaurarsi di una differenza di potenziale elettrico fra l’interno e l’esterno

della membrana, così importante per la trasduzione, l’elaborazione e la

trasmissione dell’informazione nervosa, è riconducibile proprio ai sistemi di

trasporto. E’ importante allora caratterizzare quantitativamente la dinamica

del potenziale elettrico, attraverso lo studio delle caratteristiche di

permeabilità della membrana e dei gradienti di concentrazione degli ioni,

unici portatori di carica elettrica in ambiente liquido.

1.2 Energia Libera di Gibbs

Per studiare più in dettaglio gli scambi ionici che avvengono attraverso una

membrana biologica, è necessario fare alcune semplificazioni e assunzioni.

E’ possibile riguardare la soluzione interna alla membrana plasmatica come

un sistema termodinamico aperto, ossia una parte di spazio soggetta a

scambi di energia e materia con l’ambiente circostante. In prima

approssimazione, l'interno e l'esterno della membrana cellulare sono

assimilabili a due compartimenti semi-infiniti, costituiti da soluzioni ioniche



variamente concentrate. Si definisce energia libera di Gibbs la seguente

funzione di stato per tale sistema:

(1.1) G E p V T Stot= + ⋅ − ⋅

dove Etot è l’energia totale (inclusa l’energia interna U e tutti i termini

energetici di tipo macroscopico), p è la pressione del soluto nella soluzione,

V è il volume totale disponibile, T è la temperatura assoluta e S l’entropia.

Attraverso il primo e il secondo principio della termodinamica, può essere

dimostrato che una variazione isoterma e isobara di G, equivale ad uno

scambio energetico di tipo lavoro, a meno di una generazione di entropia

δSgen (eq. 1.2).

(1.2) − = + ⋅ ≥( ) ,dG dL T S ST p e gen genδ δ 0

Se il soluto esercita un lavoro positivo sull’ambiente esterno, secondo la

convenzione classica, l’energia libera di Gibbs decresce, mentre aumenta in

conseguenza di una somministrazione energetica dall’esterno sul sistema

(metabolismo cellulare). Tale grandezza rappresenta quindi la potenzialità

del sistema a compiere lavoro, benché data la inevitabile generazione

entropica delle trasformazioni reali, una sua variazione è sempre maggiore

della quantità di lavoro effettivamente compiuto.

1.3 Potenziale Elettrochimico di una Sostanza

Un tipico esempio di scambio energetico di tipo lavoro dLe è il lavoro speso

per spostare una mole di uno ione generico, attraverso la membrana. Un

fenomeno di questo tipo richiede l’instaurarsi di una driving-force, ossia un

campo di forze agente sulle molecole, in generale dotate di carica elettrica.

Si definisce ψ il potenziale elettrico in un punto e µh il potenziale chimico



per la specie chimica h-esima nello stesso punto. Intendendo con de, la

carica infinitesima associata ad una quantità di moli infinitesima dnh della

sostanza di tipo h-esimo, il lavoro dLe assume la forma indicata

dall’equazione 1.3:

(1.3) dL de dne h hh

= ⋅ + ⋅∑ψ µ

Questa espressione può ovviamente essere riscritta (eq. 1.5), ricordando che

se zh è la valenza chimica della specie h-esima, allora la carica elementare

associata ad una quantità dnh di sostanza è proporzionale a dnh e a zh. In

totale vale che:

(1.4) de z F dnh hh

= ⋅ ⋅∑ , dove F è la costante di Faraday

(1.5) ( )dL z F dne h h hh

= + ⋅ ⋅ ⋅∑ µ ψ

Sostituendo l’equazione 1.5 nella 1.2, risulta che una variazione di G =

G(T, p, n1, n2, ...) è pari a

(1.6) ( )dG S dT V dp z F dnh h hh

= − ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅∑ µ ψ

ovvero risulta, per il teorema di derivazione delle funzioni composte, che la

componente del gradiente di G, relativa a nh , fissate temperatura assoluta,

entropia, pressione e concentrazione di ogni altra nk con k ≠ h, è il

coefficiente che moltiplica dnh nella 1.6. Formalmente, si può allora

definire:

(1.7)∂∂

µ µ µ ψG

nz F

h T S p nh h h h

k

= = + ⋅ ⋅

, , ,



Questa quantità prende il nome di energia libera molare parziale o

potenziale elettrochimico, e rappresenta la variazione dell’energia libera del

sistema, a seguito dello scambio di una mole di sostanza di tipo h-esimo,

quando T, S, p e la composizione di ogni altra sostanza sono fissate.

Sarà chiaro inoltre che un gradiente dµh fra due punti qualsiasi dello spazio,

induce un flusso netto della sostanza h-esima, dal momento che a parità di

ogni altra quantità del sistema, G non può che variare a spese di uno

scambio di materia, cioè una variazione dnh. Allora l’energia libera molare è

il descrittore termodinamico a cui riferire i fenomeni di diffusione in

soluzione, sia nel caso di composti elettroneutri, sia nel caso di cationi e

anioni.

Esplicitando le dipendenze funzionali di tale grandezza, in un sistema ideale

infinitamente diluito, la variazione di energia libera molare parziale può

pure essere espressa come

(1.8) ( )d z F d R T d c cn

Vh h h hhµ ψ= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =ln

dove ch è per definizione, la concentrazione molare della specie ionica h-

esima, R è la costante dei gas perfetti e T la temperatura assoluta. Un tale

gradiente elettrochimico induce quindi un campo di forze conservativo che

per mole di sostanza h-esima assume, nel caso monodimensionale, la forma

dell’equazione 1.9.

(1.9) fxx

h= −∂µ∂



1.4 Modello Circuitale Equivalente di Membrana

Numerosi studiosi di biofisica delle membrane cellulari, fra cui i premi

Nobel Hodgkin e Huxley, hanno basato la formulazione dei modelli di

descrizione del potenziale elettrico di membrana, essenzialmente

sull’assunzione che i processi di permeazione ionica possano essere

approssimati da fenomeni di tipo continuo e deterministico (Hodgkin et al.,

‘52). In altri termini, se consideriamo un problema monodimensionale di

attraversamento di una membrana di spessore ∆x in una direzione, e di

estensione infinita in tutte le altre direzioni, possiamo assumere che le

proprietà di permeabilità ionica siano uniformemente distribuite su tutta la

superficie, e definire il flusso molare monodimensionale per unità di

superficie, nel modo seguente:

(1.10) JA

c w dAh h hA

= ⋅ ⋅ ⋅∫∫1

Nella definizione 1.10, la doppia integrazione è estesa ad una generica

superficie di area A. Se la superficie è sufficientemente piccola, tale da poter

considerare la velocità di attraversamento wh di uno ione uniforme in ogni

punto, si può scrivere la seguente equazione:

(1.11) JA

c w A c w wxh h h h h h

h≅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ∝ −1 ∂µ

∂

dove si è assunta l’esistenza di attriti viscosi, nell’esprimere la velocità di

uno ione generico wh proporzionale all’intensità del campo di forze e quindi

al gradiente di potenziale, in condizioni isotermobariche.

Le condizioni necessarie per il trasporto di massa attraverso una membrana

quindi, sono una differenza di potenziale elettrico dψ e/o una differenza di

concentrazione di una stessa specie ionica, ai capi opposti della membrana.



Sotto l’ipotesi che le proprietà di permeabilità della membrana plasmatica

siano uniformi, possiamo integrare ai capi della membrana l’equazione 1.12,

che rappresenta il flusso ionico totale, ottenendo l’equazione 1.13.

(1.12) ( )J u cd

dxR T c z Fh h h h h

hh

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∑∑ ln ψ

(1.13)( )

z F Jdx

u c z F

R T

z F

c

ch h

h h h

x

h

hIN

hEXT

hh

⋅ ⋅ =⋅ ⋅ ⋅

⋅

⋅⋅

⋅ −

∫∑∑

−

20

1

∆∆ψln

Nell’ultima equazione, si è indicata con uh la mobilità della specie chimica

h-esima attraverso un punto generico della membrana.

L’equazione 1.13 identifica un circuito elettrico equivalente, dal momento

che formalmente, essa può essere riguardata come la condizione di

solenoidalità dei flussi di densità di corrente di conduzione, attraverso la

membrana. In altri termini, essa corrisponde all’equazione di Kirchoff ad un

nodo di un circuito, nella topologia indicata in figura 1.1.

IN EXT

∆ψ

Fig. 1.1: Trasporto ionico e circuito elettrico equivalente.



I generatori indipendenti di tensione rappresentano il potenziale di equilibrio

di Nernst, ossia il termine R T

z F

c

ch

hIN

hEXT

⋅⋅

⋅ ln coincidente con quel valore di

∆ψ per il quale non si ha alcun flusso netto della specie ionica h-esima. Le

conduttanze (per unità di superficie) di valore pari a

( )dx

u c z Fh h h

x

⋅ ⋅ ⋅

∫

−

20

1

∆per ogni h, poste in serie a ciascun generatore di

tensione, dipendono in prima approssimazione dal termine di mobilità uh

attraverso la membrana, per ciascuno ione.

Se da un lato l’approccio modellistico elettrico ha il pregio di rappresentare

in modo immediato i contributi al potenziale di membrana dovuti alle

singole specie ioniche, dall’altro deve essere adoperata molta cautela

nell’interpretazione di alcuni risultati. A rigore infatti i formalismi

elettrotecnici e le equazioni fondamentali di Kirchoff non fanno alcuna

distinzione fra le diverse specie ioniche. Queste leggi non discriminano fra

un elettrone trasportato da uno ione Cl- e un elettrone trasportato da HCO3-,

come pure non possono distinguere fra la corrente elettrica dovuta ad un

flusso di un anione monovalente in una direzione o la corrente dovuta ad un

flusso di un catione monovalente nella direzione opposta (Schultz).

Riassumendo, il circuito equivalente schematizzato in figura 1.1,

rappresenta l’equivalente di un patch di membrana di estensione A, dotata di

proprietà di permeabilità spazialmente uniformi, che separa due

compartimenti semi-infiniti in cui le concentrazioni molari delle specie

ioniche sono ch IN e ch

EXT, per ogni h-specie. Molto interessante è la forma

matematica di queste correnti ioniche: queste sono ohmiche, ovvero

proporzionali alla differenza di potenziale, attraverso un termine di

conducibilità elettrica equivalente. Questa descrizione costituisce

un’approssimazione particolarmente accurata, quando la concentrazione

degli ioni in soluzione non sia troppo elevata.



Dal punto di vista sperimentale comunque, anche nel caso di una membrana

completamente impermeabile al passaggio di ioni può essere rilevata una

corrente elettrica, a seguito di una variazione del potenziale elettrico.

L’effetto di una variazione della carica, accumulata ai capi della membrana,

è quello di generare una corrente di spostamento, dovuta essenzialmente alle

caratteristiche strutturali del doppio strato lipidico. La regione idrofoba,

come già osservato, può essere pensata con ottima approssimazione come un

dielettrico ideale, interposto a due strati conduttori. Sotto l’ipotesi di

sovrapposizione lineare di tale corrente di spostamento, alle correnti ioniche

ohmiche definite prima, la distribuzione di carica elettrica è la medesima

che si instaura sulle armature di un condensatore posto in parallelo al

circuito elettrico precedente (figura 1.2).

IN EXT

∆ψ

Fig. 1.2: Modello circuitale equivalente completo di effetti capacitivi.

1.5 Equazione del Potenziale Elettrico di Membrana

Sono state chiarite le modalità con le quali è possibile un flusso di corrente

ionica attraverso una membrana, quando esistano condizioni di permeabilità



per quella specie ionica. E’ allora possibile analizzare la dinamica temporale

e spaziale del potenziale elettrico ai capi della membrana plasmatica di una

cellula nervosa e studiarne le proprietà di eccitabilità. Consideriamo ancora

l’equazione 1.13. Questa equazione può essere completata dal principio di

conservazione della carica elettrica, partendo dalle equazioni fondamentali

dell’elettromagnetismo. Si scriva la prima equazione di Maxwell:

(1.14) ∇ ∧ = + ⋅H JE

ε∂∂t

Al primo membro compare il rotore di H , vettore campo magnetico, mentre

al secondo membro, J rappresenta il vettore densità di corrente di

conduzione, E il vettore campo elettrico e ε la permettività elettrica del

mezzo. Per le proprietà dell’operatore rotore, applicando la divergenza ad

ambo i membri si ottiene la seguente:

(1.15) ( )0 = ∇ ⋅ ∇ ∧ = ∇ ⋅ + ⋅

H J

Eε

∂∂t

Infine per il teorema di Gauss in forma locale, ∇ ⋅ =Eρε , con ρ la densità di

carica volumetrica, e per la linearità dell'operatore divergenza, segue che la

variazione temporale della carica libera contenuta in una qualunque

superficie chiusa è la risultante algebrica delle correnti che la attraversano

(eq. 1.16):

(1.16)dQ

dtJ ds I tot= ⋅ =∫∫

Il secondo membro di tale equazione, coincide con il primo termine della

1.13. Vengono così inclusi gli effetti capacitivi del doppio strato



fosfolipidico, in prima approssimazione modellati da un condensatore a

facce piane parallele, di capacità C.

Si può allora scrivere un’equazione differenziale per il potenziale di

membrana del tipo seguente, essendo Q = C ⋅ ∆ψ per definizione di capacità

elettrica:

(1.17) ( )dC

dtz F J g Eh h h h

hh

⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ −∑∑∆ψ

∆ψ

(1.17a)( )

ER T

z F

c

cg

dx

u c z Fh

h

hIN

hEXT h

h h h

x=

⋅⋅

⋅ =⋅ ⋅ ⋅

∫

−

ln 20

1

∆

Per come è stato definito, ∆ψ è pari alla differenza del potenziale elettrico

intracellulare e di quello extracellulare, ossia ∆ψ = ψ IN - ψ EXT, in accordo

con la convenzione biofisica, e d’ora in avanti si chiamerà V = ∆ψ. Giacché

la struttura del doppio strato fosfolipidico è stabile nel tempo, alla superficie

della membrana le caratteristiche geometriche dell’equivalente chimico

delle armature di un condensatore sono tempo-invarianti e di conseguenza

pure il valore della capacità C. Riscriviamo allora l’equazione 1.17,

portando C fuori dal segno di derivata temporale:

(1.18) ( )CdV

dtg E Vh h

h

= ⋅ −∑

Occorre chiarire che V è il valore del potenziale ai capi della membrana

cellulare all’istante t, posseduto da ogni punto del patch di membrana. In

altri termini, l’equazione 1.18 vale solo nell’ipotesi in cui tutti i punti in

esame siano caratterizzati dallo stesso valore di V (ipotesi di space clamp).

Una formulazione più generale dell’equazione 1.18, che tenga conto delle

disomogeneità della distribuzione del potenziale, oltreché degli eventuali

fenomeni di propagazione, è formalizzabile come un’equazione alle derivate



parziali in cui si includono i termini di permeabilità ionica citoplasmatica

(rint-1) e le dipendenze spaziali dei parametri (1.19).

(1.19) ( )1 2

2r x

V x t

xC x

V x t

tg x E x V x th h

hint ( )

( , )( )

( , )( ) ( ) ( , )⋅ = ⋅ − ⋅ −∑∂

∂∂

∂

Questa rappresenta l’evoluzione dinamica di un circuito elettrico a parametri

distribuiti e deve essere impiegata quando siano rilevanti gli effetti

propagativi e le disomogeneità spaziali. La determinazione del valore della

velocità di propagazione di una perturbazione di V(x,t), fu condotta per la

prima volta nelle fibre nervose di rana, da Helmholtz, personalità centrale

nello sviluppo dell'elettromagnetismo. Non a caso, dunque, l’equazione 1.19

discende direttamente dalla teoria elettromagnetica delle linee di

trasmissione che riesce a descrivere con successo, la trasmissione nervosa

anche in configurazioni geometriche complesse dei processi neuritici.

Per semplicità, verranno trascurati fenomeni di questo tipo, e sarà presa in

considerazione soltanto l’ipotesi di space clamp. Dal punto di vista della

consistenza con la realtà, molti processi naturali di interesse neurobiologico

sono caratterizzati dalle condizione di space clamp: varie strutture

dell’anatomia di una cellula nervosa, come la parte iniziale dell’assone

(hillock) e i nodi di Ranvier, sono di piccole dimensioni e

approssimativamente isopotenziali (Strassberg et al., ‘93).

Si inizia la caratterizzazione dei parametri che compaiono nella 1.18: si

osserva sperimentalmente che le specie ioniche tipiche sono il cloro, il

potassio, il sodio, il calcio e il magnesio, anche se il ruolo preponderante

viene unanimemente attribuito alle prime tre. La tabella 1.1 riporta i valori

indicativi delle concentrazioni di queste specie ioniche all’interno e

all’esterno della membrana citoplasmatica.



Ione Interno Esterno

K+ 400mM (10)mM

Na+ 50mM 460mM

Ca2+ (.4)mM 10mM

Mg2+ 10mM 54mM

Cl- 40 - 150mM 560mM

Tabella 1.1: Concentrazioni saline per l’assone gigante di calamaro

(Shepard, ‘88) .

Per definizione, il potenziale di equilibrio per ciascuna delle specie ioniche è

calcolabile secondo la 1.17a, e i valori indicativi sono riportati di seguito.

Ione E h

K+ 96mV

Na+ 58mV

Ca2+ 84mV

Mg2+ 44mV

Cl- 46mV

Tabella 1.2: Valori dei potenziali di equilibrio ionico.

Questi valori sono tutti diversi da zero, dal momento che esistono gradienti

di concentrazione fra l’interno e l’esterno della membrana. Se il sistema si

portasse all’equilibrio con il suo ambiente esterno, in un tempo più o meno

lungo (tempo di rilassamento) i valori delle concentrazioni si

eguaglierebbero annullando il rispettivo potenziale d’equilibrio. Questo non



avviene essenzialmente per due ragioni: in condizioni normali la membrana

è impermeabile al passaggio di ioni sodio, mentre ammette il trasporto di

ioni potassio dall’interno all’esterno, in accordo con il potenziale

elettrochimico presente. Questa condizione di stazionarietà si oppone alla

naturale tendenza all'equilibrio termodinamico, e non è chiaramente

deducibile dall’analisi svolta fino a questo momento. E’ indispensabile, per

completare la trattazione, includere quei meccanismi di trasporto attivo,

capaci di mantenere lontano dall’equilibrio il sistema, a spese di energia

metabolica. Più in dettaglio, fra questi meccanismi deve esistere un processo

di trasporto ionico, contro i gradienti elettrochimici, ovvero un meccanismo

di pompa metabolica. Nell’equazione 1.13, dovrebbero allora comparire

nuovi termini al secondo membro, elettricamente equivalenti a dei

generatori indipendenti di corrente. Secondo questo schema, la condizione

di sbilanciamento nelle concentrazioni ioniche può essere mantenuta

indefinitamente. Tipicamente comunque, i fenomeni di quest’ultimo tipo,

interessano una scala temporale più lenta rispetto alle costanti di tempo

elettriche e chimiche dell’equazione 1.13. Sotto questa ipotesi è possibile,

assumere assente, sul breve termine, l'effetto delle variazioni nella

concentrazione intracellulare ed extracellulare, assumendo il valore dei

potenziali nernstiani come fissato nel tempo.

1.6 Dinamica delle Conduttanze di Membrana e

Modello di Hodgkin-Huxley

Fino a questo punto le proprietà di una cellula nervosa sono le stesse di una

qualunque altra cellula di un organismo vivente. Infatti, la quasi totalità

delle membrane cellulari prevede i meccanismi di trasporto citati, ed è

soggetta a gradienti ionici del tipo descritto. La caratteristica essenziale che

distingue un neurone dalle altre cellule, è la capacità di variare

transitoriamente il potenziale di membrana, in risposta ad un’alterazione



nelle concentrazioni o ad uno stimolo esterno. Si dirà allora che un neurone

è una cellula eccitabile, ovvero il potenziale di membrana non resta fissato

nel tempo. Altri esempi di cellule eccitabili sono dati dalle fibre muscolari e

dalle cellule pancreatiche β.

La proprietà di eccitabilità fu studiata nel dettaglio da Hodgkin e Huxley

attorno agli anni '50, e per primi compresero che l’insorgenza di una rapida

depolarizzazione della membrana, seguita da una immediata

iperpolarizzazione, era consistentemente riconducibile ad una variazione nel

tempo dei valori di conduttanza elettrica: le permeabilità ioniche indicate

nella 1.18 dovevano essere necessariamente tempo-varianti. Essi

ipotizzarono che il campo elettrico indotto dal potenziale di membrana,

dovesse avere un qualche effetto sulla distribuzione superficiale o sulla

struttura interna di molecole cariche, o dotate almeno di un momento di

dipolo elettrico, e che queste fossero responsabili del passaggio degli ioni

attraverso la membrana: i canali ionici. Il sistema di equazioni differenziali

proposto per descrivere V(t), considera ogni gh, come una quantità

proporzionale alla frazione dei canali permeabili in un dato istante. Hodgkin

e Huxley supposero che a regime, la popolazione di tali canali dovesse

trovarsi all’equilibrio termodinamico, ovvero seguire la distribuzione di

Boltzmann (1.20). Se indichiamo a regime con nd ∞, la frazione

deterministica di canali nello stato permeabile, e quindi con (1-nd ∞) la

frazione di essi nello stato che rende impossibile il passaggio ionico,

possiamo scrivere che:

(1.20) n n ed d

G

KT∞ ∞

−= − ⋅( )1

∆

all’equilibrio termodinamico.

A meno di una costante arbitraria, ∆G rappresenta l’energia libera di Gibbs,

che può essere pensata funzionalmente dipendente dal potenziale V,

attraverso la dipendenza dal lavoro compiuto dalle forze del campo elettrico.

In altri termini possiamo scrivere la seguente equazione.



(1.21) ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆G L T S L L z q V We gen e e= − + ⋅ ≅ − = ⋅ ⋅ +

Questa equazione segue dalla 1.2, trascurando i processi dissipativi e gli

attriti (∆Sgen = 0), che comunque spostano solo l’efficienza del sistema e

non ne modificano la dinamica. ∆W < 0 è il lavoro speso quando V = 0, q è

la carica elementare dell’elettrone e z la valenza chimica equivalente delle

molecole ipotizzate da Hodgkin e Huxley. Se z < 0 e V è sufficientemente

grande, si può considerare ∆G z q V≈ ⋅ ⋅ , e riscrivendo la 1.20, si ottiene

una nota dipendenza sigmoidale (1.22) dal potenziale di membrana,

rappresentata in figura 1.3.

(1.22) n n e n

e

d d

z q V

K Td z q V

K T

∞ ∞

−⋅ ⋅

⋅∞

−⋅ ⋅

⋅

= − ⋅ ⇒ =

+

( )11

1

In queste ipotesi si è pertanto dimostrato che a regime, per ogni h-specie

ionica g∞ è proporzionale a nd ∞, ovvero ad una quantità che dipende dal

tempo attraverso V(t).

-4 0 4

0.0

0.4

0.8

V

Fig. 1.3: Dipendenza sigmoidale dal potenziale elettrico, delle conduttanze

di membrana a regime.



Questa particolare dipendenza, dedotta con considerazioni termodinamiche,

chiarisce come la permeabilità della membrana ad una data specie ionica

possa essere elevata ad un dato valore del potenziale di membrana, e

trascurabile per un altro valore, rendendo verosimile l'ipotesi di Hodgkin e

Huxley, che le transizioni di V(t) siano il risultato di fenomeni

autorigeneranti e legati solo alle proprietà di permeabilità ionica.

Comunque, si comprende presto che una dipendenza funzionale istantanea

dal potenziale di questo tipo non è sufficiente a modellare il fenomeno

transitorio che si osserva sperimentalmente a seguito di una stimolazione in

corrente del patch di membrana: il potenziale d’azione (fig. 1.4).

0 10 20

-80

-60

-40

-20

0

20

40

V (mV)

t (msec)

Fig. 1.4: Potenziale d’azione.

Ipotizzando uno schema cinetico del primo ordine per l’evoluzione

temporale della frazione di canali ionici permeabili, e mediante tecniche di

interpolazione numerica dei dati sperimentali ottenuti nel caso dell'assone



gigante del calamaro, Hodgkin e Huxley derivarono il primo modello

matematico di eccitabilità nervosa (Hodgkin et al., ‘52) (eq. 1.23 - 1.26).

(1.23) ( ) ( ) ( )CdV

dtg E V g n E V g m h E V Il l K d K Na d d Na ext= ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ − +4 3

L'ultima equazione discende dalla 1.18 e dalle ipotesi e assunzioni sulla

dipendenza delle conduttanze di membrana. Vi figurano i valori massimi

delle stesse, insieme con opportune variabili di attivazione e inattivazione

deterministica (nd, md, hd), che riassumono il concetto di frazione di

elementi di una popolazione di canali ionici nello stato permeabile. Queste

compaiono elevate alla terza e quarta potenza, per ragioni di interpolazione

dei risultati sperimentali, anche se sussistono motivazioni più profonde che

verranno esaminate nel paragrafo 1.13 (si veda l'equazione 1.89). Lo schema

cinetico del prim’ordine citato (eq. 1.24 - 1.26) dispone di coefficienti di

reazione dipendenti dal potenziale V (eq. 1.27 - 1.29).

(1.24) ( )dn

dtV n V nd

n d n d= ⋅ − − ⋅α β( ) ( )1

(1.25) ( )dm

dtV m V md

m d m d= ⋅ − − ⋅α β( ) ( )1

(1.26) ( )dh

dtV h V hd

h d h d= ⋅ − − ⋅α β( ) ( )1

(1.27) α βn V n

V

VV

e

V e( ). ( )

( ) .=⋅ +

−= ⋅

−+

−+0 01 55

1

012555

10

65

80

(1.28) α βm V m

V

VV

e

V e( ). ( )

( )=⋅ +

−= ⋅

−+

−+01 40

1

440

10

65

18



(1.29) α βh

V

h VV e V

e

( ) . ( )= ⋅ =−

−+

−+0 07

1

1

65

2035

10

Nella 1.23, compare inoltre una conduttanza identicamente costante nel

tempo. Tale è la conduttanza di perdita (leakage), e rappresenta il flusso

attraverso la membrana, di ioni Cl- e di altre specie ioniche di minore

importanza. I valori dei parametri non ancora esplicitati sono infine i

seguenti:

Parametro Valore

C Capacità di membrana 1µF/cm2

El Potenziale di eq. di perdita -54.4mV

ENa Potenziale di eq. per Na+ 50mV

EK Potenziale di eq. per K+ -77mV

gl Conduttanza di perdita 0.3mS/cm2

gNa Conduttanza massima per Na+ 120mS/cm2

gK Conduttanza massima per K+ 36mS/cm2

Tabella 1.3: Valore dei parametri del modello di Hodgkin-Huxley.

Si osserva, come era stato anticipato, che i valori di regime di nd, md, e hd

hanno dipendenza sigmoidale dal potenziale di membrana, dal momento che

annullando il primo membro delle equazioni 1.24 - 1.26, si ottiene

rispettivamente:

(1.30) n m hdn

n nd

m

m md

m

m mg∞ ∞ ∞=

+=

+=

+α

α βα

α βα

α β



Il formalismo dalle equazioni 1.18 e 1.23 - 1.26 definisce una classe molto

ampia di modelli biofisici di membrana eccitabile (Morris et al., ‘81; Chay,

‘90; Buchholtz et al., ‘92; Turrigiano et al. ‘95). Caratteristica comune è la

dinamica associata alle variabili che controllano l’attivazione e

l’inattivazione eventuale delle conduttanze ioniche. I vari modelli proposti

per numerosi tipi di membrana eccitabile (fibre muscolari, neuroni del

ganglio stomatogastrico, neuroni di sanguisuga, neuroni piramidali, cellule

pancreatiche β, eccetera) si distinguono dal numero di correnti ioniche che

vengono incluse, oppure dalla descrizione di fenomeni di ordine superiore

(Rinzel et al.) come il bursting, i fenomeni di accumulo, la sintesi proteica,

di cui si può tenere conto complicando le dipendenze dei coefficienti di

reazione α e β e la forma delle conduttanze massime di membrana (si veda

il capitolo 3).

1.7 Descrizione Discreta di un Canale Ionico

E’ già stato sottolineato che le assunzioni di base della trattazione biofisica

esaminata sono l’uniformità, la continuità ed il determinismo delle proprietà

di permeabilità ionica del patch di membrana. Oggi è noto che la vera natura

delle membrane biologiche è tutt’altro che continua, dal momento che i siti

di permeabilità ionica sono concentrati e localizzati entro strutture proteiche

intercalate al doppio strato fosfolipidico. Tali siti, in grado di modulare

nell’intensità le correnti ioniche, sono intrinsecamente governati da una

cinetica stocastica e non deterministica. Tale ipotesi fu avanzata fin dalla

prima metà degli anni ‘70 (Conti et al., ‘75) sulla base di osservazioni

indirette delle fluttuazioni del potenziale di membrana, e poi nel 1980 fu

verificata sperimentalmente da Conti, Neher e Sackmann, grazie allo

sviluppo di una nuova tecnica di rilevazione elettrofisiologica delle singole

correnti di canale: la tecnica del patch clamp. Fu possibile accertare

definitivamente che i siti di attraversamento della membrana, per un tipo di



ione soltanto, sono entità discrete, localizzate e soggette a fluttuazioni

statistiche nella conformazione tridimensionale che induce le proprietà di

permeabilità. Il contributo al potenziale di membrana è quindi di tipo

aleatorio, ed è pensabile come il risultato di una fluttuazione delle proprietà

di permeabilità di ciascun canale, amplificata dai gradienti ionici presenti ai

capi della membrana cellulare. Infatti, il rumore termico fornisce a questi

complessi proteici sufficiente energia da variare temporaneamente la propria

conformazione interna, così che essi fluttuano casualmente entro un numero

finito di stati discreti stabili (DeFelice et al., ‘93). Storicamente,

l’identificazione di questi stati interni, è stata condotta analizzando e

interpretando le correnti ioniche rilevate dal singolo canale, e le probabilità

di transizione fra questi stati viene assunta dipendente, in modo istantaneo,

dal potenziale di membrana e dallo stato stabile attuale, ossia l’intero

processo è assunto markoviano. Il risultato netto di questa conversione

dell’energia termica in un segnale macroscopico significativo, è la

complessa cinetica tempo-variante e dipendente dal potenziale, capace di

prevedere tutte le proprietà elettriche macroscopiche.

Fig. 1.4a: Rappresentazione schematica della natura discreta del fenomeno

di permeabilità ionica.



Dal punto di vista modellistico, può essere data una versione più accurata

dell’equazione che descrive l’andamento del potenziale di membrana V(t):

(1.31) ( ) ( )CdV

dtg E V g n E V Il l h h h

hext= ⋅ − + ⋅ ⋅ −

+∑

Ogni conduttanza ionica viene ancora descritta come prodotto fra la

conduttanza massima, corrispondente al caso in cui tutti i canali proteici di

quel tipo sono nello stato aperto, e la frazione totale di canali in tale stato.

Ciascun canale è riguardato come un dispositivo discreto, funzionalmente

bistabile fra uno stato aperto e uno stato chiuso.

A ciascuno di questi canali è associata una variabile ξh i , dove il primo

pedice indica il tipo di ione che viene fatto transitare, e il secondo identifica

l’indice del canale proteico. Questa variabile assume il valore 1 quando lo

stato funzionale del canale è aperto, e altrimenti il valore 0.

Con le definizioni date, si può essere più precisi nell'affermare che per ogni

h-specie chimica:

(1.32) nNh

hh i

i

Nh

= ⋅=∑1

1max

max

ξ

Nel paragrafo seguente si studierà la natura stocastica di questa variabile

aleatoria, definita come somma di variabili aleatorie. Si considererà inoltre

una varietà di modelli stocastici di canale proteico, nei quali vale che:

(1.32a)ξ γhj

k

h jh

h

h=

=1Π



E’ possibile esprimere la variabile associata al canale generico, come

prodotto di variabili elementari, che esprimono lo stato conformazionale di

singole strutture interne.

Nella 1.32, si è indicato con Nh max il numero massimo di canali proteici

selettivi al passaggio della specie ionica h-esima, in generale esprimibile in

termini di densità superficiale di canali ρh, e di estensione del patch di

membrana in esame S.

(1.33) N Sh hmax

= ⋅ρ

Si vuole subito eliminare un’ambiguità in riferimento alle dimensioni di

ciascun termine della 1.31. Se V e Eh sono misurati in mV e t in msec, C

viene misurata in µF/cm2, gh in mS/cm2. La corrente esterna Iext viene

misurata in µA/cm2, la superficie S in cm2 e la densità ρh in cm-2.

Anche se dimensionalmente la capacità, i valori delle conduttanze e la

corrente esterna sono relativi all’unità di superficie, nel considerare il

numero totale di canali proteici indicato dalla 1.32, si ha comunque una

dipendenza dal valore di S. Indicando con $Iext in µA la corrente esterna

assoluta di stimolazione, moltiplicando per S ambo i membri della 1.31 si

ottiene:

(1.34) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C SdV

dtg S E V g S

SE V Il l h

hh i

i

N

hh

ext

h

⋅ = ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅⋅

⋅

⋅ −

+=∑∑ 1

1ρξ

max

$

Nh max è pur sempre relativo alla dimensione del patch, come si vede

raccogliendo una quantità adimensionale, pari a S: la sola differenza formale

è il fattore di scalamento della corrente:

(1.35) ( ) ( )CdV

dtg E V g

SE V

I

Sl l hh

h ii

N

hh

exth

= ⋅ − + ⋅⋅

⋅

⋅ −

+=∑∑ 1

1ρξ

max $



Fig. 1.5: Particolare del dominio di formazione di un poro proteico:

rappresentazione grafica al calcolatore.

1.8 Cinetica Stocastica

Riprendendo la 1.32, si osserva che la quantità ξh i associata a ciascun

canale è una variabile aleatoria, come pure nh che ne è la sommatoria estesa

a tutti i canali del tipo h. In vista di una determinazione formale di alcune

proprietà dell’approccio stocastico alla descrizione del fenomeno

dell’eccitabilità, è possibile studiare le proprietà statistiche delle variabili

citate.

Il modello più semplice di un canale proteico voltage-gated, ossia

controllato nella permeabilità dalla differenza di potenziale ai capi della

membrana, è quello di un dispositivo a due stati conformazionali stabili, per

il quale le transizioni da uno stato all'altro siano indipendenti dalla storia

precedente, e legate solo allo stato e al potenziale di membrana attuali.

Possiamo visualizzare schematicamente questo dispositivo in fig. 1.6,

pensando che esso sia completamente caratterizzato dallo stato di una

singola struttura molecolare al suo interno, funzionalmente sensibile al



potenziale di membrana. Tale struttura può trovarsi in due stati, e d'ora in

avanti verrà chiamata gate.

CANALECHIUSO

CANALEAPERTO

gatenello stato chiuso

gatenello stato aperto

Fig. 1.6: Modello di canale ionico bistabile, ad unico gate indipendente.

Noto deterministicamente lo stato occupato inizialmente, introduciamo la

seguente notazione per riferirci alla probabilità condizionale di trovare il

gate in un certo stato, all'istante attuale. D’ora in avanti si farà riferimento

allo stato aperto del gate con la lettera A, e allo stato chiuso con la lettera C.

(1.36)

P tgate APERTO a t t

gate nello stato K a t

P tgate CHIUSO a t t

gate nello stato K a t

A K

C K

,

,

( ’) Pr’

( ’) Pr’

==

=

==

=

0

0

dove K A C∈ , è lo stato posseduto ad un istante iniziale,

convenzionalmente fissato a t = 0 e noto.

Per la natura non lineare delle interazioni fra campi elettrici e

conformazione tridimensionale dei complessi proteici che compongono un

canale ionico, introduciamo la probabilità di transizione del gate da uno



stato all’altro, dipendente dal valore istantaneo del potenziale di membrana.

Per i transitori che stiamo studiando, il potenziale di membrana V(t) può

essere considerato costante rispetto al tempo, giacché le sue variazioni

temporali dipendono solo dai flussi ionici attraverso i canali aperti. La scala

temporale dei fenomeni di attraversamento della membrana attraverso essi, è

sicuramente molto maggiore di quella coinvolta nell’apertura e nella

chiusura degli stessi, dato l’ordine di grandezza della mobilità di uno ione in

soluzione.

(1.37)[ ] [ ]

Pr ; ( )

Pr ; ( )

APERTO CHIUSO in t t t V t

CHIUSO APERTO in t t t V t

→ + = ⋅

→ + = ⋅

∆ ∆

∆ ∆

β

α

Le probabilità di transizione 1.37, fissano la probabilità che si abbia una

transizione da uno stato all’altro, in un certo intervallo temporale,

proporzionalmente alla durata di tale intervallo e ad una funzione del

potenziale di membrana V. Questa funzione verrà nel seguito determinata,

in base a procedure di fitting delle misure elettrofisiologiche.

Dalle 1.36 e 1.37, risulta possibile determinare l’espressione analitica delle

probabilità condizionali PI, J (t), per ogni I e J stato possibile. Infatti, fissato

un intervallo temporale infinitesimo ∆t, si può esprimere ad esempio la

probabilità di trovare all’istante t+∆t il gate nello stato A, come probabilità

dell’evento: “gate nello stato A all’istante t e nessuna transizione in ∆t,

oppure gate nello stato C all’istante t e transizione da C a A”. Dal momento

che la probabilità dell’unione di eventi disgiunti è la somma delle

probabilità dei singoli eventi, e che la probabilità della congiunzione di

eventi indipendenti è il prodotto delle probabilità dei singoli eventi, si trova:

(1.38)

( )( )

P t t t P t t P t

P t t t P t t P tA K C K A K

C K A K C K

, , ,

, , ,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

+ = ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅+ = ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅

∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆

α ββ α

1

1



Analogo ragionamento è stato condotto per la probabilità di trovare il gate

nello stato chiuso al tempo t + ∆t. Se si fa tendere a zero ∆t, e si rammenta

che per il secondo assioma della teoria delle probabilità si può scrivere

(1.39) ∀ + =K t P t P tA K C K, : ( ) ( ), , 1,

si ottiene il seguente sistema differenziale lineare omogeneo:

(1.40)d

dt

P t

P t

P t

P tA K

C K

A K

C K

,

,

,

,

( )

( )

( )

( )

=

−−

⋅

β αβ α

per definizione caratterizzato dalla seguente condizione iniziale

(1.41)P

PA K

C K

A K

C K

,

,

,

,

( )

( )

0

0

=

δδ , dove δI J

I J

I J, ==≠

1

0 è detto delta di Kroneker

Tale sistema differenziale (1.40 – 1.41) può essere risolto in forma chiusa,

pur di considerare costanti rispetto al tempo le quantità α(V) e β(V). Questa

è una buona approssimazione poiché tali grandezze dipendono da V ma

come si è già detto, la dinamica ad esso associata è molto più lenta.

Il sistema 1.40 è allora lineare a coefficienti costanti e porta ai seguenti

risultati:

(1.42) ( ) ( )P t P P eA K A A K At

, ,( ) = + − ⋅ − + ⋅δ α β

(1.43) ( ) ( )P t P t P P eC K A K C C K Ct

, , ,( ) ( )= − = + − ⋅ − + ⋅1 δ α β

(1.43a) P P t P P tAt

A K Ct

C K= =+

= =+→+∞ →+∞

lim ( ) lim ( ), ,

αα β

βα β



Le probabilità definite dalla 1.43a sono le probabilità condizionali a regime,

che non dipendono più dalla condizione iniziale, e quindi vi si può fare

riferimento omettendo il pedice K.

1.9 Tempo di Vita di uno Stato

Date queste probabilità non stazionarie, è possibile conoscere il tempo di

permanenza in uno stato assunto dal gate, ovvero l'intervallo temporale in

cui lo stato viene mantenuto senza che occorrano transizioni ? Tale

intervallo temporale è ovviamente una variabile aleatoria, la cui densità di

distribuzione di probabilità è determinabile analiticamente. Questa

grandezza è di fondamentale importanza nell’implementazione al

calcolatore di un algoritmo per la simulazione di processi markoviani.

Si definiscono per comodità gli intervalli temporali

TA : in cui lo stato del gate permane continuativamente in A

TC : in cui lo stato del gate permane continuativamente in C

dove si usa il termine continuativamente per indicare l’assenza di transizioni

da uno stato all’altro, entro quell’intervallo temporale. Se si considera una

discretizzazione dell'asse dei tempi in passi di ∆t, per esempio per lo stato

aperto, possiamo determinare la probabilità che tale stato venga mantenuto

di seguito per n passi temporali:

Pr Pr" ",

" ’ "

gate nello stato APERTO

per n t

NON accada A C in t per n volte

e accada una sola volta A C in t n t⋅

=

→

→ = ⋅

∆

∆

∆ ∆

Per l'ipotesi di markovianità delle transizioni, questa probabilità può essere

riscritta equivalentemente secondo la definizione:



( ) ( )

Pr " " Pr " ’ "NON A C in t per n volte A C in t n t

t n tn

→ ⋅ → = ⋅ =

= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∆ ∆ ∆

∆ ∆1 β β

Passando dal discreto al continuo, e chiamando f T) e f T)T TA C( ( la

densità di distribuzione di probabilità rispettivamente di TA e TC, si fa

tendere a zero l'intervallo temporale di discretizzazione. Dal momento che

nT

t=

∆ per definizione, si deduce che per TA :

(1.44)

( ) ( )( )

f T dT T T T dT

t T dT T e dT

T A

t

T

t T

A( ) Pr

lim

⋅ = < ≤ + =

= − ⋅ ⋅ ⋅ + − = ⋅ ⋅→

− ⋅

∆∆∆

01 β β ββ

Questa derivazione è possibile per il fatto che ( )11

− ⋅ =⋅ − ⋅

ββ

∆ ∆ ∆∆

t eT

t

T

ttln( )

, e

che per ∆t molto piccolo ln( )1− ⋅ ≅ − ⋅β β∆ ∆t t , sviluppando il logaritmo in

serie di Taylor arrestata ai primi due termini.

Seguendo calcoli analoghi anche per l'altra densità di distribuzione, è

dividendo ambo i membri della 1.44 per il differenziale dT, si ottengono alla

fine le 1.45 e 1.46.

(1.45) f T) eTT

A( = ⋅ − ⋅β β

(1.46) f T) eTT

C( = ⋅ − ⋅α α

Si possono eventualmente calcolare tutti i momenti di queste variabili

aleatorie: per il valore atteso e la varianza di TA e TC vale che:



(1.47) ( ) ( )

T E T T e dT E T T

T E T E T T

A AT

T A A

C C T C C

A

C

= = ⋅ ⋅ = = − =

= = = − =

+∞− ⋅∫

0

2 2

2

2 2

2

1 1

1 1

ββ

σβ

ασ

α

β



1.10 Variabile di Attivazione del Gate

E’ stato fin qui studiato un processo stocastico markoviano, in generale non

stazionario, che definisce la probabilità di due eventi semplici riguardanti lo

stato del gate.

