Curso Geometria - Módulo2

Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS


Área do retângulo

Quadrado de 1 unidade de área = 1m2

Quantas unidades de área cabe nesse retângulo?

8 unidades de área= 8 m2

Área do retângulo = base x altura

..\Pictures\area do triangulo.ggb


../Pictures/area do triangulo.ggb

Área do triângulo

Área do triângulo= 2 áreas do retângulo

logo

Área do triângulo = base x altura / 2

..\Videos\_areadeumtriangulo.programa.exe

../Videos/_areadeumtriangulo.programa.exe

• FÓRMULA DE HERON- Área de região triangular

Se um triângulo possui os lados medindo a, b e c e o seu perímetro é indicado por 2p=a+b+c, então a área da região triangular será dada por

A = R[p(p-a)(p-b)(p-c)]

onde R[x] é a notação para a raiz quadrada de x>0.

b2=m2+h2

c2=n2+h2

a=m+n

b2 – c2= m2- n2

b2- c2 = (m+n)(m-n) b2-c2=a(m-n)

m+n=a

m-n=(b2-c2)/a

Se somarmos obtemos m=(a2+b2-c2)/2a

Se subtrairmos obtemos n=(a2+c2-b2)/2a

a+b-c = a+b+c-2cp= semi perímetro a+b+c=2pa+c-b = a+b+c-2b

2p-2c = 2(p-c)

b+c-a = a+b+c-2a

2p-2b = 2(p-b)

2p-2a = 2(p-a)

4a²h²= 4a2(b2-m2) =4a2(b+m)(b-m)

= 4a2[b+(a2+b2-c2)/2a)] [b-(a2+b2-c2)/2a)]

= (2ab+a2+b2-c2)(2ab-a2-b2+c2)

= [(a+b)2-c2][-(a-b)2+c2]

= [(a+b+c)(a+b-c)][(c-a+b)(c+a-b)]

= 2p.2(p-c).2(p-a).2(p-b)

a2h2 = 4p(p-a)(p-b)(p-c)

A=a.h/2 A2=a2.h2/4

A2=4p(p-a)(p-b)(p-c)/4

))()(( cpbpappA

Área do triangulo utilizando seno de um dos seus ângulos


Área do trapézio

h

b

b1 b2

(b1.h/2

III

+b.h/2

III

+b2.h/2)

Soma das áreas I, II e III

= h(b1+b2+b)/2

Base maior

Base menor


Área do trapézio através de dois triângulosb

B

(B.h/2 + b.h/2)= h(B + b) / 2h

Área do paralelogramo


h

b B

bB

h.(B+b)/22 = (B+b).h

Área do losango

..\Pictures\area do losango.ggb

../Pictures/area do losango.ggb

Área do losango

d2

d1

Área do retângulo= d2. d1

Área do losango = d2.d1 / 2

Vamos ajudar a abelhinha pegar o mel da florzinha, pelo menor caminho?


..\Videos\sim_geometria_areacirculo.zip

../Videos/sim_geometria_areacirculo.zip

FÓRMULA DE PICK

Para polígonos cujos vértices são

pontos de uma malha quadriculada

A = B/2 + I - 1

B = quantidade de pontos situados

na fronteira

I = quantidade de pontos no interior

do polígono


B = 6 + 15 -1 = 20

B = 7 + 9 -1 = 15

B= 5 + 11 – 1 = 15

Área = (48 + 92) /2

Aproximadamente 70 u

Área da região circular

área graus

πr2 360°

região verde θ

Área do segmento circular

Área do segmento circular = Área do setor OPRQ – Área do triângulo OPQ


Área da esfera

2..4 r

Uma laranja de 12 gomos iguais assemelha-se a uma esfera de raio R. Qual a área da superfície total de cada gomo?



360° 4πr2

(:12)

Área externa do gomo = 4πr2 /12= πr2 /3

Área do gomo = πr2 + πr2 /3 = 4πr2 /3

• OFICINA DE GEOMETRIA.pptx


OFICINA DE GEOMETRIA.pptx

• http://ensinarevt.com/conteudos/geometria/const_geometric/powerpoint/cdiv5.pps


http://ensinarevt.com/conteudos/geometria/const_geometric/powerpoint/cdiv5.pps

• Planificação de um cubo em perspectiva


http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/plan_cubo.html





TRIÂNGULOS SEMELHANTES

O perfil do telhado de uma casa tem o formato de um triângulo escaleno


• Unindo o ponto mais alto do telhado (A) à base (BC), será colocada uma viga de madeira (AD), de modo que o ângulo ADB seja congruente ao ângulo BAC (α). Qual é, em metros, a medida dessa viga?



