Universidad Autónoma del Estado

de Hidalgo

“

INTEGRANTES:

EQUIPO: DOS GRUPO: UNOBENÍTEZ HERNÁNDEZ HUGO ALFREDO

HERNÁNDEZ CHÁVEZ BRIGIDO ALBERTOJUÁREZ MUÑOZ ADRIAN

REDONDO NAVA JOSE NAHUSERRANO SERRANO ARTURO

Especialidad en Tecnología Educativa

CONSIDERACIONES PREVIASEl teorema de Pitágoras es una de las relaciones

matemáticas más importantes dentro de la aritmética, algebra y geometría por sus diversas aplicaciones en la determinación de distancias, alturas y áreas de terrenos y/o superficies.

Sin embargo, su máxima aplicación se da en la trigonometría, ya que por medio de él podemos determinar el seno, coseno y tangente de cualquier triángulo rectángulo.

Para la comprensión de este tema se requiere que los alumnos cuenten con conocimientos previos sobre el cálculo de áreas en figuras planas y despeje de funciones algebraicas.

Pregunta para EvaluaciónPodemos afirmar que las funciones sen, cos y tan están basadas en el Teorema de Pitágoras o proposición 1.47 de los Elementos de Euclides.Cierto/Falso

PITÁGORASNació en 572 a. de c. aproximadamente. En la isla de Samos, una de las islas del mar Egeo, cerca de la ciudad de Mileto, donde nació Tales.

Hijo de Menesarco, quizás un rico comerciante de Samos.

Parece que Pitágoras estuvo en Egipto y posiblemente viajó en forma más extensa por el Oriente antiguo.

Tiempo después emigra al puerto griego de Crotona en Italia del sur. Ahí fundó la célebre escuela pitagórica, así como una fraternidad unida a ritos secretos y cabalísticos.

Se dedicó al estudio de la filosofía, la matemática y la astronomía.

Pregunta para EvaluaciónIndique al menos tres materias en las que Pitágoras estudió e hizo aportacionesFilosofía, matemáticas y astronomía

DEFINICIONES

Teorema: Es una afirmación que puede ser demostrada como verdadera dentro de un marco lógico.

Área: Es aquella cantidad de superficie que se encuentra encerrada dentro de una figura geométrica cerrada.

Ángulo: Es la abertura entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice.

Triángulo rectángulo: Es aquel triángulo en el que uno de sus ángulos es recto, es decir, mide 90º.

Propiedades básicas de área de una figura: Para determinar el área de cualquier figura sin importar su forma, basta con descomponerla en pequeñas porciones o figuras de las cuales podamos determinar su superficie; al final la suma de todas nos dará el área de la figura.Área del rectángulo:La cantidad de superficie encerrada en un rectángulo es el producto de la base por la altura. Así pues podemos decir con toda seguridad que A=b.a.Área del cuadrado: La cantidad de superficie encerrada en un cuadrado de lado l es l2. Es decir A=l2.Área del triángulo: La cantidad de superficie encerrada en un triángulo es igual al producto de la base por la altura dividido por dos, es decir, A = b.a/2

Pregunta para EvaluaciónLa superficie de cualquier figura se puede determinar sumando las de aquellas en las que se haya dividido sin importar la cantidadCierto/Falso

TEOREMA DE PITÁGORASEn un triángulo rectángulo, a los lados que forman el ángulo recto se les llama catetos y al opuesto al ángulo recto hipotenusa.

“La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de lahipotenusa.”

Es decir: En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre cada uno de los catetos.c2 = a2 + b2.

C a t e t o a

Cateto b

H i p o t e n

u s a

Pregunta para EvaluaciónSi un triángulo tiene dos lados de 3 y 4 unidades la hipotenusa medirá 5.Correcto/Incorrecto

TEOREMA DE PITÁGORAS

El teorema de Pitágoras se aplica exclusivamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener cualquier a de sus lados llámese hipotenusa o catetos. Para usar el teorema de Pitágoras, sólo hay que sustituir los datos en la formula en la formula c2= a2+b2, por ejemplo:Dados los datos de un triangulo rectángulo: a= 3 b= 4 y c=?Se sustituye: c2 = (3)2 + (4)2

Elevando al cuadrado, eso da: c2 = 9 +16 = 25Para obtener el valor de c, sacamos raíz cuadrada:  o sea que c = 5.

TEOREMA DE PITÁGORAS

Cuando lo que te falta es uno de los catetos hay que despejar de la fórmula de la siguiente manera:

Cuando se busca a:C2=A2+B2B2 pasa restando y queda:C2 – B2 =A2 o A2= C2-B2

Cuando se busca b:C2=A2+B2A2 pasa restando y queda:C2 – A2= B2 O B2= C2 –A2

Por último si se quiere obtener el valor absoluto de a, b o c se saca la raíz cuadrada del resultado final.

El teorema de Pitágoras es de mucha utilidad en la resolución de problemas de la vida cotidiana. Ejemplo 1:Para el calculo de distancias y/o alturas: Se desean bajar frutos de un árbol de naranjas, para ello se quiere construir una escalera que sea capaz de alcanzarlos, sabiendo la altura a la que se encuentran los frutos y la distancia del árbol a la base de la escalera.