Da considerazioni che appariranno motivate nel seguito (eq. 1.54),

associamo allo stato del gate una variabile binaria γ ∈ 0 1; che assume i

valori del proprio insieme di definizione con le probabilità a regime PA e PC:

(1.48) γ =

0

1

con P

con PC

A

Tale variabile, detta variabile di attivazione del gate, è una variabile

aleatoria per ogni istante t, ovvero è un processo stocastico di cui è

opportuno calcolare il valore atteso (1.49), la varianza (1.50) e la covarianza

(1.53):

(1.49) γ γα

α β= = ⋅ + ⋅ = =

+E P P PC A A0 1

(1.50) ( ) ( )E P PA Aγ γα βα β

− = ⋅ − =⋅+

21

Il calcolo della covarianza, richiede un passaggio intermedio. Calcoliamo la

funzione di autocorrelazione del processo stocastico (1.52), che differisce

formalmente dalla definizione di covarianza (1.51) solo per una costante

additiva.

(1.51) ( ) ( ) E t t E t tγ γ γ τ γ γ γ τ γ( ) ( ) ( ) ( )− ⋅ + − = ⋅ + − 2

Calcoliamo per esteso la funzione di autocorrelazione:



(1.52) E t t P P P P

P P P PC C C A

A C A A

γ γ τ τ ττ τ

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ),C ,C

,A ,A

⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ++ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅0 0 0 1

1 0 1 1

e sostituiamo le quantità indicate, usando le 1.42 - 1.43a:

(1.53) ( ) ( ) ( ) ( )E t t P P eA Aγ γ γ τ γ α β τ( ) ( )− ⋅ + − = ⋅ − ⋅ ∀τ− + ⋅1

Fig. 1.7: Schema di una popolazione di canali bistabili, inseriti nella

membrana fosfolipidica.

Ricapitolando, nel modello elementare di canale ionico markoviano

indipendente appena esemplificato, lo stato del canale (aperto o chiuso)

coincide con lo stato dell'unica struttura funzionalmente attiva, il gate.

In base a questa osservazione si può definire una nuova variabile aleatoria a

stati finiti N N∈ 0 1 2 3, , , ,..., max per rappresentare il numero totale di canali

ionici elementari aperti, dove Nmax è il numero totale di canali fissato nel

tempo e noto (figura 1.7). Benché, date le ipotesi di indipendenza dei

fenomeni elementari che regolano i gate, si possa scrivere la densità di



distribuzione di probabilità di N sotto forma di una distribuzione binomiale

(1.63), risulta assai più semplice dedurre le stesse proprietà osservando che:

(1.54) N t tii

N

( ) ( )max

==∑γ

1

γ i t( ) è la variabile di attivazione del gate relativo al canale i-esimo

precedentemente definita, che come si è detto viene supposta identicamente

e indipendentemente distribuita (IID), rispetto alle altre.

Questa definizione è consistente e sperimentalmente giustificata, nel caso di

numero piccolo di canali per unità di superficie di membrana, cioè quando i

canali possono essere riguardati come complessi molecolari chimicamente

stabili, seppure in equilibrio per svariate condizioni di conformazione

interna (Conti et al., ‘75). A questo punto si possono conoscere le proprietà

statistiche della frazione di canali ionici aperti n(tN t

N)

( )

max

= , che figura a

modulare la conduttanza di ciascuna corrente ionica, nelle ipotesi che i

canali ionici siano del tipo elementare descritto.

Si voglia calcolare il valore atteso di n(t):

(1.55) n E n(tN

E N tN

E tii

N

= = ⋅ = ⋅

=∑) ( ) ( )

max max

max1 1

1

γ

da cui si deduce, usando la proprietà di indipendenza, quella di linearità

dell’operatore E ⋅ , e la 1.49:

(1.56) nN

EN

Ni t

i

N

= ⋅ = ⋅ ⋅+

=+=

∑1 1

1max( )

maxmax

max

γα

α βα

α β



Per la varianza, con passaggi simili a quelli appena descritti si deriva la

1.60, attraverso la 1.50.

(1.57) ( ) ( ) ( )E n nN

E N E NN

E N E N− = ⋅ − = ⋅ −22

22

2 21 1

max max

(1.58) ( )

⋅−

γ+

+

γ⋅γ⋅=−⋅

∑

∑ ∑

=

= ≠=

2A

2max

N

1i

2i

N

1i

N

ij,1jji2

max

222

max

PNE

EN

1NENE

N

1

max

max max

(1.59) ( ) ( )(

( ) )2A

2max

2AAAmax

AAmax2

max2max

222

max

PNP)P1(PN

PPNNN

1NENE

N

1

⋅−+−⋅⋅+

+⋅⋅−⋅=−⋅

(1.60) ( ) ( )( )

E n nP P

N NA A− =

⋅ −= ⋅

⋅

+2

2

1 1

max max

α β

α β

Si dimostra che per la covarianza di n(t), processo somma di Nmax processi,

ancora in virtù delle ipotesi di indipendenza e di identità di distribuzione di

probabilità , utilizzando la 1.53 vale:

(1.61)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

E N t N N t N

N E t t

N P P eA A

( ) ( )

( ) ( )max

max

− ⋅ + − =

= ⋅ − ⋅ + − =

= ⋅ ⋅ − ⋅ − + ⋅

τ

γ γ γ τ γα β τ1

e quindi per definizione



(1.62) ( ) ( ) ( ) ( )E n t n n t n

P P e

NA A

( ) ( )max

− ⋅ + − =⋅ − ⋅ − + ⋅

τα β τ1

Sono state così dedotte alcune proprietà del processo n(t), frazione dei canali

ionici ad un solo gate indipendente, nello stato aperto.

Per ultimo, si può affermare che sotto certe ipotesi, la densità di

distribuzione di probabilità del processo stocastico n(t) può essere

approssimata con la distribuzione normale. Dal teorema del limite centrale,

ciò segue nel caso in cui Nmax sia estremamente grande, essendo n(t), a parte

un fattore moltiplicativo deterministico, somma di molte variabili aleatorie.

Questa riflessione può essere fatta, anche osservando che la densità

binomiale (1.63) che descrive per ogni t N(t), e quindi n(t), tende a diventare

normale nelle ipotesi del teorema di DeMoivre-Laplace.

(1.63) p NN

Np pN

N N Nmax

max( ) ( )max=

⋅ ⋅ − −1 , dove p =PA

Il teorema di DeMoivre-Laplace afferma che per ( )N p pmax ⋅ ⋅ − >>1 1,

verificato per Nmax sufficientemente grande, in virtù della formula di Stirling

(1.64),

(1.64) n n e nn n! ≅ ⋅ ⋅ ⋅− 2π quando n → ∞

vale che

(1.65)N

Np p

N p peN N N

N N p

N p pmax

max

( )

( )( )( )

max

max

max

⋅ ⋅ − ≅

⋅ ⋅ ⋅ −⋅−

−− ⋅

⋅ ⋅ ⋅ −11

2 1

2

2 1

π

L’equazione 1.65 fornisce la forma della densità di distribuzione di

probabilità della variabile aleatoria n(t), espressa nella forma classica di

gaussiana normalizzata.



A conclusione di questo paragrafo, riassumiamo di aver dedotto

completamente le proprietà statistiche del processo n(t), poiché conosciamo

la densità di distribuzione di probabilità normale, il valore atteso, la varianza

e la covarianza del processo.

1.11 Canale Ionico Multi-Stato

Il modello elementare di canale ionico ad unico gate può essere

generalizzato al caso di un canale con k gate indipendenti. Si consideri ad

esempio il caso k = 3, schematizzato nella figura seguente: questo canale

può trovarsi in 23 stati diversi, di cui per definizione soltanto uno

corrisponde alla condizione funzionale di canale aperto, in grado di

consentire il passaggio di un flusso ionico attraverso la membrana cellulare.

CANALEAPERTO

Fig. 1.8: Stati stabili e transizioni ammesse in un modello di canale ionico

multi-stato.


DIBE – Università degli Studi di Genova 36

E’ ancora possibile associare a ciascuno dei k gate una variabile binaria di

attivazione γ, come nel caso di canale a due stati (1.48). Per definizione,

solo uno dei 2k stati possibili corrisponde alla condizione in cui il canale è

aperto e può consentire il passaggio di un flusso ionico. Definiamo quindi

una nuova variabile binaria di attivazione per il canale, ξ ∈ 0 1; .

(1.66) ξ γ==j

k

j1

Π

Data la definizione 1.66, solo se lo stato di ciascuno dei k gate è aperto (γi =

1 ∀ i ) il canale sarà nello stato aperto (ξ = 1). Quindi per la variabile

aleatoria ξ, appena definita come il prodotto di k variabili indipendenti e

identicamente distribuite, caratterizzate dalla stessa covarianza, possono

essere dimostrate le seguenti relazioni:

(1.67) ξ ξ γα

α β= = = =

+

E Pk

Ak

k

(1.68)

( ) ( ) ( )

β+α

α−⋅

β+α

α=−⋅=

=γ−

γ+γ−γ=ξ−ξ

⋅

kkk

Ak

A

k2k222

1P1P

EE

(1.69)( ) ( )

( ) ( )[ ] k2A

k2AAA PPeP1P

)t()t(E

⋅τ⋅β+α− −+⋅−⋅=

=ξ−τ+ξ⋅ξ−ξ

Dalle 1.67 - 1.69, è ancora possibile definire la frazione di canali multi-stato

aperti, se Nmax è il numero totale di canali di questo tipo, quantità

deterministica e fissata nel tempo. In analogia con quanto fatto nel paragrafo

precedente, possiamo definire N N∈ 0 1 2 3, , , ,..., max e n(t):



(1.70) N t ii

N

( )max

==∑ξ

1

(1.71) n tN t

N( )

( )

max

=

e infine dedurre tutte le proprietà statistiche di n(t), che è ancora dotato di

densità di distribuzione normale nelle stesse ipotesi considerate prima:

(1.72)

kk

maxmax

max

NN

1

)t(NEN

1)t(nEn

β+α

α=

β+α

α⋅⋅=

=⋅==

(1.73)

( ) ( ) ( )

β+α

α−⋅

β+α

α⋅=−⋅=

=−⋅=−

kk

maxmax

kA

kA

22

max

2

1N

1

N

P1P

NENEN

1nnE

(1.74)

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

max

k2A

k2AAA

N

PPeP1P

n)t(nn)t(nE

⋅τ⋅β+α− −+⋅−⋅=

=−τ+⋅−

1.12 Confronto con il Modello Deterministico

Si è dimostrato che le caratteristiche di permeabilità ionica di una membrana

eccitabile possono essere riguardate come l'effetto collettivo dell’attività di

un gran numero di unità microscopiche, soggette a fluttuazioni stocastiche e

dipendenti dal potenziale di membrana, nelle probabilità di transizione da

uno stato all’altro.



Si consideri nuovamente l’equazione 1.34: per il modello di membrana

eccitabile descritto da Hodgkin e Huxley, possiamo considerare il caso

particolare in cui i contributi delle correnti ioniche di interesse siano quelli

dovuti al potassio K+ e al sodio Na+. L’equazione differenziale stocastica

che descrive la dinamica del potenziale di membrana in queste ipotesi è la

seguente:

(1.75) ( ) ( ) ( ) extNaNaKKll IVEmgVEngVEgdt

dVC +−⋅⋅+−⋅⋅+−⋅=

Le variabili aleatorie n e m rappresentano la frazione di canali proteici

potassio e sodio rispettivamente, funzionalmente nello stato aperto. In base

ai formalismi introdotti nel paragrafo precedente, sappiamo definire tali

variabili in funzione dello stato dei singoli canali proteici, secondo la

definizione data più volte, noti NK max e NNa max quantità totale di canali

potassio e sodio.

(1.76) nN

KK i

i

NK

= ⋅=∑1

1max

max

ξ

(1.77) mN

NaNa i

i

NNa

= ⋅=∑1

1max

max

ξ

Le variabili ξK i

e ξNa i

si riferiscono all’attivazione dei canali, in generale

multi-stato, selettivi al passaggio di ioni K+ e Na+. Si è detto che la natura

degli stati interni stabili dei canali proteici è identificabile attraverso misure

elettrofisiologiche di patch clamp, in uno schema cinetico markoviano.

Questo viene descritto estesamente in letteratura proprio nel caso particolare

dei canali potassio e sodio dell’assone gigante del calamaro (Strassberg et

al., ‘93; DeFelice et al., ‘93; Chow et al., ‘96).

Per il canale selettivo al potassio, il comportamento microscopico

osservabile sperimentalmente è ben rappresentato da un modello multi-stato



a 4 gate indipendenti e identici, che può essere riassunto dallo schema

cinetico che segue.

n n n n n

n

n

n

n

n

n

n

n

0

4

1

2

3

2

3

2

3

4

4

→←

→←

→←

→←

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅β

α

β

α

β

α

β

α

Sono stati rappresentati quattro distinti insiemi di configurazioni, equivalenti

nel numero di gate aperti in totale, 0, 1, 2, 3 oppure 4 a cui il pedice fa

riferimento (si veda ad esempio la figura 1.8). Le configurazioni contenute

in tali insiemi sono equivalenti dal punto di vista funzionale, così che è più

semplice riferirsi ad essi, piuttosto che a ciascuno fra i 16 stati stabili

possibili. Viene allora indicato il macro-stato attuale ∈ n n n n n0 1 2 3 4, , , , , e

la probabilità di transizione per unità di tempo da uno ad un altro. Tale

probabilità è la somma delle probabilità di transizione fra i singoli stati del

canale, vista l’indipendenza dei gate elementari. Questo spiega i coefficienti

1, 2, 3, 4 a moltiplicare αn e βn per rappresentare le probabilità composite di

transizione.

Per esempio n4 corrisponde alla situazione in cui tutti i 4 gate del canale

potassio, sono nello stato aperto, ed è la sola situazione in cui il canale

permette il passaggio di ioni potassio al proprio interno.

Anche il canale sodio è descritto da 4 gate indipendenti, seppure mostri una

peculiarità. Nel caso del canale proteico potassio, ognuno dei 4 gate è

identico all’altro ed è soggetto in probabilità, agli stessi effetti di una

variazione del potenziale di membrana, condividendo la stessa dipendenza

da V date le probabilità di transizione elementari αn e βn, uguali per tutti.

Per replicare il comportamento microscopico osservato, deve essere inclusa

la presenza di un gate diverso dagli altri tre, che differisce nella dipendenza

dal potenziale di membrana per le probabilità di transizione. Lo schema

markoviano che riassume tutte le configurazioni differenti è in questo caso:



m h m h m h m h

m h m h m h m h

m

m

m

m

m

m

h h h h h h h h

m

m

m

m

m

m

0 1

3

1 1

2

2

2 1

3

3 1

0 0

3

1 0

2

2

2 0

3

3 0

→←

→←

→←

↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓

→←

→←

→←

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

β

α

β

α

β

α

β α β α β α β αβ

α

β

α

β

α

Lo stato m3h1 corrisponde alla situazione in cui tutti i quattro gate sono

aperti, ed è l’unica situazione in cui il canale sodio è funzionalmente attivo.

Negli schemi cinetici riportati e nelle considerazioni del paragrafo

precedente, si sono più volte citate le probabilità di transizione nell’unità di

tempo αn(V), βn(V), αm(V), βm(V), αh(V) e βh(V), dipendenti dal potenziale

di membrana V. La scelta di queste funzioni è operata sulla base di

procedure di interpolazione di dati sperimentali. Non è un caso se queste

funzioni sono le stesse che definiscono i coefficienti proposti da Hodgkin e

Huxley per il modello deterministico. Si riporta di seguito in figura 1.9 il

grafico delle 1.27 - 1.29, un opportuno range di variazione di V.



-100 -75 -50 -25 0 25 50 75 1000.0

0.5

1.0

1.5 αm

(V)

βm

(V)

msec-1

V (mV)

-100 -75 -50 -25 0 25 50 75 1000.0

0.5

1.0

1.5 αh(V)

βh(V)

msec-1

V (mV) -100 -75 -50 -25 0 25 50 75 1000.0

0.5

1.0

1.5 αn(V)

βn(V)

msec-1

V (mV)

Fig. 1.9: Rappresentazione grafica delle probabilità di transizione per unità

di tempo, per un gate.

Si nota innanzitutto la presenza di alcuni valori di V, per i quali fissato un

intervallo temporale ∆t, la probabilità per un gate di effettuare una

transizione in tale intervallo, da chiuso ad aperto oppure da aperto a chiuso

è la stessa. Questa situazione corrisponde, per il canale multi-stato, alla

permanenza in senso medio nel macro-stato occupato. Inoltre, come verrà

meglio illustrato nel paragrafo seguente, non è un caso se la forma dei

coefficienti del modello deterministico proposto da Hodgkin e Huxley, sia la

medesima di quella utilizzata per tali probabilità di transizione nell’unità di

tempo.1.23 - 1.29

Se si utilizzano i parametri indicati nella tabella 1.3, gli stessi del modello

deterministico descritto dalle equazioni 1.23 - 1.29, l’andamento temporale

del potenziale di membrana previsto dall’equazione differenziale stocastica

1.75 può essere confrontato con quello previsto dal modello di Hodgkin -

Huxley, a parità di stimolazione in corrente costante, di intensità pari a 8

µA/cm2, con inizio temporale per t = 50 msec. Fissata la dimensione S in



µm2 del patch di membrana in esame, NK max e NNa max vengono calcolati,

usando i seguenti valori per le densità superficiali di canali proteici:

ρ µK m= −18 2 e ρ µNa m= −60 2 .

50 60 70 80 90

-80

-60

-40

-20

0

20

40 Modello deterministico

V (mV)

time (msec)

Fig. 1.10: Andamento temporale deterministico del potenziale di membrana

(eq. 1.23 - 1.29).

50 60 70 80 90

-80

-60

-40

-20

0

20

40 100µm2

V (mV)

time (msec)

Fig. 1.11: Realizzazione temporale del potenziale di membrana stocastico,

quando NK max = 1800 e NNa max = 6000 (eq. 1.75 - 1.77 e 1.27 - 1.29).



50 60 70 80 90

-80

-60

-40

-20

0

20

40 S = 50 µm2

V (mV)

time (msec)



50 60 70 80 90

-80

-60

-40

-20

0

20

40 S = 25 µm2

V (mV)

time (msec)



Le figure 1.11 - 1.13 rappresentano l’andamento temporale del potenziale di

membrana del modello stocastico, a confronto con quello previsto dal

modello deterministico. Entrambi i modelli prevedono una successione

regolare di potenziali d’azione in risposta ad una iniezione di corrente

costante, seppure al decrescere dell’estensione della superficie di membrana,



la regolarità del treno di impulsi generato dal modello a canali discreti tende

a divergere da quella deterministica. Al decrescere del numero di canali, si

assiste ad un aumento della sensibilità alle fluttuazioni aleatorie spontanee

di ciascun canale.


DIBE - Università degli Studi di Genova 45

1.13 Convergenza in Probabilità

Verrà ora dimostrato formalmente che i risultati previsti dalla modellistica

deterministica coincidono essenzialmente con il valore medio dei risultati

delle equazioni differenziali stocastiche. Per semplicità e senza perdita

alcuna di generalità, introduciamo un altro modello di membrana eccitabile,

proposto da Morris e Lecar (Morris et al., ‘83) per la dinamica del

potenziale di membrana della fibra muscolare gigante di un comune

mollusco (il cirripede). Questa descrizione può essere usata come modello

generale, appropriato entro certi limiti anche per le cellule pancreatiche di

tipo β e alcuni tipi di neuroni piramidali.

Nell’esaminare questo modello di eccitabilità, si inizierà direttamente dalla

descrizione stocastica per poi verificare analiticamente che il valore medio

di questa coincide con le equazioni deterministiche proposte originariamente

dagli autori.

Vengono presi in considerazione esclusivamente i contributi degli ioni Ca2+

e K+, istanziando a questo caso particolare l’equazione 1.34.

(1.78) ( ) ( ) ( )CdV

dtg E V g n E V g m E V Il l K K Ca Ca ext= ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − +

(1.79) nN

KK i

i

NK

= ⋅=∑1

1max

max

ξ

(1.80) mN

CaCa i

i

NCa

= ⋅=∑1

1max

max

ξ

Le variabili ξK i

e ξCa i

si riferiscono all’attivazione dei canali selettivi al

passaggio di ioni K+ e Ca+, e attraverso le 1.79 e 1.80 definiscono n,



frazione di canali proteici potassio aperti, e m la frazione di canali calcio

aperti.

Il valore dei parametri utilizzati nelle simulazioni riportate, è indicato nella

tabella 1.4.

Parametro Valore


El Potenziale inverso di perdita -50mV

ECa Potenziale inverso per Ca+ 100mV

EK Potenziale inverso per K+ -70mV


gCa Conduttanza massima per Ca+ 0.7529mS/cm2

gK Conduttanza massima per K+ 1.4948mS/cm2

ρK Densità superficiale canali K+ 18cm-2

ρCa Densità superficiale canali Ca+ 60cm-2

Tabella 1.4: Valore dei parametri usati per il modello di Morris-Lecar.

Per entrambi i tipi di canali proteici, il comportamento microscopico

osservato sperimentalmente è ben rappresentato da un modello di canale ad

unico gate indipendente, e viene riassunto dagli schemi cinetici seguenti,

dove lo stato funzionalmente aperto coincide per ciascun canale con lo stato

in cui il gate è nello stato aperto (n1 e m1).

n n

n

n

0 1

→←

β

α

m m

m

m

0 1

→←

β

α



Consideriamo la frazione di canali potassio nello stato aperto: è possibile

generalizzare ai transitori la definizione 1.48 di variabile binaria γ ∈ 0 1;

associata allo stato di un gate, utilizzando le 1.42 e 1.43 anziché le

probabilità di transizione a regime (1.43a). Per ipotesi, si sceglie di imporre

come condizione iniziale che all’istante iniziale t = 0 la probabilità di

trovare il gate aperto su ciascun canale potassio sia pari a 1. Segue allora

immediatamente la definizione 1.81.

(1.81) γ =

0

1

con P

con PC A

A A

,

,

Si valuti adesso il valore atteso della quantità n, quando ξ γK i K i

= , essendo

nN

KK i

i

NK

= ⋅=∑1

1max

max

γ .

(1.82)

( )

n t E n tN

E t

NN P t P t

ii

N

C A A A

( ) ( ) ( )

( ) ( )

max

max

max , ,

max

= = ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

=∑1

10 1

1

γ

Utilizzando le 1.42 e 1.43 si può definitivamente concludere con la 1.83.

(1.83) ( )n t en

n n

t n

n n

n n( ) = −+

⋅ +

+− + ⋅1

αα β

αα β

α β

Si è già discussa la dipendenza dal potenziale di membrana per le

funzioni αn(V) e βn(V), ovvero si assume di poter considerare fissato il

valore di V al variare di t, almeno in una scala temporale dell’ordine di

( )1

α βn n+. Per questa ragione la 1.83 potrebbe anche essere riguardata come



la soluzione completa di un’equazione differenziale a coefficienti costanti,

del tipo:

(1.84) ( )dn

dtV n V nn n= − ⋅ + ⋅ −β α( ) ( ) 1

con condizione iniziale n( )0 1= .

Questa equazione differenziale è assolutamente identica alla 1.24, ovvero

all’equazione dinamica a cui soddisfa la variabile deterministica nd per i

modelli biofisici di membrana eccitabile del tipo descritto da Hodgkin e

Huxley. La descrizione originale proposta da Morris e Lecar utilizza proprio

la 1.84 per definire l’andamento temporale della conduttanza potassio.

Imporre la condizione iniziale n( )0 1= nella 1.84 è concettualmente la stessa

cosa dell’utilizzare l’ipotesi, per le probabilità di transizione dei gate,

impiegata nella definizione 1.82.

L’effetto medio di una popolazione di canali stocastici pertanto, coincide

con quanto previsto deterministicamente dal modello macroscopico

deterministico, a parità di condizione iniziale per n, m, nd, md e per V, che

all’istante iniziale è posto al valore di riposo -50mV.

Lo schema cinetico del prim’ordine che accompagna la descrizione

macroscopica della frazione di canali proteici di una membrana eccitabile, e

l’equazione differenziale ad esso equivalente in virtù della legge dell’azione

di massa, rappresentano chiaramente i valori medi del comportamento

microscopico dei canali, che non può essere trascurato quando il loro

numero è non troppo grande, come si dimostrerà di seguito.

(1.85) n nd d

n

n

→←

−

β

α

1 ( )dn

dtn nd

n d n d= − ⋅ + ⋅ −β α 1

Come già osservato la soluzione della 1.86 con la stessa condizione iniziale

porta semplicemente alla stessa soluzione



(1.86) ( ) ( ) ( ) ( )n t n n e n n e nd d dt

d dt

dn n n n( ) ( )= − ⋅ + = − ⋅ +∞

− + ⋅∞ ∞

− + ⋅∞0 1α β α β

dove ndn

n n∞ =

+α

α β.

Resta cioè dimostrato che la legge di azione di massa non è che una

descrizione dell'evoluzione temporale del valore medio di un processo

stocastico, e che i coefficienti αn e βn nel modello deterministico andrebbero

a rigore interpretati come delle probabilità di transizione per unità di tempo

(1.37) e non dei tassi di transizione. Infine, l’equazione deterministica che

descrive l’andamento del potenziale di membrana è la 1.87, per cui può

essere concluso che deve senz’altro valere E n t n t n td( ) ( ) ( )= = .

(1.87) ( ) ( ) ( )CdV

dtg E V g n E V g m E V Il l K d K Ca d Ca ext= ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − +

Nelle figure seguenti vengono confrontati gli andamenti temporali previsti

dal modello stocastico e dal modello deterministico, a parità di condizioni

iniziali e in condizioni di stimolazione in corrente costante di intensità pari a

7µA/cm2 e 9.6µA/cm2.

0 200 400 600 800 1000-60

-40

-20

0

20

40 S = 50µm2

V (mV)

time (msec)

0 200 400 600 800 1000-60

-40

-20

0

20

40 S = 50µm2

V (mV)

time (msec)



0 200 400 600 800 1000-60

-40

-20

0

20

40 S = 10µm2

V (mV)

time (msec)

0 200 400 600 800 1000-60

-40

-20

0

20

40 S = 10µm2

V (mV)

time (msec)

Fig. 1.14: Comportamento passivo sotto-soglia ( parte sinistra) per Iext = 7

µA/cm2, e comportamento periodico (parte destra) per Iext = 9.6 µA/cm2,

per diversi valori di S (eq. ).

0 200 400 600 800 1000-60

-40

-20

0

20


V (mV)

time (msec)0 200 400 600 800 1000

-60

-40

-20

0

20


V (mV)

time (msec)

Fig. 1.15: Comportamento passivo sotto-soglia ( parte sinistra) per Iext = 7

µA/cm2, e comportamento periodico (parte destra) per Iext = 9.6 µA/cm2,

nel modello deterministico (eq. ).

Se consideriamo invece il modello originale di Hodgkin e Huxley (1.75 -

1.77), possiamo fare un ragionamento simile. Si calcoli il valore atteso di n,

secondo la definizione 1.75, nelle stesse ipotesi di condizioni iniziali e

probabilità di transizione per unità di tempo per il singolo gate, come per la

1.81. Per questo conto vanno utilizzate e modificate le 1.66 -1.67 e la 1.76,

ottenendo che



(1.88)

( )

n t E n tN

E

NN P t P t

K ii

N

C A A A

K

( ) ( )

( ) ( )

max

maxmax , ,

max

= = ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

=∑1

10 1

1

4 4

ξ

(1.89) ( )n t en

n n

t n

n n

n n( ) = −+

⋅ +

+

− + ⋅1

4α

α βα

α βα β

Analogamente a quanto osservato per la 1.83, n t( ) è la quarta potenza della

soluzione dell’equazione deterministica 1.24. Con le stesse riflessioni fatte

per il modello di Morris e Lecar, si comprende allora la ragione

dell’esponente 4 di nd nell’equazione del potenziale di membrana

deterministica 1.23, ovvero ancora la dinamica prevista dal modello

deterministico è soltanto il comportamento medio delle grandezze

microscopiche importanti. Considerazioni molto simili consentono di

giustificare anche la forma md3hd come un valore medio, ricordando la

particolarità del canale sodio ad avere un gate governato da probabilità di

transizione differenti rispetto agli altri tre. Per tutti questi casi, si

confrontano gli andamenti temporali delle variabili stocastiche e dei

rispettivi valori attesi, nelle stesse condizioni usate per le figure 1.10 - 1.13.



50 60 70 80 900.0

0.1

0.2

0.3

0.4

nd

4

time (msec)50 60 70 80 90

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

md

3 hd

Fig. 1.16: Andamento temporale delle quantità (nd4) e (md

3hd) nel modello

deterministico

(eq. 1.23 - 1.29).

50 60 70 80 900.0

0.1

0.2

0.3

0.4 n

time (msec)50 60 70 80 90

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

time (msec)

m

Fig. 1.17: Realizzazione temporale delle variabili stocastiche n e m, quando

NK max = 1800 e NNa max = 6000 (eq. 1.75 - 1.77 e 1.27 - 1.29).



50 60 70 80 900.0

0.1

0.2

0.3

0.4 n

time (msec)50 60 70 80 90

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

m


NK max = 900 e

NNa max = 3000 (eq. 1.75 - 1.77 e 1.27 - 1.29).

50 60 70 80 900.0

0.1

0.2

0.3

0.4 n

time (msec)

50 60 70 80 900.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30 m


NK max = 450 e



NNa max = 1500 (eq. 1.75 - 1.77 e 1.27 - 1.29).

Fig. 1.20: Evidenza della natura discreta nella dinamica di n (destra) e m

(sinistra), quando NK max = 9 e NNa max = 30 (eq. 1.75 - 1.77 e 1.27 - 1.29).

Le equazioni 1.83 e 1.89 consentono di generalizzare questa procedura di

identificazione fra modello deterministico e stocastico, ad una classe intera

di modelli biofisici di membrana, quelli riassunti dalle equazioni 1.90 e

1.91.

(1.90) CdV

dtF V Iext= − +( ) ( ) ( )F V g n h V Eh d h

pd h

qh

h

h h( ) = ⋅ ⋅ ⋅ −∑

[ ] n h p qd h d h h h, ; , , , , ,...∈ ∈0 1 0 1 2 3

(1.92) [ ] dz

dtV Z V z z n h hd

z d d d d h d h= ⋅ − ∈ =∞λ ( ) ( ) , : , ,..1 2

Anche in questo caso è stata indicata la dinamica del valore medio del

numero di canali aperti e il corrispondente modello stocastico prevede una

descrizione multi-stato per il singolo canale, caratterizzato da due insiemi di



gate identici in numero di ph e qh rispettivamente, per ogni h-specie ionica a

cui la membrana è permeabile attraverso canali proteici .

In generale, i risultati del modello e dell'interpretazione microscopica

convergono in probabilità a quelli deterministici come il numero totale di

canali ionici Nmax tende a infinito, nel senso definito dalla disuguaglianza di

Tchebyceff, valida per una qualunque variabile aleatoria x, a valore atteso

x e varianza σ2 :

(1.93) Pr x x x− ≤ ≤ + ≥ −ε εσε

12

2

Per esempio, applicando la disuguaglianza 1.93 a n E n nd= , si può

affermare che a regime e nel caso peggiore (worst-case analysis):

( )n n

Nald = ± ⋅

⋅

+⋅20

195%2

α β

α β max

Questa scrittura significa che 95 volte su 100 (confidenza) la stima

deterministica della frazione di canali aperti si discosta da quanto predetto

dal modello stocastico, non più di ( )Ω VN

⋅1

max

(accuratezza), dove Ω(V)

è un coefficiente dipendente dal potenziale di membrana attraverso α(V) e

β(V) ed è comunque sempre limitato superiormente e inferiormente, per

ogni valore reale di V.

Si sottolinea la classica dipendenza dall'inverso di N max che racchiude il

significato di convergenza in probabilità al crescere di Nmax, e dalla 1.93 si

conclude finalmente che

(1.94) ∀ε > − ≤ =→+∞

0 1lim PrmaxN

d sn n ε



Questo dimostra che esiste un valore di S e quindi di Nmax, per il quale la

probabilità di fluttuazione spontanea diventa definitamente infinitesima,

ossia per ogni S maggiore di tale valore il comportamento del modello

stocastico è molto prossimo a quello descritto deterministicamente.

Con la stessa tecnica si può anche calcolare l’errore in probabilità che si

commette ad approssimare con l’inverso di α(V) e β(V) i tempi di

permanenza continuata in uno stato, per il singolo gate. Ricordando la 1.47,

il valore medio del tempo di vita nello stato chiuso e nello stato aperto

coincide con l’inverso di β e α rispettivamente, e quindi per esempio per TA

vale che

120

195%

1 2095%

β β

β

= ± ⋅

⇒ − =

T al

T Tal

A

A A

Quanto più è rara una transizione per un gate, tanto minore è l’errore in

probabilità, com’è evidente dalla dipendenza dall’inverso di TA. In queste

condizioni può essere concluso sicuramente che la frequenza di oscillazione

del potenziale di membrana (firing rate) sarà molto bassa, ma il viceversa

non vale assolutamente, dal momento che potrebbero sussistere continue

transizioni di stato senza avere cambiamento della proprietà di permeabilità

del canale, supposto in questo caso multi-stato.



1.14 Rumore di Membrana e Attività Spontanea

Fin dagli anni ‘60, venne postulata l'esistenza di una sorgente di rumore ad

energia un ordine di grandezza maggiore di quanto non potesse essere

attribuito al rumore termico. Furono l’esistenza delle fluttuazioni spontanee

e la natura intrinsecamente aleatoria dei processi di apertura e chiusura dei

canali, a consentire una corretta interpretazione di tale sorgente. Grazie alle

possibilità fornite dagli esperimenti di patch clamp, è stata inoltre possibile

l’identificazione funzionale degli stati stabili che caratterizzano un canale

proteico, sulla base dei modelli descritti nei paragrafi 1.8 e seguenti, e per

mezzo della caratterizzazione delle proprietà statistiche del rumore di

membrana rilevato nella misura elettrofisiologica di variabili macroscopiche

come il potenziale di membrana, i potenziali di equilibrio ionico, i tempi di

latenza e refrattarietà relativa e assoluta, eccetera (Conti et al., ‘75).

Anche dal punto di vista neurofisiologico è possibile riconsiderare il ruolo

delle fluttuazioni spontanee nella dinamica dei canali ionici. Se in un

sistema sensoriale l’effetto del rumore è quasi certamente dannoso, il suo

ruolo in parti del sistema nervoso preposte alla pianificazione, alla

coordinazione e al controllo motorio potrebbe addirittura essere

indispensabile. Per esempio, il risultato di un’attivazione spontanea di

popolazioni di cellule nervose potrebbe inibire la ripetizione di

comportamenti riflessi non appropriati o anche consentire la generazione di

risposte di tipo completamente nuovo. Dal punto di vista dello sviluppo, si

sta delineando sempre meglio il ruolo dell’attività spontanea nella

coordinazione, correlazione e regolazione efficace dei campi recettivi

sensoriali (Strassberg et al., ‘93) e nella eliminazione delle connessioni

sinaptiche ridondanti (Fields et al., ‘92). Nelle fasi iniziali dello sviluppo,

nel sistema nervoso di molti esseri viventi, viene stabilita una grande

quantità di interconnessioni sinaptiche diffuse e non localizzate,

probabilmente sulla base di una pre-determinazione genetica, per mezzo di

fenomeni di chemo-affinità che governano in questa fase la crescita delle

arborizzazioni neuritiche (si veda il capitolo 5). Da questa fase iniziale,



caratterizzata dall’abbondanza di connessioni in competizione, durante un

periodo critico dell’ontogenesi, si passa ad una fase di segregazione

spaziale e specializzazione funzionale delle connessioni dipendente

dall’attività elettrica. Questa dipendenza è stata dimostrata utilizzando

speciali tossine (tetrodotossine, TTX) capaci di impedire il passaggio di ioni

attraverso un canale. In queste condizioni, si osserva l’assenza di una

significativa plasticità delle connessioni, osservata invece in condizioni

normali. L’attività elettrica da cui in modo così cruciale dipende la

ridefinizione della topologia delle connessioni nervose, non è strettamente

legata alle sollecitazioni dell’ambiente esterno. Infatti, anche quando

l’organo di senso non è ancora completamente funzionante, esiste una

considerevole attività elettrica spontanea nelle vie nervose che

caratterizzano quella data modalità sensoriale. In letteratura è stato descritto

questo tipo di sviluppo nel caso di strutture funzionali, come le colonne di

dominanza oculare nella corteccia visiva di alcuni primati, e l’alternanza

delle connessioni binoculari nel corpo genicolato laterale, seppure durante

il periodo di vita intra-uterina. In questa fase, i neuroni sensoriali primari

contenuti nella retina sono ancora parzialmente inattivi e comunque privi di

stimolazioni sensoriali visive strutturate (Fields et al., ‘92).

In questo contesto, nasce allora la concreta possibilità di modellare

fenomeni di attività spontanea di una cellula nervosa, in assenza di

qualunque stimolazione fisiologica o artificiale. Dal punto di vista dei

modelli matematici infatti, si verifica l’insorgenza di attività elettrica

spontanea in assenza di alcuna stimolazione esterna. Si consideri il modello

stocastico di Hodgkin-Huxley (1.75 - 1.77 e 1.27 - 1.29): nelle figure

seguenti è riportato l’andamento temporale del potenziale di membrana, in

assenza di alcun segnale esterno, ovvero quando sia imposto Iext = 0µm2. Si

confrontano le risposte di questo modello con quelle previste dal modello

deterministico (1.23 – 1.29), che per definizione non può generare alcuna

attività elettrica spontanea.



0 50 100

-80

-60

-40

-20

0

20

40


V (mV)

time (msec)

Fig. 1.21: Potenziale di membrana per Iext = 0µm2, nel modello di Hodgkin-

Huxley deterministico (eq. 1.23 - 1.29).

0 20 40 60 80 100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60 S = 100µm2

V (mV)

time (msec)0 20 40 60 80 100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60 S = 50µm2

V (mV)

time (msec)

0 20 40 60 80 100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60 S = 25 µm2

V (mV)

time (msec)

0 20 40 60 80 100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60 S = 1µm2

V (mV)

time (msec)

Fig. 1.22: Attività spontanea, per valori decrescenti di S in assenza di

stimolazione in corrente, nel modello di Hodgkin-Huxley (eq. 1.75 - 1.77 e

1.27 - 1.29).



Fig. 1.23: Altri esempi di attività spontanea, per valori decrescenti

dell’area del patch di membrana, nelle stesse ipotesi della figura

precedente.



1.15 Algoritmi di Simulazione al Calcolatore della

Cinetica Stocastica

Si è visto come per una classe molto ampia di modelli matematici che

descrivono l'evoluzione del potenziale di membrana di una cellula eccitabile

si possa scrivere un'equazione differenziale stocastica che, a meno del

numero di contributi alla corrente che fluisce attraverso la membrana e dei

parametri numerici, ammette una stessa forma.

(1.95) ( ) ( )CdV

dtg E V g n E V Il l h h h

hext= ⋅ − + ⋅ ⋅ −

+∑

dove nNh

hh i

i

Nh

= ⋅=∑1

1max

max

ξ ξ γhj

k

h jh

h

h=

=1Π .

Il numero massimo di canali proteici selettivi al passaggio della specie

ionica h-esima Nh max, è in generale determinato dalla superficie del patch di

membrana che viene considerato, ed è esprimibile in termini della densità

superficiale di canali ρh. In base alle riflessioni finali del paragrafo 1.13, si

comprende che le fluttuazioni e l’attività spontanea siano fenomeni tanto più

evidenti quanto minore è l'estensione superficiale della membrana che si

considera. Viceversa tale attività spontanea viene soppressa quando il

numero di canali sia estremamente elevato, in modo simile a quanto succede

in un coro molto numeroso, per una voce stonata. Anatomicamente, tale

soppressione potrebbe essere particolarmente favorevole in alcuni punti

della membrana plasmatica, come è probabilmente il caso per il tratto

iniziale dell’assone (hillock), e dei nodi di Ranvier, piccole aree di

membrana a diretto contatto con l'ambiente extracellulare che restano

scoperte dalla ricopertura mielinica fornita dalle cellule di Schwann (cellule

della glia). Gli esempi appena fatti costituiscono un caso di densità di canali

proteici insolitamente elevata (Strassberg et al., ‘93), contribuendo



all’attenuazione del rumore, in modo da minimizzare la distorsione del

segnale da propagare, e da non alterarne il contenuto informativo.

Un possibile algoritmo di simulazione dell’equazione 1.93, note le proprietà

statistiche dei processi aleatori che caratterizzano i canali ionici, è quello di

memorizzare lo stato, fra i 2k possibili, di ciascuno degli Nh max canali per

ogni h, e di calcolare per ciascuno di essi il tempo di permanenza

continuativa in uno stato. Si è già dimostrato che questo è una variabile

aleatoria distribuita secondo la seguente densità di distribuzione di

probabilità 1.45 e 1.46.

(1.96) F T) T T e dx eT Ax T

T

A( Pr= ≤ = ⋅ = −− ⋅ − ⋅∫ β β β1

0

Sia la 1.96 la cumulativa o distribuzione di probabilità del generico tempo di

permanenza nello stato aperto di un gate, si cerca una funzione opportuna di

una variabile aleatoria uniforme u fra 0 e 1 risulta essere distribuita con

F T)TA( . Si dimostra che g u F uTA

( ) ( )= −1 è la funzione di variabile aleatoria

cercata (Papoulis, ‘91).

Ciò implica che se è possibile generare un numero pseudocasuale u,

uniformemente distribuito fra 0 e 1, si può ottenere il tempo di vita dello

stato per un gate, applicando la trasformazione 1.97:

(1.97) ( )T u= ⋅ − −11 1

βln

o equivalentemente ( )T u= ⋅ −1 1

βln , dal momento che u e (1-u) sono

entrambe variabili distribuite uniformemente fra 0 e 1.

Una volta generati tutti gli intervalli di permanenza in un certo stato, si

scelga il minimo e si aggiorni il potenziale di membrana attraverso la 1.95,

considerando che in tale intervallo, nh per ogni h sia pressoché costante.

L’equazione differenziale 1.95 può essere risolta in forma chiusa (1.98).



(1.98) V t T V tA

Be

A

BB T( ) ( )min

min+ = −

⋅ +− ⋅

dove AI

Sg E g n E B g g nl l h h h

hl h h

h

= + ⋅ + ⋅ ⋅

= + ⋅

∑ ∑$

Infine si aggiorni lo stato del canale a cui corrisponde Tmin (se il canale è di

tipo elementare a due stati, semplicemente γ γj

newj

old* *= −1 ).

Questo algoritmo può essere inizializzato, ad esempio imponendo ciascun

canale nello stato aperto con probabilità n Vd∞ ( )0 (valore a regime della

cinetica deterministica corrispondente, calcolato in V0 valore di

inizializzazione del potenziale di membrana), in analogia con

l’inizializzazione del modello deterministico. In questo modo resta

verificato che per Nh max >> 1, all'istante iniziale la frazione di canali aperti

coincide con la probabilità di tale evento, ricordando che la frequenza

relativa di un fenomeno e probabilità convergono in probabilità al crescere

del numero di eventi considerati.