SEMELHANÇAS:CORDAS ARCOS E ÂNGULOS

..\Pictures\emelhanca1.ggb

..\Pictures\emelhanca2.ggb

Diretoria de Ensino Campinas-Oeste PCOs:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino

../Pictures/emelhanca1.ggb

../Pictures/emelhanca2.ggb

..\Pictures\emelhança3.ggb


../Pictures/emelhança3.ggb

• De acordo com as medidas indicadas na figura, qual a medida de x?


x

8

10

4

4

x

10

8C

E

A

B

D

ABCDBE

BC

AB

BE

DB


• ..\Pictures\triangulo retangulo2.ggb


../Pictures/triangulo retangulo2.ggb

Vamos tirar algumas relações?

p + q = z

x.y = z.k

k2 = p.q

x2 = p.z

Y2 = z.q


Mostre que a.c = b.h

Mostre que a.c = b.h (utilizando área)

Duas demonstrações do Teorema de Pitágoras


http://www.imagensdahora.com.br/gifs_path/2965/folha_de_anotacao

http://www.imagensdahora.com.br/gifs_path/2965/folha_de_anotacao




• ..\Pictures\triangulo retangulo.ggb


../Pictures/triangulo retangulo.ggb

Poesia Matemática

Às folhas tantas do livro matemático

um Quociente apaixonou-se um dia

Doidamente por uma Incógnita.

Olhou-a com seu olhar inumerável

e viu-a, do Ápice à Base, uma figura ímpar:


olhos rombóides, boca trapezóide,

corpo octogonal, seios esferóides.

Fez da sua uma vida paralela à dela

até que se encontraram no infinito.


“Quem és tu?”, indagou ele em ânsia radical.

“Sou a soma dos quadrados dos catetos.

Mas pode me chamar de Hipotenusa.”



Millôr Fernandes é um conhecido escritor brasileiro e colunista da revista Veja.Em 1949 escreveu “Poesia Matemática”, uma obra-prima. Mas, num de seus versos há um erro de definição o que, evidentemente, não tira o brilho da sua obra.

O texto citado é um fragmento da poesia de Millôr, que pode ser lida, na íntegra, no site do escritor: Millôr Online

http://www2.uol.com.br/millor/aberto/poemas/003.htm

Qual é esse erro de definição?


O triângulo retângulo ABC é reto em C.

O segmento CD é a altura de ABC relativa à hipotenusa AB, e o ponto E é o ponto médio de AB. Se AC = 6 cm e CB = 8 cm, quanto mede DE?


http://1.bp.blogspot.com/_YUJ69YgPrsc/SkihP0db8PI/AAAAAAAAAWI/gtCJrcsCuts/s1600-h/screen+inter.jpg

http://1.bp.blogspot.com/_YUJ69YgPrsc/SkihP0db8PI/AAAAAAAAAWI/gtCJrcsCuts/s1600-h/screen+inter.jpg

• ..\Pictures\solução trireto.ggb


../Pictures/solução trireto.ggb

Geometria Analítica

Plano Cartesiano


A

B

xA

yA

xB

yB

dAB

dAB = distância entre A e B

dAB2 = (xB – xA)2 + (yB – yA)2

• ..\Pictures\inclinação.ggb


../Pictures/inclinação.ggb

x

y

Inclinação de AB=α

tgα= (yB – yA)/(xB – xA)

m= tgα

m = (yB – yA) / (xB – xA)

tg (90° + β) = sen (90° + β)/ cos (90°+ β) =

(sen90°cosβ+sen βcos90°) / (cos90°cosβ–sen90°senβ)


1 0 0 1

RETAS

PERPENDICULARES

= cosβ / - senβ = -1/tgβ

Equação da reta

m = (y - yA)/(x – xA)

y - yA = m(x – xA)x

y

A


(0,yA)

β

(x,y)

(x,y) representa os infinitos pontos da reta

m=(y – yA) / (x- 0)

y = mx + yA

DISTÂNCIA DE PONTO A RETA

• Calcular a distancia o ponto P (2;15) à reta r

r: y=3

Calcular a distancia o ponto P (2;15) à reta

r: x = 9

Calcular a distancia o ponto P (2;15) à reta

r: y=3x +1

d?

3.2 +1 = 77

1

3

Q M

B

APB MQB

AP/PB = QM/QB

d/8 = 1/

Logo d=

DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA

y

x

P ax+by=c

ax + by=c’

d=?