A= 8

B=5

C=?

Sustituyendo valores en la formula, tenemos que: c2=a2+b2C2=(8)2+(5)2C2=64+25C2=89C=√89C= 9.43 m es la altura de la escalera.

Ejemplo 2:Calcular la longitud d de la diagonal de un cuadrado cuyos ladosmiden 8 m.

Si se considera una parte del cuadrado, se tiene un triángulo rectángulo en el que c = d, a = 8 y b = 8.

Al utilizar la relación pitagórica c2 = a2 + b2, se sustituyenlos datos:d2 = 82 + 82 = 64 + 64 = 128d= √128d= 11.31m

Ejemplo3:Calcular el área de un hexágono regular conociendo que la longitudde cada uno de sus lados es de 4 m.Para calcular el área de un

hexágono se aplicara la siguiente formula:

El perímetro es igual que P = 6 x l, que sustituyendo es P = 6 x 4 = 24 m

Para calcular la longitud del apotema, obsérvese que el triángulo ABC es equilátero, se utiliza una parte de uno de los triángulos equiláteros. Para saber que la longitud de los lados del triángulo rectángulo:

Sustituir estos datos en la relación:

c2 = a2 + b242 = a2 + 2216 = a2 + 4

Se resuelve la ecuación de segundo grado:

Ejemplo 4:Para combatir un incendio forestal, el Departamento de Silvicultura desea talar un terreno rectangular alrededor del incendio, como se ve en la figura. Las cuadrillas cuentan con equipos de radiocomunicación de 3000 yardas de alcance. ¿Pueden seguir en contacto las cuadrillas en los puntos A y B?Los puntos A, B y C forman un

triángulo rectángulo. Para calcular la distancia c del punto A al punto B se utiliza el teorema de Pitágoras, sustituyendo a “a” por 2,400 y a “b” por 1,000, y despejando a c:a2+b2=c2

24002+10002=c2

6,760,000=c2

c=2600Las dos cuadrillas están a 2600 yardas de distancia. Esa distancia es menor que la del alcance de los radios, por lo que las cuadrillas se pueden comunicar.

En trigonometría el teorema de Pitágoras se utiliza para determinar los ángulos de cualquier triangulo rectángulo mediante las razones trigonométricas de seno, coseno y tangente.

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo, lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

De esta manera tenemos que:

El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa, se expresa de la siguiente manera:

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa, se expresa así:

La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente:

Del teorema de Pitágoras se desprenden algunas identidades trigonométricas; por identidad trigonométrica se entiende como una igualdad en que se cumple para todos los valores permisibles de la variable. Como en el triángulo rectángulo cumple la función que:

De la figura anterior se tiene que:

Entonces para todo ángulo α, se cumple la identidad Pitagórica :

Pregunta para Evaluación“La suma de los cuadrados del seno y coseno de un < de 37 grados nos da uno”Correcto/Incorrecto

Conclusiones:

Hoy en día a pesar de los avances tecnológicos es necesario utilizar cálculos y funciones matemáticas que a pesar de que se crearon hace varios siglos siguen siendo útiles para resolver problemas de la vida cotidiana.

El Teorema de Pitágoras es un claro ejemplo de ello, ya que se considera parte de la educación elemental de cualquier individuo, en su forma más simple, nos proporciona una solución sencilla a problemas de longitud, alturas y distancias que en cualquier etapa de nuestra vida se nos pueden presentar.

Bibliografía:

http://es.wikipedia.org/wiki/Cotangente

http://www.appletpie.com/apie/apiedemo/demostracion.html

“El teorema de Pitágoras” Presentación elaborada por la Dra. Lourdes Palacios & M.I.B. Norma Castañeda. Matemáticas preuniversitarias.

“Teorema de Pitágoras”. Documento PDF. Disponible en: www.tecnica80sinaloa.edu.mx/MaterialEducativo/Matematicas/Articulos/03TEOREMA%20DE%20PITÁGORAS.pdf

Ejercicios adicionales para la Evaluación

El siguiente dibujo ha sido completado y traducido a términos modernos; viene de una tablilla de arcilla, muy deteriorada, fechada hacia el año 1800 a. C.Se debe encontrar el radio x del círculo circunscrito al triángulo isósceles ABC, sabiendo que AB=60 y que CA=CB= 50.

Solución: Se calcula primero DC, usando el teorema de pitágoras se obtiene DC=40. Si x es el radio del círculo, se tendrá que CD=40-x. Aplicando nuevamente el teorema se tiene que x*2= (40-x)* 2 + 30*2 de donde x= 31 1/4

A

C

B

ox

D30

50

La trigonometría existe porque existe el teorema de PitágorasE.S. Lomis

Pasando por los puntos de la figura, formar un cuadrado que tenga un área de 5 unidades cuadradas

Solución 1

2

“La geometría tiene dos grandes tesoros, unos es el Teorema de Pitágoras, y otro la división de un segmento en media y extrema razón. Si el primero es una joya de oro , el segundo viene a ser una piedra preciosa”

Kepler