L'algoritmo appena descritto ha numerosi svantaggi in termini di velocità e

di memoria richieste (Chow et al., ‘96). Innanzitutto è necessario mantenere

lo stato di tutti i canali presenti e aggiornarlo di continuo: le simulazioni che

coinvolgono un gran numero di canali richiedono notevole dispendio di

memoria e complicazioni nell’implementazione al calcolatore. Il lato

peggiore di questo algoritmo è la necessità di generare una grande quantità

di numeri pseudocasuali a ogni transizione. Anche il migliore algoritmo di

generazione di numeri pseudocasuali ha caratteristiche di periodicità nella

sequenza di numeri prodotta. Segue una peggiore prestazione della

simulazione in termini statistici, soprattutto se di lunga durata temporale

(tempo di modello).

Una proposta migliore sfrutta l'indipendenza, il parallelismo e l'assenza di

memoria di ciascun canale. E' possibile tenere memoria solo del numero

totale di canali ionici in un certo stato, piuttosto che dello stato di ciascun

canale. Il numero di variabili da memorizzare diminuisce così drasticamente



e non dipende più dalle dimensioni della superficie della membrana: esso è

pari a 2k

h

h∑ , con kh numero dei gate del canale selettivo alla specie ionica

h-esima.

Consideriamo per semplicità, nuovamente il modello di Morris e Lecar.

L'intervallo di tempo fra due transizioni successive, esaminando tutti i canali

nello stesso istante e supponendo l’indipendenza fra di essi, è una variabile

aleatoria con la seguente densità di distribuzione di probabilità:

(1.99) f T) e T( = ⋅ − ⋅λ λ

In questa espressione λ è la somma dei prodotti fra numero di canali in un

certo stato per la probabilità (per unità di tempo) di compiere una

transizione da tale stato, e si è indicato con Nk e NCa il numero di canali

potassio e calcio aperti rispettivamente.

(1.100)λ β α β α= ⋅ + − ⋅ + ⋅ + − ⋅N N N N N Nk n k k n Ca m Ca Ca m( ) ( )max max

E’ evidente che basta generare un solo numero pseudocasuale r uniforme fra

0 e 1, e applicare ad esso la trasformazione già vista per ottenere T:

T r= ⋅ −1 1

λln( ) .

Aggiornato il potenziale di membrana con la 1.98 nelle stesse ipotesi, si

aggiorna il numero totale di canali in ciascuno degli stati ammessi: nel

modello di Morris e Lecar Nk, (Nk max - Nk), Nca,

(Nk max - NCa ).

Questo aggiornamento deve essere fatto generando eventi a probabilità

( ) ( )N N N N N Nk n k k n Ca m Ca Ca m⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅β α β α, , ,max max

e

rispettivamente decrementando Nk, incrementando Nk, decrementando Nca o

incrementando Nca.

Il passo precedente richiede come ovvio la generazione di un solo numero

pseudocasuale uniforme fra 0 e λ, ed il confronto dello stesso con le



probabilità pi: in queste ipotesi se x è una variabile aleatoria uniforme fra 0 e

1, la probabilità che x<pi è proprio pi, per definizione di distribuzione

uniforme.

L’inizializzazione è equivalente a quella dell’algoritmo precedente, ovvero

si impone che:

)V(nNN 0dmaxhh ∞⋅= per ogni h.

Tutte le simulazioni relative alla dinamica stocastica dei canali proteici

riportate in questo capitolo, sono state realizzate con tale algoritmo, ed il

vantaggio in termini di velocità e di occupazione di memoria è stato

sensibile, verificando soprattutto un incremento dell'efficienza per le

simulazioni a limitato numero di canali totali.

1.16 Analogia con l’Equazione di Langevin

Si consideri nuovamente per semplicità il modello di Morris e Lecar. Si può

dimostrare che le scale temporali associate ai valori attesi delle variabili m e

n, attivazione dei canali calcio e potassio rispettivamente, sono

notevolmente separate come viene indicato in figura 1.24. Dalla 1.83 si

osserva che la costante di tempo che caratterizza l’andamento temporale del

valore atteso della frazione n di canali potassio aperti, è data dalla somma αn

+ βn. In particolare, valgono le 1.101 e 1.102:

(1.101) ( )

−⋅=β+α=τ −

29

10Vcosh

15

1)V( nn

1n

(1.102) ( )

+=β+α=τ −

30

1Vcosh)V( mm

1m



Viene indicato di seguito anche i valori di regime per i valori attesi di n e m

(si veda anche 1.83 e 1.86):

(1.103)

−+⋅=

β+α

α=∞ 5.14

10Vtanh1

2

1n

nn

nd

(1.104)

++⋅=

β+α

α=∞ 15

1Vtanh1

2

1m

mm

md

-90 -60 -30 0 30 60 900

2

4

6

8

10

12

14 (αn+βn)

-1

(αm+βm)-1

msec

V (mV)

Figura 1.24: La cinetica dei canali Ca2+ è in valore atteso più rapida di

quella dei canali K+.

Si osserva immediatamente che ( ) ( )α β α βm m n n+ >> + da cui si deduce che

l’inverso delle 1.101 e 1.102 stano fra di loro nella seguente relazione di

disuguaglianza:

(1.105) ( ) ( ) 1nn

1mm

−− β+α<<β+α

Tale osservazione è di notevolissima importanza e verrà richiamata anche

nel capitolo successivo (vedi paragrafo 2.1). Utilizzando un modello

deterministico infatti, è possibile approssimare la dinamica associata ai

canali calcio, considerando la loro evoluzione temporale come istantanea,

rispetto a quella associata ai canali potassio (Abbott et al., ‘90). E’ possibile

cioè imporre la variabile deterministica md identicamente uguale al proprio

valore di regime, nei casi in cui si è interessati ad analizzare la dinamica

neuronale su scale temporali molto maggiori di quella associata al

potenziale d’azione, per esempio nel contesto di esaminare il

comportamento collettivo di un insieme di cellule nervose interconnesse, e

le modalità attraverso cui tale insieme di unità elabora informazioni e



segnali provenienti dalle afferenze sensoriali. Tale approssimazione è lecita

quando la scala temporale di interesse sia molto più lenta dei fenomeni che

portano a regime le grandezze considerate.

Dal punto di vista dello studio della cinetica dei canali ionici, risulta però

più corretto interpretare la 1.105 in modo diverso: la variazione di n è molto

lenta rispetto a quella associata a m. Si sceglie di imporre n ≅ nr, costante

rispetto al tempo, con nr valore di riposo della variabile deterministica

corrispondente (Chow et al., ‘96). Dalle 1.83 e 1.86 segue che per

definizione

(1.106) t)V(n)V()V(

)V(n)t(n restd

restnrestn

restnr ∀=

β+αα

=≡ ∞

Possiamo adesso riscrivere il secondo membro dell'equazione differenziale

stocastica 1.78, in cui l'unico processo aleatorio del tempo è la frazione dei

canali calcio aperti m, oltre naturalmente a V:

(1.107) ( ) ( ) ( ) extCaCaKrKll IVEmgVEngVEgdt

dVC +−⋅⋅+−⋅⋅+−⋅=

Al termine del paragrafo 1.10 e seguenti, è già stato messo in evidenza che

per il teorema di DeMoivre-Laplace per ogni istante t la variabile aleatoria

m(t) è caratterizzata da una densità di distribuzione di probabilità normale.

Dal momento che la natura dei canali ionici Ca2+ in esame è quella

elementare ad unico gate indipendente, sono immediatamente note le

proprietà statistiche del processo m(t).

m E m m

m m

= =+

αα β

( ) E m mN

Ca

m

m m

m

m m

− = ⋅+

⋅ −

+

2 11

max

αα β

αα β



( ) ( ) ( )E m t m m t mN

eCa

m

m m

m

m m

m m( ) ( )max

− ⋅ + − = ⋅+

⋅ −

+

⋅ − + ⋅τ

αα β

αα β

α β τ11

Per convenienza formale, si introduce adesso la variabile δm, dove si sta

considerando m m m= + δ , cioè somma del valore atteso e di una variabile

aleatoria a valore medio nullo, si ottiene un'espressione equivalente.

Riscrivendo la 1.107 si ottiene

(1.108) ( ) ( ) ( ) ( )VEmgIVEmgVEngVEgdt

dVC CaCaextCaCaKrKll −⋅δ⋅++−⋅⋅+−⋅⋅+−⋅=

(1.109) E mδ = 0

(1.110) E mN

Ca

m

m m

m

m m

δα

α βα

α β2 1

1= ⋅+

⋅ −

+

max

(1.111) ( )E m t m tN

eCa

m

m m

m

m m

m mδ δ τα

α βα

α βα β τ( ) ( )

max

⋅ + = ⋅+

⋅ −

+

⋅ − + ⋅1

1

La funzione di autocorrelazione 1.111 può inoltre essere approssimata con

una funzione delta di Dirac, essendo il tempo di decadimento

dell'esponenziale (αm + βm)-1 molto più piccolo della scala temporale dei

fenomeni di variazione del potenziale di membrana in risposta alle

variazioni del numero di canali calcio aperti. Allora la funzione di

autocorrelazione assume la forma indicata nella 1.112.

(1.112) ( )τδ⋅⋅≈τ+δ⋅δmaxCa

N

D2)t(m)t(mE D opportuno



-30 -20 -10 0 10 20 300.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0

Autocorrelazione Delta di Dirac

τ

Fig. 1.25: Funzione di autocorrelazione del processo stocastico δm, e

approssimazione con una delta di Dirac: rumore bianco.

Fissare il coefficiente D implica scegliere un criterio di equivalenza fra la

1.111 e la 1.112. D determina l’area della delta, quindi si può imporre la

seguente condizione:

E m(t) m(t + )2 D

N

2 D

N-

+

Ca-

+

Ca

δ δ τ τ δ τ τ⋅ =⋅

⋅ =⋅

∞

∞

∞

∞∫ ∫d dmax

( )max

Da questa condizione, approssimativamente equivalente ad imporre la parità

di densità spettrale di potenza dei due processi, si ottiene l’espressione

analitica del coefficiente D che ovviamente è funzione del potenziale di

membrana, attraverso la dipendenza funzionale delle probabilità di

transizione per unità di tempo αm(V) e βm(V):

(1.113) ( )3

mm

mm

)V()V(

)V()V()V(DD

β+αβ⋅α

== .

I termini nell'equazione differenziale 1.108 possono allora essere

riorganizzati in modo da ricondurre il formalismo alla forma esaminata nella

appendice A (a.27):



(1.114) ( )

dV

dth V g V t

E t E t t gaussiano

W V V V

= + ⋅

= ⋅ + = ⋅= ⋅ −

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( , )

η

η η η τ δ τδ

0 2

0 1 0

L’equazione 1.108 è dunque un’equazione monodimensionale non lineare di

Langevin, soggetta ad un rumore bianco dipendente dal potenziale di

membrana V. Tale dinamica può anche essere confrontata con il moto di

una particella soggetta ad un campo di forze (conservativo), soggetta a

fluttuazioni indotte dall’agitazione termica. In questa analogia, V

corrisponde alla posizione della particella, la capacità C gioca il ruolo di un

coefficiente di attrito e l’inverso di NCa, contenuto nella definizione di δm,

quello della temperatura esterna. Questo parallelo consentirebbe di spiegare

la soppressione di fluttuazioni spontanee quando il numero totale di canali

calcio cresca sufficientemente, allo stesso modo in cui l’agitazione termica a

cui è soggetta la particella tende a scomparire al decrescere della

temperatura fino allo zero assoluto.

Nella 1.114 compare anche la funzione W(V,t), densità di distribuzione di

probabilità, in generale non stazionaria, di V che è ovviamente un processo

aleatorio. La condizione iniziale ( )W V V V( , )0 1 0= ⋅ −δ rappresenta la

posizione "V(t=0) = V0 a probabilità unitaria", ed è importante per

l'esistenza e l'unicità della soluzione di tale equazione stocastica.

Le funzioni h(V) e g(V) sono combinazioni dei parametri del modello e

hanno la seguente forma:

( ) ( ) ( )h VC

g E V g n E V gV V

E V Il l k r k Cam V

m mCa ext( )

( ) ( )( )= ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅

+

⋅ − +

1 αα β

dove si è già sostituita l'espressione analitica del valore atteso di m, e

( )g Vg

C

D V

NE VCa

CaCa( )

( )

max

= ⋅ ⋅ −



Attraverso un opportuno cambio di variabile, una forma più agevole per la

1.114 può essere derivata, e precisamente in modo tale che il coefficiente

moltiplicativo del processo stocastico η(t), η(t) = δm(t), sia indipendente da

V. Si definisce una nuova variabile y nel modo seguente:

∫==V

)x(g

dx)V(wy

Per il teorema di derivazione delle funzioni composte

[ ])V(g

)t()V(g)V(h

dt

dV

dV

dy

dt

dy η⋅+=⋅= , e quindi )t()y(Hdt

dy η+= , dove

per definizioneH yh w y

g w y( )

( ( ))

( ( ))=

−

−

1

1 .

Questo tipo di cambiamento di variabile può sempre essere applicato con

ipotesi di generale regolarità della funzione g(x) e di consistenza della

definizione di y.

Si dimostra, in virtù della δ-correlazione e di gaussianità del processo

stocastico η(t), che y(t) deve essere un processo markoviano e per le

considerazioni fatte nella appendice A, si sa che l'espansione di Kramers-

Moyal per tale processo si arresta ai primi due termini. L'equazione di

Fokker-Plank per W(y,t) può essere immediatamente scritta:

(1.115) [ ] )t,y(Wy

)t,y(W)y(Hyt

)t,y(W2

2

∂∂+⋅

∂∂−=

∂∂

(1.116) ( )0yy1)0,y(W −δ⋅=

Nella condizione iniziale 1.116 compare la quantità y0 = w(V0), in virtù

della monotonia della funzione w(V).

Un'equazione differenziale lineare di tipo parabolico come la 1.115 può

essere ricondotta all'equazione di Smoluchowski 1.118, nelle ipotesi molto



generali di integrabilità di H(y). Si definisce Φ(y) funzione potenziale per la

dinamica del processo y(t), dove:

(1.117) )y(Hdy

)y(ddx)x(H)y(

y

=Φ−⇒−=Φ ∫

(1.118)( ) ( )t,yW

y)y(’

yt

)t,y(W2

2

∂∂+Φ−

∂∂−=

∂∂

Come si è già osservato si verifica che y = w(V) è una funzione monotona

non decrescente. Poiché h V

g V

( )

( ) è monotona, allora anche la funzione

composta h

gwo −1, cioè H(y), è una funzione monotona e quindi invertibile.

Si voglia calcolare minimi e massimi di tale funzione potenziale Φ(y):

questo può essere fatto determinando i passaggi per lo zero della funzione

H(y), dal momento che )y(Hdy

)y(d =Φ− , e per la condizione necessaria di

esistenza di un estremante locale per una funzione di una variabile.

Tali valori possono essere poi riportati ai corrispondenti valori di V,

attraverso la definizione di y, invertendo la relazione: V = w-1 (y). In

particolare i valori di y tali che H(y) = 0, sono quelli che corrispondono ai

valori V = w-1 (y), per i quali H yh w y

g w y( )

( ( ))

( ( ))=

−

−

1

1 .

Questo dimostra che i valori di V per i quali si annulla la funzione h(V)

precedentemente definita, sono gli stessi per i quali si annulla la funzione

potenziale per la dinamica della variabile y. Il ruolo di Φ(y) è quello di

generare una dinamica attrattiva verso i propri punti di minimo, per y e

quindi per V, attraverso w-1.



-60 -40 -20 0 20 40 60-10

0

10

20

30

40g

k = 30 mS/cm2

gCa

= 7 mS/cm2

gk = 9 mS/cm2

gCa

= 1 mS/cm2

gk = 1.4849 mS/cm2

gCa

= .7529 mS/cm2

h(V)

V (mV)-60 -50 -40 -30 -20 -10 0

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

gCa

= 7 mS/cm2

gCa

= 0.7529 mS/cm2

gCa

= 1 mS/cm2

h(V)

V (mV)

Fig. 1.26: (sinistra) Grafico della funzione h(V) nel modello di Morris-

Lecar, per alcune scelte dei parametri di conduttanza massima; (destra)

dettaglio dei punti di attraversamento dello zero.

La funzione h(V) si annulla per tre soli valori di V, come indicato in figura

1.25. Se si chiama Vmin il più piccolo di essi, si verifica facilmente che Vmin

corrisponde al valore di riposo del potenziale di membrana, ovvero il valore

medio di regime a cui tende la dinamica descritta dalla 1.78, in assenza di

qualsiasi stimolazione in corrente. Esso è pertanto un punto di equilibrio

stabile, dal momento che per valori iniziali prossimi ad esso, al passare del

tempo V tende asintoticamente ad esso.

Il più grande valore di V per cui h(V) = 0 corrisponde invece ad un punto di

equilibrio instabile, dal momento che V raggiunge tale valore durante il

potenziale d’azione, e se ne discosta immediatamente durante la fase di

iperpolarizzazione che segue nel modello completo, dovuta all’apertura di

un gran numero di canali potassio.

Il punto intermedio di attraversamento dello zero Vmax, individua in modo

univoco il valore della soglia di eccitabilità, nell’approssimazione 1.105; la

distanza fra Vmin e Vmax determina così la distanza fra il valore di riposo del

potenziale e il valore di soglia, superato il quale le non linearità dei processi

di eccitabilità inducono in probabilità, un cambiamento significativo di stato

nella maggior parte dei canali, che può risultare nella generazione di un

potenziale d’azione.



Queste considerazioni non valgono soltanto per il modello di Morris e

Lecar, ma per una classe molto ampia di modelli biofisici, del tipo già

descritto. Per il modello stocastico di Hodgkin-Huxley, con considerazioni

molto simili si individua l’andamento riportato nella figura seguente.

-700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0 100-1000

0

1000

2000

3000

4000

h(V)

V (mV)

-67 -66 -65 -64 -63 -62 -61 -60-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

h(V)

V (mV)

Fig. 1.27: (sinistra) Grafico della funzione h(V) nel modello di Hodgkin-

Huxley e (destra) dettaglio dei punti di attraversamento dello zero Vmin=-65

mV e Vmax=-62.4mV.

L'analisi del profilo di h(V) risulta quindi cruciale per comprendere quali

siano i valori di equilibrio (Vmin punto di equilibrio stabile, Vmax punto di

equilibrio instabile) per una classe molto ampia di modelli di membrana

nervosa.



1.17 Formula di Kramers

E’ già stato osservato che il fenomeno della fluttuazione del potenziale di

membrana V, e l’attraversamento della soglia di eccitabilità per valori sotto-

soglia della corrente esterna di stimolazione, siano paragonabili al

movimento di una particella in una buca di potenziale Φ(V) soggetta a urti

casuali con le particelle della soluzione, in virtù dell’agitazione termica.

Quello che è stato chiamato rumore di membrana agisce in modo simile al

rumore termico, spingendo per così dire, occasionalmente V oltre Vmax. Una

volta superato tale valore e generato un potenziale d’azione, i meccanismi

non-lineari che abbiamo approssimato molto lenti tendono a riportare V al

valore di riposo Vmin. Si è già notato che, quanto maggiore è la distanza fra

Vmin e Vmax, tanto minore sarà la probabilità che in media le fluttuazioni

della cinetica stocastica dei canali ionici riescano a fare oltrepassare la

soglia di eccitabilità e quindi indurre attività spontanea sostenuta.

La frequenza media di oscillazione per il potenziale di membrana, ovvero il

numero di potenziali d’azione generati nell’unità di tempo in modo

spontaneo, può allora essere approssimato dal tasso medio di fuga da una

barriera di potenziale Φ(V). Si tratta di un problema classico nella

meccanica statistica (Kramers, ’40; Hanggi et al., ’90), affrontato per la

prima volta da Kramers negli anni ’40 e successivamente riesaminato

innumerevoli volte in letteratura (Amit et al., ’96). Si dimostrerà adesso che,

seppure in via numerica, tale tasso di fuga può essere valutato, nelle ipotesi

di stazionarietà approssimata che richiede un’equivalente bassa

temperatura a confronto con l’altezza della barriera di potenziale. L’analisi

teorica che viene condotta diventa perciò meno accurata al decrescere del

numero di canali, e inoltre in questa trattazione è stata ignorata del tutto la

fenomenologia in grado di produrre l’intervallo di refrattarietà e i

meccanismi di innesco della iperpolarizzazione di V.

Si valuti il salto sul profilo della funzione potenziale (ampiezza della

barriera), ∆Φ corrispondente ai valori di Vmin e Vmax:



(1.119)

( ) ( )

∫ ∫

∫

=⋅−=

=Φ=Φ−Φ=∆Φ

max

min

min

max

max

min

V

V

V

V 2

y

yminmax

dV)V(g

)V(hdV

dV

dy

)V(g

)V(h

dy)y(’yy

Si è già osservato che la formula di Kramers (1.120) vale nelle condizioni in

cui ∆Φ >> 1. Questo è immediatamente posto in relazione alla potenza del

rumore termico equivalente, giacché intuitivamente si può notare che quella

condizione è garantita qualora il rapporto che figura sotto il segno di

integrale nella definizione1.119 sia molto grande, su tutto l’intervallo di

valori compresi fra Vmin e Vmax. Dal momento che g(V) è in prima

approssimazione proporzionale alla densità spettrale di potenza del processo

δm, per definizione pari all’area della delta di Dirac legata direttamente al

coefficiente D definito nella 1.113 e inversamente a NCa, il rapporto che

compare nella 1.119 sarà grande quando g(V) è piccolo, cioè quando Nca è

grande.

In queste ipotesi il tasso di fuga dalla barriera è dato dalla seguente

equazione:

(1.120) ( ) ( )R y y ek ≈ ⋅ ⋅ ⋅ −1

2π Φ Φ ∆Φ’’ ’’min max

La derivata seconda del potenziale è quando si consideri che, per il teorema

di derivazione di funzioni composte, vale:

(1.121)Φ’’( ) ( ( )) ( ( ))’( ) ( ) ( ) ’( )

( )y

d

dyH V y

d

dVH V y

dV

dy

h V g V h V g V

g V= − = − ⋅ = −

⋅ − ⋅

Ma allora si può sfruttare la 1.121 per concludere che nel caso particolare di

ymin e ymax corrispondenti come si è già discusso a Vmin e Vmax

rispettivamente, le quantità sotto integrale nella 1.120 possono essere

valutate dalla sola conoscenza della derivata prima di h(V).



(1.122) maxminmaxmin V;VVy;yy)V(’h)y(’’ ∈∈−=Φ

Completando la valutazione del tasso di fuga medio dalla barriera di

potenziale, mediante integrazione numerica della 1.119, si arriva alla forma

finale. Tale espressione può essere resa dipendente dal numero totale di

canali proteici calcio oppure dalle dimensioni complessive del patch di

membrana, attraverso la specificazione della densità di canali ρCa.

(1.123) 32

maxCa

C

S

1C

N

1k eCeCR−−

⋅=⋅≈ (quindi Ca

231

CCρ

⋅= ).

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,00,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

C1

Rk

S

Fig. 1.28: Andamento generale previsto dalla formula di Kramers per il

tasso medio di fuga dalla buca di potenziale in funzione del numero di

canali calcio, ovvero di S.

La teoria appena sviluppata per la previsione della frequenza media di

oscillazione del potenziale di membrana fornisce una spiegazione

all’evidenza fornita dalla simulazione del modello di Morris-Lecar non



deterministico. Infatti, per valori biologicamente consistenti della

dimensione del patch di membrana, non si assiste ad alcuna attività

spontanea. La 1.23 infatti prevede una frequenza media di attività

statisticamente rilevante solo per valori molto piccoli di A, non ragionevoli

dal punto di vista biologico (si vedano le figure 1.29 – 1.30), anche al

variare dei valori di conduttanza massima. In modo euristico si potrebbe

affermare che l’assenza di attività spontanea nel modello di Morris-Lecar

sia imputabile alla particolare cinetica dei canali ionici e non ai valori

numerici considerati. Dal punto di vista della filogenesi, potrebbe infatti

essere importante sfavorire l’insorgenza di qualunque attività spontanea,

anche in condizioni di densità di canali proteici relativamente bassa.

Ontogeneticamente, la differenziazione delle cellule nervose potrebbe

avvenire anche al livello di sintesi proteica, per esempio nella maggiore o

minore facilità all’espressione di opportuni geni che codificano canali

proteici di tipo simile a quanto descritto, piuttosto che ad un altro.

0 5 10 15 20 25 30 35 400

5

10

15

14.9 exp(-S/3.56µm2) Hz

Rk

S (µm2)

Fig. 1.29: Frequenza media di attività spontanea nel modello di Morris-

Lecar, per Cag = 7mS/cm2 e Kg =30mS/cm2.



0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.0100

20

40

60

80

100

120

129 exp(-S/1.15 10-3µm2) Hz

Rk

S (µm2)

Fig. 1.30: Frequenza media di attività spontanea nel modello di Morris-

Lecar, per Cag = 1mS/cm2 e Kg =9mS/cm2.

Al contrario, come mostrato nelle figure 1.22 – 1.23, per il modello di

Hodgkin-Huxley esiste una rilevante attività spontanea la cui previsione

risulta in ottimo accordo con le simulazioni al calcolatore, e di seguito

riportiamo l’andamento della frequenza media di attività.

0 100 200 3000

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

45 exp(-S/74µm2) Hz

Rk

S (µm2)

Fig. 1.31: Frequenza media di attività spontanea nel modello di Hodgkin-

Huxley.



Figura 1.32: Confronto fra la previsione teorica e la simulazione a

calcolatore, per la frequenza media di attività elettrica nel modello di

Hodgkin-Huxley.



Capitolo 2

Modello di Neurone Integra-e-Spara

2.1 Riduzione della Complessità

Nel capitolo 1 è stata approfondita la natura stocastica e discreta dei

processi che governano la generazione e la propagazione del segnale

nervoso. La modellistica matematica esaminata impiega uno schema

cinetico markoviano per la descrizione degli stati interni dei canali proteici,

e si rivela in grado di prevedere con ottima precisione gli stessi

comportamenti normalmente descritti in modo deterministico e continuo.

Inoltre, la ricchezza di questa descrizione consente di giustificare in modo

molto semplice, proprietà e fenomenologie di ordine superiore, come

l'attività spontanea, che emergono naturalmente dalla dinamica collettiva dei

canali ionici.

L'approccio stocastico alla descrizione di una membrana eccitabile è

storicamente molto recente, e la ragione principale del successo dei

precedenti modelli biofisici deterministici (1.23 – 1.29 e analoghi), risiede



nel fatto che l'insieme dei valori numerici dei parametri di tali modelli è

facilmente identificabile, mediante semplici procedure di interpolazione,

partendo dalle misurazioni elettrofisiologiche a potenziale di membrana

costante (tecnica del voltage-clamp).

Oltre alla indicata incapacità di descrizione dei comportamenti

statisticamente significativi quando il numero totale di canali proteici sia

molto ridotto, lo svantaggio principale dei modelli deterministici è dato

dalla difficoltà della loro risoluzione numerica. Quasi sempre infatti,

vengono considerati sistemi differenziali del prim'ordine, per i quali non è

possibile trovare una soluzione in forma chiusa, e nei quali esiste una

evidente separazione delle scale temporali che regolano le variabili di stato

(si veda il paragrafo 2.3). Adottando un algoritmo di integrazione numerica

a passo di integrazione fisso, questa situazione forza la scelta dell'intervallo

di quantizzazione ad un valore molto piccolo a causa della elevata rapidità di

variazione delle variabili più veloci, a discapito delle altre componenti dello

stato che non richiederebbero una discretizzazione dell'asse dei tempi così

accurata. Il passo di integrazione scelto è così imposto all'intero sistema di

equazioni differenziali accoppiate, ed eventualmente a ciascun sistema di

equazioni per ogni neurone costituente una rete di cui interessa conoscere

l'evoluzione (Destexhe, '97), oppure ad ogni compartimento isopotenziale di

uno stesso neurone, nella modellistica a parametri distribuiti (eq. 1.19).

Un rimedio a tali limitazioni di ordine pratico nella simulazione al

calcolatore di grandi reti di neuroni densamente interconnessi, ovvero nello

studio di geometrie complicate per i processi neuritici di una singola cellula,

è la formulazione di modelli computazionalmente meno onerosi, in grado

tuttavia di mantenere proprietà e caratteristiche rilevanti per la consistenza

con la realtà biologica e per il confronto con i dati sperimentali (Rinzel et

al.).

In questo capitolo verrà esaminata una procedura matematica di riduzione

del modello di Morris e Lecar formalmente giustificata (Morris et al., '81), a

cui seguirà un'ulteriore riduzione delle equazioni. Il modello finale, noto in



letteratura come integra-e-spara (Destexhe, ’97; Amit et al., ’96; Hopfield et

al., '95; Abbott et al., '90;), costituirà un approccio incapace di prevedere la

descrizione delle singole correnti ioniche, ma presumibilmente ancora in

grado di cogliere i medesimi comportamenti dei modelli completi,

soprattutto nello studio delle interazioni fra un numero molto grande di unità

mutuamente connesse.

2.2 Analisi del Modello Biofisico Deterministico

Si consideri il modello deterministico di Morris e Lecar, in parte esaminato

nel capitolo precedente, la cui espressione matematica è data dal seguente

sistema di tre equazioni differenziali non lineari.

(2.1) ( ) ( ) ( ) extKdKCadCall IVEngVEmgVEgdt

dVC +−⋅⋅+−⋅⋅+−⋅=

(2.2) ( )ddn

d n)V(n)V(

1

dt

dn−⋅

τ= ∞

(2.3) ( )ddm

d m)V(m)V(

1

dt

dm−⋅

τ= ∞

Come già osservato, l'integrazione numerica delle equazioni 2.1 – 2.3

mostra che per valori piccoli dell'ampiezza della corrente di stimolazione Iext

costante nel tempo, l'andamento temporale del potenziale di membrana V è

quello tipico a costante di tempo, simile all'evoluzione delle grandezze

elettriche in un circuito passivo RC. Nel caso in cui l’ampiezza dello stimolo

di corrente sia sufficientemente elevata da fare oltrepassare a V un

particolare intervallo di valori, sotto certe ipotesi la soluzione V(t) delle 2.1

– 2.3 è periodica di periodo costante, se la stimolazione di corrente è

costante nel tempo. Altra caratteristica interessante è la presenza di un

intervallo temporale di insensibilità o refrattarietà nei confronti di un



ulteriore stimolo in corrente, per circa 2 millisecondi dopo la

depolarizzazione: una variazione di qualsiasi entità in Iext(t) non produce

alcun effetto nell’evoluzione delle grandezze considerate (Morris et al., '81).

Nella figura 2.1 è rappresentata l'evoluzione temporale di V, per

stimolazioni transitorie e di diversa intensità, utilizzando i parametri della

tabella 2.1 e g mS cm g mS cmCa K= =1 32 2/ / ; il profilo di Iext(t) è

sovrapposto al grafico del potenziale di membrana.

0 50 100 150

-40

-20

0

20

40

Iext

V

(µA/cm

2)

(mV)

time (msec)

-20

-10

0

10

20

0 50 100 150

-40

-20

0

20

40

(mV)

time (msec)

-20

-10

0

10

20

(µA/cm

2)

Iext

V

Fig. 2.1: Andamento temporale del potenziale di membrana V(t), per

Iext=6µA/cm2 (sinistra) e Iext=13µA/cm2 (destra), rispettivamente.

Come già notato nel paragrafo 1.16 (si veda fig. 1.24 e equazione 1.105),

τm(V) / τn(V) << 1, per ogni valore di V. Questo significa che è possibile

ridurre il sistema 2.1 – 2.3 a sole due equazioni differenziali, in cui si

considera la dinamica dei canali Ca2+ molto più rapida di quella relativa ai

canali K+, ponendo istantaneamente md al proprio valore di regime ∞dm .

Con tale sostituzione si ottiene un modello ridotto, indicato dalle 2.4 e 2.5,

equivalente con ottima approssimazione al modello completo (2.1 – 2.3).

(2.4) ( ) ( ) ( ) extKdKCadCall IVEngVE)V(mgVEgdt

dVC +−⋅⋅+−⋅⋅+−⋅≅ ∞



(2.5) ( )ddn

d n)V(n)V(

1

dt

dn−⋅

τ= ∞

Una giustificazione più rigorosa del fatto che utilizzando questa

approssimazione, l'andamento del potenziale di membrana continui ad

essere descritto in modo preciso, è fornita dal teorema di Thikonov. Siamo

infatti nelle ipotesi di poter ridurre lo spazio degli stati da ℜ 3 a ℜ 2, senza

alterare le caratteristiche dei punti singolari. Esiste egualmente un ciclo

limite, cioè una soluzione periodica stabile per il potenziale di membrana,

come segue dal teorema di Poincarè-Bendixon. Questo teorema può essere

enunciato nel modo seguente: se una traiettoria di un sistema dinamico

rimane in un dominio finito dello spazio delle fasi per tutto il tempo, senza

raggiungere alcun punto di equilibrio, allora essa è una traiettoria chiusa

(periodica) o tende asintoticamente a diventarlo (Morris et al., '81). E'

possibile verificare le ipotesi di questo teorema, verificando che V e nd sono

quantità sempre limitate superiormente e inferiormente: per nd ciò segue

dalla definizione di valore atteso della frazione di canali potassio aperti,

rispetto al numero totale degli stessi, e quindi vale che 1n0 d << . Per V, si

può dimostrare che dalla 2.1 segue la seguente condizione:

(2.6) maxCal

extCaCall

Kl

extkKllmin V

gg

IEgEgV

gg

IEgEgV =

++⋅+⋅

<<+

+⋅+⋅=

Da un esame approfondito del significato delle equazioni 2.4 e 2.5, si può

intuire che due è il numero minimo di equazioni differenziali in grado di

descrivere le caratteristiche qualitative di processi eccitabili/oscillatori di

questo tipo. Esistono fondamentalmente due proprietà rilevanti, che devono

essere incluse in ogni descrizione matematica di una membrana eccitabile: il

comportamento capacitivo, responsabile delle proprietà integrative della

membrana (2.4 o 2.7), e la dipendenza temporale delle conduttanze di



membrana (2.5 o 2.8), responsabile delle non linearità che generano

l'eccitabilità e la refrattarietà (Abbott et al., ’90).

Si riporta di seguito il modello di Morris e Lecar ridotto, specificando la

forma definitiva delle equazioni.

(2.7)extKdKCaCall I)VE(ng)VE(

15

1Vtanh1

2

1g)VE(g

dt

dVC +−⋅⋅+−⋅

++⋅⋅+−⋅=

(2.8)

−

−+⋅⋅

−⋅= d

d n14.5

10Vtanh1

2

1

29

10Vcosh

15

1

dt

dn

Ove non si faccia esplicito riferimento, si assume d’ora in avanti che le

condizioni iniziali per V e per nd, insieme agli altri parametri del modello,

siano quelli indicati nella tabella 2.1.

Parametro Valore


El Potenziale inverso di perdita -50mV

ECa Potenziale inverso per Na+ 100mV

EK Potenziale inverso per K+ -70mV


V(0) Condizione iniziale per V -50mV

nd(0) Condizione iniziale per nd ))0(V(nd ∞

Tabella 2.1: Alcuni parametri utilizzati per le simulazioni del modello di

Morris e Lecar ridotto.



2.3 Analisi nel Piano delle Conduttanze Massime di

Membrana

Sebbene l’ampiezza e la frequenza dei potenziali d’azione che caratterizzano

il regime periodico del modello esaminato, siano dipendenti dall'intensità

della corrente di stimolazione, la relazione matematica che lega una

variazione di quest'ultima ai cambiamenti nelle due quantità precedenti, non

è di tipo monotono (vedi figure 2.2 – 2.8). La figura 2.2 è stata ottenuta

riportando il valore minimo e massimo di V(t) a transitori esauriti, al variare

dell'ampiezza della corrente di stimolazione, mantenuta costante nel tempo.

Questo tipo di comportamento è usuale nella dinamica dei sistemi non

lineari: esiste un valore minimo del parametro Iext (circa 8µA/cm2), al di

sotto del quale nessuna oscillazione persistente è prodotta. Il punto

corrispondente a tale valore dell'intensità di stimolazione è detto

biforcazione di Hopf. Superata tale soglia infatti, si ha generazione di

potenziali d’azione a frequenza costante e, al crescere del valore della

corrente, l'ampiezza delle oscillazioni decresce fino ad annullarsi. Questo

significa che per valori di corrente superiori ad un valore detto di

saturazione (circa 48µA/cm2), il regime periodico in V(t) scompare.

-60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120

-150

-100

-50

0

50

(mV)

Istim

(µA/cm2)

Fig. 2.2: Diagramma di biforcazione per V a regime, al variare della

corrente di stimolo.



-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

(kHz)

Istim

(µA/cm 2)

Fig. 2.3: Andamento della frequenza media del treno di potenziali d’azione

a regime, al variare dell'intensità della corrente di stimolo costante.

La figura 2.3 riporta invece la dipendenza dall'intensità di corrente, per la

frequenza media di oscillazione di V(t), calcolata come numero di potenziali

d'azione nell'unità di tempo. Per questo calcolo, si è atteso l'esaurimento dei

transitori e si è osservato l'andamento di V(t) per 10 secondi, per poi

valutare il rapporto fra la metà del numero di attraversamenti di V per 0mV,

valore scelto convenzionalmente, e l’ampiezza dell’intervallo temporale, pari

a 10 secondi.

Come per la figura 2.2, anche in questo caso la relazione di dipendenza dalla

corrente è profondamente non lineare: la frequenza media di oscillazione è

diversa da zero solo nell'intervallo compreso fra i valori critici già indicati

nella figura 2.2. Fuori da tale intervallo, l'assenza di oscillazione permanente

implica una frequenza di oscillazione pari a zero.

Oltre alla corrente esterna, anche i valori di conduttanza massima, che

figurano in ciascuna delle correnti ioniche, hanno un ruolo importante. Si

può assistere ad una variazione anche notevole delle caratteristiche della

soluzione V(t) delle 2.7 – 2.8, al variare di tali valori, fissata l'ampiezza di

stimolazione in corrente costante. Le modalità stesse del regime periodico

permanente sono profondamente influenzate da tali variabili. Se si

rappresenta nel piano, per ogni valore della coppia g K - g Ca, entro un certo



intervallo di ammissibilità, la frequenza dell'oscillazione del potenziale di

membrana, una volta raggiunto il regime periodico ove questo esista, si

possono indicare con lo stesso tono di grigio (vedi figure 2.4 e 2.5) le zone

del piano caratterizzate dalla stessa frequenza di attività regolare.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 10

10

gCa

gk

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 10

10

gCa

gk

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 10

10

gCa

gk

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 10

10

gCa

gk

Fig. 2.4: Regioni iso-frequenza al crescere di Iext=2, 3, 4, 5 µA/cm2 da

sinistra a destra, nel piano delle conduttanze massime di membrana.

0,0525-0,060,045-0,05250,0375-0,0450,03-0,03750,0225-0,030,015-0,02250,0075-0,015

0-0,0075kHz

0 10

10

Cag

Kg

Fig. 2.5: Regioni iso-frequenza nel caso Iext = 13 µA/cm2, per il modello

ridotto.

Dalla figura 2.5, risulta evidente l'esistenza di una penisola di

comportamento oscillatorio (Morris et al., '81) che si estende verso la parte



alta del grafico, per grandi valori di g K e valori relativamente piccoli di

g Ca. Questa regione separa una zona di risposta passiva, in basso a destra,

da una regione di saturazione, all’estrema sinistra del grafico e per valori

non troppo piccoli di g K . Per valori delle conduttanze massime nella

regione di saturazione, il potenziale di membrana permane in uno stato di

depolarizzazione (figura 2.6) eventualmente caratterizzato da oscillazioni

smorzate, in risposta a uno stimolo di corrente.

0 40 80

-60

0

60

(mV)

time (msec)

Fig. 2.6: Saturazione e assenza di potenziali d’azione per il potenziale di

membrana.

Nella penisola di ammissibilità delle oscillazioni periodiche, non solo varia

la frequenza del treno di potenziali d’azione, ma per alcune combinazioni

dei valori ( )KCa g;g possono variare anche forma e ampiezza degli stessi,

come esemplificato in figura 2.7.



0 10 20 30 40 50

-40

0

40

Cag = 1 mS/cm2

Kg = 3 mS/cm2

(mV)

time (msec)

Kg = 9 mS/cm2

Cag = 1 mS/cm2

Fig. 2.7: Fissata la corrente ( Iext=13 µA/cm2 ), ampiezza e forma del

potenziale d'azione possono variare, anche a parità di frequenza.



2.4 Derivazione del Modello Integra-e-Spara

Nel paragrafo 2.2, è stato dimostrato come ridurre la dimensione del sistema

differenziale studiato da 3 a 2 (eq. 2.7 – 2.8), partendo dal modello completo

proposto da Morris e Lecar. Dal momento che non è possibile ottenere la

soluzione del sistema ridotto 2.7 – 2.8 in forma chiusa, è impossibile

determinare analiticamente la relazione fra un generico segnale in ingresso

Iext(t) e V(t), né può essere trovata analiticamente alcuna condizione

necessaria o sufficiente per il regime periodico permanente, fuorché nel caso

di stimolazione costante nel tempo.

In altre parole, senza aver compreso completamente la generazione del

potenziale d’azione in risposta ad un generico segnale Iext(t), il problema di

individuare la trasformazione e l'elaborazione di informazioni contenute nel

segnale in ingresso ad una cellula nervosa, non può neppure essere preso in

considerazione. Il problema non è affatto astratto, dal momento che come

verrà detto nel quarto capitolo, l'interazione più comune fra neuroni può

essere sempre ricondotta ad un termine di corrente di stimolazione esterna,

tempo-variante e piuttosto complesso.

In letteratura, esistono svariate descrizioni della dinamica del potenziale di

membrana, meno dettagliate di quelle esaminate, e l'introduzione di questi

modelli è spesso motivata dalla necessità di condurre studi approfonditi sul

comportamento di reti estese. Ma se da un lato, utilizzando una descrizione

molto semplice per ciascuna delle unità della rete si riducono drasticamente

i tempi richiesti dalle simulazioni, e sono possibili considerazioni di

carattere teorico per i comportamenti collettivi emergenti (Hopfield, '84;

Hopfield, '82), dall’altro viene smarrita gran parte della complessità

biologica (Abbott et al., '90), e le considerazioni che possono essere tratte,

non sono confrontabili con i risultati sperimentali. Questo compromesso non

può essere evitato, e va accettato nella prospettiva di costruire modelli

neuronali semplici ma abbastanza realistici, conservando per quanto è

possibile la corrispondenza con le descrizioni complete.



Le equazioni trovate in base alle semplificazioni del paragrafo precedente,

possono essere ulteriormente ridotte al fine di ottenere una descrizione tale

da permettere la derivazione di relazioni analitiche generali, e da richiedere

un minor onere computazionale per la risoluzione. Si dimostra che è

possibile seguire una procedura analitica di approssimazione delle

equazioni 2.7 – 2.8, in modo da ottenere un modello semplificato i cui

parametri numerici siano direttamente legati alle grandezze caratteristiche

del modello di partenza, e non imposti arbitrariamente.

Una qualunque riduzione del sistema differenziale 2.7 – 2.8 corrisponde

inevitabilmente ad ignorare una delle due equazioni. Si è già sottolineato il

ruolo preciso assunto da ciascuna delle due: la 2.7 riflette le proprietà

capacitive della membrana fosfolipidica, ovvero le proprietà di tipo

integrativo di una cellula nervosa, mentre la 2.8 riproduce la dipendenza

temporale della conduttanza di membrana, da cui prendono origine i

fenomeni della refrattarietà relativa e assoluta, e della generazione del

potenziale d'azione. Ridurre il sistema differenziale significa considerare la

dinamica associata ad una delle due variabili di stato istantanea rispetto

all’altra, o in altri termini imporre a zero una delle due derivate.

Nella considerazioni generali esposte nel paragrafo 2.1, è stata già citata

l'esistenza di una separazione delle scale temporali associate alle variabili di

stato. Alcune di esse variano molto più lentamente di altre, come è il caso

del potenziale di membrana descritto dalla 2.7, che per la maggior parte del

tempo resta prossimo al valore di equilibrio, tranne in corrispondenza del

potenziale d’azione. Tale evento è però di breve durata, e costituisce una

frazione molto piccola di un intervallo di osservazione sufficientemente

lungo.

In questi termini, si riconosce che la dinamica delle variabili di stato del

modello di Morris e Lecar ridotto è assimilabile a quella di un oscillatore a

rilassamento generalizzato, ovvero un sistema in grado di produrre

spontaneamente o forzatamente, variazioni molto rapide in una o più

grandezze, seguite da intervalli di relativa quiescenza. Formalizzando questo



ragionamento, si può concludere che in un sistema fuori equilibrio di questo

tipo, esistono due o più scale temporali, la cui individuazione consente di

suddividere il vettore di stato in variabili veloci e lente (Gross et al., 'XX).

(2.9)

==⋅ε

)y,x(gy

)y,x(fx

&

&dove 0 < ε << 1

La dinamica di n è molto più rapida di quella associata a V, tanto che le

variazioni più significative del potenziale di membrana sono conseguenza

delle veloci transizioni della cinetica chimica dei canali proteici, che n

rappresenta. Si assume allora istantaneo il comportamento della seconda

variabile di stato, che raggiunge in tempo nullo il proprio valore di regime:

(2.10) nd = ∞dn (V)

L'equazione precedente porta alla perdita di ogni manifestazione non lineare,

quali la capacità di generazione del potenziale d’azione ed il periodo di

refrattarietà. Infatti l’apertura dei canali calcio e quella dei canali potassio è

adesso contemporanea, e in prima approssimazione si può affermare che

inizio e conclusione del potenziale d’azione occorono nello stesso istante.

Questa approssimazione può essere considerata ragionevole, sotto certe

considerazioni: il potenziale d’azione è un evento assolutamente trascurabile

rispetto al tempo totale di osservazione, e inoltre è sempre uguale a se

stesso, ovvero è un fenomeno altamente stereotipato. Ciò significa che

molto probabilmente l'informazione associata ad un treno di potenziali

d’azione successivi è contenuta nella variabilità dell'intervallo fra potenziali

d'azione successivi piuttosto che nell'ampiezza e nella forma dell'impulso.

E’ ragionevole dunque tollerare la mancanza di una descrizione per il

potenziale d’azione. Sostituendo la 2.10 nella 2.7, allora si ottiene



(2.11)( ) ( )[

( ) ] )I,V(f~

IVE)V(ng

VE)V(mgVEgC

1

dt

dV

extextKdK

CadCall

=+−⋅⋅+

+−⋅⋅+−⋅≈

∞

∞

ovvero equivalentemente, dalle 2.7 - 2.8:

(2.11a)

extKK

CaCall

I)VE(14.5

10Vtanh1

2

1g

)VE(15

1Vtanh1

2

1g)VE(g

dt

dVC

+−⋅

−+⋅⋅+

+−⋅

++⋅⋅+−⋅≈

Secondo la definizione di potenziale di riposo Vrest, valore di regime a cui

tende V(t) nella 2.7 in condizioni di assenza di stimolazione (con i soliti

parametri, V mVrest = −49 67, ), il secondo membro dell’equazione 2.11

diventa in valore assoluto molto piccolo, per valori di V prossimi a Vrest

quando Iext = 0 µA/cm2 . E’ allora possibile sviluppare il secondo membro

della 2.11 in un intorno di Vo=Vrest e Iext=0 µA/cm2, in serie di Taylor estesa

ai primi due termini, linearizzando in tal modo la 2.11 in un intorno di un

punto di equilibrio.

(2.12) ( ) ( ) ( )

∂∂⋅−+

∂∂⋅−+⋅≅

==== 0IVVextext

0IVV

oo

extoextoI

f~

0IV

f~

VV0,Vf~

C

1

dt

dV

(2.13) ( ) exto IVVgdt

dVC +−⋅≅

Evidentemente, la nuova equazione 2.13 descrive ancora bene il

comportamento del sistema per valori di V prossimi a Vrest e per correnti di

stimolazione molto piccole. Questo significa che è stato mantenuto il

caratteristico comportamento passivo della membrana, ovvero la 2.13 è in

prima approssimazione in grado di descrivere l'andamento del potenziale di

membrana sotto la soglia di eccitabilità. E' più corretto dunque riscrivere la



2.13, specificando l’intervallo di variazione del potenziale V, introducendo il

valore Vth corrispondente alla soglia appena citata.

(2.14) ( ) thexto VVperIVVgdt

dVC <+−⋅=

Vth è un parametro di fitting, dal momento che la tensione di soglia non è

esplicitamente contenuta nel modello di Morris & Lecar. Si può aggiungere

che nei modelli biofisici come quello di Morris e Lecar e quello di Hodgkin

e Huxley, il valore del potenziale di membrana corrispondente a Vth non è

costante, ma dipende in modo complesso dalla depolarizzazione attuale,

dallo stimolo esterno e dalle proprietà elettriche della membrana.

Nella 2.14, la tensione di soglia stabilisce in modo che verrà definito nel

paragrafo seguente, le caratteristiche del regime periodico del potenziale, e

andrà opportunamente scelta per garantire entro certi limiti, l’equivalenza

con il modello completo nella frequenza media di oscillazione, a parità di

Iext.

Nella figura 2.8, è rappresentato il profilo del secondo membro della 2.11 e

la relativa approssimazione lineare, nell'intorno del punto di equilibrio

descritto. Utilizzando il solito insieme di parametri, oltre a g Ca = 0.7529

mS/cm2 e g K =1.4948 mS/cm2, si ottiene g = 0.4799 mS/cm2.



-100 -80 -60 -40 -20 0 20-60

-40

-20

0

20

40

(mV

/mse

c)

(mV)

Fig. 2.8: Rappresentazione di )I,V(f~

ext al variare di V, quando Iext =

0µA/cm2. La retta passante per il punto di equilibrio indicato (V=Vrest),

rappresenta l’approssimazione lineare cercata.

2.5 Introduzione delle Non-Linearità

L'equazione appena ricavata dalla 2.11, esclude ogni tipo di non linearità

presente nel modello completo. Si è scelto infatti di mantenere le proprietà

integrative, eliminando la seconda equazione differenziale, ma nulla

impedisce a questo punto di recuperare artificialmente alcune proprietà

fondamentali. Per mimare il comportamento fenomenologico delle 2.7 – 2.8,

si vorrebbe una fase di iperpolarizzazione in tempo molto breve, non appena

V superi la soglia Vth. Nelle ipotesi fatte nel paragrafo precedente, fissato

numericamente un valore per la soglia (Vth = -22.586 mV), occorre soltanto

che V venga riportato al valore di riposo Vo in tempo nullo.

Si è dedotto così il comportamento generale di un nuovo oscillatore a

rilassamento. Questo genere di modello è noto in letteratura, con il nome di

integra-e-spara, data l’espressione dell’equazione che governa il potenziale



sotto-soglia, simile a quella di un circuito integratore con perdita (leaky

integrator).

(2.15) ( )

==

<+−⋅=−+

thooo

thexto

V)t(VseV)t(V

V)t(VperIVVgdt

dVC

Nell'equazione 2.15, si è indicato con to l’istante generico in cui il potenziale

d’azione attraversa il valore di soglia. Subito dopo questo evento, V assume

il valore di riposo Vo (rilassamento) imitando la fase successiva alla

depolarizzazione della membrana, conseguenza dell’apertura dei canali

potassio nel modello completo, in modo analogo a quanto descritto dalle

equazioni 2.7 – 2.8. Poiché si è supposto che la durata del potenziale

d’azione sia trascurabile rispetto alla normale scala dei tempi di

osservazione, risulta lecito approssimarne la durata a zero.

Le ipotesi sotto cui è stata operata la riduzione, a rigore però non sono più

rispettate, dal momento che è descritta la variazione del potenziale anche per

valori lontani dal valore di riposo. A partire dai risultati delle simulazioni a

calcolatore, si osserva comunque che, seppure la 2.15 risenta di una

notevolissima sensibilità per il valore della soglia, la dinamica per valori di

V<V th è sorprendentemente irrilevante per la generazione ad un dato istante

di un potenziale d’azione (Destexhe, '97).



0 10 20 30 40 50 60-60

-40

-20

0

20

40

Modello Completo

Modello Integra e spara

(mV)

time (msec)

Fig. 2.9: Confronto fra l’evoluzione nel tempo del potenziale di membrana

descritto dalle equazioni 2.7 – 2.8 e 2.15 , utilizzando lo stesso valore di

stimolazione in corrente Iext = 13 µA/cm2 e le medesime condizioni iniziali

per il potenziale di membrana.

Nella figura 2.9 è stato confrontato l’andamento temporale di V con quello

previsto dalla 2.15, nelle stesse condizioni di stimolazione e a parità di

condizione iniziale per V. E' evidente che durante i primissimi istanti, il

comportamento sotto-soglia dei due modelli è pressoché coincidente,

dimostrando la validità della linearizzazione.

Si dimostra che per il modello individuato dalla 2.15, il comportamento

oscillatorio del potenziale di membrana in risposta ad uno stimolo di

ampiezza sufficiente, non ammette limite superiore per la frequenza di

oscillazione. Questa non è una situazione desiderabile, visto l'andamento di

figura 2.3 per il modello completo. La ragione principale di questa

incongruenza rispetto al modello biofisico, è la mancanza di qualunque

refrattarietà, inevitabilmente smarrita avendo soppresso l’equazione 2.8.

Nuovamente tale caratteristica può essere reintrodotta, ripristinando un



intervallo temporale τref durante il quale ogni stimolazione di corrente

successiva ad un potenziale d’azione viene ignorata, secondo la definizione

già data per periodo di refrattarietà.

Si determina così l’espressione definitiva (2.16) del modello integra-e-

spara, comprendente la generazione del potenziale d’azione e il tempo di

refrattarietà.

(2.16)

( )

[ ]

CdV

dtg V V I per V t V

V V t t se V t V

o ext th

o o o ref o th

= ⋅ − + <

= ∈ + =

+ + −

( )

( ) ; ( )ξ ξ τ

La figura successiva riporta l’andamento di V secondo la 2.16, utilizzando i

seguenti parametri:

secm2

cm/mS4799.0gF/cm1C

V)0(VA/cm13I

mV586.22VmV67.49V

ref

22

o2

ext

tho

=τ=µ=

=µ=

−=−=



0 10 20 30 40 50 60-60

-40

-20

0

20

40

Modello Completo

Modello Integra e spara con τref

= 2 msec

(mV)

time (msec)

Fig. 2.10: Confronto fra l’evoluzione nel tempo del potenziale di membrana

descritto dalle equazioni 2.7 – 2.8 e 2.16, utilizzando lo stesso valore di

stimolazione in corrente Iext = 13 µA/cm2 e le medesime condizioni iniziali

per il potenziale di membrana.

2.6 Analisi del Modello Integra-e-Spara

La convenienza di utilizzare la 2.16 invece del sistema differenziale 2.7 –

2.8, risiede nella possibilità di condurre un’analisi approfondita del

comportamento, e almeno in alcune situazioni consente di determinare

analiticamente alcuni risultati. L’equazione differenziale che descrive il

comportamento del potenziale di membrana per valori inferiori alla soglia

nella 2.16, può essere integrata in forma chiusa, per istanti compresi fra due

attraversamenti successivi della tensione di soglia. Se si considera un

intervallo temporale in cui V(t) < Vth , si ottiene per Iext costante nel tempo

la seguente equazione.



(2.17) ( )

−⋅+=

−⋅− ottC

gext

o e1g

IV)t(V ∀ <t V t Vth: ( )

essendo V t Vo o( )+ = .

L’equazione 2.17 descrive una semplice risposta passiva, di tipo RC: il

potenziale di membrana raggiunge un valore asintotico, esauriti i transitori

di tipo esponenziale decrescente. In formule, g

IV)t(Vlim ext

ot

+=∞→

.

-5 0 5 10 15 200.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Iext

Vo+Iext/g

Iext

Risposta di tipo RC

V

t

Fig. 2.11: Andamento temporale generico del potenziale di membrana, nel

caso in cui Iext sia costante e ( )othext VVgI −⋅< , da confrontarsi con la

figura 2.1 (sinistra).

Se il valore di regime non supera Vth, allora la soluzione della 2.16 non è

periodica, in modo analogo a quanto avviene per le 2.7 – 2.8. Viceversa,

sempre in condizioni di corrente costante, in virtù della monotonia crescente

di V(t) (2.17), se esiste almeno un istante t tale che V(t) > Vth, allora per



quel valore di corrente possono esistere oscillazioni permanenti ed è

possibile determinare analiticamente la frequenza di tali oscillazioni.

Infatti sotto l’ipotesi ( )othext VVgI −⋅> , che assicura l’esistenza di una

soluzione periodica, possiamo scrivere la frequenza come inverso del

periodo di V(t), tenendo conto del periodo di refrattarietà introdotto.

( )

th

TC

gext

otho

ref

Ve1g

IVV)Tt(V:T

+T

1=

=

−⋅+⇔=+

τν

⋅−

Si può invertire questa relazione, esplicitando T in funzione degli altri

parametri: si ottiene un’espressione per la frequenza di attività, valida se la

corrente di stimolazione è costante nel tempo e tale che ( )I g V Vext th o> ⋅ − :

(2.18) ( )( )

( )

( )

−⋅≤

−⋅>

τ+

−⋅−⋅=τ=ν

−

othext

othext

1

refothext

ext1-ref

VVgI0

VVgIVVgI

Iln

g

C+T

La forma di questa espressione conferma il comportamento altamente non

lineare del sistema e indica un’intrinseca sensibilità alle piccole variazioni

dei parametri, soprattutto per ( )othext VVgI −⋅≈ . Esiste una soglia a

gradino nel valore di corrente in grado di indurre oscillazioni, ed in un

intorno piccolo di questo valore, si possono avere ampie variazioni della

frequenza corrispondente, come indicato in figura 2.12.

Al variare dell’ampiezza della corrente di stimolazione, per valori piccoli di

Iext, prossimi alla transizione, l'effetto del periodo di refrattarietà è

praticamente assente, mentre per valori molto grandi, l’argomento del

logaritmo della 2.18 tende a diventare prossimo all’unità. In questo caso

particolare, sostituendo all’espressione della frequenza il suo sviluppo in

serie di Taylor, si ottiene:



(2.19) ( )( ) refref

othext

extref 1

VVgI

I

g

CT τ≈τ+

−

−⋅−⋅≅τ+

In altri termini, per grandi valori di Iext, la frequenza di oscillazione tende

asintoticamente ad un limite superiore fissato da τref-1.

9 12 15 18 21

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30 τref

= 1 msec

τref

= 2 msec

τref

= 3 msec

τref

= 4 msec

(kHz)

Iext

(µA/cm2)

Fig. 2.12: Frequenza delle oscillazioni in funzione dell’ampiezza di corrente

di stimolo, nel modello integra-e-spara (2.16) per diversi valori del periodo

refrattarietà.

Esaminando ancora l’equazione 2.18, il valore della conduttanza g , a parità

degli altri parametri determina la costante di tempo g /C dell’esponenziale, e

quindi la frequenza d’oscillazione. Nella figura 2.13 è stato riportato il

comportamento della frequenza dell’oscillazione del potenziale V al variare

della corrente di stimolo, per tre valori di g .



12 14 16 18 20

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

= 0,5 mS/cm2

= 0,55 mS/cm2

= 0,6 mS/cm2

(kHz)

Iext

(µA/cm2)

Fig. 2.13: Andamento della frequenza al variare di Iext , per differenti valori

della conduttanza g , nel modello integra-e-spara (2.16).

Esaminando l'andamento di figura 2.13, si può concludere che uno stesso

regime di attività elettrica sia ottenibile per differenti valori di corrente di

stimolazione, purché vari opportunamente g . Tale osservazione verrà

ripresa nel capitolo successivo, parlando di fenomeni di ordine superiore

come quello della sintesi proteica.

Esiste un comportamento analogo, fissata la corrente Iext = 13µA/cm2 e

variando il valore di soglia Vth, nella 2.18 (figura 2.14).

-28 -26 -24 -22 -20

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

(kHz)

Vth

(mV)



Fig. 2.14: Andamento della frequenza al variare della tensione di soglia,

fissata la corrente, nel modello integra-e-spara (2.16).

Per ultimo si osserva che nella 2.18, quello che conta non è il valore

assoluto di Vth bensì la distanza (Vth - Vo) dal valore di riposo. Da questo

segue che, a meno di un opportuno cambio di variabile, si può ricondurre la

dinamica della 2.16 a quella di un oscillatore a rilassamento in cui la nuova

variabile di stato sia sempre compresa fra 0 e 1, per il quale la soglia valga

1 e il valore di riposo 0 (Hopfield et al., '95). Questa possibilità verrà

trascurata, dal momento che essa esclude ogni confronto quantitativo con le

considerazioni fatte per il modello completo.

2.7 Stimolazione Tempo-Variante

Si è detto che la formulazione di modelli semplici di eccitabilità per una

memebrana biologica, offre la possibilità di un'analisi teorica delle

condizioni e delle relazioni fra le grandezze del modello. Nel paragrafo

precedente si è studiato il comportamento della 2.16, nel caso di una

stimolazione di corrente costante nel tempo. Nel caso generico, la forma

delle equazioni e l'utilizzo dell'analisi spettrale permette di ricavare

numerose informazioni, in forma quantitativa.

Si consideri a tale proposito, l’equazione del potenziale di membrana sotto-

soglia 2.20: si suppone noto il valore di V a to, istante che può essere

riguardato come l’ultimo attraversamento della soglia. Si sceglie V(to) = Vo

senza ledere la generalità della trattazione e si riassume nella 2.20

l'equazione in esame.

(2.20) ( )

=

<+−⋅=

oo

tho

V)t(V

VV)t(IVVgdt

dVC



La corrente esterna I(t), che figura nella precedente equazione differenziale,

sia per ipotesi una funzione del tempo, appartenente alla classe delle

funzioni integrabili su ogni intervallo chiuso di estremi to e t, e sempre

limitata fra due valori reali Imin e Imax, con Imin < Imax.

Per comodità può essere scelto un cambiamento di variabile per rendere più

chiara la natura del ragionamento che si intende affrontare: si

pone oVVW −= e oth VV −=∆ , e si riscrive l’equazione differenziale.

(2.21)

=

∆<+⋅−=

0)t(W

W)t(IWgdt

dWC

o

Questa è un’equazione differenziale del prim’ordine a coefficienti costanti,

la cui soluzione può essere scomposta in un termine di risposta nello stato

zero e in un termine di risposta forzata. La stessa indagine verrebbe

affrontata nell’analisi di un circuito elettrico equivalente, composto da un

generatore indipendente di corrente I(t) applicato al parallelo di un

condensatore di capacità C e di un resistore di conduttanza g . Indicando

con W la caduta di potenziale ai capi del condensatore, si può scrivere

l’espressione di W(t) come somma dell’integrale di convoluzione fra il

segnale di ingresso I(t), e la soluzione dell’equazione omogenea associata

alla 2.21.

Si sceglie convenzionalmente l’asse dei tempi in modo tale che to = 0, così

che l’andamento temporale di W(t) è dato dalla 2.22.

(2.22)( )

0tWdC

)(Ie)t(W

t

0

tC

g

>∀∆<τ⋅τ⋅= ∫τ−⋅−

Dal momento che ( )

0et

C

g

≥τ−⋅−

e nelle ipotesi in cui

maxmin I)t(II0t ≤≤>∀ , per la proprietà di monotonia dell’operatore



di integrazione che figura nella 2.22, la funzione W(t) risulta sempre limitata

fra due funzioni del tempo:

(2.23)( ) ( )

0tdC

Ie)t(Wd

C

Ie

t

0

t

0

maxt

C

gmin

tC

g

>∀τ⋅⋅≤≤τ⋅⋅∫ ∫τ−⋅−τ−⋅−

In questo modo resta dimostrato che )t(V)t(V)t(V maxmin ≤≤ , dove per

ogni istante Vmin(t) < Vmax(t) essendo Imin < Imax.

(2.24)

−⋅+=

⋅− tC

gmin

omin e1g

IV)t(V

(2.25)

−⋅+=

⋅− tC

gmax

omax e1g

IV)t(V

Graficamente tale situazione è rappresentata in figura 2.15.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

Vth

Vmax(t)

Vmin(t)

Vo

to

V (mV)

t+to

Fig. 2.15: Limiti superiore e inferiore, al variare del tempo, per V(t) nelle

ipotesi di corrente di stimolazione I(t) limitata.



Può essere così dedotta una condizione necessaria per la presenza di un

regime periodico di V(t), in ipotesi molto generali.

Nel caso in cui sia verificata la disuguaglianza ∆<g

Imax , segue dalla 2.23

che

(2.26) oothmax

omaxo ttVVg

IV)t(VV)t(V >∀−<<−<−

Formalmente ciò equivale ad dire che: ∆=¬∃ )t(V:t ** , il che implica

l’assenza di comportamento oscillatorio, quale che sia l’andamento

temporale della corrente di stimolazione I(t), purché nel rispetto dell'ipotesi

indicata.

Nel caso in cui non valga ∆<g

Imax , in generale nulla può essere concluso a

priori, dal momento che l’andamento di V(t) è strettamente dipendente dalle

variazioni di I(t) e dalla non-linearità intrinseca della 2.16. Posto che esista

comportamento oscillatorio, l’unica conclusione che può essere tratta è che

esso è caratterizzato da una frequenza maxν≤ν , con

(2.27)

1

refmax

maxmax

gI

Iln

g

C−

τ+

∆⋅−⋅=ν

Sarà chiaro che ∆>g

Imax è soltanto una condizione necessaria, ma non

sufficiente alla generazione di potenziali d’azione nel modello integra-e-

spara. A conferma di quanto detto, possono essere riportati alcuni esempi di

andamento temporale di V(t), per particolari I(t). Per verificare ad esempio,

che la disuguaglianza indicata rappresenta solo una condizione necessaria

ma non sufficiente, si consideri il seguente andamento per I(t):

( ) ( ) ∆<αδ⋅⋅α= tC)t(I



Sebbene tale funzione sia addirittura non limitata superiormente ossia ,in

termini matematicamente non strettamente corretti, vale che

∆⋅>⇒+∞≈ gII maxmax , ma il potenziale di membrana non oltrepassa

la soglia Vth e decade al valore di riposo Vo, con un andamento del tipo

esponenziale decrescente:

t

C

g

o eV)t(V⋅−

⋅α+=

Se invece si considera una segnale a rettangolo per I(t), il potenziale di

membrana potrà superare la soglia di eccitabilità in alcuni casi e mantenersi

sotto-soglia in altri, a parità ampiezza Imax nel caso di diversa durata della

stimolazione (vedi figura 2.16).

0 2 4 6 8 10 120.0

0.5

1.0

1.5

2.0

to

Vth

I(t)

V

t

Imax

0

2

4

6

8

10

0 2 4 6 8 10 120.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Imax

to

Vth

I(t)

V

t

0

2

4

6

8

10

Fig. 2.16: A parità di Imax, il potenziale di membrana può o meno

attraversare la soglia.

Dagli esempi fatti si capisce che è il contenuto frequenziale del segnale I(t)

ad essere significativo, più che l'intensità assoluta della stimolazione.

D'altronde, per il modello integra-e-spara il comportamento sotto-soglia del

potenziale di membrana rappresenta l'operatore di integrazione con perdita

che in termini di teoria dei segnali, costituisce un filtro passa-basso in



grado di manifestare inerzia alle rapide variazioni delle grandezze temporali

in ingresso.

E’ possibile rendere quantitativa tale osservazione, ricorrendo all'analisi di

Fourier, nel dominio delle frequenze. Si può verificare approssimativamente

che, nel caso in cui il segnale in ingresso abbia un contenuto energetico

significativo entro l'intervallo di frequenze che l'integra-e-spara lascia

passare, a meno di una costante moltiplicativa il segnale V(t) in uscita avrà

andamento temporale molto simile a quello di I(t), almeno finché V(t) < Vth.

La situazione è opposta, nel caso in cui I(t) abbia contenuto energetico

concentrato significativamente per frequenze superiori alla frequenza di

taglio del sistema, definita convenzionalmente a C

g2 ⋅π=ω radianti al

secondo. In questo caso il potenziale di membrana risentirà in maniera poco

evidente della stimolazione in corrente.

Si definisca infatti la 2.28, trasformata di Fourier del potenziale V(t), di cui

ammettiamo l'esistenza nelle ipotesi solite di regolarità e integrabilità delle

funzioni considerate.

(2.28) ( ) )t(VV ℑ=ω

Dalla 2.22 e per le proprietà della trasformazione, è possibile esprimere la

convoluzione di I(t) con la soluzione dell'equazione omogenea associata alla

2.20, come prodotto delle rispettive trasformate di Fourier (2.29).

(2.29) ( ) ( ) ( )C

IHV

ω⋅ω=ω dove ( )

⋅ℑ=ω⋅−

)t(ueHt

C

g

Si consideri la situazione in cui il limite superiore di I(t) sia ∆⋅> gImax : si

chiede se esiste almeno un istante successivo al riferimento convenzionale



dell’asse dei tempi, in cui si abbia attraversamento della soglia di

eccitabilità; formalmente ( ) th** VtV:t? =∃ .

Per definizione di antitrasformata di Fourier, tale proposizione può essere

riscritta in funzione delle antitrasformate, ossia

(2.29) ( ) *tt

1th VV

=

− ωℑ=

Dalla 2.2, segue allora

(2.31) ( ) ( )∫

∞+

∞−⋅ω⋅ ω⋅⋅

ω⋅ω⋅π

= deC

IH

2

1V

*tjth

Se per esempio consideriamo un segnale sinusoidale come sollecitazione

della 2.20, del tipo

( ) ( ) ( ) ( )ooomax ItcosI)t(I ω−ωδ+ω+ωδ∝ω⇒ϕ+⋅ω⋅=

si può concludere che, solo se la frequenza della sinusoide in ingresso è più

piccola della frequenza di taglio del sistema può esistere un valore di t per il

quale possa verificarsi un attraversamento della soglia; questo non può

accadere, sebbene ∆>g

Imax .

( ) ( )

( )

∀≈ω>ω

φ+⋅ω∝ω<ω

**o

*o

*o

t0tV

tcostV

E' possibile una conclusione ancora più generale, partendo dalle

considerazioni di tipo energetico citate in precedenza. Si consideri la



trasformata )(H ω della risposta all’impulso del sistema 2.20: in prima

approssimazione, essa può essere sostituita da quella corrispondente ad un

filtro passa-basso ideale. Allora, a meno di una costante moltiplicativa, la

2.31 prende la forma seguente :

(2.32) ( )∫ω

ω−⋅ω⋅ ω⋅⋅ω≈ deIV

*tjth

Maggiorando opportunamente il modulo del secondo membro della 2.32 si

ottiene:

(2.33) ( ) ( ) ω⋅=ω⋅⋅≤ω⋅⋅ω≤ω⋅⋅ω ∫∫∫ω

ω−⋅ω⋅ω

ω−⋅ω⋅ω

ω−⋅ω⋅ 2MdeMdeIdeI

*** tjtjtj

dove ( ) ( )ωωω−∈ω

= I;

maxM .

Questa quantità allora rappresenta una misura dell'energia del segnale I(t),

nell'intervallo di frequenze ammissibile. Soltanto se M è sufficientemente

grande la 2.32 è verificata, ovvero esiste un valore di t, in corrispondenza

del quale il potenziale di membrana oltrepassa il valore di soglia Vth.



2.8 Modello Integra-e-Spara Stocastico

A confronto con la trattazione non deterministica affrontata nel primo

capitolo, il modello integra-e-spara non può essere descritto in termini

stocastici, dal momento che nel procedimento di semplificazione e

riduzione formale sono state perdute le caratteristiche della modellistica

discreta. Al secondo membro della 2.16, figura adesso un unico tipo di

corrente ionica, a descrivere la proprietà passive di permeabilità alle varie

specie ioniche senza alcuna distinzione, ed il potenziale di equilibrio

nernstiano equivalente Vo, non è più esprimibile in forma chiusa come

funzione delle concentrazioni ioniche interne ed esterne. Inoltre, la forma

matematica di tale corrente ionica è priva della caratteristica dipendenza dal

potenziale e dal tempo, nel valore della conduttanza globale, che è

identicamente costante.

Allo stesso modo in cui sono state reintrodotte le proprietà stereotipate dei

modelli complessi, i fenomeni di fluttuazione casuale del potenziale di

membrana a seguito dell'effetto macroscopico del cosiddetto rumore di

membrana, possono essere recuperati e analizzati con gli stessi strumenti

matematici della meccanica statistica, già descritti nel primo capitolo.

Il comportamento sotto-soglia del potenziale di membrana V(t) nella 2.16,

obbedisce ad un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti i cui

parametri fondamentali sono rappresentati dalle grandezze elettriche come

la capacità C per unità di superficie e la conduttanza g per unità di

superficie, e dalla forma generica della corrente esterna.

Ripetendo le considerazioni fatte nel primo capitolo per le 1.34 - 1.35, si

può descrivere per V < Vth l'andamento di potenziale per un patch di

membrana di estensione S, nella solita ipotesi di space clamp.

(2.34) ( ) ( ) ( ) )t(IVVSgdt

dVSC o +−⋅⋅=⋅



Dividendo ambo della 2.34 per S, si ottiene

(2.35) ( )S

)t(IVVg

dt

dVC o +−⋅=

dove V è in mV, t in millisecondi e la corrente esterna in µA. Se si

considera il cambiamento di variabile 2.36, e si impone che la corrente sia

un processo stocastico gaussiano δ-correlato, si può ricondurre la 2.35 ad

un'equazione lineare monodimensionale di Langevin (2.37).

(2.36)

−==

⇒−=othth

oo VVU

0)t(UVVU

(2.37)

τδ⋅σ=τ+⋅=

+⋅−=)()t(I)t(IE

0)t(IE

S

)t(IUg

dt

dUC 2

Per la precisione, rinominando alcune costanti e mettendo in evidenza la

densità spettrale di potenza σ2 del rumore, si può riferire l'evoluzione di

U(t), e quindi di V(t), al processo stocastico noto come processo di

Ornstein-Uhlenbeck. In questo caso particolare, la densità di distribuzione di

probabilità del processo stocastico U(t) è nota, attraverso la soluzione in

forma chiusa dell'equazione di Fokker-Plank associata alla 2.38.

(2.38)

τδ⋅=τ+η⋅η=η

η⋅⋅⋅

σ+⋅α−=)(2)t()t(E

0)t(E)t(

SC2U

dt

dU

dove C

g=α

L'equazione di Fokker-Plank per W(U,t), densità di distribuzione di

probabilità del processo markoviano U(t), è riportata di seguito sulla base

delle considerazioni svolte nell'appendice A.



(2.39) ( ) ( )22

2

2

2

SC2DUD

UWU

UW

t ⋅⋅σ=⋅

∂∂+⋅⋅α−

∂∂−=

∂∂

Il primo coefficiente U⋅α− dell’espansione di Kramers-Moyal, o

coefficiente di drift, ammette in questo caso una funzione potenziale

analiticamente determinabile (si veda la figura 2.17), che porta alla

definizione dell’equazione di Smoluchowski per W(U,t).

(2.40) ∫ ⋅α⋅=⋅α=U

2U2

1dxx)U(f

(2.41)( )

−δ⋅=

∂∂⋅−−

∂∂−=

∂∂

)0U(1)0,U(W

WU

D)U(’fU

Wt 2

2

dove si è indicato con f ', la derivata prima della funzione f rispetto

all'argomento U.

La soluzione della 2.41 è nota: il processo U è caratterizzato dalla densità di

distribuzione Maxwelliana (2.42), distribuzione non stazionaria che a

regime tende a diventare normale.

(2.42) )e1(D2

U

)tt(2

)ott(2

2

oe

)e1(D2)t,U(W

−⋅α⋅−−⋅⋅⋅α−

−⋅α⋅− ⋅−⋅⋅πα=

Invertendo la trasformazione 2.36, allora si ricava la densità di distribuzione

di probabilità per V(t) sotto-soglia.

(2.43)

( )2

2o

)ott(C

g2

2

o

VV

)e1(

SCg

)tt(C

g2

2

2

o e

e1

SCg)t,VV(W)t,V(W

~σ−

⋅

−

⋅⋅−

−⋅⋅−

−⋅⋅−

⋅

−⋅σ⋅π

⋅⋅=−=



2.9 Formula di Kramers e Attività Spontanea

La 2.43 costituisce un risultato molto interessante. Come poteva anche

essere dimostrato in altri modi, il valore atteso di V(t) quando I(t) sia un

processo gaussiano bianco e a media nulla, coincide a regime con il

potenziale Vo di riposo, ovvero soddisfa l’equazione deterministica che si

trova applicando l’operatore di valore atteso ad ambo i membri della 2.35.

Inoltre la varianza di V(t), ovvero misura dell’incertezza del valore V(t), è

una funzione del tempo che parte da zero all'istante iniziale, nel quale per

definizione è noto il valore di V con probabilità unitaria, per poi raggiungere

asintoticamente un valore di regime dipendente dai parametri elettrici,

geometrici e dalla potenza del rumore I(t), secondo un andamento a costante

di tempo C / g .

Il potenziale di membrana è quindi soggetto a fluttuazioni statisticamente

significative quanto maggiore è la varianza. In assenza di qualunque altro

termine deterministico di stimolazione, V(t) può attraversare la soglia di

eccitabilità Vth generando un potenziale d’azione, con probabilità non nulla.

Questo tipo di attività elettrica può essere riguardata come attività

spontanea, nelle stesse ipotesi esaminate per il modello biofisico complesso,

e la frequenza media di oscillazione del potenziale V(t) può essere

nuovamente paragonata ad un problema di fuga da una buca di potenziale.

Nel caso dell'integra-e-spara, diventa più intuitivo l'utilizzo della formula di

Kramers per la determinazione del tempo medio di fuga di una particella,

soggetta ad un campo di forze. Per come è stata dedotta la 2.43, è evidente

che l'istante iniziale to, può assumere il significato più generale di istante in

cui deterministicamente sia noto il valore del potenziale di membrana. Dal

momento che la condizione di attraversamento della soglia dà luogo ad

un'immediata iperpolarizzazione e quindi ad un reset deterministico di V al

valore Vo, si può considerare to come coincidente con un qualunque istante

di attraversamento di Vth.

In media, la frequenza di occorrenza di questo evento, coincide su un tempo

di osservazione molto elevato, con la probabilità del primo attraversamento



di Vth. Questa prospettiva discende direttamente dall’interpretazione

frequenziale del concetto di probabilità di un evento, ed è tanto più realistica

(si veda la disuguaglianza 1.93) quanto più lungo è il tempo di osservazione

della dinamica descritta dalla 2.35.

0 Vth

0

f(V)

V

0.5 α Vth2

η(t)

∆f

-2 -1 0 1 2-15

-10

-5

0

5

10

15

0

Vth

V

f(V)

Fig. 2.17: Profilo della funzione potenziale per il processo V(t) per I(t) a

valore medio nullo (sinistra), e per valori positivi crescenti dello stesso

(destra), nel modello integra-e-spara.

Come indicato nell'appendice A, l'ipotesi fondamentale di applicazione della

formula di Kramers è la seguente:

(2.44) 1D

f >>∆dove

( )22

22oth

SC2D

C2

VVgf

⋅⋅σ=

⋅−⋅

=∆

Imporre la condizione 2.44, equivale a studiare il caso

(2.45) ( )

22

22oth

SC2C2

VVg

⋅⋅σ>>

⋅−⋅

quindi

( )2oth

22 VVSCg −⋅⋅⋅<<σ



La 2.45 stabilisce quindi un limite superiore alla potenza associata alla

corrente stocastica I(t), per la quale sia possibile prevedere la frequenza

media di oscillazione nel modello stocastico di integra-e-spara (2.35). In

queste ipotesi, specializzando la formula di Kramers per le 2.40 – 2.41, si

dimostra la 2.46.

(2.46)( )

2

2oth

2 VVSCg

k eC2

gR σ

−⋅⋅⋅−⋅

⋅π≈

Dalla 2.46 è evidente che esiste un limite superiore anche per la frequenza

di fuga Rk, in virtù della 2.44:

(2.47)eC2

gR k ⋅⋅π

<<

L'espressione definitiva per la frequenza media di attività spontanea nel

modello integra-e-spara non deterministico deve comunque tenere conto

della refrattarietà introdotta nella 2.16, e in analogia con quanto fatto per il

caso deterministico, vale che

(2.48)1

kref R

1−

+τ=ν e

1

refg

eC2−

⋅⋅π+τ<<ν

Dal momento che nella 2.48 compare una dipendenza dai molti parametri

elettrici e geometrici del modello, il confronto della previsione teorica con

le simulazioni al calcolatore dell'equazione differenziale stocastica 2.35 (si

veda l'appendice B) è stato effettuato in condizioni particolari. Innanzitutto,

il processo aleatorio I(t) è stato realizzato a calcolatore tramite un algoritmo

di generazione di un rumore gaussiano e bianco n(t), a valore medio nullo e

varianza unitaria: per definizione di varianza di una variabile aleatoria,

allora I(t) = σ n(t) ha varianza σ2.



(2.49) ( )

⋅σ=

+−⋅=

)t(n)t(IS

)t(IVVg

dt

dVC o

Per comodità si riscrive l'equazione stocastica precedente, mediante il

cambiamento di variabile già definito, ottenendo

(2.50)

τδ⋅=τ+⋅=

⋅⋅

σ+⋅α−=)(1)t(n)t(nE

0)t(nE)t(n

SCU

dt

dU

In modo equivalente, vale allora anche che

(2.51) oth VVCS

nUdt

dU −=∆⋅σ=ξ⋅ξ+⋅α−=

In questa formulazione la 2.48 può essere scritta come

2

22SCg

ref eg

C2

1

σ∆⋅⋅⋅

⋅

⋅π+τ

=ν oppure 2

2

e2

1

1ref

ξ∆⋅α

− ⋅α⋅π+τ

=ν

Ricorrendo alle tecniche dell'analisi dimensionale, è stato individuato un

gruppo di coefficienti, complessivamente privo di dimensioni fisiche, a cui

può essere riferita la verifica dell'accuratezza della 2.48. Per semplicità si è

scelto α = 1msec-1.

(2.52)2

e2

1

ref

−

∆ξ

⋅π+τ

=ν

Le simulazioni al calcolatore dell'equazione 2.51, con α = 1msec-1 e τref =

2msec, sono state eseguite per sei volte inizializzando con semi diversi



l’algoritmo di generazione dei numeri pseudocasuali, valutando la frequenza

di oscillazione di U su di un intervallo di osservazione temporale di 10

secondi, per ciascun valore di (ξ / ∆). Nella figura seguente vengono

riportati i risultati, insieme al grafico della 2.52.

0 1 2 3 4 5

0

100

200

300

Hz

ξ / ∆

Fig. 2.18: Confronto fra la previsione teorica e la simulazione a

calcolatore, per la frequenza media di attività elettrica nel modello integra-

e-spara stocastico.

E’ importante osservare che la condizione 2.45 diventa (ξ / ∆)2 <<1, da cui

(ξ / ∆) <<1, per la positività di ξ e di ∆: solo per valori inferiori all'unità, i

risultati delle simulazioni sono in accordo con la previsione teorica. In

generale poi, si può affermare che il comportamento effettivo del sistema,

per valori di (ξ / ∆) molto grandi, è superiormente limitato, dal momento

che è stato incluso il periodo di refrattarietà.

Nella figura 2.19, si riporta un dettaglio dello stesso grafico, insieme

all'andamento (2.53) del limite superiore stabilito dalla 2.47, rappresentato

con un tratteggio.



(2.53)ref

2

2

max/(e2

/(

τ⋅)∆ξ+⋅)∆ξ=ν

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00

20

40

60

80

100

120

140

Hz

ξ / ∆

Fig. 2.19: Dettaglio della figura 2.18, per valori dell’ascissa entro

l'intervallo di ammissibilità della formula di Kramers.

Ancora riguardo la 2.53, si osserva che per (ξ / ∆) >>1 esiste un asintoto

orizzontale a τref-1.

L’andamento della 2.52 per valori di α qualunque è riportato nella figura

seguente, in cui a partire dalle stesse ipotesi sulla validità della formula di

Kramers si conclude che, a parità di (ξ / ∆), l'approssimazione teorica è

tanto migliore, quanto più è grande α, ovvero quanto più è piccola la

costante di tempo del sistema. In altre parole, questa situazione si verifica

quanto più il processo V(t) tende a diventare un processo di Wiener, ovvero

il processo in uscita da un integratore ideale alimentato da un rumore

gaussiano e bianco. Inoltre si può osservare anche che, fissando α

l'approssimazione è migliore quanto più piccolo è (ξ / ∆) , ossia quanto più è

grande ∆. Questo significa allontanare il valore di riposo da quello di soglia,

in modo tale che sia richiesto più tempo per raggiungere quest'ultimo:



matematicamente questo corrisponde a verificare tanto meglio la

stazionarietà delle proprietà statistiche di V.

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.000

50

100

150

200

250

300

νmax

α

Hz

ξ/∆

Fig. 2.20: Andamento delle curve teoriche al variare di α.

Per quanto riguarda invece la dipendenza della 2.48 dall'estensione del

patch di membrana plasmatica in esame, si dimostra facilmente che è dello

stesso tipo di quella ricavata per i modelli stocastici complessi, nel primo

capitolo. Si può infatti riscrivere la 2.52 nel modo seguente:

(2.54)2

S

1ref e2

1

θ− ⋅α⋅π+τ

=ν dove∆⋅⋅α

σ=θC

Nelle solite ipotesi, la 2.54 vale quando S / θ >> 1, e per tale condizione si

può trascurare τref rispetto all'esponenziale, al denominatore:

(2.55)

2S

e2

θ−

⋅π

α≅ν



Quest’ultima equazione stabilisce la dipendenza, monotona decrescente,

della frequenza di attività spontanea in funzione dell'estensione del patch di

superficie.

2.10 Previsione dell’Intervallo inter-spike

Si definisce inter-spike interval (ISI) l'intervallo di tempo durante il quale il

potenziale di membrana permane sotto soglia, senza cioè generare alcun

potenziale d’azione. Questa grandezza è probabilmente un indicatore

notevole dello stato di attività di un neurone, e della codifica

dell'informazione nervosa. Nel contesto del paragrafo precedente, è

possibile caratterizzare le proprietà statistiche di tale grandezza,

determinarne la densità di distribuzione di probabilità, e confrontare le

previsioni teoriche con le simulazioni al calcolatore.

L'equazione 2.46, derivata direttamente dalla formula di Kramers per

descrivere la frequenza media di attività spontanea, andrebbe a rigore

interpretata in modo differente da una frequenza media di fuga. Quella

formula fornisce una stima della probabilità di unico attraversamento della

soglia Vth per unità di tempo, per il modello integra-e-spara, esprimendo il

fatto che

(2.56) [ ] tRtt;tin.attraversunicoPr k ∆⋅=∆+

Per semplicità si consideri il caso in cui τref = 0 msec; in questo caso, e in

maniera analoga a quanto osservato per il tempo di vita medio, nel paragrafo

1.9, possiamo ricavare la seguente quantità, passando dal discreto al

continuo.

(2.57) ( ) ( )TtTRtR1limdTTTTPr kt

T

k0t

ISI −∆+⋅⋅∆⋅−=+≤< ∆→∆



La 2.57 rappresenta la distribuzione di probabilità, o cumulativa, della

variabile aleatoria TISI. La derivata rispetto a T della 2.57 è per definizione

la densità di distribuzione di probabilità 2.58:

(2.58) TRkISIISI

keRdTTTTPrdT

d)T(p ⋅−⋅=+≤<=

Coerentemente con lo schema di interpretazione adottato, e in modo simile

al caso del tempo medio di vita dello stato interno di un canale proteico,

l'inverso del valore atteso di TISI esprime proprio il tasso medio di

generazione di un potenziale d'azione. Infatti,

(2.59) k

ISI0 ISIISI R

1dT)T(pTTE =⋅= ∫

∞+

Nel caso generale in cui il periodo di refrattarietà τref sia non nullo, dal

momento che esso è una quantità deterministica, la 2.58 può essere

generalizzata, osservando che sicuramente refISIT τ≥ e quindi la probabilità

che TISI assuma valori inferiori all'intervallo di refrattarietà è nulla. In

generale vale che

(2.60) ( ) ( )p TT

R e u T TISI

ref

kR T

ref refk ref

( ) =<

⋅ ⋅ − ≥

− ⋅ −

0 ττ ττ

La validità di questa espressione, dove U rappresenta la funzione gradino

unitario, è la medesima della formula di Kramers (2.44).

Nella figura seguente viene confrontato l'andamento della 2.60, con i

risultati delle simulazioni a calcolatore: la densità di distribuzione di

probabilità è approssimata dall'istogramma delle frequenze relative,

utilizzando un periodo di osservazione pari a 10 secondi, α = 1, (ξ / ∆) = 1 e

τ = 2msec.



0 5 10 15 20 25 30 35 400,00

0,05

0,10

0,15

2

TISI (msec)

Rk eRk (TISI - τ ref) U(T

ISI - τ

ref)

Fig. 2.21: Istogramma dell’inter-spike interval (valore medio di TISI =

7.06msec) per il modello integra-e-spara, a confronto con la previsione

della 2.60.



Capitolo 3

Processi Dipendenti dall’Attività

Elettrica: la Sintesi Proteica

3.1 Espressione Proteica e Conduttanze di Membrana

Nel primo capitolo è stato introdotto il concetto di canale proteico, come

dispositivo molecolare capace di modulare le caratteristiche di permeabilità

ionica della membrana, variando il proprio stato conformazionale. Per

ipotesi, il numero totale di canali ionici Nmax h è stato sempre assunto

costante nel tempo, o in altri termini si è supposto sempre che una

variazione della densità superficiale delle proteine di membrana fosse

trascurabile nella scala temporale di interesse (millisecondo). L’analisi

dettagliata delle relazioni e dipendenze funzionali delle grandezze elettriche,

condotta nel capitolo 2, ha chiarito il repertorio di comportamenti che i

modelli deterministici e stocastici sono in grado di prevedere, insieme con la

sostanziale tempo-invaranza degli stessi e la accentuata sensibilità alle

variazioni di alcuni parametri (si vedano le figure 2.3 e 2.5).



Esiste in verità, una vasta evidenza sperimentale che tale interpretazione dei

fenomeni neuronali sia errata, quando si consideri una scala temporale più

lenta, comune ai processi metabolici come l’espressione genetica e la sintesi

proteica. Inoltre, i neuroni biologici mantengono stabilmente le proprie

caratteristiche elettriche in una varietà di condizioni diverse, nonostante la

crescita cellulare, la rimozione proteica dei canali di membrana e la

variabilità della composizione ionica extracellulare. La sintesi dei canali

ionici e il successivo trasporto in zone appropriate, deve essere un processo

che avviene continuamente dal momento che, nella maggior parte dei casi

una cellula nervosa accompagna la vita dell'animale per tutto il suo corso

(LeMasson et al., ’93). Questo significa che nell'ottica embriogenetica come

in quella ontogenetica, il meccanismo di controllo della distribuzione dei

recettori di membrana e dei canali ionici, deve comunque garantire una

stazionarietà di comportamento, in condizioni qualsiasi.

In tale prospettiva, appare delinearsi più chiaramente l’idea che una cellula

nervosa possa modificare le proprie caratteristiche intrinseche, al fine di

mantenere un particolare programma di attività elettrica, indotto dal

differenziamento cellulare. Sperimentalmente, è stata data dimostrazione di

una quantità di meccanismi dipendenti dall’attività elettrica, quali la

plasticità sinaptica (Nelson et al., ’89), i meccanismi dipendenti dalla

concentrazione di calcio intracellulare (Fields et al., ‘92; van Ooyen, ’94),

l’attivazione neuronale di geni regolatori, le variazioni strutturali

(Turrigiano et al., ’95) e la reattività ai fattori neurotrofici durante la

sinaptogenesi (Barinaga, ’95).

Recentemente, diversi autori hanno proposto alternative al modello biofisico

di membrana eccitabile, originariamente formulato da Hodgkin e Huxley,

con lo scopo di definire il ruolo di nuove dipendenze funzionali, e di

studiare l’impatto dei fenomeni che avvengono nell’arco dei secondi e delle

ore.

In particolare, in questo capitolo sarà esaminato il ruolo della sintesi

proteica nella modulazione delle proprietà elettriche di una cellula nervosa.



Dal punto di vista della robustezza, ovvero la capacità di mantenere

un’attività stabile anche in condizioni di generale disturbo esogeno o

endogeno, si comprende come i processi biochimici che presiedono alla

sintesi delle strutture proteiche costituenti i canali di membrana, debbano

essere coinvolti in un sofisticato meccanismo di stabilizzazione e

regolazione dinamica.

In altre parole, viene escluso il vincolo iniziale di considerare tempo-

invariante il numero massimo di canali proteici in un patch di membrana

cellulare. Per i modelli deterministici di membrana eccitabile, questo

equivale a considerare le conduttanze massime di membrana, funzioni del

tempo. Poichè i processi di sintesi e degradazione proteica sono stati spesso

correlati con la presenza o la variazione temporale di opportuni composti

chimici, fra cui il calcio intracellulare, appare motivata la scelta di

considerare la sua concentrazione, come un indicatore dell’attività elettrica

(LeMasson et al., ’93; Abbott et al., ‘93).

Per esempio, l'espressione di particolari geni e l’attivazione di numerose fasi

del ciclo cellulare sono fenomeni che risentono in modo sensibile di

un’aumento nei livelli della concentrazione di tale ione. Questa oltre ad

essere influenzata dall’apertura di opportuni canali, attivati dai recettori di

membrana (chemical gated), può variare sensibilmente in base al succedersi

della fase di depolarizzazione del potenziale d’azione, per via dell’apertura

dei canali calcio (voltage-gated).

3.2 La Dinamica del Calcio Intracellulare

Si vuole studiare l’evoluzione temporale della concentrazione intracellulare

di ioni Ca2+. Per semplicità, continueranno ad essere trascurati i meccanismi

proteici di trasporto attivo (pompe ioniche), e l’influenza dei meccanismi di

sintesi e rimozione che li riguardano. Come è stato già discusso all’inizio

del primo capitolo, in prima approssimazione, i meccanismi di trasporto



attivo contribuiscono solo a mantenere costante nel tempo il rapporto fra le

concentrazioni ioniche ai capi della membrana, e di conseguenza i potenziali

di equilibrio nernstiano.

Una trattazione matematica più precisa dovrebbe almeno considerare il fatto

che durante ogni potenziale d’azione, viene scambiata attraverso la

membrana una certa quantità di ioni Na+, K+, Cl-, e Ca2+.

Per definizione di capacità elettrica di una membrana, è possibile mettere in

relazione una variazione di potenziale elettrico con la variazione indotta

nella quantità di carica presente.

(3.1) CQ

V=

∆∆

Nella definizione precedente, ∆V rappresenta la variazione complessiva del

potenziale elettrico durante un potenziale d’azione, approssimativamente

pari a 100mV. Sapendo che C = 1µF/cm2 per la maggior parte delle cellule

nervose, la variazione complessiva della carica elettrica, associata alle

specie ioniche in transito attraverso la membrana, è calcolabile come:

(3.2) ∆Q nCcm potenziale d azione

= ⋅100

2 ’

Ricordando che la carica elementare dell’elettrone vale 16 10 10. ⋅ − nC , e

indicando con zh la valenza della specie h-esima, il numero totale di ioni

scambiati con l’esterno durante un potenziale d’azione è dato dal conto

riportato nelle 3.3 e 3.3a.

(3.3) ∆Q n z nC nCcm APh h

h

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅−∑ 16 10 10010

2.

(3.3a) n zm APh h

h

⋅ = ⋅∑ 62502µ



Resta allora dimostrato che, nel caso in cui vi sia una sola specie chimica

monovalente, il numero di ioni scambiati durante un potenziale d’azione è

pari circa a 6000, per µm2 di membrana cellulare. Questo ordine di

grandezza è indicativo del fatto che le concentrazioni intracellulare e

extracellulare non subiscono alterazioni significative, almeno per quanto

riguarda gli ioni sodio, cloro e potassio. Ma nel caso di altre specie

chimiche, presenti in concentrazioni molto basse all’interno della cellula

come il calcio, l’influsso ionico conseguente ad un potenziale d’azione

potrebbe indurne una variazione più consistente.

Si è detto comunque che viene trascurato l’effetto delle pompe ioniche,

mantenendo ad un valore fissato il rapporto delle concentrazioni fra interno

ed esterno. Questo non impedisce che localmente, la concentrazione

intracellulare di ioni Ca2+ possa subire significative variazioni e fungere così

da meccanismo di trasduzione di informazione all’interno della cellula. Fra

l’altro, nella descrizione di fenomeni di diverso tipo, quali il bursting e

l’ abituazione sensoriale, molte proprietà elettriche vengono fatte dipendere

da tale ione che appare un intermediario quasi onnipresente, nei processi di

regolazione cellulare.

Per studiare questi effetti, si vuole formulare un modello generale, capace di

mettere in relazione l’attività elettrica di un neurone con l’evoluzione

temporale della concentrazione di calcio. Una trattazione ridotta dello stesso

sistema dinamico consentirà sotto certe approssimazioni, di dimostrare che

il valore della concentrazione intracellulare di ioni Ca2+ è proporzionale alla

frequenza media di attività elettrica di un neurone.

A questo proposito, si consideri un volume Ω racchiuso da una superficie

qualunque, di estensione Σtot e uniformemente permeabile al passaggio di

ioni Ca2+: sia [ ]Ca IN la concentrazione volumetrica di tale specie ionica

all’interno del volume. Nel caso di concentrazione volumetrica uniforme, il

numero totale di ioni calcio interni alla superficie indicata, all’istante t, è

espresso dalla 3.4.



(3.4) [ ]( )N t Cao IN t( ) = ⋅Ω

Con questa definizione, fissato un intervallo temporale infinitesimo ∆t, la

variazione del numero di ioni calcio interni alla superficie descritta, risulta

necessariamente pari al flusso ionico netto entrante nel volume Ω, nell’unità

di tempo (3.6), in virtù della legge di bilancio di massa.

Il flusso ionico citato è in generale somma di due contributi: un termine

dovuto alla corrente ionica calcio (ΦCa), e l’altro dovuto al decadimento

spontaneo, connesso ai fenomeni di diffusione passiva e ai meccanismi di

trasporto attivo. Quest’ultimo contributo è formalizzabile da uno schema

cinetico del prim’ordine, tempo-invarante.

(3.5) [ ] [ ] [ ]( )Ca Ca k t CaIN

k

OUT IN→ ⇔ − ⋅ ⋅ ⋅∆ Ω

(3.6)[ ]( ) [ ]( ) [ ]( )Ca Ca

t

k t Ca

tIN t t IN t

Ca

IN t⋅ − ⋅

= −⋅ ⋅ ⋅

+Ω Ω

∆Φ

∆ Ω∆

∆

Per quanto concerne il termine ΦCa, esistono due metodi di descrizione: il

primo si basa sul modello continuo e uniforme di membrana permeabile, nel

quale la densità di corrente di conduzione ionica viene supposta uniforme in

ogni punto della superficie. Alternativa a questo, è il modello discreto, in cui

l’entrata di molecole è localizzata attraverso i canali ionici, distribuiti

uniformemente con densità ρCa.

Si esamini il primo approccio: dalla definizione di corrente ionica calcio,

segue che

(3.7)

( )Φ

∆

∆Σ

Ca

Ca

Ca

I t

z edS

ttot=

− ⋅⋅

⋅∫∫



dove e è la carica elementare dell’elettrone e zCa la valenza dello ione Ca2+.

Si nota la presenza del segno meno, davanti al valore assoluto dell’intensità

della corrente ionica calcio: in accordo con i gradienti chimici discussi nei

primi paragrafi del capitolo 1 e riportati nella tabella 1.1, il verso della ICa è

convenzionalmente scelto diretto all’esterno del soma cellulare, mentre per

definizione il flusso che qui si vuole determinare è entrante. La 3.7 può

essere riscritta in modo equivalente, utilizzando l’ipotesi che la densità di

corrente sia la stessa in ogni punto della membrana, e che possa così essere

portata fuori dal segno di doppia integrazione.

(3.8)( ) ( )

Φ∆∆

Σ ΣCaCa

Catot

Ca

Catot

I t

z e t

I

z e=

− ⋅⋅ ⋅

⋅ =−

⋅⋅

Facendo tendere a zero l’intervallo temporale ∆t, la 3.6 assume la forma di

una equazione differenziale.

(3.9)[ ]( )

[ ]( )d Ca

dt

I

z ek Ca

IN t Ca

Catot IN t

⋅= −

⋅⋅ − ⋅ ⋅

ΩΣ Ω

Dividendo ambo i membri per il volume Ω, la 3.9 diventa l’equazione

finale, che descrive la dinamica del calcio intracellulare:

(3.10)[ ] [ ]( )d Ca

dtk A I CaIN

Ca IN= − ⋅ ⋅ +

La costante A rappresenta un fattore geometrico, che nel caso di una

superficie sferica, è inversamente proporzionale al raggio r:

Ar

∝3

mentre nel caso generale, A è data dalla 3.11.



(3.11) Az e kCa

tot=⋅ ⋅

⋅1 Σ

Ω

Considerando il secondo metodo per la determinazione della forma del

flusso ionico ΦCa, si scriva il contributo totale al flusso di materia entrante

come composizione dei flussi elementari attraverso gli Nmax Ca canali ionici,

selettivi al calcio:

(3.12)( )

ΦΣ

Cai

Cai

i

N I

z edS

i

Ca

=−

⋅⋅∫∫∑

=1

max

Nella 3.12, si è già semplificata la quantità ∆t, e con Σi si è intesa la sezione

di passaggio del canale generico. Nell’ipotesi che tale sezione sia

sufficientemente piccola da indurre un flusso uniforme di corrente, e che

questo sia pari a I per tutti i canali, tutti di eguale sezione Σ, si può portare

fuori dalla sommatoria l’integrale doppio, e fuori dall’integrale la corrente I.

Esprimendo infine Nmax Ca = ρCa Σtot, si conclude che

(3.13)( )Φ Σ

ΣCa Ca tot

Ca

I

z e= ⋅ ⋅

− ⋅⋅

ρ

Al variare di t, la quantità ( )

ΨΣ

( )tI

z eCa

=− ⋅

⋅ rappresenta dimensionalmente il

numero totale di ioni entranti nell’unità di tempo, attraverso un singolo

canale ionico nello stato aperto. Per le considerazioni già fatte sulla cinetica

di apertura e chiusura dei canali proteici, intesi come unità discrete e

funzionalmente bistabili fra uno stato attivo e diversi stati di inattività,

trascurando le fluttuazioni spontanee è possibile approssimare il

comportamento intrinsecamente stocastico di quel termine (figura 3.2), con

quello medio deterministico riportato nella figura seguente.



Figura 3.1: Andamento medio della corrente ionica, attraverso un singolo

canale ionico, nell’ipotesi di ergodicità dei processi stocastici della

membrana.

Figura 3.2: Andamento temporale simulato, della corrente ionica reale

attraverso un singolo canale.

Nelle stesse condizioni di prima, facendo tendere a zero l’intervallo

temporale ∆t, si giunge alla 3.14 e quindi alla 3.15.

(3.14)[ ]( )

[ ]( )d Ca

dtk Ca

IN tCa tot IN t

⋅= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

ΩΣ Ψ Ωρ

(3.15)[ ] [ ]d Ca

dtk

kCaIN Ca tot

IN= − ⋅ ⋅ ⋅ +

ρ ΣΩ

Ψ

Dal punto di vista dimensionale, qualora si desideri riformulare la 3.10 o la

3.15 in funzione della concentrazione molare anziché volumetrica, occorre

notare l’equivalenza che segue:



1 1010

1010 10

6 02 1063 3

63 6 3

14 3. .µMole

litro

N

m

N

cmcmo o= ⋅ = ⋅

⋅= ⋅−

−−

− −−

Sia allora ( )fM

cm= ⋅ ⋅

−

−6 02 1014 1

3.µ

, il fattore di conversione dimensionale:

considerando per esempio la 3.10, è sufficiente moltiplicare ambo i membri

per f, chiamando con lo stesso simbolo [ ]Ca IN la concentrazione molare di

calcio intracellulare, all’istante t, per ottenere l’equazione cercata.

(3.16)[ ] [ ]( )d Ca

dtk A f I CaIN

Ca IN= − ⋅ ⋅ ⋅ +

Si nota che formalmente le 3.16 e 3.10 differiscono soltanto per il valore del

coefficiente geometrico che moltiplica il contributo dato dalla corrente

calcio.

3.3 Introduzione della Regolazione Dinamica

Riassumendo quanto detto nei paragrafi precedenti, le proprietà elettriche

dei neuroni biologici appaiono come il risultato di processi dinamici,

dipendenti dall’attività elettrica. Attraverso le vie biochimiche comprendenti

la fosforilazione proteica e l’espressione genetica, durante le fasi di

differenziamento cellulare, di crescita e di variazione morfologica di una

cellula nervosa, sono possibili modificazioni nella struttura e nella densità

dei canali di membrana. Il fatto che un neurone biologico sia in grado di

mantenere un'attività elettrica stabile al variare di innumerevoli fattori

esterni, è probabilmente il risultato di questo equilibrio dinamico, dato il

continuo ricambio dei canali proteici. Questi fenomeni biochimici sono

dipendenti dall’attività elettrica, presumibilmente attraverso un indicatore

microscopico della stessa: la concentrazione intracellulare di calcio.



Si osserva che la modellistica che verrà introdotta, è generalizzabile alla

classe intera di modelli biofisici continui, definita nel primo capitolo

(equazioni 1.90 - 1.92), ed è omogenea con la descrizione deterministica

adottata. Ma dal punto di vista concettuale, l’estensione di questa trattazione

alla versione discreta del modello di membrana cellulare è immediata, ed un

suo esame approfondito potrebbe consentire una nuova interpretazione dei

fenomeni di attività spontanea, che come già detto, dipendono in modo

critico dal numero di canali proteici presenti. L’influenza che potrebbe

esercitare la sintesi proteica sulla soppressione o sull’amplificazione

dell’attività spontanea, dovrebbe essere riguardata anche alla luce

dell’effetto che la stessa attività spontanea induce nei meccanismi di sintesi

proteica, probabilmente garantendo una attività basale spontanea più

regolare, e una maggiore stabilità delle caratteristiche elettriche intrinseche.

Nel seguito comunque, verrà considerato un modello deterministico di

sintesi proteica, in cui viene definito Sh, tasso di sintesi proteica relativo alle

proteine che contribuiscono alla conduttanza di tipo h-esimo, e Rh tasso di

rimozione delle stesse dalla membrana plasmatica. Il bilancio che è possibile

formalizzare matematicamente assume la forma indicata nella 3.17, dove il

valore massimo della conduttanza per lo ione h-esimo è indicato cong h.

(3.17)dg

dtS Rh

h h∝ −

Dal momento che non vi è evidenza sperimentale che anche il processo di

rimozione proteica sia dipendente dall'attività, si assume solo Sh([Ca2+]IN)

dipendente dal calcio. L’equazione 3.18 esprime proprio la presenza di un

meccanismo di degradazione spontanea, capace di fare decrescere il numero

totale di canali proteici a zero, in assenza di alcuna sintesi degli stessi e in

un intervallo temporale dell’ordine di τh, costante di tempo del processo.



(3.18) τ hh

h IN h

dg

dtW Ca g⋅ = −([ ] )

Trascurando i contributi di accumulo di Ca2+ in forma legata entro il

citoplasma, viene assunta come unica sorgente di calcio intracellulare, il

flusso generato dalla corrente calcio ICa . Consistentemente con il modello

proposto nel paragrafo precedente, si sceglie di modellare la dinamica di

[Ca]IN secondo l’equazione 3.10. Per la descrizione del potenziale elettrico

di membrana, si impiega nuovamente il modello di Morris e Lecar, che

prevede proprio un termine di corrente calcio, espresso da:

(3.19) I gV

V ECa Ca Ca= ⋅ ⋅ ++

⋅ −

1

21

1

15tanh ( )

Si considera [Ca]IN in µM e k in msec-1: Per convenienza, e senza alcuna

perdita di generalità, è possibile un’altra scelta delle unità di misura in modo

da rendere unitario il valore di A: d'ora in poi [Ca]IN sarà espresso in (µM /

A) unità.

Per quanto concerne la dipendenza funzionale del tasso di sintesi proteica,

ragioni di semplicità e trattabilità analitica, guidano la scelta delle funzioni

Wh verso la famiglia delle sigmoidi. Riscrivendo la 3.18, si ottiene così

(3.20) τ σhh

hIN

h

dg

dG

Cag= ⋅ ±

−

−

CT [ ]

∆dove σ( )z =

+ −

1

1 e z

Qualitativamente, la tendenza imposta dalla 3.20 consiste nel far

raggiungere e mantenere, alla concentrazione intracellulare di calcio, il

valore target CT, imponendo un certo andamento temporale per le

conduttanze g h. Da questo punto di vista, esiste quindi un livello di attività

ideale corrispondente al valore di CT, che deve essere garantito dai



meccanismi biochimici, attraverso una complessa dinamica risultante nei

valori delle conduttanze massime di membrana.

0[Ca]IN

CT

GCa

hIN⋅ ±

−

σ

CT [ ]

∆Gh

Gh / 2 ∆

Figura 3.3: La sigmoide è una scelta possibile per il tasso di sintesi

proteica, Ca2+-dipendente.

Nell’equazione 3.20, è stata lasciata intenzionalmente un’ambiguità sul

segno dell’argomento delle sigmoidi: la scelta è legata a considerazioni di

stabilità del sistema, poiché deve essere escluso ogni fenomeno di auto-

amplificazione delle oscillazioni e si desidera un feedback negativo

sull’attività elettrica. Supponiamo che un certo insieme di conduttanze

massime g hh : , , , ...= 1 2 3 sia stato fissato, e ad esso corrisponda un dato

livello di attività elettrica (frequenza media di oscillazione). Se il neurone

diviene maggiormente attivo rispetto a tale livello di attività, per l’equazione

3.10, gli ioni Ca2+ in entrata contribuiranno ad un aumento di [Ca]IN. In tale

caso, le correnti ioniche uscenti dovrebbero diminuire in intensità e quelle

entranti dovrebbero crescere, in modo da ridurre l'attività del neurone verso

il livello di attività originale. Al contrario quando l'attività decresce, prevale

il decadimento spontaneo della concentrazione di calcio, e per quanto



riguarda l’entità delle correnti ioniche, dovrebbe avvenire esattamente

l'opposto di quanto descritto prima.

Per ottenere una dinamica attrattiva del tipo indicato, deve essere scelto il

segno meno nell'equazione relativa ad ogni corrente uscente (conduttanza

potassio), e il segno più per ogni corrente entrante (conduttanza calcio)

(Abbott et al., ’93).

Una scelta alternativa per la funzione Wh ( ) potrebbe considerare i processi

di sintesi e rimozione come dipendenti dalla concentrazione del calcio

intracellulare in modo uguale e opposto (3.21). Questa ipotesi non verrà

presa in considerazione nel seguito dal momento che, come ha evidenziato

un’analisi preliminare, l’equazione di regolazione 3.21 non ammette limite

inferiore o superiore per il valore delle conduttanze massime, che dovrebbe

invece restare sempre positivo, per definizione.

(3.21) τ σhh

hINdg

dtG

Ca⋅ = ⋅ ⋅ ±

−

−

2

1

2

CT [ ]

∆

3.4 Proprietà del Modello Regolato

Istanziando la 3.20 per i due tipi di correnti del modello deterministico di

Morris e Lecar, si ottiene un sistema di cinque equazioni differenziali, in cui

la variabile [Ca]IN agisce come elemento di retroazione nei confronti dei

processi di sintesi proteica.

(3.22) CdV

dtg E V g

1

21 tanh

V 1E V g n E V Il l Ca Ca K K ext= ⋅ − + ⋅ ⋅ +

+

⋅ − + ⋅ ⋅ − +( ) ( ) ( )

15

(3.23)dn

dt

1cosh

V 1

21 tanh

V 10

14.5n= ⋅

−

⋅ ⋅ +

−

−

15

10

29



(3.24) ( )d Ca

dtk I Cain

Ca in

[ ][ ]= − ⋅ +

(3.25) τ σ⋅ = ⋅−

−

dg

dG

CagCa

Cain

Ca

CT [ ]

∆

(3.26) τ σ⋅ = ⋅−

−

dg

dG

Ca CgK

Kin T

K

[ ]

∆

Se concentriamo l’attenzione sulle equazioni di regolazione (3.25 - 3.26), si

può osservare che GCa e GK rappresentano i valori massimi che g Ca e g K

possono assumere rispettivamente, a regime (dg

dt

dg

dtCa K= = 0 ), essendo il

codominio della sigmoide l’intervallo compreso fra 0 e 1.

All’argomento della sigmoide, figura il termine di distanza fra valore attuale

e valore desiderato di concentrazione intracellulare di ioni Ca2+. Questo

termine è molto significativo, dal momento che se la concentrazione attuale

fosse inferiore a quella rappresentata da CT, l'esaltazione delle correnti

entranti e la depressione delle correnti uscenti porterebbe [Ca]IN nuovamente

vicino a CT, in conseguenza dell’aumento di attività elettrica. Viceversa, se

[Ca]IN fosse maggiore di CT, avverrebbe un effetto opposto sulle correnti

entranti e uscenti, con una conseguente diminuzione dell’attività elettrica e

quindi di [Ca]IN.

Le simulazioni al calcolatore sono in accordo con questa interpretazione

qualitativa, e dimostrano che la precisione del tracking rispetto al valore di

[Ca]IN desiderato è migliore in un intorno piccolo di CT = 20 unità.



0 2000 4000 6000 8000

0

10

20

30

40

[Ca]in

time (msec)0 2000 4000 6000 8000

0

10

20

30

40

[Ca]in

time (msec)

0 2000 4000 6000 8000

0

10

20

30

40

[Ca]in

time (msec)0 2000 4000 6000 8000

0

10

20

30

40

[Ca]in

time (msec)

0 2000 4000 6000 8000

0

10

20

30

40

[Ca]in

time (msec)0 2000 4000 6000 8000

0

10

20

30

40

[Ca]in

time (msec)

Figura 3.4: Andamento temporale della concentrazione intracellulare di

ioni Ca2+, al variare del valore di concentrazione desiderato (CT).

Le simulazioni riportate in figura 3.4, sono state ottenute utilizzando valori

crescenti di CT da 10 a 35 unità, e i parametri numerici indicati nella tabella

3.1. Tali valori verranno utilizzati anche nella maggior parte delle

simulazioni numeriche che seguiranno, a meno che non venga indicato

diversamente.



C = 1 µF/cm2 τ = 1000 msec

g l = 0.5 mS/cm2 k = 1 / 100 msec-1

El = -50 mV CT = 20 unità

ECa = 100 mV ∆ = 5 unità

EK = -70 mV [Ca]IN(0) = 0 unità

V(0) = -50 mV GCa = 1.5 mS/cm2

( )n 01

21 tanh

V 10

14.5= ⋅ +

−

( )0

GK = 3 mS/cm2

Iext = 13 µA/cm2g Ca(0) = 1mS/cm2

g K(0) = 2.5 mS/cm2

Tabella 3.1: Valori dei parametri, per il modello deterministico regolato

3.22 - 3.26.

Come si è detto, [Ca]IN è un indicatore, dell'attività elettrica media nel

tempo: infatti il legame funzionale fra [Ca]IN e V(t) è di tipo integrativo, su

di una scala temporale data dall'inverso di k. Il raggiungimento o il

mantenimento di un certo livello di concentrazione è realizzato a spese di

una variazione del valore istantaneo delle correnti ioniche, attraverso una

variazione delle conduttanze massime di membrana.

Considerando nuovamente il piano dei valori di tali conduttanze (figura 2.5),

è possibile verificare che per ogni valore iniziale di g Ca e g K, esiste un

unico punto di equilibrio asintoticamente stabile, dipendente in modo

complesso da Iext, Gca , GK , CT insieme ai valori di EK e ECa.

Alcune traiettorie, ottenute per GCa = 3 mS/cm2 e GK = 6 mS/cm2, sono

rappresentate nella figura seguente.



1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,22

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Conduttanza massima Ca2+ (mS/cm2)

K+

(mS/cm2)

Figura 3.5: Alcune traiettorie nel piano delle conduttanze massime, usando

GK = 6mS/cm2 e GC a= 3mS/cm2.

Per un insieme di valori iniziali corrispondente alla parte in basso a sinistra

della figura 3.5, nell’evoluzione temporale delle conduttanze massime di

membrana si verifica la convergenza allo stesso punto di equilibro, sebbene

caratterizzata da oscillazioni (si veda la figura 3.13).

Alcune proprietà caratteristiche di questo modello sono qualitativamente

prevedibili. Per esempio, è plausibile aspettarsi per la frequenza di

oscillazione del potenziale V(t), un’evoluzione temporale a rilassamento.

Poichè la dinamica attrattiva nel piano delle conduttanze massime genera al

variare del tempo, una traiettoria da una particolare coppia g Ca g K verso il

punto di equilibrio, si può passare, da un’alta frequenza di oscillazione ad

una bassa attività oscillatoria o viceversa (si vedano le figure 3.6 e 3.8), in

un intervallo temporale dell’ordine di τ.



0 40 80 7920 7960 8000-80

-40

0

40

(mV)

time (msec)

Figura 3.6: Diminuzione della frequenza delle oscillazioni del potenziale di

membrana, a regime.

I valori impiegati nella simulazione di figura 3.6 sono quelli indicati nella

tabella 3.1, utilizzando g Ca(0) = 5mS/cm2 e g K(0) = 50mS/cm2 quali

condizioni iniziali. La traiettoria (figura 3.7) converge verso il punto di

equilibrio, a cui corrispondono valori significativamente meno elevati per

g Ca e g K, e una corrispondente attività elettrica ridotta.



0 1 2 3 4 50

20

40

t = 0 msec

K+

(mS/cm2)


Figura 3.7: Evoluzione della traiettoria nel piano delle conduttanze, per le

stesse condizioni della figura 3.6.

Una proprietà notevole si manifesta imponendo g Ca(0)=0mS/cm2 e

g K(0)=0mS/cm2, cioè una totale assenza iniziale di canali proteici distribuiti

sulla membrana cellulare, e quindi completa assenza di permeabilità ionica.

La sintesi proteica è in grado di sintetizzare i canali ionici del tipo

opportuno, in quantità necessaria al raggiungimento dell'attività elettrica

ideale.



0 50 100 150 7800 7850 7900 7950 8000

-40

0

40

(mV)

time (msec)

Figura 3.8: Sintesi delle conduttanze di membrana, partendo da una

condizione di totale assenza di canali proteici.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

0

5

10

15

20

25

30

[Ca]in

time (msec)

Figura 3.9: Andamento della concentrazione di calcio intracellulare, nelle

stesse condizioni della figura 3.8.



0,0 0,2 0,4 0,6 0,80,0

0,4

0,8

1,2

1,6

t = 0 msec

K+

(mS/cm2)


Figura 3.10: Traiettoria del sistema nel piano delle conduttanze massime,

nelle stesse condizioni della figura 3.8.

Il comportamento rappresentato nelle figure 3.8 - 3.10, può essere

interpretato alla luce di alcuni risultati sperimentali (Turrigiano et al., ’95): i

neuroni del ganglio stomatogastrico (STG) di aragosta adulta, appena

dissociati e piastrati in vitro, mostrano assenza di attività periodica nel

potenziale elettrico, anche se stimolati da una corrente depolarizzante. Dopo

3-4 giorni di coltura, tali cellule sono in grado di manifestare un'attività

sostenuta, anche di tipo strutturato, in risposta a stimolazioni esterne. La

variazione delle proprietà intrinseche è accompagnata quindi da una

variazione nelle densità di correnti ioniche, indicando che in coltura, i

neuroni di STG isolati sono in grado di regolare selettivamente il valore

delle loro conduttanze ioniche in modo strettamente dipendente dall’attività

elettrica presente.

Per valori sufficientemente elevati del parametro CT (per esempio CT = 35

unità), il modello regolato riesce a riprodurre un’attività periodica

strutturata. Tale tendenza è però conseguenza delle non linearità coinvolte

nelle equazioni di regolazione, e legata alla scelta dei valori di Iext, τ e Gh. A

rigore quindi, il fenomeno indicato nelle figure 3.11 e seguenti, non va



riguardato come un vero e proprio bursting, fenomeno di tipo diverso del

quale sono responsabili altri meccanismi molecolari calcio - dipendenti.

0 1000 2000 3000 4000

-40

0

40

(mV)

time (msec)

Figura 3.11: Potenziale di membrana, nelle stesse condizioni della figura

3.8, utilizzando CT = 35 unità.

6000 6400 6800 7200 7600 80000,80

0,85

0,90

0,95

1,00

1,05

Con

dut

tanz

a m

assi

ma

Ca

2+

(mS

/cm

2 )

time (msec)

Figura 3.12: Oscillazioni di elevata ampiezza nell’evoluzione temporale

delle conduttanze massime di membrana, nelle stesse condizioni di figura

3.11 .



In condizioni normali, l’ampiezza delle oscillazioni per le conduttanze

massime è molto piccola, e la traiettoria nel piano delle conduttanze si

mantiene entro un intorno piccolo del punto di equilibrio. Viceversa, se la

traiettoria del sistema ha caratteristiche oscillatorie (si veda figura 3.13), può

determinarsi una condizione di intermittenza, nell’oscillazione del

potenziale di membrana, in virtù di una temporanea uscita dalla penisola

oscillatoria, introdotta nel capitolo precedente. Al crescere di CT il periodo

di tale intermittenza decresce, rendendo più rapida la successione di

pacchetti di attività oscillatoria.

0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,051,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6


t = 0 msec

K+

(mS/cm2)

Figura 3.13: Traiettoria nel piano delle conduttanze massime, per valori

critici di CT.



7200 7600 8000-60

-40

-20

0

20

40

60

(mV)

time (msec)6000 6400 6800 7200 7600 8000

-60

-40

-20

0

20

40

60

(mV)

time (msec)

Figura 3.14: Altri esempi di oscillazione strutturata, nel potenziale di

membrana.

Dal punto di vista analitico, la presenza di oscillazioni non smorzate per le

conduttanze massime di membrana (figura 3.12) è conseguenza di una

intensa variazione imposta al secondo membro delle 3.25 - 3.26, quando la

differenza C CaT − sia elevata. Intuitivamente, è più difficile annullare

l’errore sulla concentrazione del calcio intracellulare rispetto al valore

target, quanto più è grande è CT e più piccolo τ ,intervallo temporale della

regolazione.

3.5 Analisi della Regolazione Dinamica

E’ possibile caratterizzare analiticamente il comportamento del modello

regolato descritto nel paragrafo precedente, in virtù della forma delle

funzioni Wh([Ca]IN). Si consideri la somma e la differenza delle equazioni di

regolazione (3.25 - 3.26): se si indica con

yg

G

g

GCa

Ca

K

K

= + e zg

G

g

GCa

Ca

K

K

= − ,

si ottiene che



(3.27) τ ⋅ = −dy

dt1 y

(3.28) τ ⋅ =−⋅

−

dz

dttanh

[ ]C CazT

2 ∆

La prima equazione ottenuta (3.27) è un’equazione differenziale del

prim'ordine a coefficienti costanti, la cui soluzione in forma chiusa è la

seguente:

(3.29) [ ]y t y et

( ) ( )= − ⋅−

0 1 τ + 1

Questo significa che la nuova variabile y, somma delle conduttanze massime

di membrana normalizzate opportunamente, tende asintoticamente al valore

di regime y t( ) = 1, con andamento esponenziale decrescente. A regime,

esiste pertanto nel piano delle conduttanze massime, una retta di equazione

g

G

g

GCa

Ca

k

k

+ = 1 , a cui appartiene il punto di equilibrio.

L’equazione 3.28 invece non è integrabile in forma chiusa. Nelle ipotesi di

comportamento oscillatorio per il potenziale di membrana, si può asserire

che anche [Ca]IN (t) avrà andamento oscillatorio di stesso periodo. Quindi

non esiste un valore costante di regime per la variabile ausiliaria z.

Se si considera però il processo di regolazione dinamica caratterizzato da

una scala temporale molto maggiore di quella relativa a V(t), τ >> 1

millisecondo, si può supporre che le oscillazioni di z attorno al proprio

valore medio temporale siano molto lente.

A regime pertanto, si scriverà zC CaT IN≅

−⋅

tanh

[ ]

2 ∆, intendendo la

media temporale su numerosi cicli di oscillazione del potenziale di

membrana. Questa espressione individua un’altra retta, nel piano delle

conduttanze. Con una certa approssimazione, l'intersezione di queste rette,



fornisce il punto di equilibrio, la cui esistenza è stata discussa nel paragrafo

precedente.

In modo più rigoroso, può pure essere data dimostrazione dell’asintotica

stabilità della regolazione dinamica: sommando e sottraendo le espressioni

che definiscono y e z si ottiene il seguente sistema lineare.

(3.30)y z

g

G

y zg

G

Ca

Ca

K

K

+ = ⋅

− = ⋅

2

2

Risolvendo rispetto a y e a z, si può giungere alle seguenti relazioni generali:

(3.31) ( )gG

y e zCaCa

t

= ⋅ − ⋅ + +

−

20 1 1( ) τ

(3.32) ( )gG

y e zKK

t

= ⋅ − ⋅ + −

−

20 1 1( ) τ

In questo modo, è stata dedotta l’espressione analitica della dipendenza dal

tempo e da [Ca]IN per le due conduttanze massime. Risulta esplicito il

feedback dall'attività elettrica, realizzato attraverso la concentrazione

intracellulare di calcio.

Qualitativamente si osserva la sovrapposizione di un comportamento

esponenziale decrescente e di un andamento oscillatorio. Questi andamenti

agiscono su diverse scale temporali: il primo sulla scala caratteristica della

regolazione dinamica τ, mentre il secondo sulla scala più rapida legata alle

oscillazioni del potenziale di membrana (millisecondi), ordini di grandezza

inferiore. Questo è ben confermato dalle simulazioni al calcolatore, riportate

nella figura 3.15.



2000 4000 6000 80000,70

0,75

0,80

0,85

0,90

Co

ndu

ttan

za m

assi

ma

Ca

2+

(mS

/cm

2 )

time (msec)7200 7600 8000

0,740

0,745

0,750

0,755

0,760

Con

dutt

anza

mas

sim

a C

a 2

+ (

mS

/cm

2 )

time (msec)

Figura 3.15: Due dettagli dello stesso andamento temporale per la

conduttanza massima relativa al calcio, g Ca(t).

I processi biochimici che si intendono modellare con la sintesi delle

conduttanze, sono caratterizzati da una scala temporale probabilmente molto

lunghe (ore - giorni). Nelle simulazioni, la scelta del valore di τ, a cui tale

scala temporale è legata, non è particolarmente critica purché sia molto

maggiore rispetto alla costante di tempo equivalente della membrana

cellulare. Utilizzando per τ, valori da 1 a 1000 secondi, si è potuta

confermare una sostanziale equivalenza dei risultati, a meno di un fattore di

scala per l'asse dei tempi (figura 3.16).

0 20000 40000 60000 80000

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

1,05

Con

dutt

anza

mas

sim

a C

a 2

+ (

mS

/cm

2 )

τ = 1 sec

τ = 5 sec

τ = 10 sec

time (msec)

Figura 3.16: Influenza del parametro τ, sulla dinamica di regolazione.



3.6 Robustezza del Modello Regolato Dinamicamente

Il modello di Morris e Lecar (equazioni 2.1 - 2.3) è una buona

approssimazione del comportamento istantaneo per il potenziale ai capi di

una membrana di un neurone. Come già sottolineato, esistono relazioni

profondamente non lineari che legano fra loro le variabili elettriche. Fra

queste si verifica una spiccata sensibilità alle piccole variazioni di alcuni

parametri, per esempio EK e ECa, non ragionevole dal punto di vista

biologico.

E’ possibile studiare il comportamento della frequenza di V(t) nel piano

delle conduttanze massime di membrana, similmente a quanto fatto nel

capitolo 2 (si vedano le figure 2.4 - 2.5), al variare dei potenziali di

equilibrio ionico: si riscontra una spiccata sensibilità nella topologia delle

zone iso-frequenza, a seguito di piccole variazioni nei potenziali di

equilibrio, e in alcuni casi una drastica alterazione del pattern di attività

elettrica.

La regolazione dinamica introdotta in questo capitolo è stata inizialmente

descritta come un sistema in grado di mantenere un certo pattern di attività

elettrica anche sotto una varietà di condizioni esterne. Questa caratteristica è

realizzata attraverso la modulazione delle correnti ioniche di membrana, e se

si confronta la frequenza media delle oscillazioni del potenziale di

membrana al variare di EK e ECa, nel modello regolato con quella del

modello non regolato, si osserva un significativo aumento della robustezza.

Per poter effettuare dei confronti significativi, i valori delle conduttanze

massime del modello non regolato sono stati posti ai valori di regime delle

conduttanze massime tempovarianti del modello regolato: non si ha una

esatta coincidenza fra modello non regolato e il regime del modello

regolato, poiché a rigore viene raggiunto sempre un regime oscillatorio

permanente (si veda la figura 3.15).

Si è prestata attenzione affinché per ogni valore dei potenziali di equilibrio,

vi fosse sempre un comportamento oscillatorio e non una saturazione o



un’assenza di oscillazione. Per ogni valore dei potenziali di equilibrio, sono

stati scelti di valori delle conduttanze massime appartenenti alla penisola di

oscillazione: nel caso della variazione di ECa si è sceltog Ca = 0,98 mS/cm2 e

g K = 2,47 mS/cm2, mentre per EK si è scelto g Ca = 1,03 mS/cm2 e g K =

2,96 mS/cm2. Affinché il valore medio delle conduttanze massime nel

modello regolato, sia prossimo ai valori riportati sopra, è necessario

imporre che GCa = 2,4 mS/cm2 e GK = 5,2mS/cm2 per EK, mentre GCa = 2,6

mS/cm2 e GK = 4 mS/cm2 per ECa.

Il passo di incremento per EK e ECa è stato scelto di 1 mV, la corrente di

stimolazione Iext=13mA/cm2, mentre la frequenza media è stata misurata su

un intervallo di osservazione di 16 secondi, dopo il raggiungimento del

regime, atteso per 10 secondi usando τ = 1 secondo.

40 60 80 100 120 140 160

0,030

0,032

0,034

0,036

0,038

0,040

0,042regolato

(kHz)

ECa (mV)

non regolato

Figura 3.17: Andamento della frequenza di attività al variare del potenziale

di equilibrio della corrente calcio.



-100 -90 -80 -70 -60 -50 -40

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

regolato

(kHz)

EK

non regolato

Figura 3.18: Andamento della frequenza di attività al variare del potenziale

di equilibrio della corrente potassio.

Il modello regolato manifesta attività oscillatoria quasi per ogni valore

dell’intervallo di variazione dei potenziali di equilibrio, e risente in maniera

molto meno evidente del valore di EK e ECa.

Resta dimostrato che a lungo termine, piccole fluttuazioni nelle

concentrazioni ioniche non sono in grado di modificare in modo

apprezzabile la frequenza media di attività del neurone.



3.7 Dinamica del Calcio Approssimata

Nel paragrafo 3.2 sono stati sviluppati due modelli matematici per la

descrizione della concentrazione intracellulare di calcio: uno di essi si presta

particolarmente bene per definire un modello ridotto di regolazione

dinamica, da utilizzarsi insieme all’equazione del modello integra-e-spara

(2.16) per la descrizione del potenziale elettrico di membrana.

Utilizzando l’integra-e-spara, non è infatti più possibile introdurre

l’equazione 3.24 per descrivere la dinamica del calcio, esistendo un unico

tipo di corrente ionica a riassumere le correnti K+, Ca2+ e la corrente di

perdita: non si può identificare alcun termine specifico, equivalente alla ICa

della 3.22.

Assumendo che le proprietà di permeabilità ionica della membrana siano

discrete e localizzate, si è derivata l’espressione media 3.15, nelle condizioni

di generale ergodicità della cinetica stocastica di apertura e chiusura dei

canali. Secondo l’approssimazione indicata in figura 3.1, durante un

potenziale d’azione, l’influsso di calcio può essere riguardato come una

transizione temporanea ad un valore costante, per tutto il tempo di apertura

dei canali ionici.

Tale ipotesi si rivela sufficientemente adeguata, studiando nel modello

deterministico (equazioni 2.1 - 2.3) l’evoluzione temporale della corrente

calcio, normalizzata al valore della conduttanza massima g Ca.



0 50 100 150 200 250 300 350 4000

50

100

150

200

(mV

)

(mV

)

time (msec)

-200

-150

-100

-50

0

50

Figura 3.19: Al succedersi delle corrispondenti fasi del potenziale d’azione

(parte alta del grafico), è riportato l’andamento temporale di

( )− = ⋅ ++

⋅ −

I

g

VV ECa

Ca

Ca

1

21

1

15tanh .

Dalla 3.19, si nota che in regime periodico per il potenziale V(t), quale che

sia Iext, il termine rappresentato è sempre assimilabile ad una sequenza di

gradini di durata circa uguale a 10msec e ampiezza pari a 76mV.

Si può d’ora in poi assumere che in conseguenza dell’apertura dei canali

ionici specifici per Ca2+, esista una corrente calcio simile ad un’onda quadra,

il cui duty cycle sia costante e dell’ordine della durata del potenziale

d’azione. In questi termini, il contributo alla variazione della concentrazione

intracellulare di calcio che figura al secondo membro della 3.15 è proprio

una successione di transizioni a gradino, di valore costante e proporzionale

al valore istantaneo della conduttanza massima g Ca.



300 320 340 360 380 4000

20

40

60

80

100

120

(mV)

time (msec)

Figura 3.20: Approssimazione con un’onda quadra in corrispondenza di

ciascun potenziale d’azione.

Con queste considerazioni, si giunge alla forma finale per la descrizione

della dinamica del calcio:

(3.33)

( )( ) [ ]d Ca

dt

k g t Ca t t t

k Ca t t

INCa o IN o o

IN o

[ ][ ] ;

[ ]

≈⋅ ⋅ − ∈ +

− ⋅ > +

76 10

10

Nell’equazione 3.33, si è indicato con to l’istante dell’ultimo

attraversamento della soglia da parte del potenziale di membrana V, e si è

assunta la durata totale dell’influsso pari a 10 msec.

Date le caratteristiche di tale equazione, può essere dedotta la soluzione in

forma chiusa.

(3.34)( ) ( ) [ ]

( )[ ][ ] ( )

[ ] ( ) ( ) ( ) ,

[ ] ( )

Ca t

Ca t g t e g t t t t

Ca t e t tIN

IN o Ca ok t t

Ca o o o

IN ok t t

o

o

o

=− ⋅ ⋅ + ⋅ ∈ +

+ ⋅ > +

− ⋅ −

− ⋅ − +

76 76 10

10 1010



Nelle ipotesi fatte Per le proprietà dell’equazione 3.31, è possibile dedurre

analiticamente, seppure, alcune proprietà interessanti. Per esempio è

possibile chiarire il ruolo di [Ca]IN nei confronti della frequenza di

oscillazione di V(t). Si definisca infatti la frequenza media di oscillazione,

per il modello integra-e-spara:

(3.35) ( )ν =−p

t t2 1

dove ( )t t2 1− è l’intervallo temporale a cui viene riferito p, numero totale

di potenziali d’azione. Un modo analogo per scrivere 3.33, è il seguente:

(3.36)

[ ] [ ] ( )d Ca

dtk Ca H t tIN

IN t ii

= − ⋅ + ⋅ −=

∞

∑ Π∆1 H = costante

dove la funzione che compare sotto il segno di sommatoria, è la funzione

rettangolo, di supporto pari a ∆t e ampiezza unitaria, simmetrica rispetto

l’asse t = ∆t / 2 (si veda la figura 3.21a).



1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,00

5

10

15

20

25

(a)

1

∆ t0t

0 2 4 6 8 100

10

20

30

40

50

(b)

x xxx

Cain

t

Figura 3.21: (a) Influsso di calcio, modellato dalla funzione rettangolo; (b)

andamento della concentrazione [Ca]IN secondo l’equazione 3.37.

Se si suppone di far tendere a zero la durata dell’influsso di calcio, e si

sceglie di trascurare il decadimento spontaneo, l’equazione 3.37 continua a

descrivere approssimativamente la dinamica della 3.36.

(3.37)

[ ] ( )d Ca

dtH t tIN

ii

= ⋅ −=

∞

∑ δ1

Per definizione di delta di Dirac, integrando la 3.37 su di un intervallo

temporale compreso fra due potenziali d’azione successivi, si può esprimere

la concentrazione di ioni calcio nel modo seguente:

(3.38) [ ] [ ]Ca t Ca t HIN i IN i( ) ( )+ = +1



La 3.38 è equivalente ad un’equazione lineare alle differenze finite, dove la

discretizzazione dell’asse temporale è stata scelta in corrispondenza degli

istanti di attraversamento della soglia di eccitabilità da parte del potenziale

V(t), ed è non uniforme. Nonostante questo, quando [Ca]IN(0) = 0 unità,

l’espressione ricorrente appena ricavata permette di concludere che

(3.39) [ ] [ )Ca t p H t t tIN p p( ) ;= ⋅ ∈ +1

Dalla 3.35 allora segue che

(3.40) [ ] ( ) [ ]Ca t H t t Ca tIN o IN( ) ( )= ⋅ − ⇒ ∝ ν

ovvero la concentrazione intracellulare di calcio ad un certo istante è

approssimativamente proporzionale alla frequenza media di attività e

all’intervallo temporale su cui questa viene calcolata.

3.8 Introduzione della Regolazione Dinamica nel

Modello Integra-e-Spara

Nel paragrafo precedente è stato dimostrato come sia possibile legare

l’attività elettrica del modello integra-e-spara, alla concentrazione del calcio

intracellulare, anche in assenza di un termine equivalente alla corrente

ionica calcio. A questo punto, introducendo la stessa equazione di

regolazione del modello completo, per la sola conduttanza massima presente

g , è possibile trovare la forma definitiva del modello integra-e-spara

regolato dinamicamente:



(3.41)( )

[ ]

CdV

dtg V V I V t V

V V se V t V

o ext th

o ref o th

= ⋅ − + <

= ∈ + ≥

+ + −

( )

( ) ; ( )ξ ξ τt to o

(3.42) ( ) ( ) [ ]

( )[ ][ ] ( )

[ ] ( ) ( ) ( ) ,

[ ] ( )

Ca t

Ca t g t e g t t t t

Ca t e t tIN

IN o Ca ok t t

Ca o o o

IN ok t t

o

o

o

=− ⋅ ⋅ + ⋅ ∈ +

+ ⋅ > +

− ⋅ −

− ⋅ − +

76 76 10

10 1010

(3.43) τ σdg

dtG

Ca CgIN T= ⋅

−

−

[ ]

∆

Nell’ultima equazione, la scelta per il segno dell’argomento della sigmoide è

stata operata secondo gli stessi criteri di stabilità discussi per il modello

completo (equazione 3.20).

I valori dei parametri restano sostanzialmente immutati rispetto alla versione

completa (equazioni 3.22 - 3.26, tabella 3.1) e vengono elencati di seguito.

Vo = -49.67 mV G = 1mS/cm2

Vth = -22.586 mV CT = 20 unità

V(0) = Vo ∆ = 5 unità

C = 1 µF/cm2 τ = 1000 msec

τref = 2 msec k = 1 / 100 msec-1

Iext = 13 µA/cm2 [Ca]IN (0) = 0 unità

Tabella 3.2: Valori dei parametri, per il modello integra-e-spara regolato

3.41 - 3.43.

Confrontando la capacità di tale modello ridotto, rispetto alle caratteristiche

di tracking del valore desiderato di concentrazione intracellulare CT (si veda

la figura 3.4), l’equazione di regolazione 3.43 è ancora in grado di modulare

l’unica conduttanza massima equivalente, per raggiungere e mantenere il

valore desiderato per [Ca]IN, seppure a spese di una minore precisione al di



fuori dell’intervallo [26 ; 32.2). Per valori di CT inferiori a 26 unità, la

concentrazione mostra delle sovraelongazioni attorno al valore target,

mentre per valori superiori a 32.2 unità non si ha raggiungimento del valore

desiderato, e [Ca]IN tende a zero al variare del tempo, conseguentemente

all’interruzione dell’attività periodica nel potenziale di membrana.

La figura 3.22 riporta le simulazioni relative a questi casi:



0 2000 4000 6000 8000

0

5

10

15

20

25

30

35

40

[Ca]in

time (msec)

0 2000 4000 6000 8000

0

5

10

15

20

25

30

35

40

[Ca]in

time (msec)

0 2000 4000 6000 8000

0

5

10

15

20

25

30

35

40

[Ca]IN

time (msec)0 2000 4000 6000 8000

0

5

10

15

20

25

30

35

40

[Ca]IN

time (msec)

0 2000 4000 6000 8000-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

[Ca]IN

time (msec)0 2000 4000 6000 8000

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

[Ca]IN

time (msec)

0 2000 4000 6000 8000-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

[Ca]IN

time (msec)0 2000 4000 6000 8000

0

5

10

15

20

25

30

35

40

[Ca]IN

time (msec)

Figura 3.22: Concentrazione intracellulare di ioni Ca2+ al variare di CT,

concentrazione target.

Paragonando il modello completo regolato con questo modello ridotto, si

osserva la stessa tendenza verso una dinamica attrattiva stabile (figura 3.24).



Il valore dell’unica conduttanza disponibile nel modello 3.41 - 3.43 tende

asintoticamente ad un valore di equilibrio, attraverso la coesistenza di due



comportamenti: uno essenzialmente esponenziale e l’altro oscillatorio (si

veda la figura 3.23 a confronto con la 3.15).

0 2000 4000 6000 8000

0,5

1,0

1,5

2,0

(mS/

cm2 )

time (msec)7000 7200 7400 7600 7800 8000

0,478

0,479

0,480

0,481

0,482

(mS/

cm2 )

time (msec)

Figura 3.23: Due dettagli del comportamento di g (t) al variare del tempo,

per il modello ridotto, nelle usuali condizioni di simulazione.

L’esistenza di un valore di equilibrio stabile per g (t), dipendente in maniera

complessa da Iext, G, CT e dagli altri parametri del modello non regolato

(tabella 3.2), è esemplificata dalla figura seguente in cui vengono tracciate

alcune evoluzioni temporali, per diverse condizioni iniziali.

0 1000 2000 3000

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

(mS/

cm2 )

time (msec)

Figura 3.24: Per ogni valore iniziale g (0), esiste uno stesso regime per la

conduttanza massima di membrana.



Le proprietà già esaminate nel paragrafo 3.6 per il modello completo

vengono interamente mantenute. Per esempio, si verifica l’esistenza di un

comportamento di rilassamento della frequenza di oscillazione del

potenziale V(t) (da confrontarsi con la figura 3.6).

0 30 60 90 7920 7950 7980

-50

-40

-30

-20

-10

0

(mV)

time (msec)

Figura 3.25: Diminuzione della frequenza delle oscillazioni del potenziale

di membrana, a regime ( g (0) = 0.45 mS/cm2).

0 2000 4000 6000 8000

0

5

10

15

20

25

30

35(a)

[Ca]in

time (msec)

0 2000 4000 6000 80000,42

0,43

0,44

0,45

0,46

0,47

0,48

0,49 (b)

(mS/

cm2 )

time (msec)

Figura 3.26: (a) Andamento della concentrazione intracellulare di calcio, e

(b) della conduttanza massima di membrana, nelle stesse condizioni della

figura 3.25.



Il comportamento già esemplificato per il modello completo in figura 3.8,

viene mantenuto, e imponendo g (0) = 1 mS/cm2, il modello 3.41 - 3.43 è in

grado di sintetizzare la propria conduttanza, in modo da costituire l’attività

elettrica ideale, a partire da una situazione silente.

0 50 100 150 7800 7850 7900 7950 8000

-50

-40

-30

-20

-10

0

(mV)

time (msec)

Figura 3.27: La sintesi proteica è in grado di ripristinare le condizioni per

cui si ha comportamento oscillatorio ( g (0) = 1 mS/cm2).

0 2000 4000 6000 8000

0

5

10

15

20

25

30 (a)

[Ca]in

time (msec)

0 2000 4000 6000 80000,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0 (b)

g (mS/cm2)

time (msec)

Figura 3.28: (a) Andamento della concentrazione intracellulare di calcio, e

(b) della conduttanza massima di membrana, nelle stesse condizioni della

figura 3.27.



Analogamente a quanto notato alla fine del paragrafo 3.5, la dipendenza da τ

è legata ad un fattore di scala per l’asse dei tempi, come si osserva dalla

figura 3.29 a confronto con la 3.16.

0 20000 40000 60000 80000

0,5

1,0

1,5

2,0 τ = 10 sec

τ = 25 sec

τ = 50 sec

(mS/

cm2 )

time (msec)

Figura 3.29: Influenza del parametro τ sulla dinamica di regolazione.



3.9 Attività Elettrica Strutturata e Robustezza

A conclusione di questo capitolo, si riportano le evidenze di comportamento

elettrico strutturato, simile a quanto indicato nelle figure 3.11 e seguenti.

Nelle stesse condizioni di stimolazione in corrente impiegate per il modello

completo, si verifica che per un ben preciso intervallo di valori di CT, [6 ;

19.1] unità, le oscillazioni nell’evoluzione temporale di g t( ) sono tali da

indurre nel potenziale di membrana V(t) un’attività periodica intermittente.

7000 7250 7500 7750 8000

-50

-40

-30

-20

-10

0

(mV)

time (msec)

Figura 3.30: Potenziale di membrana, quando CT = 10 unità.



7000 7250 7500 7750 8000

0

5

10

15

20

(a)

[Ca]IN

time (msec)

7000 7250 7500 7750 8000

0,470

0,475

0,480

0,485

0,490

0,495 (b)

(mS/

cm2 )

time (msec)

Figura 3.31: (a) Andamento temporale della concentrazione intracellulare

di calcio, e (b) della conduttanza massima di membrana, nelle stesse

condizioni della figura 3.30.

7000 7250 7500 7750 8000

-50

-40

-30

-20

-10

0

(mV)

time (msec)

Figura 3.32: Potenziale di membrana, quando CT = 18 unità.



7000 7200 7400 7600 7800 8000

0

5

10

15

20

25

30

(a)

[Ca]in

time (msec)

7000 7250 7500 7750 8000

0,455

0,460

0,465

0,470

0,475

0,480

0,485

0,490 (b)

(mS/

cm2 )

time (msec)

Figura 3.33: (a) Andamento temporale della concentrazione intracellulare

di calcio, e (b) della conduttanza massima di membrana, nelle stesse

condizioni della figura 3.32.

Per verificare la robustezza del modello regolato, si è scelto di considerare la

frequenza di oscillazione del potenziale di membrana, rispetto al valore della

tensione di soglia Vth. Dal punto di vista biofisico, è interessante considerare

l’attività elettrica del neurone in condizioni di distribuzione qualsiasi di ioni

all’esterno della membrana. E’ stato infatti sperimentalmente dimostrato,

che l’effetto di un accumulo di carica sullo strato esterno della membrana

fosfolipidica di un neurone, ne sposta le proprietà di eccitabilità,

modificando il valore del potenziale per cui si passa da una risposta passiva,

alla generazione di un potenziale d’azione.

In figura 3.34 viene confrontato l’andamento del modello regolato con

quello non regolato, ed è stato indicato con il tratteggio, l’intervallo di valori

della tensione di soglia, per il quale il potenziale elettrico V(t) è soggetto ad

un’oscillazione intermittente e non uniforme.



-28 -26 -24 -22 -20 -18 -16

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

Regolato (TONICO)

Regolato (NON-TONICO)

Non Regolato

(kHz)

Vth

(mV)

Figura 3.34: Frequenza media di attività elettrica, al variare del valore di

soglia di eccitabiltà.

Altra caratteristica di rilievo, è stata messa in evidenza dall’esame della

relazione frequenza - corrente esterna, per il modello regolato.

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0,00

0,05

0,10

0,15

Regolato (TONICO) Regolato (NON - TONICO) Non Regolato

(kHz)

Iext (µA/cm2)

Figura 3.35: Frequenza media di attività elettrica, al variare dell’intensità

della stimolazione esterna costante.



Rispetto al modello non regolato, la caratteristica frequenza media verso

corrente di stimolazione, presenta un caratteristico picco di risonanza per un

determinato valore della corrente di stimolazione, ma soprattutto una zona a

derivata prima molto piccola, in corrispondenza della brusca transizione

mostrata dal modello non regolato (zona critica).

Utilizzando una corrente esterna stocastica a valore medio pari a 13µΑ/cm2,

e varianza crescente, è stata messa in evidenza l’intrinseca robustezza del

modello regolato nei confronti di una stimolazione nell’intorno della zona

critica.

0 200 400 600 800 100012.0

12.4

12.8

13.2

13.6

14.0

I ext (

µA/c

m2 )

time (msec) 0 200 400 600 800 100012.0

12.5

13.0

13.5

14.0

I EX

T (

µA

/cm

2 )

time (msec)

Figura 3.36: Realizzazioni temporali della corrente stocastica a valore

medio pari a 13µΑ/cm2,e varianza crescente.



0 10000 20000 30000

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

non regolato

σ cr

esce

nte

(kHz)

time (msec)0 10000 20000 30000

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

σ = 0,1 µA/cm2

σ = 0,01 µA/cm2

σ = 0,001 µ A/cm2

σ = 0,0001 µA/cm2

(kHz)

time (msec)

Figura 3.37: Frequenza media nel modello non regolato e nel modello

regolato, calcolata utilizzando un intervallo temporale di osservazione di 1

secondo, al variare del tempo.



Capitolo 4

Modello matematico di una Rete di

Neuroni

4.1 La Sinapsi

La complessità di un sistema nervoso è così elevata da rendere inaccessibile,

nella pratica, una qualsiasi descrizione globale e completa. La difficoltà

principale di trovare un giusto mezzo fra realismo biologico e trattabilità

matematica si rileva già a livello del meccanismo elementare di sinapsi (:

dal greco connessione). L’idea di una interconnessione localizzata e non

continua delle cellule in un tessuto nervoso, è comunemente attribuita a

Charles Sherrington, fisiologo inglese di fine secolo scorso, e rappresenta

uno dei concetti più importanti della moderna neurobiologia.

Lo studio delle reti di neuroni biologici è principalmente incentrato sulla

caratterizzazione delle proprietà collettive, emergenti da vasti insiemi di



unità interagenti (Chapeau-Blondeau et al., ’95), e affinché le modalità di

interazione di tali unità possano essere analizzate in modo sufficientemente

preciso, è indispensabile disporre di una descrizione dettagliata della

dinamica della sinapsi. Essa è responsabile della connessione funzionale di

due neuroni e della trasduzione di segnali specifici fra di essi, per mezzo di

una mediazione di tipo prevalentemente chimico. In questo caso le proprietà

peculiari della connessione sono l’esistenza di un’orientazione, ovvero la

presenza di una direzione preferenziale per il flusso dell’informazione, e

l’impiego di un intermediario chimico per realizzare la propagazione del

potenziale d’azione dalla cellula presinaptica a quella postsinaptica.

Esiste comunque un altro tipo di connessione, bidirezionale e simmetrica,

realizzata attraverso la giustapposizione delle membrane plasmatiche, nella

quale la perturbazione locale indotta dal potenziale d’azione nelle

concentrazioni ioniche, innesca una variazione di potenziale di membrana

del neurone postsinaptico. Nel paragrafo seguente, verrà analizzata la prima

modalità di trasduzione neuronale dell’informazione, utilizzando il

formalismo già adottato nel primo capitolo, per la cinetica stocastica dei

canali proteici sensibili al potenziale elettrico. Infatti, l’effetto complessivo

del rilascio di molecole di neurotrasmettitore (intermediario chimico) nello

spazio intersinaptico, è in prima analisi l’apertura di alcuni canali proteici

sensibili alla presenza di tale soluto, e la conseguente modificazione

transitoria delle proprietà di permeabilità della membrana cellulare del

neurone postsinaptico.



4.2 Cinetica Stocastica per una Sinapsi Chimica

Richiamando le definizioni e i modelli non deterministici di canale ionico, si

prenderà in considerazione la dinamica dei canali proteici ad attivazione

chimica (chemically-gated). Questi complessi macromolecolari sono

equivalenti ai canali precedentemente esaminati, a meno della modalità di

attivazione dello stato funzionalmente attivo: in questo caso si ha

dipendenza dalla presenza di un particolare tipo di soluto in soluzione, e non

dalla variazione del potenziale di membrana.

Presenti nella membrana postsinaptica, tali canali possono indurre una

variazione sensibile nel potenziale elettrico, in risposta al rilascio di

molecole di neurotrasmettitore da parte del terminale assonico presinaptico,

provocato da un potenziale d’azione.

Sempre nelle ipotesi di markovianità dei processi aleatori che definiscono lo

stato interno di un canale, si considera un modello elementare di canale

proteico, ad unico gate, per il quale vale il seguente schema cinetico:

(4.1)

( )

C A

T t

→←

⋅α

β

Con questa scrittura si intende mettere in evidenza l’insieme delle

configurazioni funzionali possibili (C: chiuso e A: aperto), e le probabilità di



transizione da una all’altra nell’unità di tempo. In tali probabilità di

transizione, α e β sono costanti, mentre T(t) è una funzione del tempo, a

rappresentare la concentrazione istantanea di molecole di neurotrasmettitore

nello spazio intersinaptico. In altri termini, quando T(t) = 0 µM , la (4.1) si

modifica come

(4.2) C A←β

e viceversa, se T(t) = Tmax µM, allora

(4.3) C A

T

→←

⋅α

β

max

Vengono definite le probabilità marginali di trovare il canale nel particolare

stato funzionale aperto o chiuso, ad un dato istante temporale

(4.4)

P t stato aperto in t

P t stato chiuso in t

A

C

( ) Pr

( ) Pr

=

=,

ed in analogia con quanto fatto nel primo capitolo, queste possono essere

calcolate a partire dalle definizioni 4.5 e 4.6, ricordando che

P t P t tA C( ) ( )+ = ∀1 , per definizione di probabilità.

(4.5) [ ] P t tC AA C in t t t

statoA a t,;( ) Pr= = ⋅→ +∆ ∆β

(4.6) [ ] P t T t tA CC A in t t t

statoCa t,;( ) Pr ( )= = ⋅ ⋅→ +∆ ∆α

(4.7) ( )P t t t P t T t t P tA A C( ) ( ) ( ) ( )+ = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅∆ ∆ ∆1 β α



(4.8) ( )P t t t P t T t t P tC A C( ) ( ) ( ) ( )+ = ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅∆ ∆ ∆β α1

Facendo al solito, tendere a zero l’intervallo di discretizzazione dell’asse dei

tempi, si ottiene ad esempio nel caso di PA, l’equazione 4.9.

(4.9) ( )dP tdt

P t T t P tAA A

( )( ) ( ) ( )= − ⋅ + ⋅ ⋅ −β α 1

Formalmente è stata dedotta l’equazione differenziale a cui soddisfa la

probabilità di trovare un canale proteico chemically-gated, nello stato

funzionale aperto, all’istante t. Quando il numero di tali canali diventa

molto grande, la frequenza relativa converge alla probabilità definita dalla

4.9, per la disuguaglianza di Tchebyceff. Questo significa è possibile

riguardare la 4.9 come l’equazione che definisce l’evoluzione temporale

della frazione di popolazione di canali nello stato aperto, considerando un

effetto medio deterministico equivalente.

Come al solito, a questa conclusione si sarebbe potuto giungere, a partire

dalla legge di azione di massa, applicata al seguente schema:

(4.10) R T TR+ ↔ *

T continua ad essere la concentrazione di molecole di neurotrasmettitore

nello spazio intersinaptico, mentre [R] e [TR*] rappresentano le

concentrazioni dei recettori di membrana in forma libera e legata alle

molecole di neurotrasmettitore rispettivamente, corrispondenti a ciascun

canale proteico. Se definiamo r, la frazione di recettori in forma legata,

(4.11) rTR

R TR=

+[ *]

[ ] [ *]

possiamo ricavare la seguente equazione differenziale



(4.12) ( )drdt

r T t r= − ⋅ + ⋅ ⋅ −β α ( ) 1

Utilizzando una notazione omogenea rispetto al formalismo introdotto nel

primo capitolo, è possibile descrivere il contributo alla variazione del

potenziale di membrana, in forma di corrente ionica:

(4.13) ( )IN

g E Vsyn

ii

syn syn= ⋅ ⋅ −∑ η

max

La quantità ηi rappresenta la variabile di attivazione per il canale di tipo i-

esimo ed è definita dalla seguente relazione:

(4.14) η ∈ 0 1; η =

0

1

con P

con PC

A



mentre g syn rappresenta la conduttanza elettrica equivalente, quando tutti i

canali Nmax di questo tipo sono nello stato aperto. Nella 4.13 compare anche

la differenza fra il potenziale elettrico di membrana e un termine, che

formalmente rappresenta un potenziale di equilibrio: in realtà il valore

numerico di Esyn determina il tipo di sinapsi, eccitatoria o inibitoria, se

rispettivamente maggiore o minore del valore di riposo per V.

Infatti, una sinapsi di tipo eccitatorio induce attraverso la corrente definita

dalla 4.13, una depolarizzazione nella membrana postsinaptica (potenziale

eccitatorio postsinaptico - EPSP), e viceversa una sinapsi inibitoria induce

una iperpolarizzazione (potenziale inibitorio postsinaptico - IPSP).

Dal punto di vista formale, si dimostra che l’espressione 4.13 e la 4.9

coincidono, nelle ipotesi già esaminate, ed è evidente la relazione seguente:

(4.15) r EN

ii=

∑ η

max



4.3 Dinamica Deterministica per la Sinapsi Chimica

Il modello dedotto nel paragrafo precedente, e la sua equivalente descrizione

deterministica, costituiscono un’alternativa biologicamente più realistica

rispetto alle forme d’onda euristiche, proposte in letteratura per la

descrizione dei potenziali postsinaptici. Fra queste, un approccio classico di

cui si dà un breve cenno, è costituito dall’impiego dell’alpha function:

(4.16) CdV

dtF V I

postpost ext= − +( )

(4.17) I g t E Vext syn syn post= ⋅ −( ) ( )

(4.18)( )

g t gt t

u t tsyn

ok

ok

k

k

( ) ( )= ⋅−

⋅ ⋅ −∑ ττe

-t- t o

Nell’espressione precedente τ è la costante di tempo con cui la funzione

decade esponenzialmente, mentre u(t) è la funzione gradino ed è diversa da

zero soltanto per t > 0.



-5 0 5 100,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

to+τt

o

gsyn

(t)

t

Figura 4.1: Evoluzione temporale della conduttanza sinaptica, utilizzando

il modello di alpha-function, nel caso di singolo evento presinaptico.

Nel caso di una successione di eventi presinaptici, come indicato dalla 4.18,

l’evoluzione temporale della conduttanza sinaptica è la sovrapposizione

della forma d’onda esemplificata nella figura precedente, ciascuna centrata

in tok , istante del k-esimo potenziale d’azione presinaptico.

Questo approccio è basato soltanto su di una somiglianza approssimativa fra

andamento temporale e forma d’onda fisiologica misurata sperimentalmente.

Il difetto maggiore di questa descrizione è l'assenza di qualunque

meccanismo che possa tenere conto della saturazione della conduttanza

sinaptica, cioè del fatto che esiste una quantità limitata di risorse di

neurotrasmettitore nelle vescicole presinaptiche. Inoltre, dal punto di vista

computazionale, la simulazione al calcolatore per una sinapsi di questo tipo

comporta la memorizzazione di una coda per gli istanti tok, ed il calcolo di

una funzione esponenziale aggiuntiva per ogni nuovo evento sinaptico.

Il modello descritto nel paragrafo 4.2 permette invece di prevedere

implicitamente i fenomeni di sovrapposizione e di saturazione, senza inutile

dispendio di risorse di calcolo. La forma della conduttanza sinaptica è, in



questo caso, g t g r tsyn syn( ) ( )= ⋅ , e si ammette per ipotesi che l’arrivo di un

potenziale d’azione al terminale presinaptico abbia come conseguenza il

rilascio di molecole di neurotrasmettitore, secondo un’evoluzione temporale

descritta da una funzione di tipo genericamente impulsivo. L’equazione

differenziale 4.12 può allora essere integrata in forma chiusa.

D’altronde, esistono numerose evidenze sperimentali del fatto che la

concentrazione T(t) abbia un’evoluzione approssimativamente impulsiva,

come nella giunzione neuro-muscolare, o nella sinapsi eccitatoria centrale

(Destexhe et al., ’94). Per esempio, la durata della permanenza di

glutammato (neurotrasmettitore eccitatorio) nella zona intersinaptica è stata

stimata dell’ordine di 1 millisecondo alla concentrazione di 1mM circa

(Destexhe et al., ’94) (si veda la figura 4.2).

-5 0 5 100,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Tmax

to+t

1to

[T]

time

Figura 4.2: Variazione approssimata della concentrazione di

neurotrasmettitore nello spazio intersinaptico, indotta da un potenziale

d’azione presinaptico.

Se si assume, come in figura 4.2, che [T] = Tmax ( u( t - to ) - u ( t - to - t1 ) ),

allora è possibile ottenere la soluzione in forma chiusa, per r(t):



(4.19)

[ ]( )[ ]

r t

r t r e r t t t

t t

o

t t

o

t t

o

o

( )

( )

=− ⋅ + < <

⋅ >

∞

−−

∞

⋅ − −

τ

β τ

r

r(t ) e1-

1

1

dove r e∞ = ⋅⋅ +

=⋅ +

αα β

τα β

T

T Tmax

maxr

max

1.

In questa equazione to è l'istante in cui si verifica l'evento sinaptico,

corrispondente al rilascio di neurotrasmettitore in concentrazione istantanea

pari a Tmax, fino all'istante t1.

Una caratteristica importante delle descrizioni di interconnessione chimica

esaminate in questo paragrafo, è l'assunzione esplicita (alpha function) o

implicita (schema cinetico chimico) della sovrapposizione lineare degli

effetti, in risposta ad un treno di potenziali d’azione presinaptici. Questo

assunto è ovviamente solo una approssimazione, dato che l'equazione 4.12

ha in generale dipendenza non lineare dalle variazioni di T(t), e la sua

validità inizia a venire meno, quando l'intervallo fra potenziali d'azione

successivi è inferiore alla durata della funzione impulsiva che descrive T.

Questa situazione si verifica a regimi di attività elettrica presinaptica

relativamente elevata. La sovrapposizione lineare degli effetti tende

artificialmente a sostenere tali regimi di attività, mentre la trattazione non

lineare è efficiente nel frenare questa tendenza (Chapeau-Blondeau et al.,

’95). Data comunque la presenza di un limite superiore alla frequenza di

attività dei modelli di neurone, esaminati nel capitolo 2, si considera

accettabile l'approssimazione di sovrapposizione lineare degli effetti.

Si conclude questo paragrafo indicando i valori tipici per i parametri delle

equazioni, impiegati nelle simulazioni riportate nel prosieguo di questo

capitolo (tabella 4.1).



Tmax = 1 mM (t1 - to ) = 1 msec

αβ

==

− −

−

2

1

1 1

1

m mM

m

sec

secsinapsi veloce

αβ

==

− −

−

05

01

1 1

1

. sec

. sec

m mM

msinapsi lenta

Esyn = Vrest + 70 mV (eccitatoria) Esyn = Vrest - 10 mV (inibitoria)

Tabella 4.1: Parametri numerici impiegati nelle simulazioni del modello di

sinapsi chimica.

Il potenziale d’azione presinaptico è stato considerato un processo puntuale,

corrispondente all'attraversamento di una soglia (0 mV nei modelli biofisici,

Vth nell’integra-e-spara) da parte del potenziale di membrana del neurone

presinaptico. Nelle figure 4.3 e 4.4 è riportato l’andamento temporale di

alcune grandezze caratteristiche, nel caso di sinapsi eccitatoria veloce.

110 120 130 140 150 160 170 180

-40

-20

0

20 V

(mV)

time (msec)

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00 r

Figura 4.3: Andamento temporale della frazione di recettori legati a

molecole di neurotrasmettitore, a confronto con l’attività presinaptica.



1230 1240 1250 1260 1270 1280 1290

-40

-20

0

20

Vpre

Vpost

(mV)

time (msec)

Figura 4.4: Potenziale eccitatorio postsinaptico (EPSP), a confronto con

l’attività presinaptica.

Nei paragrafi successivi, sono riportati i risultati della simulazione al

calcolatore dell’evoluzione dell’attività elettrica di una coppia di neuroni,

connessi reciprocamente attraverso sinapsi chimiche e elettriche. Per la

descrizione dei due potenziali di membrana, sono stati impiegati il modello

deterministico di Morris e Lecar ed il modello ridotto integra-e-spara.

Ad esempio, nel caso di connessione chimica, la forma delle correnti che

figurano nelle equazioni del potenziale di membrana per i due neuroni sono

rispettivamente:

(4.20) I g r t E Vsyn syn syn1 1 1= ⋅ ⋅ −( ) ( )

(4.21) I g r t E Vsyn syn syn2 2 2= ⋅ ⋅ −( ) ( )

Nel caso della sinapsi elettrica, viene assunta l’esistenza di una conduttanza

elettrica fra i due circuiti equivalenti che descrivono le membrane

plasmatiche a contatto, e la forma della corrente è la seguente:



(4.22) Iext = ( )g V Vgap pre post⋅ −

dove Vpre e Vpost rappresentano rispettivamente i potenziali di membrana dei

due neuroni connessi, e g gap il valore della conduttanza elettrica di

connessione. Dalla 4.22 quindi, si deduce immediatamente lo schema di

connessione

(4.23) Isyn 1 = ( )g V Vgap ⋅ −2 1

(4.24) Isyn 2 = ( )g V Vgap ⋅ −1 2

4.4 Il Fenomeno della Sincronizzazione dell’Attività

Si consideri una coppia di neuroni identici, privi di regolazione dinamica, e

soggetti alla stessa stimolazione in corrente costante Iext 1 = Iext 2 = 13

µA/cm2. Si fa in modo che le oscillazioni dei due potenziali d’azione non

abbiano fase relativa nulla, imponendo valori diversi per le condizioni

iniziali dei potenziali, o alternativamente tenendo fissate le variabili di stato

di uno dei due neuroni, per un intervallo temporale inferiore al periodo di

oscillazione: nelle simulazioni riportate si è scelto di bloccare V2 e n2 al

valore iniziale, per i primi 130msec della simulazione.

In figura 4.5 è tracciato l’andamento temporale dei potenziali di membrana

V1 e V2 dei due neuroni, utilizzando una sinapsi chimica (4.20 - 4.21)

simmetrica di tipo veloce, e il modello di Morris e Lecar. La connessione

diventa attiva dall’istante t = 1 secondo in poi, e come si vede dal grafico

inizialmente le oscillazioni non sono sincronizzate.



800 900 1000 1100 1200 1300-60

-40

-20

0

20

40

V1 V

2

(mV)

time (msec)

Figura 4.5: Sincronizzazione dell’attività elettrica di una coppia di neuroni

soggetti alla stessa stimolazione in corrente utilizzando gsyn = 0,3mS/cm2.

La connessione è attiva dall’istante indicato dalla freccia in poi.

Si verifica che utilizzando qualunque valore positivo non nullo di gsyn , si

ottiene una sincronizzazione dell’attività elettrica in tempo più o meno

lungo. Se i due neuroni vengono disaccoppiati, ad istanti successivi al

raggiungimento della sincronizzazione, questa permane indefinitamente.

La situazione indicata nelle figure 4.6 e 4.7 corrisponde alla connessione,

nelle stesse condizioni di prima, di due neuroni identici ma soggetti ad una

differente corrente di stimolazione: matematicamente si tratta

dell'accoppiamento di due oscillatori dotati di frequenze libere diverse

(Mirollo et al., ’90).



800 850 900 950 1000-60

-40

-20

0

20

40(a) V

1 V

2

(mV)

time (msec)800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200 1250 1300

-60

-40

-20

0

20

40(b) V

1 V

2

(mV)

time (msec)

Figura 4.6: Sincronizzazione dell’attività elettrica di due neuroni, nelle

stesse condizioni della figura 4.5, soggetti a correnti di stimolazione

differente (Iext1=13µA/cm2, Iext2 = 10µA/cm2): (a) neuroni disaccoppiati, (b)

neuroni connessi dall’istante indicato dalla freccia in poi.

Si assiste ad una sincronizzazione delle oscillazioni del neurone più lento

alla frequenza del più veloce, anche se tale sincronizzazione viene

immediatamente perduta, qualora si sospenda l'accoppiamento (figura 4.7).

1950 2000 2050 2100 2150 2200 2250 2300-60

-40

-20

0

20

40

V1 V

2

(mV)

time (msec)

Figura 4.7: Perdita della sincronizzazione dell’attività elettrica, dopo la

disconnessione dei neuroni, nelle stesse condizioni di figura 4.6.



Di seguito sono riportati i circuiti equivalenti e l’accoppiamento impiegato,

nel caso di sinapsi chimica (figura 4.8) e elettrica (figure 4.9).

Figura 4.8: Circuito equivalente di membrana eccitabile e modello

equivalente della connessione attraverso sinapsi chimica.

g gap

Figura 4.9: Circuito equivalente di membrana eccitabile e modello

equivalente della connessione attraverso sinapsi elettrica.

Le stesse simulazioni sono state ripetute anche nel caso di connessione

elettrica, verificando gli stessi comportamenti di sincronizzazione e di

comportamento successivo alla sospensione della interconnessione.



800 900 1000 1100 1200 1300-60

-40

-20

0

20

40

V1 V

2

(mV)

time (msec)

Figura 4.10: Sincronizzazione dell’attività elettrica di una coppia di

neuroni soggetti alla stessa stimolazione in corrente utilizzando

g gap =0.3mS/cm2. La connessione è attiva dall’istante indicato dalla freccia

in poi.

800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200 1250 1300-60

-40

-20

0

20

40(a) V

1 V

2

(mV)

time (msec)1950 2000 2050 2100 2150 2200 2250 2300

-60

-40

-20

0

20

40

(b) V1 V

2

(mV)

time (msec)

Figura 4.11: (a) Sincronizzazione dell’attività elettrica di due neuroni, nelle

stesse condizioni della figura 4.10, soggetti a correnti di stimolazione

differente (Iext1 = 13µA/cm2, Iext2 = 10µA/cm2); (b) perdita della

sincronizzazione, come per la 4.7.



4.5 Simulazione di Reti Estese

L’utilizzo del modello integra-e-spara, come si è detto, consente una

notevole accelerazione dei tempi di simulazione, così da permettere l’analisi

di vasti insiemi di unità interconnesse. Una delle caratteristiche più

significative di questo approccio, è la possibilità di continuare ad impiegare

il modello di sinapsi chimica descritto in precedenza, al posto degli

irrealistici coefficienti moltiplicativi, comuni nella teoria formale delle reti

neurali (Hopfield, ’82; Hopfield et al., ‘95). Il modello di sinapsi elettrica

non è invece impiegabile, per il fatto che l’andamento del potenziale di

membrana nella descrizione fornita dal modello integra-e-spara, giustifica

solo il comportamento sotto-soglia, mentre lascia privo di descrizione il

fenomeno del potenziale d’azione. Per questa ragione, l’intervallo di

variabilità di V(t) è diverso da quello assunto nella descrizione biofisica

completa, e l’interazione attraverso una sinapsi di tipo elettrico non sarebbe

equivalente nei due casi.

E’ stato possibile simulare l’evoluzione temporale di 100 neuroni identici,

soggetti alla stessa stimolazione di corrente pari a 13µA/cm2, descritti

dall’equazione dell’integra-e-spara (2.16). Tali unità sono state connesse

secondo uno schema di interconnessione totale, ovvero ciascun neurone è

connesso a tutti gli altri, per mezzo di una sinapsi eccitatoria uguale per tutti.

Nella figura seguente è stato riportato, al variare del tempo, l’istante

corrispondente per ciascuna unità ad un potenziale d’azione: un raster-scan.

Tale rappresentazione, molto utilizzata per la rappresentazione di

registrazioni elettrofisiologiche multi-sito, consente di contrassegnare per

ogni neurone, l’istante temporale in cui si è avuto attraversamento della

soglia di eccitabilità.



200 220 240 260 280 300

0

20

40

60

80

100

Indi

ce u

nita

’

time (msec)

Figura 4.12: Raster-scan dell’attività elettrica coordinata di 100 unità,dopo la disconnessione indicata dalla freccia.

Nella figura 4.12, la freccia indica l’istante di disconnessione totale diciascun neurone da tutti gli altri, ed il mantenimento della sincronizzazione.

Questa si verifica per ogni valore positivo non nullo del parametro gsyn , e in

condizione di pari stimolazione in corrente costante, di ciascuna unità (daparagonare alle condizioni di figura 4.5).

80 90 100 110 120

0

20

40

60

80

100

(a)

Indi

ce u

nita

’

time (msec)180 190 200 210 220

0

20

40

60

80

100

(b)

Indi

ce u

nita

’

time (msec)

Figura 4.13: Raster-scan dell’attività elettrica di 100 unità, in condizione distimolazione costante diversa per ciascuna unità: (a) sincronizzazione

dell’attività a seguito della connessione, indicata dalla freccia, e (b) perditadella sincronizzazione a seguito della disconnessione, indicata dalla

freccia.

Viceversa nella 4.13, è rappresentata la sincronizzazione e la successiva

perdita di sincronizzazione nelle stesse ipotesi del paragrafo precedente,



utilizzando valori differenti nella stimolazione in corrente costante dei

neuroni (da confrontare con le figure 4.6 - 4.7). Per la precisione, ciascuna

delle 100 unità è stata stimolata con un valore costante di corrente, scelto da

una distribuzione normale di media 13µA/cm2, e deviazione standard

2µA/cm2.

4.6 Sintesi Proteica e Sinapsi Eccitatoria

Se adesso viene preso in considerazione il modello regolato, descritto dalle

equazioni 3.22 - 3.26, impiegando i parametri usuali già adottati nelle

simulazioni precedenti, può essere studiato l’effetto della regolazione

dinamica sulla evoluzione temporale delle grandezze elettriche di due

neuroni connessi, nelle stesse ipotesi precedenti.

E' stato studiato il comportamento di una coppia di neuroni regolati

dinamicamente, interconnessi per mezzo di sinapsi chimica veloce, come nei

paragrafi precedenti. Precedentemente (si veda il capitolo 3) si è dimostrato

come le caratteristiche intrinseche del modello regolato possano variare,

modificando le condizioni esterne o la stimolazione in corrente. Secondo

queste considerazioni, è ragionevole considerare nella stessa tipologia anche

le interazioni di tipo sinaptico. Qualitativamente, è perciò possibile

anticipare l'esistenza di fenomeni di alterazione delle caratteristiche

intrinseche a seguito dell'accoppiamento di un neurone con un altro.

Se la sincronizzazione delle oscillazioni del potenziale di membrana di una

coppia di neuroni non regolati, dimostra l'esistenza di un’influenza

reciproca, nel caso regolato esisterà certamente una corrispondente

alterazione nella concentrazione del calcio intracellulare e una conseguente

spinta alla variazione dei parametri intrinseci per riportare ai valori ideali

l’attività del neurone.



0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

0,70

0,71

0,72

0,73

0,74

0,75

0,76

gCa 1

gCa 2

(mS/

cm2 )

time (min)

Figura 4.14: Evoluzione temporale delle conduttanze massime relative alla

corrente calcio di due neuroni regolati, in corrispondenza di una

connessione reciproca eccitatoria chimica, come in figura 4.5: le frecce

indicano l’intervallo temporale in cui la connessione è attiva.

Nella figura 4.14, è possibile osservare l'effetto della interconnessione,

quando i due neuroni siano caratterizzati dai meccanismi di regolazione

dinamica, utilizzando τ = 20 secondi. Le due frecce delimitano l'intervallo

temporale durante il quale la connessione è attiva e dimostrano chiaramente

l'esistenza di una modificazione dei valori delle conduttanze massime, in

risposta alla connessione. Tale connessione viene stabilita a transitori di

regolazione proteica esauriti, impiegando due neuroni soggetti alla stessa

stimolazione in corrente e non inizialmente sincronizzati (in una delle due

unità vengono tenute fissate tutte le variabili di stato per i primi 130

millisecondi).

Oltre alla sincronizzazione dell’attività elettrica, nelle simulazioni si è

osservato un fenomeno nuovo e interessante: un differenziamento cellulare

temporaneo indotto dalla connessione. Se la durata della connessione non è

sufficientemente lunga, una volta disaccoppiati, i potenziali di membrana

saranno caratterizzati da evoluzione temporale transitoriamente differente,



con conseguente perdita del sincronismo. Questa situazione è ben

individuata in figura 4.14a, dove i valori delle conduttanze massime di

membrana relative alla corrente ionica calcio, seppure identici prima della

connessione, sono soggetti ad un diverso andamento temporale transitorio,

dell’ordine dei 10 secondi.

1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,00,7518

0,7520

0,7522

0,7524

0,7526

0,7528

(a)

gCa 1

gCa 2

(mS/

cm2 )

time (min)1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

0,7518

0,7520

0,7522

0,7524

0,7526

0,7528

0,7530

(b)

gCa 1

gCa 2

(mS/

cm2 )

time (min)

Figura 4.15: (a) Differenziamento transitorio delle proprietà elettriche

intrinseche, a seguito della connessione chimica; (b) l’effetto si esaurisce

dopo un transitorio a costante di tempo τ.

Per il solo fatto che le oscillazioni del potenziale di membrana di uno dei

due neuroni sono inizialmente fuori fase rispetto l’altro, si assiste ad un

diverso comportamento delle proprietà di permeabilità agli ioni Ca2+, in

conseguenza dell’accoppiamento. Tale differenziamento ha durata limitata

nel tempo, dell’ordine di una frazione della costante di tempo τ che regola il

processo di regolazione dinamica. Con il passare del tempo, i due neuroni

tendono ad assumere nuovamente lo stesso valore per le conduttanze

massime e una volta disaccoppiati, ripristinano le loro caratteristiche

originarie nello stesso modo, mantenendo la sincronizzazione.

Come si è già notato, nel caso in cui il disaccoppiamento occorresse prima

dell’esaurimento totale del transitorio indicato in fig. 4.15a, sarebbe

possibile che ciascun neurone ripristinasse le proprie caratteristiche

elettriche, muovendosi su di una traiettoria differente nel piano delle fasi e

perdendo così la sincronizzazione rispetto l’altro. In altri termini, se le due



unità presentano appena disconnesse, valori diversi per le conduttanze

massime di membrana, a parità di corrente di stimolazione esterna anche la

frequenza di oscillazione del potenziale sarà differente, e per definizione, il

sincronismo verrà perduto.

Anche nel caso di interconnessione attraverso una sinapsi elettrica si verifica

un fenomeno simile, per il quale valgono le medesime considerazioni.

1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,10,7526

0,7527

0,7528

0,7529

0,7530 (a) gCa 1

gCa 2

(mS/

cm2 )

time (min)

2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,00,7524

0,7525

0,7526

0,7527

0,7528

0,7529

0,7530

0,7531

0,7532

(b) gCa 1

gCa 2

(mS/

cm2 )

time (min)

Figura 4.16: (a) Differenziamento transitorio delle proprietà elettriche

intrinseche, nel caso di sinapsi elettrica; (b) l’effetto si esaurisce dopo un

transitorio a costante di tempo τ.

Per concludere, si è osservato che una volta che si sia stabilita una

connessione fra due neuroni regolati, a regime, ovvero nei quali il tasso di

sintesi proteica eguaglia il tasso di rimozione dei canali proteici dalla

membrana, si verifica una variazione transitoria delle caratteristiche

elettriche, insieme al fenomeno della sincronizzazione. Questi effetti

possono permanere anche diversi minuti, regolando opportunamente le

costanti di tempo, in vista di una descrizione più realistica di fenomeni

biochimici che avvengono su scale temporali notevolmente più lente di

quelle utilizzate nelle simulazioni.



Sotto l’effetto della connessione reciproca, una volta esauriti i transitori,

entrambi i neuroni riporteranno al nuovo valore di regime, comune ad

entrambi, i valori delle proprie conduttanze massime di membrana.

Qualora disaccoppiati in questa fase, essi mostrerebbero il medesimo

comportamento e il mantenimento della sincronizzazione, riportando ai

valori originali le proprie caratteristiche intrinseche.

Se al contrario, il disaccoppiamento occorresse prima che sia stato raggiunto

il nuovo regime, i due neuroni potrebbero manifestare un’attività differente,

pur essendo descritti dal medesimo sistema di equazioni differenziali e

soggetti alle stesse stimolazioni esterne. Con il passare del tempo, anche

questo transitorio si esaurisce e i due neuroni raggiungono nuovamente lo

stesso regime originale, ritornando identici seppure non più sincronizzati.

4.7 Sintesi Proteica nel Modello Integra-e-Spara

Ancora limitatamente al caso della sola sinapsi chimica, vengono riportati i

raster-scan dell’attività elettrica di 100 neuroni identici interconnessi

totalmente, descritti dal modello integra-e-spara regolato dinamicamente.

0 200 400 600 800

0

20

40

60

80

100

(a)

Indi

ce U

nita

’

time (msec)

2000 2200 2400 2600 2800 3000

0

20

40

60

80

100(b)

Indi

ce U

nita

’

time (msec)

Figura 4.17: (a) Andamento temporale di rilassamento, in assenza di

accoppiamento chimico; (b) evoluzione temporale dell’attività della rete

una volta interrotta la connessione.



0 250 500 750 1000

0

20

40

60

80

100

(a)

Indi

ce U

nita

’

time (msec)

2000 2250 2500 2750 3000

0

20

40

60

80

100

(b)

Indi

ce U

nita

’

time (msec)

Figura 4.18: Come in figura 4.17, ma ciascuna delle 100 unità è soggetta

ad una corrente di stimolazione differente

Le figure 4.17 e 4.18 illustrano in modo estremamente evidente la

differenziazione dei neuroni della rete. In entrambi i casi, una volta

raggiunto il regime e attivata la connessione totale per le 100 unità della

rete, si assiste al fenomeno della sincronizzazione dell’attività elettrica,

indotta dall’incremento della corrente totale che raggiunge ciascun neurone

(correnti sinaptiche e corrente esterna costante). I parametri del modello

variano, modificando le proprietà intrinseche della membrana di ciascuna

unità, a tal punto da produrre un periodo silente, conseguenza della

disconnessione. Dal momento che l’incremento dell’attività elettrica ha

imposto alti livelli di concentrazione intracellulare di calcio, il meccanismo

di rimozione di canali proteici è diventato preponderante sul tasso di sintesi

proteica. Questo ha fatto decrescere notevolmente la quantità di canali

proteici presenti su ciascuna membrana plasmatica, in modo da mantenere

un’attività elettrica stabile. Ma a seguito della disconnessione, diminuito

drasticamente il termine di corrente complessiva, le proprietà intrinseche di

ciascuna unità sono cambiate rispetto all’inizio. Al passare del tempo, si

ristabilisce la solita attività di regime, in un successivo assestamento dei

fenomeni di sintesi proteica e regolazione dinamica.



4.8 Integratore o Rivelatore di Coincidenze ?

A conclusione di questo capitolo, si vogliono prendere in considerazione

alcune ipotesi su quello che potrebbe essere il ruolo funzionale di ciascuna

unità in una rete nervosa. E’ opinione comune che il comportamento di un

singolo neurone sia assimilabile a quello di un dispositivo di somma o

integrazione dei potenziali sinaptici ad esso afferenti. D’altronde, la struttura

del circuito elettrico equivalente (si vedano le figure 1.2, 4.8 e 4.9), insieme

con le proprietà formali dedotte nel capitolo 2, rendono ragione di una

dinamica integrativa (paragrafo 2.7, equazione 2.29) riconducibile a quella

di un filtraggio passa-basso. Dal punto di vista sperimentale poi, sono

innumerevoli le conferme per questa interpretazione, specie nel caso dei

segnali sensoriali afferenti, a livello di midollo spinale.

Una recente proposta suggerisce invece, che i neuroni corticali operino

essenzialmente come rilevatori di coincidenze temporali degli ingressi

sinaptici (Konig et al., ’96). Tale concetto è motivato dall’assunzione

fondamentale che l’attività correlata delle unità di una popolazione di

cellule nervose, sia di grande importanza per l’elaborazione

dell’informazione. Inoltre, la struttura del codice neuronale, ovvero il modo

in cui l’informazione afferente e efferente viene codificata in un treno di

potenziali d’azione, costituisce un tema estremamente dibattuto che in

questa prospettiva potrebbe tanto essere ricondotto alla frequenza istantanea

di oscillazione del potenziale, quanto alla temporizzazione precisa di

occorrenza di un potenziale d’azione.

Per poter analizzare tali comportamenti, è stato impiegato il modello

integra-e-spara non regolato, e il modello di sinapsi chimica (paragrafo 4.3):

nelle simulazioni riportate di seguito, si è studiato l’andamento temporale

del potenziale di membrana di un singolo neurone, raggiunto da 10 sinapsi

chimiche eccitatorie, sollecitate in modo casuale. E’ stato però

indispensabile utilizzare un accorgimento matematico, per la generazione di

una sollecitazione, o bombardamento sinaptico, temporalmente strutturato.



Dei 10 ingressi sinaptici, quello corrispondente all’indice 0 è stato

ripetutamente attivato secondo il processo impulsivo poissoniano (Papoulis,

’91):

(4.25) ( )x t t to kk

( ) = −∑δ

dove gli istanti t kk = 1 2 3, , , ... sono distribuiti secondo una densità di

distribuzione di probabilità poissoniana. Per la generazione degli altri 9

segnali di stimolazione, è stata formulata la seguente definzione:

(4.26) ( ) x t t t ii jj

( ) , , ...,= − ∈∑δ 1 2 9 con tj = tk con probabilità

Psync

In altri termini, la probabilità che ad un certo istante temporale, il generico

ingresso xi con i = 1..9 venga attivato, essendo attivato l’ingresso xo, è pari

ad una funzione crescente, di un parametro deterministico.

(4.27) Pr( ) ( )

( ) ( ) ( )x t

x t P sync sync pi j

o jsync

==

= = + − ⋅δ

δ0

0 1

dove p è la probabilità di attivazione del segnale xo, entro un intervallo

temporale definito. Da questo segue che, nei casi limite in cui la variabile

deterministica sync sia pari a 0 oppure a 1, vale

(4.28) P

p sync

syncsync =

=

=

0

1 1

Segue dalla definizione, anche la seguente proprietà



(4.29) Pr( ) ( )

( )x t

x t pi j

o j

==

=δ 0

0

Resta quindi dimostrato che per sync crescente, il segnale generico tenderà

ad essere attivo nel medesimo istante temporale di attivazione del segnale

xo, mentre ne sarà indipendente, quando non attivo.

0 200 400 600 800 1000

0

2

4

6

8

10 ν = 5 Hz

sync = 1

Ingr

esso

Sin

aptic

o

tempo (msec)

Figura 4.19: Generazione di un processo stocastico poissoniano impulsivo

vettoriale, completamente sincronizzato.

In figura 4.9, è stata riportata l’occorrenza di attivazione dei 10 ingressi

sinaptici, nel caso di sincronizzazione deterministica, ovvero sync pari a 1.

Altri esempi, per valori differenti di sync, sono riportati nella figura 4.20.



0 200 400 600 800 1000

0

2

4

6

8

10

sync = 0

Ingr

esso

Sin

aptic

o

0 200 400 600 800 1000

0

2

4

6

8

10

sync = 0.2

0 200 400 600 800 1000

0

2

4

6

8

10

sync = 0.5In

gres

so S

inap

tico

tempo (msec)0 200 400 600 800 1000

0

2

4

6

8

10

sync = 0.8

tempo (msec)

Figura 4.20: A rigore, solo la traccia corrispondente a xo è un processo

poissoniano impulsivo di frequenza media pari a 5Hz.

Il criterio che permette di distinguere fra il comportamento di tipo

integrativo, e la rilevazione delle coincidenze temporali, è la relazione fra

l’intervallo di tempo in cui i contributi sinaptici vengono integrati e l’inter-

spike interval medio(paragrafo 2.10). Se l’intervallo di integrazione è breve,

a confronto con l’inter-spike interval medio, prevale il comportamento di

rilevazione delle coincidenze temporali, altrimenti le caratteristiche

integrative. In altre parole, è soltanto la costante di tempo equivalente della

membrana cellulare a definire le proprietà funzionali della singola cellula.

Questa affermazione è stata verificata utilizzando per ciascuno degli

ingressi, un tipo di sinapsi eccitatoria veloce e senza ritardi di propagazione,

e per la descrizione del potenziale di membrana il modello integra-e-spara

non regolato caratterizzato da una costante di tempo pari a 10 millisecondi:

la scelta dei valori di capacità C e conduttanza massima g , tale che

C / g = 10 msec.



0 200 400 600 800 1000

-80

-60

-40

(mV)

tempo (msec)

0

10

20

sync = 1

Figura 4.21: Quando g syn= 0.03 mS/cm2 sono necessari 10 ingressi

coincidenti temporalmente per fare oltrepassare la soglia di eccitabilità

(basterebbero solo 5 coincidenze temporali,

per g syn= 0.06 mS/cm2 ).

Nella figura precedente è stato esemplificato il comportamento di un

neurone, come rilevatore di almeno 10 coincidenze temporali

nell’attivazione degli ingressi sinaptici, per la particolare scelta del valore di

g syn.



0 50 100 150 200 250 300 350 400

-60

-50

-40

τ = 1 sec τ = 0.01 sec

(mV)

tempo (msec)

Figura 4.22: Confronto fra l’evoluzione temporale del potenziale di

membrana, al variare della costante di tempo.

Nelle figure 4.23 - 4.24, si riportano le simulazioni relative al caso di

rilevazione di coincidenze per C / g = 10 msec, e di integrazione per C / g

= 1 sec, rispettivamente. In entrambi i casi si è scelto g syn= 0.06 mS/cm2, e

sync = 0.2.



0 200 400 600 800 1000-80

-60

-40 sync = 0.2

τ = 10msec

(mV)

tempo (msec)

0

10

20

30

40

Figura 4.23: Rilevazione di almeno 5 coincidenze temporali.

0 200 400 600 800 1000-80

-60

-40

(mV)

tempo (msec)

0

10

20

30

40sync = 0.2

τ = 1 sec

Figura 4.24: Comportamento integrativo.

Concludendo questo capitolo, anche alla luce dell’evidenza di un

differenziamento delle proprietà elettriche intrinseche esaminato nel

paragrafo 4.7, sembra probabile che il vero ruolo di un neurone corticale sia



allo stesso tempo quello di integratore e di rilevatore di coincidenze. Questa

ipotesi potrebbe essere ragionevole sia dal punto di vista dell’embriogenesi,

dove una modalità di funzionamento piuttosto che un’altra potrebbe

contribuire meglio alla iniziale organizzazione della rete ma non al suo

addestramento, sia dal punto di vista ontogenetico: in condizioni diverse di

stimolazione sensoriale o di attivazione di vaste aree corticali, potrebbe

risultare assai diverso l’impiego di una codifica in coincidenze temporali, al

posto di una codifica in frequenza istantanea.

La regolazione dinamica, potrebbe quindi costituire un meccanismo

intrinseco dipendente dall’attività, di modifica delle proprietà funzionali di

una rete complessa, variando in tempo reale le caratteristiche elettriche di

ciascuna unità.



Capitolo 5

Crescita Cellulare

e Auto-organizzazione

5.1 Sviluppo del Sistema Nervoso

La maggior parte delle cellule nervose di un essere vivente si organizza in

reti neuronali funzionalizzate nel corso dell’embriogenesi. Fra gli

innumerevoli fattori che influenzano la struttura definitiva, è ormai chiaro

che l’attività elettrica gioca un ruolo predominante (Nelson et al., ’89; Fields

et al., ’92). Come è già stato detto a proposito dell’attività spontanea, molti

meccanismi che determinano la connettività sinaptica, come la crescita

neuritica, il comportamento del cono di crescita, la morte cellulare, la

sinaptogenesi e le variazioni dell’efficacia sinaptica sono processi modulati

dall’attività elettrica. Questa per esempio, è in grado di arrestare la crescita

delle arborizzazioni neuritiche, e di generare delle retrazioni o delle



alterazioni morfologiche nel cono di crescita (Filelds et al., ’92; van Ooyen

et al., ’94).

Il risultato di questi processi è una reciproca influenza fra lo sviluppo della

struttura, della funzione e della connettività e l’attività della rete stessa,

caratteristica dei sistemi auto-organizzanti. Un dato insieme di neuroni può

generare un pattern di attività coordinata in grado di modificare

l’organizzazione della rete, con conseguente evoluzione dell’attività elettrica

stessa, e ulteriore modifica strutturale (van Ooyen, ’94). Nella fase di

sviluppo quindi, una rete nervosa è un sistema dinamico in cui la struttura, il

numero delle unità che la compongono e le proprie caratteristiche funzionali

possono variare nel tempo, in parte sotto il controllo dell’attività del sistema

stesso. Inoltre, la presenza di tali feedback potrebbe avere implicazioni

significative non soltanto per l’emergenza dell’organizzazione e della

funzione di una rete, ma anche per la continuità e la plasticità di

funzionamento nell’organismo adulto, dal momento che molti dei fenomeni

citati restano attivi anche nei sistemi maturi.

In questo capitolo, verrà preso in considerazione l’aspetto di auto-

organizzazione della connettività in una rete bidimensionale di cellule

nervose, connesso all’effetto dell’attività elettrica, per il quale esiste una

vasta evidenza sperimentale (Barinaga, ’95; van Ooyen et al., ’95). L’attività

elettrica di un neurone in coltura è in grado di arrestare reversibilmente

l’espansione delle arborizzazioni neuritiche, attraverso l’intermediazione

della concentrazione intracellulare di ioni calcio (si veda anche il capitolo

3): un livello elevato di attività e di conseguenza in tale concentrazione,

produce nella maggioranza dei casi una retrazione dei neuriti; viceversa un

basso livello di ioni Ca2+ induce una crescita ulteriore. Il meccanismo

descritto lega fra loro l’attività elettrica, la concentrazione intracellulare di

calcio e la morfologia del citoscheletro, e probabilmente ha caratteristiche

di universalità, per cellule di vario tipo, come un numero sempre maggiore

di esperimenti sembra dimostrare.



5.2 Il Modello di Crescita

Si considera un insieme di N neuroni, ciascuno dei quali collocato su di una

superficie bidimensionale. Ad ogni unità, si associano convenzionalmente le

coordinate (Xi ; Yi) di un punto nel piano, rispetto ad un sistema di

riferimento cartesiano. L’evoluzione temporale di queste cellule nervose, è

descritta da 3 variabili di stato:

• Vi il potenziale elettrico di membrana

• [Ca]IN i la concentrazione intracellulare di ioni Ca2+

• Ri il raggio del campo neuritico

Per la dinamica del potenziale di membrana viene utilizzato per semplicità,

il modello integra-e-spara con refrattarietà, privo di regolazione dinamica.

L’equazione fondamentale per tale modello è riassunta di seguito.

(5.1)

( )

[ ]

CdV

dtg V V I n t per V t V

V V t t se V t V

ii

i o i ext i i i th

i o o o ref i o th

⋅ = ⋅ − + + <

= ∈ + =

+ + −

( ) ( )

( ) ; ( )ξ ξ τ

Per semplicità si suppone che tutte le unità della rete siano caratterizzate

dallo stesso insieme di parametri elettrici intrinseci, ovvero si impone che

(Amit et al., ’96; Destexhe, ‘97)

∀ ∈ −i N0 1 2 1, , ,...,

C C F cmi = = 1 2µ / g g mS cmi = = 01 2. /

V mVo = −65 V mVth = −50

τ ref m= 2 sec



Il tipo di connessione fra due unità qualsiasi, è realizzato per mezzo di una

sinapsi chimica veloce, per la quale viene impiegato il modello cinetico

descritto nel capitolo precedente (equazioni 4.17, 4.19), scegliendo i

parametri indicati nella tabella 4.1. La forma della corrente sinaptica totale

per il neurone i-esimo, è data allora da

(5.2) ( )I g i, j r t E V g i, i mS cmext i syn j syn ij

N

syn= ⋅ ⋅ − ==

−

∑ ( ) ( ) ( ) /0

120

Si suppone che tutte le sinapsi siano di tipo eccitatorio, anche in base al

fatto che nelle fasi iniziali dello sviluppo, questa è la forma predominante di

attività sinaptica. Viene così fissato il valore del potenziale di equilibrio

sinaptico, equivalente a

Esyn = Vo + 70 mV = 5 mV

Nell’equazione 5.2, per il neurone i-esimo la sommatoria è estesa a tutte le

unità della rete, ed è stata resa esplicita la dipendenza dalla coppia di indici i

e j, per la conduttanza sinaptica massima. Quando tale conduttanza è nulla, i

due neuroni corrispondenti non sono interconnessi.

Nella 5.1, viene incluso anche un termine di stimolazione ni(t) di tipo

stocastico, in modo da descrivere l’attività elettrica spontanea,

precedentemente esaminata al termine del capitolo 2. Per ogni t, ni(t) è una

variabile aleatoria distribuita secondo una densità di distribuzione di

probabilità normale, ed è caratterizzata dalle seguenti proprietà statistiche:

∀ ∈ −i N0 1 2 1, , ,...,

(5.3) E n t E n t n ti i i( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ + = ⋅0 2τ σ δ τ



Rispetto all’equazione 2.35, si osserva la mancanza di una dipendenza

esplicita dall’estensione S della superficie della membrana, che in una

descrizione dei fenomeni di crescita cellulare, sembrerebbe assai critica.

A rigore, la quantità S introdotta nel capitolo 2 rappresenta la superficie di

membrana cellulare caratterizzata da una stessa densità di canali proteici,

intercalati al doppio strato fosfolipidico. In prima approssimazione, si può

assumere che l’area del soma cellulare non sia soggetta ad alcuna variazione

significativa: nel caso di una cellula sferica, ad esempio di raggio 5µm, tale

estensione vale approssimativamente 300 µm2. Durante l’embriogenesi, ciò

che risente maggiormente dei fenomeni di crescita cellulare è l’estensione

dei processi neuritici: assone e dendriti. Per questi ultimi, non è

generalmente prevista alcuna proprietà di eccitabilità, essendo strutture

essenzialmente passive. L’assone invece ha proprietà eccitabili, ma le zone

della sua membrana dotate di tali caratteristiche corrispondono ad aree

(nodi di Ranvier) di piccola dimensione, in cui sono presenti canali ionici

sensibili alle variazioni del potenziale elettrico.

Con queste considerazioni, si vuole giustificare l’ipotesi che non vi sia un

sostanziale cambiamento nell’attività elettrica endogena al crescere del

campo neuritico associato alla cellula, essendo trascurabile la variazione

dell’estensione della parte di membrana cellulare in cui sono presenti i

canali proteici.

Si impone quindi il livello di attività spontanea ad un valore costante

rispetto S, e in accordo con l’ordine di grandezza riportato in letteratura

(Hubel, ’89; Amit et al., ’96), per esempio nel caso delle cellule della

corteccia visiva di alcuni mammiferi, si sceglie 4 Hz per la frequenza media.

In conseguenza dell’inversione dell’espressione analitica derivata per

l’integra-e-spara stocastico nel paragrafo 2.9, fissata tale frequenza media di

attività spontanea, la densità spettrale di potenza σ2 del processo stocastico

ni(t) è determinata nel valore di (2.8)2 µA2 Hz.



Per la descrizione della concentrazione del calcio intracellulare, viene

impiegato il modello semplificato, già introdotto nel capitolo 3 e riassunto

dalla seguente espressione:

(5.4)( ]d Ca

dt

k Ca t t t

k Ca t t

IN iIN i o o AP

IN i o AP

[ ][ ] ;

[ ]

=− ⋅ ∈ +

− ⋅ > +

+ +∆ τ

τ

In corrispondenza di ciascun potenziale d’azione, è previsto un influsso

nell’unità di tempo pari a ∆ µM, durante un intervallo temporale di

ampiezza τAP, durata approssimativa di un potenziale d’azione. Il valore di

quest’ultima è stato scelto pari a 1 millisecondo (Destexhe, ’97), il valore di

∆ pari a 0.006 µM / msec (Neely et al., ‘93), e infine k è stato posto pari a

700-1 msec-1 (Jaffe et al., ’94).

Per quanto riguarda la morfologia e la dinamica associata alla crescita di

ciascun neurone della rete, si associa ad ogni unità un campo neuritico

circolare bidimensionale. Il raggio Ri di tale campo viene considerato

tempo-variante, e descritto dalla seguente equazione differenziale:

(5.5)

( )dR

dt

C CaR R R

R t R se R t R

R R

i T INi MIN MAX

i MAX i MAX

i o

= ⋅−

∈

= ≥

=

+ −

ρλ

tanh[ ]

;

( ) ( )

( )0

Inizialmente, questo coincide con il raggio equivalente del soma cellulare,

uguale per tutti i neuroni e pari a R mo = 5µ .

In questa astrazione, nessuna distinzione fra dendriti e assoni è stata fatta, e

la struttura circolare descritta dalla 5.5 vuole rappresentare l’estensione

complessiva equivalente dell’arborizzazione di una cellula nervosa (si veda

la figura 5.1).



Figura 5.1: Modello di campo neuritico circolare.

La forma del secondo membro dell’equazione differenziale che figura nella

5.5, è stata scelta in base alle considerazioni fatte nel precedente paragrafo e

alle innumerevoli evidenze sperimentali che legano il tasso di elongazione

delle arborizzazioni alla concentrazione di calcio intracellulare, e quindi

all’attività elettrica del neurone (equazione 5.4).

-4 -2 0 2 4-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

0

ρ

-ρCT

ρ tanh (( CT - [Ca]IN) / λ )

dR /

dt

[Ca]IN

Figura 5.2: Dipendenza dalla concentrazione intracellulare di calcio, per

l’evoluzione temporale del raggio del campo neuritico.



Come si evince dalla figura precedente, quando la concentrazione

intracellulare di calcio è maggiore di un certo livello ideale, il segno della

derivata temporale del raggio del campo neuritico diventa negativo, a

rappresentare il fenomeno di retrazione delle arborizzazioni e del cono di

crescita per le elevate concentrazioni di ioni Ca2+. Viceversa, la velocità di

crescita del campo aumenta in presenza di bassi livelli di calcio

intracellulare, fino ad un valore massimo. Per quanto riguarda il valore della

concentrazione di [Ca]IN corrispondente ad una stazionarietà nell’evoluzione

di Ri, è stato scelto un intorno di 0.05 µΜ.

Il fattore costante ρ rappresenta invece il tasso di crescita del campo

neuritico, ed è stato stimato intorno al valore 14 10 5. / sec⋅ − µm m (Role et

al., ’87; van Ooyen et al., ’94; Davis et al.). Per ridurre i tempi di

simulazione, è stato scelto ρ = 10 3− µm m/ sec , ancora in grado di garantire

la separazione fra i fenomeni di crescita cellulare e la scala temporale

caratteristica delle variazioni del potenziale di membrana e di

concentrazione di calcio intracellulare.

Nella 5.5, è stato previsto un meccanismo di saturazione del valore del

raggio Ri, in modo che questo non diventi arbitrariamente grande e che sia

sempre limitato superiormente. Tale limite appare di notevole importanza

nel condizionamento della topologia della rete neuronale risultante, e tale

dipendenza verrà chiarita nel seguito.

Anche il fenomeno della morte cellulare è stato incluso nel modello

proposto. Durante lo sviluppo di un essere vivente, si assiste ad una

sovrapproduzione di cellule nella maggior parte delle strutture del sistema

nervoso centrale e periferico. La sopravvivenza di una di esse dipende dalla

concomitanza di innumerevoli fenomeni, fra i quali quello di avere ricevuto

sufficiente quantità di fattori neurotrofici (van Ooyen, ’94). Il ruolo di tali

composti chimici sembra quello di interrompere l’intrinseca tendenza

cellulare alla morte spontanea. La sintesi di questi fattori è regolata

dall’attività elettrica, come per esempio la sintesi da parte delle cellule del

sistema nervoso centrale delle neurotrofine, quali la NGF (nerve growth



factor) e la BDNF (brain derived neurotrophic factor). Tale produzione

viene incrementata dalla presenza di un neurotrasmettitore eccitatorio, quale

il glutammato, mentre viene depressa dalla presenza di un

neurotrasmettitore inibitorio, quale il GABA. La sintesi stessa di recettori

specifici a tali fattori risulta incrementata da una prolungata

depolarizzazione della membrana, attraverso la modificazione indotta nei

livelli di concentrazione di calcio intracellulare. Inoltre, l’attività elettrica

nelle fibre afferenti è in grado di modulare il trasporto retrogrado dei fattori

citati e può anche influire sulla loro stessa produzione e rilascio

anterogrado, attraverso l’assone e le sinapsi.

In questo schema, può essere qualitativamente giustificata la tendenza alla

retrazione neuritica, in presenza di stimolazione esterna (sinaptica) o di

elevata attività elettrica endogena. E’ ragionevole pensare che questo tipo di

effetto possa condurre alla definitiva eliminazione dei processi neuritici

della membrana, con conseguente assenza di ogni via di trasporto di segnali

e molecole verso il nucleo, fondamentali per un ulteriore sviluppo cellulare.

Nel modello proposto, quando il raggio Ri scende sotto la soglia RMIN =

4µm, l’unità corrispondente muore cessando di manifestare qualsiasi attività

elettrica e di crescita: dal punto di vista della simulazione al calcolatore,

tutte le variabili di stato vengono bloccate da un valore costante.

5.3 Evoluzione dell’Efficacia Sinaptica

La connessione fra due neuroni viene stabilita in corrispondenza di una

sovrapposizione dei relativi campi neuritici, e l’intensità della connessione è

imposta proporzionale alla superficie di intersezione. Questa condizione può

essere formalizzata, definendo l’insieme dei punti appartenenti alla

sovrapposizione di due campi neuritici generici e la misura della sua area

come integrale doppio della funzione unitaria, esteso a tale regione.



(5.6) g i, j g Asyn syn i j( ) ,= ⋅

(5.7) A

d i j

i ji j

i j

,

,

=

≠

=

∫∫ ΩΩ

0

( ) ( ) ( ) ( ) Ω i j i i i j j jx y x X y Y R x y x X y Y R, ( , ) : ( , ) := ∈ ℜ − + − = ∩ ∈ ℜ − + − =2 2 2 2 22 2

2

Con tale schema di connessione, la connettività della rete può variare

durante lo sviluppo e l’auto-organizzazione della stessa. Qualitativamente,

la tendenza dei campi neuritici sarà quella di crescere fino a stabilire

intersezioni con altri campi neuritici, in modo da incrementare il proprio

livello di attività elettrica. Come conseguenza di tale evento, la

concentrazione intracellulare [Ca]IN tenderà ad assumere il valore di

equilibrio CT.

Il termine Ai, j può essere in quest’ottica riguardato come la quantità totale di

sinapsi stabilite fra l’unità i e l’unità j, anche se a rigore andrebbe utilizzata

la definizione seguente, alternativa alla 5.6:

( )g i, j g

A

Rsyn syn

i j

i

( ),= ⋅

⋅π2

In questo modo, il rapporto esemplificato nell’espressione precedente

assume il significato di frazione della quantità totale di sinapsi, impiegato

fra il neurone j e il neurone i. Per semplicità comunque, si sceglie di

trascurare questa possibilità riguardando come illimitati i siti postsinaptici

raggiungibili sulla membrana del neurone i-esimo.

Come è già stato sottolineato, non è operata alcuna distinzione fra dendriti e

assoni, e di conseguenza la matrice di connettività è simmetrica: infatti, per

la 5.7, Ai, j = Aj, i. L’ordine temporale di variazione dell’intensità e del



numero di connessioni, è dello stesso ordine della crescita cellulare,

dipendente dal tasso ρ.

5.4 Simulazione del Modello di Crescita

Per la simulazione al calcolatore del modello proposto, è necessario

sviluppare alcune relazioni di geometria analitica: la scelta dei campi

neuritici a simmetria circolare presenta dei notevoli vantaggi al confronto

con altre geometrie (ellittiche o circolari con eccentricità). Volendo stabilire

un insieme di condizioni necessarie e sufficienti per la interconnessione di

due unità della rete, oltre a derivare l’espressione della superficie di

sovrapposizione fra due campi neuritici qualsiasi (figura 5.3a), conviene

osservare che a meno di una rototraslazione degli assi di riferimento, si può

sempre ricondurre la situazione a quella indicata nella figura 5.3b:

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,00

5

10

15

20

25

(a)

Ri

Rj

d

X

yi

yj

xj

xi

Y

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,00

5

10

15

20

25

θ

(b)

d x

y

Figura 5.3: Tramite una trasformazione lineare, la disposizione di due

circonferenze qualsiasi nel piano (a) può essere riportata al caso (b).

(5.8)

x

y

1

cos sen b

- sen cos b

0

X

Y

1

1

2

=

⋅

( ) ( )

( ) ( )

θ θθ θ

0 1



La trasformazione 5.8 è lineare e rappresenta in coordinate omogenee, una

rotazione di un angolo θ, e un spostamento dell’origine del sistema di

coordinate, nel centro di una delle due circonferenze.

(5.9)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

X X Y Y R

X X Y Y R

R

d R

i

2

i

2

i2

j

2

ji

2

j2

i2

i, j j2

− + − =

− + − =

⇒+ =

− + =

x y

x y

2 2

22

Nella 5.9, ( ) ( )d X X Y Yi j i j i j, = − + −2 2

, per definizione di distanza fra

due punti nel piano.

A partire da queste considerazioni iniziali, può essere dimostrato che la

condizione necessaria e sufficiente affinché vi sia una sovrapposizione fra

due campi neuritici arbitrari, caratterizzati dalle triple

[ ]X Y Ri i i, , [ ]X Y Rj j j, ,

è data dalla seguente relazione:

(5.10) R R di j i j+ > ,

La dimostrazione per tale espressione è immediata, quando si consideri la

condizione di tangenza fra due circonferenze generiche, ovvero il caso in cui

esistano due punti di intersezione fra di esse. La condizione 5.10 si ricava

imponendo positivo il discriminante di un’equazione del second’ordine, la

cui soluzione fornisce le coordinate dei punti di intersezione fra le due

circonferenze. Riassumendo vale quindi che

R R d Ai j i j i j+ ≤ ⇔ =, , 0



Si può anche esaminare un altro caso particolare di disposizione delle

circonferenze, cioè il caso in cui una delle due sia interna all’altra. Nelle

stesse ipotesi precedenti, questo corrisponde a non avere alcuna soluzione

reale dell’equazione del second’ordine precedentemente citata. Questo

significa imporre che

(5.11) R R di j i j− > ,

Sotto questa ipotesi, il calcolo della superficie di sovrapposizione coincide

con il calcolo dell’area della circonferenza più piccola. In altri termini, posto

che valga la 5.10

(5.12) [ ]R R d A R Ri j i j i j i j− > ⇔ = ⋅ ⋅, , min ;π π2 2

Infine, l’espressione generale dell’area di sovrapposizione fra due campi

neuritici qualsiasi, descritti dalla posizione del proprio centro e del raggio ad

un certo istante temporale, può essere ricavata attraverso un’integrazione

monodimensionale, a partire dalla configurazione di figura 5.4.



1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,00

5

10

15

20

25

oy

oxx

y

Figura 5.4: Esemplificazione della presenza di intersezione fra due campi

neuritici.

Si definiscono, nel nuovo sistema di riferimento, le coordinate dei due punti

di intersezione

( )

( )x

R R d

dy R x

xR R d

dy R x

o

i j i j

i jo i o

i j i j

i ji o

=− +

⋅= −

=− +

⋅= − −

2 2 2

2 2

1

2 2 2

12 2

2

2

,

,

,

,

Sfruttando le simmetrie della regione di intersezione delle due

circonferenze, l’integrazione da effettuare è la seguente

(5.12) ( )A R x d dx R x dxi j jd R

x

ix

R

i j j

o

o

i

,

,

= ⋅ − − + ⋅ −−∫ ∫2 22 2 2 2



(5.13)

( )A R R R arcsenx

R

R arcsenx d

Rd y

i j i j io

i

j

o i j

jo

,

,

= ⋅ + − ⋅

+

+ ⋅−

− ⋅

π2

2 2 2

2

5.5 Risultati delle Simulazioni

Preliminarmente, si è scelto di accelerare la scala temporale dei fenomeni di

crescita per verificare l’esistenza dei fenomeni di sincronizzazione e

dell’aumento nei livelli di calcio intracellulare, in una rete di tre neuroni.

Inizialmente i tre neuroni, disposti a caso entro un’area quadrata di 50µm di

lato, non sono connessi e il livello della concentrazione intracellulare di ioni

Ca2+ è insufficiente rispetto a CT = 0.05 µM. Per i rimanenti parametri, sono

stati usati i valori riportati nel primo paragrafo, con

λ µ= 01. M ρ = 10-2 µm / msec

Nella figura seguente è riportato l’andamento della connettività totale,

ovvero l’evoluzione temporale della seguente quantità:

1

2⋅ ∑ A i j

i j,

,



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Indi

ce d

ell’u

nita

’

tempo (sec)

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20 Connettivita’

Figura 5.5: Andamento temporale dell’estensione dell’area di

sovrapposizione complessiva, confrontato con il raster-scan dell’attività

elettrica.

Si osservano due brusche transizioni a gradino, in corrispondenza degli

istanti in cui vengono stabilite le connessioni fra le unità della rete. La figura

5.5 riporta anche l’occorrenza temporale dei potenziali d’azione dei tre

neuroni, che tendono a sincronizzare la propria attività spontanea dopo 7

secondi dall’inizio della simulazione. Nella figura 5.6, viene riportato un

dettaglio dello stesso raster-scan di figura 5.5:



7000 7500 8000 8500-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Indi

ce d

ell’u

nita

’

tempo (msec)

Figura 5.6: Particolare del raster-scan che evidenzia i pacchetti di attività

coordinata.

A seguito della crescita neuronale indotta dal basso livello di calcio

intracellulare, rispetto a CT, i tre neuroni della rete hanno potuto stabilire

spontaneamente delle connessioni sinaptiche eccitatorie, incrementando la

propria attività elettrica e di conseguenza il livello di [Ca]IN. Tale situazione

è ben evidenziata dal grafico 5.7, dove è stato riportato l’andamento

temporale delle variabili di stato significative di ciascuna unità della rete.



0 2000 4000 6000 8000 10000-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

tempo (msec)tempo (msec)

(mV)

(mV)

(mV)

V1

0 2000 4000 6000 8000 10000

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

µMµM

[Ca]IN 1

0 2000 4000 6000 8000 10000-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

V2

0 2000 4000 6000 8000 10000

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

µM

[Ca]IN 2

0 2000 4000 6000 8000 10000-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60 V

3

0 2000 4000 6000 8000 10000

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

[Ca]IN 3

Figura 5.7: Evoluzione del potenziale di membrana e della concentrazione

intracellulare di calcio, per i tre neuroni della rete.

5.6 Auto-organizzazione della Topologia

Per verificare i cambiamenti strutturali e morfologici previsti

qualitativamente, è stata studiata una situazione più realistica. I parametri

utilizzati nel seguito sono quelli introdotti nel paragrafo 5.3, e si è scelto per

RMAX il valore di 50µm.

La prima situazione ad essere analizzata, riguarda la configurazione finale

della topologia di una rete di 10 neuroni disposti in modo equispaziato su di

un segmento rettilineo, di lunghezza pari a 200 µm. In questo caso è stato

scelto C MT = 0 05. µ e g nS msyn = 03 2. / µ : nella figura 5.8 è riportata la

disposizione iniziale dei campi neuritici, e la configurazione degli stessi

dopo 3 ore e 20 minuti di tempo di modello.



Figura 5.8: Evoluzione dei campi neuritici e nella topologia delle

connessioni, iniziale e dopo 3 ore e 20 minuti.

La configurazione finale rappresenta uno schema di connessione locale, fra

le unità vicine rimaste ancora in vita (unità 0, 1, 5, 6, 8, 9). Esaminando

l’andamento temporale del raggio di ciascun campo neuritico, si osserva una

caratteristica segregazione in cluster che diventa tanto più evidente quanto

maggiore è il valore di CT (si vedano le figure 5.10 e 5.11)

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,50

10

20

30

40

50

(a)

3

6

8

5

9

0

9

8

7

6

5

4

3

2

10

Rag

gio

(µm

)

ore

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,55

10

15

20

25

30 (b)

Rag

gio

med

io (

µm)

ore

Figura 5.9: (a) Andamento temporale del raggio di ciascun campo

neuritico, e del raggio medio (b) con evidente overshoot, nelle stesse

condizioni di figura 5.8.



Una caratteristica messa in evidenza dalla figura 5.9b è la presenza di un

fenomeno di overshoot nella crescita cellulare. Esiste infatti, una vasta

evidenza sperimentale della sovrapproduzione di connessioni sinaptiche e di

arborizzazioni, nelle colture di cellule nervose dissociate, insieme ad un

incremento dell’attività elettrica precedente una successiva retrazione dei

neuriti. Entrambi questi fenomeni sono previsti dal modello, in conseguenza

della dinamica attrattiva per la concentrazione [Ca]IN, e la maggior parte

delle unità della rete, a seguito del tentativo di compensazione di tale

overshoot, è soggetta a retrazione totale dei neuriti e a morte cellulare.

Figura 5.10: Evoluzione dei campi neuritici e nella topologia delle

connessioni, in condizioni simili a quelle di figura 5.8 tranne che per CT.

Utilizzando C MT = 0 09. µ , la rete si organizza secondo una configurazione

simmetrica rispetto all’asse del segmento lungo cui sono disposti i neuroni,

e rispetto al caso precedente, non esiste alcun fenomeno di overshoot nella

crescita.



0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,50

10

20

30

40

50

(a)

3, 6

3, 6

1, 8, 4, 5

0, 9

1, 8, 4, 5

0, 9

2, 7R

aggi

o (µ

m)

ore

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,55

10

15

20

25

30

(b)

Rag

gio

Med

io (µ

m)

ore


neuritico, e del raggio medio (b), nelle stesse condizioni di figura 5.10.

Nel seguito vengono riportati i risultati di simulazione di una rete di 20

neuroni, inizialmente disposti causalmente secondo una densità di

distribuzione uniforme, entro un quadrato di lato 200µm, utilizzando i soliti

valori per i parametri oltre a C MT = 0 09. µ R mMAX = 100µ . Dall’alto in

basso, nella figura 5.12 sono state riportate la configurazione iniziale, la

configurazione dopo 40 secondi e dopo 2.7 ore.



Figura 5.12: Evoluzione della topologia della rete e della connettività, per20 neuroni.



0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110 (a)

18

15

16

14

19

12

4

3, 5, 6, 8, 10, 11, 13

3

171

0

Rag

gio

(µm

)

ore0,00 3,00 6,00 9,00 12,00 15,00

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110 (b)

Rag

gio

(µm

)

minuti


neuritico; (b) particolare del differenziamento cellulare nei primi minuti di

simulazione, nelle stesse condizioni di figura 5.12.

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,55

10

15

20

25

Rag

gio

med

io (

µm

)

ore

Figura 5.14: Andamento del raggio medio, con evidenza dell’overshoot

nella crescitae nella produzione sinaptica.



Conclusioni e Prospettive Future

Lo sviluppo di nuove tecniche di misura elettrofisiologica dell’attività

elettrica della singola cellula o di una popolazione di cellule nervose in

vitro, ha consentito l’identificazione di numerosi comportamenti e la

formulazione di descrizioni matematiche sempre più accurate della

fisiologia di una membrana eccitabile. I modelli matematici sviluppati ed

esaminati in questa tesi hanno però chiarito la possibilità di sfruttare un

livello di descrizione dei fenomeni neuronali, intermedio fra la previsione

della dinamica di trasporto ionico ai capi della membrana, ed i modelli di

neurone tipici delle teorie formali del calcolo neurale. Attraverso un

procedimento ben definito e matematicamente consistente, a partire da un

modello deterministico di descrizione del potenziale di membrana ai capi di

una membrana eccitabile, è stato dedotto un modello semplificato. Sebbene

numerose non-linearità siano inevitabilmente scomparse nel processo di

riduzione, tale modello di neurone puntuale continua a descrivere

sorprendentemente bene la dinamica sotto-soglia del potenziale elettrico di

membrana. Naturalmente, non ci si è potuti sottrarre al compromesso fra

dettaglio biologico e semplicità formale, ma è stato provato come sia



possibile mantenere la consistenza con i parametri delle descrizioni

complete e conservare sotto certe ipotesi, un’equivalenza quantitativa.

Nel primo capitolo, è stato dimostrato che una modellistica estremamente

dettagliata dei fenomeni di apertura e chiusura dei canali proteici è in grado

di spiegare una notevole quantità di comportamenti fra cui il potenziale di

membrana a riposo, la generazione del potenziale d’azione e l’attività

elettrica spontanea per il singolo neurone. E’ stato possibile in queste

ipotesi, utilizzare alcuni strumenti matematici tipici della meccanica

statistica, per la previsione teorica della frequenza media di oscillazione

spontanea del potenziale di membrana, notando un’analogia formale fra

l’equazione differenziale stocastica del potenziale di membrana e

l’equazione monodimensionale non-lineare di Langevin. La stessa analogia

è stata conservata nel modello ridotto, e proprietà simili sono state

introdotte, insieme allo stesso insieme di tecniche matematiche per la

descrizione quantitativa dell’attività elettrica endogena.

Nel secondo capitolo è stato sviluppato un modello per la dinamica della

concentrazione intracellulare di ioni Ca2+, giustificando il ruolo della

dipendenza dall’attività elettrica dei fenomeni di sintesi e rimozione dei

canali proteici dalla membrana, nel modello di regolazione dinamica

introdotto. Attraverso i formalismi sviluppati, potrebbe essere ulteriormente

approfondita l’evoluzione temporale della concentrazione degli altri ioni che

caratterizzano la composizione del citoplasma, descrivendone l’evoluzione e

verificando per esempio la tempo-invarianza dei potenziali di equilibrio

nernstiani.

L’introduzione della regolazione dinamica e la immediata trasposizione nel

modello discreto hanno consentito la giustificazione approfondita di alcuni

comportamenti e proprietà generali, osservate sia durante l’embriogenesi sia

nel funzionamento di un sistema nervoso maturo. Grazie ai ridotti tempi di

calcolo necessari all’integrazione numerica dell’equazione del modello

integra-e-spara regolato, è stato possibile comprendere l’adeguatezza delle

semplificazioni operate nel capitolo 2, almeno rispetto alla descrizione di



processi biochimici notevolmente più lenti, a confronto con la scala

temporale tipica di un potenziale d’azione.

Nel quarto capitolo è stata verificata l’esistenza del fenomeno della

sincronizzazione delle oscillazioni del potenziale di membrana in ciascuna

unità di una rete, caratterizzata solo da connessioni eccitatorie. E’ stata pure

osservata una variazione dei parametri elettrici intrinseci, conseguente al

differenziamento cellulare indotto dall’attività elettrica mutua, in presenza

dei fenomeni di regolazione proteica. In questa prospettiva, le proprietà

intrinseche di un singolo neurone come pure la natura di un codice

neuronale, sono state messe in discussione disponendo di un insieme ridotto

di dipendenze funzionali e di un modello analiticamente trattabile: uno

stesso formalismo si rivela in grado di giustificare efficacemente un

comportamento di tipo integrativo e un comportamento di tipo rilevazione

di coincidenze temporali.

Una delle caratteristiche più rilevanti nell’introduzione del modello integra-

e-spara è stata l’introduzione dello stesso meccanismo cinetico di sinapsi

chimica deterministica, nella simulazione di reti estese. L’aver mantenuto la

caratteristica di integrazione con perdita ha consentito l’introduzione del

termine di corrente sinaptica esterna, identico a quello introdotto nei modelli

biofisici completi. A parità di risorse di calcolo, un numero maggiore di

unità possono essere incluse così in una rete da simulare al calcolatore, e

possono essere evitati i tipici coefficienti moltiplicativi dei neuroni formali,

mantenendo ad un livello notevolmente più elevato la corrispondenza con le

descrizioni complesse.

E’ stato infine proposto un modello di crescita cellulare ad auto-

organizzazione della connettività sinaptica di una rete bidimensionale di

neuroni in vitro. Utilizzando il modello semplificato dotato di attività

spontanea e la descrizione sviluppata della dinamica della concentrazione

intracellulare di calcio, è stato possibile simulare le fasi iniziali dello

sviluppo di un sistema nervoso in organizzazione, in cui lo schema di

interconnessione sia soltanto di tipo chimico eccitatorio, oltreché



intrinsecamente tempo-variante. Oltre ad una evidente tendenza al

differenziamento di unità inizialmente identiche, il modello ha previsto

fenomeni quali l’insorgenza spontanea della morte cellulare e l’overshoot

nella elongazione neuritica, che pure si osservano sperimentalmente.

Risultati preliminari suggeriscono che l’applicazione di una stimolazione

esterna di alcune unità potrebbe avere come conseguenza la retrazione dei

campi neuritici relativi e la variazione nell’organizzazione topologica

funzionale della rete di neuroni. L’impiego di altre forme geometriche piane

o tridimensionali nella descrizione dei campi neuritici, potrebbe essere

impiegata alternativamente, anche in vista di una distinzione fra assone e

dendriti: in questi termini la matrice di connettività non sarebbe più

simmetrica. Fenomeni quali la diffusione di molecole di neurotrasmettitore o

di fattore di crescita nello spazio intercellulare, potrebbero essere modellati

attraverso l’equazione bidimensionale della diffusione: un meccanismo di

orientazione dell’asse del campo neuritico, per esempio ellittico, potrebbe

essere introdotto per descrivere le proprietà di chemo-affinità della

direzionalità del cono di crescita di un neurone, oltreché le influenze visco-

elastiche e meccaniche che potrebbero guidare artificialmente

l’organizzazione spaziale della rete.

Le implicazioni a lungo termine di quanto descritto sono molteplici:

disporre di un modello quantitativo per la crescita e l’organizzazione

neuritica potrebbe consentire la pianificazione di esperimenti in vitro, in cui

studiare l’evoluzione di una popolazione di neuroni, cambiando

arbitrariamente la topologia delle connessioni attraverso stimoli elettrici,

chimici o meccanici. Una migliore comprensione dei fenomeni che

caratterizzano la crescita cellulare e l’organizzazione della connettività dei

tessuti nervosi, potrebbe portare allo sviluppo di tecniche per la

rigenerazione guidata delle vie afferenti ed efferenti di un sistema nervoso

maturo, in condizioni patologiche o in conseguenza di un trauma. In questa

prospettiva, la formulazione di modelli matematici in grado di descrivere per

la dinamica di una rete di neuroni, le dipendenze funzionali dall’attività



elettrica della rete stessa, possono costituire una solida base di partenza per

l’indagine dei meccanismi di plasticità neuronale che rendono così unici

l’organizzazione e il funzionamento del sistema nervoso di un essere

vivente.


DIBE - Università degli Studi di Genova A 1

Appendice A

A.1 Preliminari alla Derivazione dell’Equazione di

Fokker-Plank

Sia x una variabile aleatoria, con W(X) densità di distribuzione di

probabilità:

(a.1)

W Xd x X

dX( )

Pr=

≤

Per una qualunque variabile aleatoria possono essere definiti i momenti di

ordine 1..n:



(a.2) M x W x dx E x x1 = ⋅ = =−∞

+∞

∫ ( )

(a.3) M x W x dx E x x22 2 2 2= ⋅ = = +

−∞

+∞

∫ ( ) σ

(a.4) M x W x dx E xnn= ⋅ =

−∞

+∞

∫ 2 ( )

Per definizione di densità di distribuzione di probabilità, il cui integrale

esteso al campo di variazione di x deve essere unitario per il secondo

assioma della teoria delle probabilità, M0 = 1.

E' possibile definire la quantità nota come funzione caratteristica:

(a.5) C F W x W x e dxj x( ) ( ) ( )ω ω= = ⋅ ⋅ ⋅

−∞

+∞

∫

Formalmente la funzione definita dalla a.5 è la trasformata di Fourier della

densità di distribuzione di probabilità ed per essa vale la proprietà:

(a.6) ( ) F j x W xd

dF W x

nn

n⋅ ⋅ =( ) ( )ω

Per il momento di ordine n, si può concludere allora che

(a.7) M x W x dx x W x e dx F x W xnn n j x n= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅⋅ ⋅

−∞

+∞

=−∞

+∞

=∫∫ ( ) ( ) ( )ω

ωω

00

da cui per linearità si deduce immediatamente che

(a.8) Mj

d C

dn n

n

n= ⋅=

1

0

( )ωω ω



Usando le equazioni a.8 e a.5 può allora essere dimostrato che, conoscendo i

momenti di ogni ordine è possibile giungere alla conoscenza di W(x),

densità di distribuzione di probabilità della variabile aleatoria x.

Dim

Sviluppando in serie di Taylor nell’intorno del punto ω = 0 la funzione

caratteristica si ottiene

(a.9) C CdC

d n

dC

d nnn

n

nn

n

( ) ( )( )

!

( )

!ω

ωω

ω ωω

ω

ω ω

= + ⋅ = + ⋅=

∞

= =

∞

=∑ ∑0 1

1 0 1 0

che in altri termini può essere scritto come

(a.10) ( )C j Mn

nn

n

n

( )!

ωω

= + ⋅ ⋅=

∞

∑11

Dalla a.10, si dimostra l’asserto, antitrasformando secondo Fourier si

ottiene finalmente

(a.11) W x F C C e dj x( ) ( ) ( )= = ⋅ ⋅− − ⋅ ⋅

−∞

+∞

∫1 1

2ω

πω ωω

----

Le definizioni a.2 - a.4 e la a.11 possono essere generalizzate nel caso di

processi stocastici del tempo. Sia x(t) un processo stocastico, cioè una

collezione di realizzazioni di una variabile aleatoria per ciascun istante t, e

sia W(x,t) la densità di distribuzione di probabilità di campione x all’istante

t: per generalità si considerano processi stocastici non stazionari.



Per un processo stocastico qualunque si introduce anche la densità di

distribuzione di probabilità di transizione , da x(t) = x’ a x(t+τ) = x:

( )p x tx t

,’,

+ τ

Le definizioni di momento di ordine n e di funzione caratteristica possono

essere così riprese e generalizzate dalle a.12 e a.13.

(a.12) ( ) ( ) [ ] M x t x x p x tx t dx E x t x tn

n n

dove x t xcon probabilità

( ’, , ) ’ ,’, ( ) ( )

( ) 'τ τ τ= − ⋅ + = + −

−∞

+∞

=∫1

(a.13) ( ) ( ) ( ) C x t p x tx t e dx F p x t

x tj x x

trasformata rispetto xcon x parametro

( , ’, , ) ,’,

,’,

’

,’

ω τ τ τω= + ⋅ = +⋅ ⋅ −

−∞

+∞

∫

Nuovamente resta verificato che dalla conoscenza dei momenti di ogni

ordine è possibile ricondursi alla densità di distribuzione di probabilità di

transizione ma anche alla W(x,t) in qualunque t, e possono essere dimostrate

le due equazioni seguenti:

(a.14) ( )C x t M x t jnn

n

n

n

( , ’, , ) ( ’, , )!

ω τ τω

= + ⋅ ⋅=

∞

∑11

(a.15) ( ) ( ) ( )p x tx t M x t j

ne dn

n

n

nj x x,

’, ( ’, , )!

’+ = ⋅ + ⋅ ⋅

⋅

=

∞

−∞

+∞− ⋅ ⋅ −∑∫τ

πτ

ωωω1

21

1

.

Dim

Dal teorema di Bayes:

(a.16) ( )W x t p x tx t W x t dx( , ) ,

’, ( ’, ) ’+ = + ⋅−∞

+∞

∫τ τ



da cui segue immediatamente la tesi da dimostrare:

(a.17) ( ) ( )W x t M x t jn

e d W x t dxnn

n

nj x x( , ) ( ’, , )

!( ’, ) ’’+ = ⋅ + ⋅ ⋅

⋅

⋅=

∞

−∞

+∞− ⋅ ⋅ −

−∞

+∞

∑∫∫τπ

τω

ωω1

21

1

----

A questo punto il termine ( ) ( )1

2πω ωω⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −

−∞

+∞

∫ j e dn j x x’ può

essere riguardato, per n > 0 come un operatore, corrispondente nel dominio

delle x a moltiplicare per ( )−

− ⋅∂∂

δx

x xn

’ . Inoltre, essendo

( ) ( )δ τ δ τx x M x t x x M x tn n− ⋅ = − ⋅’ ( ’, , ) ’ ( , , ) vale che:

(a.18)

( )W x tx

M x t

nx x W x t dx

x

M x t

nW x t

nn

n

nn

n

( , )( , , )

!’ ( ’, ) ’

( , , )

!( , )

+ = + −

⋅

− ⋅

=

= + −

⋅

=

∞

−∞

+∞

=

∞

∑ ∫

∑

τ∂

∂τ

δ

∂∂

τ

1

1

1

1

A.2 Espansione di Kramers-Moyal

Si voglia valutare la quantità W x t W x t( , ) ( , )+ −τ

τ, che al limite per τ che

tende a zero vale ∂∂t

W x t( , ) , secondo la definizione di rapporto

incrementale. Dalle considerazioni precedenti, si può esprimere W(x,t+τ) in

termini di W(x,t) e quel rapporto incrementale si può riscrivere come:



(a.19)W x t W x t

x

M x t

nW x t

nn

n

( , ) ( , ) ( , , )

!( , )

+ −= ⋅ −

⋅

=

∞

∑ττ τ

∂∂

τ1

1

Il termine M x t

nn ( , , )

!

τ può essere considerato funzione di τ e sviluppato

attorno allo 0 in serie di Taylor, ottenendo la a.20:

(a.20)M x t

nD x t On n( , , )

!( , ) ( )( )τ

τ τ= + ⋅ +0 2

Nello sviluppo precedente, O( )τ 2 è una funzione che tende a zero per τ che

tende a zero, di ordine superiore a 2. Si noti che se il processo stocastico x(t)

è un processo Markoviano, la quantità D(n) dipende solo da x al tempo t e

non da valori di x ad istanti precedenti. Resta dimostrato che, essendo

(a.21)[ ]

D x tE x t x t

nn

n

x t x( ) ( ) ’( , ) lim

( ) ( )

!= ⋅

+ −

→

=

τ τ

τ

0

1

la derivata temporale parziale di W(x,t) è calcolabile nel modo seguente:

(a.22) [ ]∂∂

∂∂t

W x tx

D x t W x tn

n

n

( , ) ( , ) ( , )( )= −

⋅

=

∞

∑1

L'ultima espressione prende il nome di espansione di Kramers-Moyal e vale

per la densità di distribuzione di probabilità di un qualsiasi processo

aleatorio del tempo.



A.3 Moto Browniano Monodimensionale ed Equazione

di Langevin

Si è visto che la densità di distribuzione di probabilità di un qualsiasi

processo stocastico non stazionario soddisfa l'equazione differenziale alle

derivate parziali (a.22) ottenuta con l'espansione di Kramers-Moyal. Sotto

una serie di considerazioni molto generali è possibile determinare i

coefficienti D(n) senza che sia richiesta la conoscenza di W(x,t).

Si consideri il seguente problema: è data una particella di massa m immersa

in un fluido viscoso. L'equazione del moto in una dimensione di tale

particella è in prima approssimazione un'equazione differenziale del

secondo ordine deterministica e soddisfa la legge di Stokes.

(a.23) mdV

dtV⋅ + ⋅ =α 0

La soluzione di questa equazione differenziale fornisce un'indicazione della

dipendenza dai parametri m e α dell'evoluzione temporale della velocità

della particella.

(a.23a)V t V t eo

t t

mo

( ) ( )( )

= ⋅−

⋅ −α

.

L’equazione a.23 descrive bene il moto della particella quando m sia

sufficientemente grande. Nei casi in cui questa ipotesi non è più soddisfatta,

ma la particella può ancora considerarsi di tipo classico e di dimensioni

ancora molto maggiori rispetto a quelle delle molecole del fluido, è

conveniente introdurre un termine stocastico di forza Ff , uniforme e

isotropo in ogni direzione, caratterizzato da un valore atteso nullo, per

includere l’effetto dell’agitazione termica. Dalla legge di equipartizione



dell’energia, si può derivare il valore della velocità dovuta a fenomeni di

agitazione termica:

(a.24)m

V K T V VK T

m2

1

22 2= ⋅ ⋅ ⇔ = =

⋅*

Se il termine di attrito viscoso modella gli urti nella direzione del moto della

particella con le molecole del fluido in cui essa è immersa (più rilevanti e

consistenti quanto più è grande la velocità in quella direzione), il termine

stocastico tiene conto degli urti mediamente non significativi, presenti

quando la particella è ferma, essendo la temperatura del sistema diversa

dallo zero assoluto. L’equazione che governa la dinamica della velocità

della particella in soluzione, nelle ipotesi già fatte è formalizzabile nel modo

seguente:

(a.25) mdV

dtV Ff⋅ + ⋅ =α

Dividendo ambo i membri per m, si giunge alla seguente equazione

differenziale stocastica, in cui il contributo aleatorio è noto con il nome di

forza di Langevin e si assume di tipo δ-correlato data la diversa scala

temporale dei fenomeni che generano le fluttuazioni stocastiche a paragone

con m

α , costante di decadimento del valore atteso di V(t).

(a.26)dV

dtV+ ⋅ =γ Γ

dove il processo stocastico Γ è caratterizzato dalle seguenti proprietà:

E tΓ( ) = 0, ( )E t t q t tΓ Γ( ) ( )1 2 1 2⋅ = ⋅ −δ . Dal punto di vista matematico,

la a.26 è nota come equazione lineare di Langevin e la velocità V(t) è



ovviamente un processo aleatorio markoviano detto processo di Ornstein-

Uhlenbeck monodimensionale.

Questa trattazione può essere generalizzata al caso più generale possibile,

non lineare monodimensionale (a.27).

(a.27)dV

dth V t g V t t= + ⋅( , ) ( , ) ( )Γ

dove il segnale aleatorio Γ(t) è gaussiano e ha le seguenti proprietà

statistiche:

E t

E t t

Γ

Γ Γ

( )

( ) ( ) ( )

=

⋅ + = ⋅

0

2τ δ τ

Si può dimostrare che in queste ipotesi, i coefficienti non nulli

dell'espansione di Kramers-Moyal per la densità di distribuzione di

probabilità del processo V(t), sono soltanto i primi due:

Si consideri ad esempio la definizione del primo coefficiente dello sviluppo

della a.22:

(a.28) D V t E V t Vv t V

( )( ) ’

( , ) lim ( ) ’1

0

1= ⋅ + −

→ =τ ττ

Si esprima in modo equivalente, l'equazione differenziale (a.27) in termini

di un'equazione integrale (a.29).

(a.29) V t V h V g V dt

t

( ) ’ ( ( ), ) ( ( ), ) ( )+ − = + ⋅ ⋅+

∫τ ξ ξ ξ ξ ξ ξτ

Γ

V(t+τ) con τ > 0 è una soluzione dell'equazione differenziale di partenza,

tale che V(t) = V' con probabilità unitaria. Adesso se si sviluppano in serie



di Taylor attorno a V(ξ) = V’, le funzioni h e g che compaiono sotto il segno

di integrazione, si ottiene che:

(a.30) ( )h V h VV

h V V VV V

( ( ), ) ( ’, ) ( ( ), ) ( ) ’ ....( ) ’

ξ ξ ξ∂

∂ξ ξ ξ

ξ= + ⋅ − +

=

(a.31) ( )g V g VV

g V V VV V

( ( ), ) ( ’, ) ( ( ), ) ( ) ’ ....( ) ’

ξ ξ ξ∂

∂ξ ξ ξ

ξ= + ⋅ − +

=

e sostituendo nell’equazione integrale a.28 si giunge alla

(a.32) ( )

( )

V t V h V dV

h V V V d

g V dV

g V V V t d

V Vt

t

t

t

V Vt

t

t

t

( ) ’ ( ’, ) ( ( ), ) ( ) ’ ....

( ’, ) ( ) ( ( ), ) ( ) ’ ( ) ....

( ) ’

( ) ’

+ − = ⋅ + ⋅ − ⋅ + +

+ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ +

=

++

=

++

∫∫

∫∫

τ ξ ξ∂

∂ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ∂

∂ξ ξ ξ ξ

ξ

ττ

ξ

ττ

Γ Γ

Ma per ogni occorrenza del termine [ ]V Vk

( ) ’ξ − nella a.32, si può sostituire

la a.33 , elevata alla k-esima potenza, applicando ancora lo sviluppo in serie

di Taylor alle funzioni h e g sotto integrale.

(a.33) V V V t t V h V g V dt

( ) ’ ( ( )) ’ ( ( ), ) ( ( ), ) ( )ξ ξ η η η η η ηξ

− = + − − = ⋅ ⋅ ⋅∫ Γ

Se a questo punto si applica l'operatore di valore atteso E ad ambo i

membri della a.33, assumendo inoltre che

δ δ εε

ε ε ε( ) lim ( ) limt t t

altrimenti= = <

→ →0 0

1

20

e quindi che

δ η ξ η δ εε εξ

ξ

( ) ( )− ⋅ = ⋅ → →−∫∫ d x dx

tt

1

20

0

si dimostra la seguente relazione per i coefficienti dell'espansione, in virtù

delle proprietà della distribuzione gaussiana e della δ-correlazione di Γ:



( )

D V t h V tV

g V t g V t

D V t g V t

D V t nn

( )

( )

( )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ,

( , )

1

2 2

0 3

= + ⋅

=

= ≥

∂∂

L’equazione di Fokker-Plank è un caso particolare di espansione di

Kramers-Moyal, quando D x t nn( ) ( , ) = ∀ ≥0 3, e prende la forma:

(a.34) [ ] [ ]∂∂

∂∂

∂∂t

W x tx

D x t W x tx

D x t W x t( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )( ) ( )= − ⋅ + ⋅12

22

Si dimostra infatti che se lo sviluppo dei coefficienti D(n) si ferma al primo,

oppure al secondo termine (nel senso che per n>1 D(n) = 0), allora tutti i

termini successivi sono nulli. Se questo non succede, allora esistono infiniti

coefficienti D(n) non nulli (teorema di Pawula).

L’ipotesi di markovianità, non è fondamentale, e può essere discussa

l’evenienza in cui il processo sia generalmente non markoviano. Nelle

ipotesi più generali possibili, se viene considerato un processo stocastico che

soddisfa l’equazione non lineare di Langevin:

dV

dth V t g V t t

W V t V vo o

= + ⋅= ⋅ −

( , ) ( , ) ( )

( , ) ( )

Γ1 δ

con Γ( )t processo stocastico qualunque purché δ-correlato

V(t) è allora un processo stocastico markoviano, ovvero la sua probabilità

condizionale a t = tn dipende solo da V(tn-1). Se la funzione di

autocorrelazione diΓ( )t non rispetta l'ipotesi, ovvero Γ( )t è un rumore

colorato, sotto certe ipotesi di regolarità della sua funzione di

autocorrelazione si può sempre ricondurre il problema a quello del seguente



sistema di equazioni, in cui il processo stocastico vettoriale è markoviano

(in senso vettoriale generalizzato):

dV

dth V t g V t t

d

dtt

W V t V v

W to o

o o

= + ⋅

= +

= ⋅ −= ⋅ −

( , ) ( , ) ( )

(...) ~( )

( , ) ( )

( , ) ( )

ΓΓ

Γ

Γ Γ Γ1

1

δδ

~( )Γ t δ-correlato

A.4 Operatore di Fokker-Plank

E' possibile giungere ad una notazione operatoriale per l'equazione di

Fokker-Plank (a.34) appena introdotta, particolarmente utile per definire e

chiarire alcune proprietà. L'equazione di Fokker-Plank può essere

formalmente riscritta come:

LV

D V tV

D V t

tW V t L W V t

FP

FP

= − +

=

∂∂

∂∂

∂∂

( ) ( )( , ) ( , )

( , ) ( , )

12

22

oppure ancora come

∂∂

∂∂

∂∂t

W V tV

S S D V tt

D V t W V t( , ) ( , ) ( , ) ( , )( ) ( )= − = −

1 2

In quest’ultima forma, l’equazione ha la forma di un'equazione di continuità

per W, in cui S assume il ruolo di una densità di corrente di probabilità. In

altri termini, si sarebbe potuto scrivere, in analogia con la teoria dei campi

elettromagnetici ∂∂

∂∂

ρt

W V t St

JV( , ) = −∇ ⋅ ⇔ = −∇ ⋅ , dove ρ è una



densità di carica elettrica volumetrica e J il vettore densità di corrente di

conduzione elettrica.

Nel caso particolare in cui nell'equazione non lineare di Langevin, le

funzioni h e g non dipendano dal tempo, a meno di un cambio di variabile si

può sempre ricondurre l'equazione di Fokker-Plank all'equazione di

Smoluchowski, introducendo la funzione potenziale per la dinamica di V(t):

(a.35)∂∂

∂∂

∂∂t

W V tV

S S D V tt

D V t W V t( , ) ( , ) ( , ) ( , )( ) ( )= − = −

1 2

D = costante

La soluzione stazionaria che si ottiene mettendo a zero il primo membro di

questa equazione, diventa la soluzione di un'equazione differenziale lineare

a coefficienti costanti con termine forzante:

(a.36) DV

W V t f W V t S W V t k e S ee

Ddxst st st

f V

D

f V

D

f x

DV

⋅ = − ⋅ − ⇒ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅− − ∫∂

∂( , ) ’ ( , ) ( , )

( ) ( )( )

La costante k viene fissata dalla condizione imposta dal secondo assioma

della teoria delle probabilità:

W V t dV tst ( , ) ⋅ = ∀∫ 1 .

A.5 Diffusione oltre Barriera e Tempo di Primo

Attraversamento

E' possibile considerare il caso di attraversamento di una barriera di

potenziale, nel caso di soluzione stazionaria. La formula di Kramers per la

determinazione della frequenza media di attraversamento della soglia,



discende dall’osservazione del bilancio fra la densità di corrente di

probabilità (S) e il prodotto fra la probabilità che V sia al minimo del

potenziale (p) per la probabilità di fuga da esso (Rk).

-20 -15 -10 -5 0 5-100

-50

0

50

100

S

∆ f

Vmin Vmax

f(V)

Fig. A.1: Profilo della funzione potenziale e fuga dalla buca per diffusione.

(a.37)1 1

1

2

R

p

S De dV e dV

k

f V

D

f V

D

V

A

V

V

= = ⋅ ⋅− ∫∫

( ) ( )

min

Nella precedente equazione, V1 e V2 sono dei valori di V attorno al minimo

Vmin, mentre A è un valore di V per il quale W(A,t) è infinitesima, ovvero

A >> Vmax. La a.37 può essere valutata direttamente o approssimata,

integrando per serie di potenze, ottenendo in questo caso:

(a.38)( )( )

R f V f V ek

f V f V

D≈ ⋅ ⋅−

−1

2π’’( ) ’’( )min max

( )max min


DIBE - Università degli Studi di Genova B 1

Appendice B

B.1 Integrazione Numerica di Equazioni Differenziali

Deterministiche

Il caso più generale che si vuole esaminare è quello della soluzione

numerica di un sistema di equazioni differenziali del prim’ordine,

deterministiche. Può essere dimostrato che una equazione differenziale o un

sistema di equazioni differenziali qualunque, possono essere trasformati in

un sistema differenziale del prim’ordine che ammette le stesse soluzioni

dell’equazione o sistema originari, nelle ipotesi di esistenza e unicità del

teorema di Cauchy. Sia x t( ) il vettore di stato, e x t xo o( ) = la condizione

iniziale del sistema:

(b.1)dx

dtf x t= ( , )



L’equazione b.1 insieme con la condizione iniziale ammette unica soluzione

in ipotesi di generale regolarità (lipschitzianità) della funzione vettoriale

generatrice del sistema, ( )f ⋅ ⋅, .

In questo caso, trovare numericamente la soluzione con un metodo numerico

iterativo a passo fisso, significa generare una successione di vettori

x x x x x1 2 3 4 5* * * * *, , , , ,... ciascuno corrispondente ad un istante temporale

multiplo intero di h (passo di integrazione del metodo numerico). Tale

sequenza può essere generata per esempio attraverso il metodo di Eulero,

che approssima un’equazione differenziale con un’equazione alle differenze

finite, sostituendo alla derivata temporale il rapporto incrementale

corrispondente. Quello che si ottiene è la formula di definizione per

ricorrenza di una successione numerica reale, per ogni componente del

vettore di stato.

Si consideri per semplicità il caso scalare: data la funzione x = g(t), si può

verificare che calcolando in tk+1 lo sviluppo di g(t) in serie di Taylor (b.2),

esteso ai primi due termini e centrato in tk, la sua derivata prima temporale

può essere approssimata nel modo indicato dalla b.3.

(b.2) ( )g t g tdg

dtt tk k

tk k

k

( ) ( )+ +≅ + ⋅ −1 1

(b.3) ( )dx

dt

g t g t

t t

g t g t

ht

k k

k k

k k

k

≅−−

=−+

+

+( ) ( ) ( ) ( )1

1

1 ( )t tk k+ −1 =h per ogni k.

L’equazione alle differenze finite ottenuta con il metodo di Eulero può

essere scritta come segue:

(b.4) x x f x F xk k k k k k+ ≅ + =1 ( ) ( )

dove x x tk k= ( ) e F x h f x tk k k k( ) ( , )= ⋅



Tale sequenza xk può essere calcolata mediante la definizione ricorrente b.4,

quando sia nota la condizione iniziale xo.

Il metodo di Eulero è solo uno di numerosi metodi numerici, che si

distingue per il modo in cui viene approssimata la derivata prima del vettore

di stato (b.3), e quindi nel modo in cui si approssima la soluzione reale con

la soluzione lineare a tratti x x x x x1 2 3 4 5* * * * *, , , , ,....

Il significato di convergenza di tale sequenza di vettori alla soluzione reale è

esemplificato dalla b.5, in cui si afferma che fissata una metrica opportuna

nello spazio degli stati, l’errore commesso agli istanti multipli interi di h è

maggiorato da una funzione di h, decrescente e positiva.

(b.5) [ ] ( )Dist g t x x x x x Err h( ) ; , , , , ,...* * * * *1 2 3 4 5 ≤

dove lim ( )h

Err h→ +

=0

0

Il metodo numerico impiegato più frequente nei capitoli precedenti è quello

di Runge-Kutta, i cui passi formali sono riportati di seguito, per il caso

vettoriale.

(b.6) ( )x x h k k k kn n n n n n* *

+ = + ⋅ + ⋅ + ⋅ +1 1 2 3 41

62 2

(b.7) k f t xn n n1 = ( , )*

(b.8) k f th

xh

kn n n n2 12 2

= + + ⋅( , )*

(b.9) k f th

xh

kn n n n3 22 2

= + + ⋅( , )*

(b.10) k f t h x h kn n n n4 3= + + ⋅( , )*

B.2 Simulazione del Modello Integra-e-Spara



Si consideri l’equazione che esprime l’evoluzione temporale del potenziale

di membrana sotto-soglia, nel modello deterministico integra-e-spara. A

meno del cambiamento di variabile citato più volte nel capitolo 2, senza

alcuna perdita di generalità si prende in considerazione l’equazione:

(b.11)dU

dtU n U= − ⋅ + ≤α ∆

Nella b.11, α e n sono quantità costanti rispetto al tempo, così che tale

equazione lineare e a coefficienti costanti, può essere risolta in forma

chiusa:

(b.12) ( )( )U tn

e t to( ) = ⋅ − − ⋅ −

αα1 dove U to( ) = 0

Tale soluzione consente, in queste ipotesi, di conoscere il valore di U in un

istante t qualunque, è quindi è semplice individuare la condizione di

attraversamento della soglia, trovando l’istantet U t* *: ( ) = ∆ .

Nel caso in cui n sia una funzione del tempo, anche se la forma generale

della soluzione U(t) può essere determinata, il calcolo dell’istante di

attraversamento della soglia non è generalizzabile. In questo caso, è

richiesta l’inversione di una funzione integrale (equazione 2.22), in generale

non valutabile analiticamente in forma chiusa.

Esiste un metodo di soluzione di diverso tipo, generalizzabile ad una varietà

di situazioni diverse. Si è già discusso, nel paragrafo precedente, della

necessità di discretizzazione dell’asse dei tempi, e dell’impiego di tecniche

di integrazione numerica, per la simulazione dei sistemi dinamici a tempo

continuo. Si cercano, anche in questo caso, delle procedure di tipo iterativo,

per l’integrazione di equazioni come la b.1. In alcuni casi molto semplici,

come quello in cui n = costante, l’utilizzo di una metodologia iterativa



consente di ridurre computazionalmente la complessità dell’algoritmo di

simulazione.

Si voglia per esempio valutare la soluzione U(t) ad un istante generico tk, k-

esimo multiplo intero del passo di integrazione ∆t. Dalla b.12, segue

direttamente che

(b.13) ( )( )Un

ekt tk o= ⋅ − − ⋅ −

αα1

Questo calcolo richiede, in termini di operazioni in virgola mobile, almeno

due prodotti, una somma e la valutazione dell’esponenziale. Per le proprietà

di questa funzione però è possibile esprimere Uk come funzione del valore

precedente di U, ovvero U(tk-1) = f(Uk), dal momento che ( )t t tk k− =−1 ∆ ,

essendo la funzione esponenziale una autofunzione della b.1.

(b.14) Un

Un

e Uk kt

o= + −

⋅ =−

− ⋅

α αα

1 0∆

Utilizzando la b.14, sono richieste soltanto due somme e un prodotto,

seppure sia necessario disporre del valore di U all’iterazione precedente.

Nel caso generico, in cui n = n(t), l’equazione precedente non è ovviamente

utilizzabile e si ricorre per esempio, al metodo di Eulero. In queste ipotesi,

l’equazione alle differenze finite che approssima, nel senso definito nel

paragrafo B.1, l’equazione differenziale b.1 è la seguente dove nk = n(tk):

(b.15) ( )U t U t nk k k≅ − ⋅ ⋅ + ⋅1 α ∆ ∆

Chiaramente, mentre per la b.14 poteva essere scelto un intervallo temporale

∆t qualsiasi per effettuare l’iterazione, in quest’ultima equazione il passo di

integrazione deve essere fisso e sufficientemente piccolo. Il numero di

operazioni richiesto è limitato: due prodotti e una somma.



La simulazione al calcolatore del modello stocastico di neurone integra-e-

spara (2.51) richiede invece la generazione di un processo stocastico

gaussiano bianco. Occorre però, fare molta attenzione alla tecnica di

discretizzazione della b.1, che diventa adesso un’equazione differenziale

stocastica. Le metodologie utilizzate nel caso deterministico, insieme con

tutti i metodi numerici discussi nel primo paragrafo, non sono validi, ed è

necessario approfondire il ragionamento. Il segnale n(t) è per definizione un

segnale che non può essere campionato, in accordo con il teorema di

Nyquist. Infatti, nel dominio delle frequenze non esiste una frequenza oltre

la quale la densità spettrale di potenza del segnale è trascurabile: per

definizione stessa di rumore bianco, il segnale n(t) gode delle stesse

proprietà su tutto lo spettro delle frequenze.

Si studi comunque la soluzione in forma chiusa, che si deriverebbe nel caso

deterministico:

(b.16) ( ) ( )U t U e e n x dxot t t t x

t

to o

o

( ) ( )= ⋅ + ⋅ ⋅− ⋅ − − ⋅ − −∫α α

Pur utilizzando la stessa notazione, l’operatore di integrale della b.16 è da

interpretarsi in modo diverso dal solito (nel senso di Ito) (Papoulis, ‘91).

Si voglia valutare l’espressione di U, in funzione del valore al passo

precedente.

(b.17) ( )U t t e U t e n x dxt t t t x

t

t to( ) ( ) ( )+ = ⋅ + ⋅ ⋅− ⋅ − ⋅ − + −+

∫∆ ∆ ∆∆α α

Poichè ( )0 1< + − < ⇒ ≅− ⋅ − + −t t x t e t t t xo∆ ∆ ∆α , e prendendo per

convenzione to=0,

(b.18) U t t e U t n x dxt

t

t t( ) ( ) ( )+ = ⋅ + ⋅− ⋅ +

∫∆ ∆ ∆α



Dal momento che n(t) è un processo stocastico stazionario, le proprietà

statistiche dell’integrale su di un qualunque intervallo di tempo di

dimensione ∆t, sono le stesse e la b.18 può essere riscritta nel modo

seguente:

(b.19) U t t e U t w t w t n x dxtt

( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ = ⋅ + = ⋅− ⋅ ∫∆ ∆ ∆α0

Da questo punto di vista, la quantità w(t) rappresenta un nuovo processo

stocastico, precisamente l’uscita di un integratore alimentato da un rumore

bianco. Tale processo è noto come processo di Wiener-Levy, e per le

caratteristiche di linearità dell’operazione di integrazione, se n è gaussiano a

valore medio nullo e varianza σ2, w(t) è ancora gaussiano a valore medio

nullo, ma a varianza data da

(b.20) E w t2 2= ⋅σ ∆

E’ chiaro che per la simulazione di una equazione differenziale stocastica

come la b.1, soggetta ad un segnale n(t) gaussiano e bianco, è necessaria una

procedura iterativa diversa dalla b.15, valida nel solo caso discreto:

(b.21) U e U t rndkt

k k= ⋅ + ⋅ ⋅− ⋅−

α σ∆ ∆1

Nella precedente espressione, rndk è un numero pseudocasuale generato ad

ogni passo di iterazione, distribuito con una densità di distribuzione di

probabilità normale, a valore medio nullo e varianza unitaria. Una

formulazione equivalente alla b.21, quando il passo di integrazione sia

molto piccolo, è ottenibile sostituendo all’esponenziale il suo sviluppo in

serie di Taylor esteso ai primi due termini.

(b.22) ( )U t U t rndk k k≅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅1 α σ∆ ∆


DIBE - Università degli Studi di Genova I

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Technology

Simulazione Dello Sviluppo Di Una Rete Di Neuroni Regolato Da Processi Bioelettrochimici Dipendenti Dall’Attività Elettrica