M

N bx-ay=0

ax+by=c

bx-ay=0

(a)

(b)

acxba )( 22

02

2

abyxb

acabyxa

22 ba

acx

ax+by=c

bx-ay=0

(-b)

(a)

02

2

yaabx

cbybabx

cbyba )( 22

22 ba

cby


);(2222 ba

cb

ba

acN

)'

;'

(2222 ba

bc

ba

acM


2

2222

2

2222

2)

')

'(

ba

bc

ba

bc

ba

ac

ba

acdMN

2

222222

2

22

2

222222

2

22

)'

()(

'

)(2)(

)'

()(

'

)(2)(

ba

bc

ba

bc

ba

bc

ba

bc

ba

ac

ba

ac

ba

ac

ba

ac

22222222222 )/()''2''2( bacbbcbccbcaacacca

)('2)'()'( 22222222 baccccbcca


)'2)(())('( 222222 ccbabacc

2222222 )/()'2')(( baccccba

222222 )/()')(( baccba

22

'

ba

ccdMN

• Se P=(x0,y0)


ax0+by0=c’

22

00

ba

cbyax

Equação da reta em diferentes contextos

Um fazendeiro dispõe de 18 alqueires para plantar milho e alfafa.Sabendo-se que o fazendeiro pode optar por deixar uma parte das terras sem plantar qualquer uma das culturas e que devem ser plantados no mínimo 5 alqueires de milho, qual a região do plantio que corresponde aos pares (x,y) que satisfazem as condições formuladas?x - a área a ser plantada de milho e

y - a área a ser plantada de alfafa


y

x

18

185

x+y=18

x≥5

• E se tivesse que ser plantado no mínimo 5 alqueires de milho, e no mínimo 3 alqueires de alfafa, qual a região no plano que corresponde aos pares (x,y) que satisfazem as condições formuladas?



y

x

18

185

x+y=18

x≥5

3 y≥3

Uma fábrica utiliza dois tipos de máquinas, M1 e M2, para produzir dois tipos de produtos, P1 e P2. Cada unidade de P1 exige 2h de trabalho de M1 e 2h de M2; cada unidade de P2 exige 1 hora de trabalho de M1 e 4h de M2. Sabendo que as máquinas M1 e M2 podem trabalhar no máximo 10 h por dia e 16 h por dia, respectivamente,e que o lucro unitário, na venda e P1, é igual a 40 reais, enquanto na venda de P2, o lucro unitário é de 60 reais. Representando por x a quantidade diária a ser produzida e P1 e por y a quantidade a ser produzida de P2, responda:

Qual a relação entre x e y de modo que o tempo de utilização da máquina M1 não ultrapasse as horas diárias permitidas?

x

y

2x+1y≤1010

5

2x+1y≤10

Qual a relação entre x e y de modo que o tempo de utilização da máquina M2 não ultrapasse as horas diárias permitidas?


2x+ 4y≤16y

x

4

8

Represente a região do plano cartesiano que corresponde aos pontos (x;y) que satisfazem simultaneamente as duas restrições.


10

5

4

8

2x+y≤10

2x+4y≤16

Quadrilátero de vértices

(0,0) ; (5.0) ; (0,4) e ?

1642

102

yx

yx(4,2)

Qual a expressão do lucro total L que resulta da venda de todas as unidades produzidas de P1 e P2?

P1- x - lucro 40

P2- y - lucro 60


L=40x+60y

Represente os pontos do plano que correspondem a um lucro total igual a 120 reais

L=40x+60y

120=40x+60y

y

x

2

3

Qual o ponto da região que satisfaz simultaneamente as duas restrições e que corresponde ao lucro máximo?


2

3

120=40x+60y

4

L

L

L=40x+60y

L= 40.4+60.2=160+120

L= 280 reais

CORREÇÃO DE ALGUNS EXERCÍCIOS


O lado do quadrado maior mede “a”. Supondo que a seqüência d e quadrados menores construídos em seu interior continuem apresentando o mesmo padrão de regularidade, indicado na figura, conclui-se que a diagonal do décimo quadrado, quando todos estão ordenados em ordem decrescente de perímetro, mede



diagonalaad a1222

1

2

1

2

1

222

2 )2

()2

()2

()2

(aaaa

d

2

2

2

2

2

3 )2

()2

(aa

d

2

9

2

9

2

10 )2

()2

(aa

d

512

2a


PRISMASBases: são polígonos de mesma forma

Faces: laterais são paralelogramos

Nome: é dado pela forma de sua base

Aresta lateral :

perpendicular às bases – reto

caso contrário – oblíquo

http://www2.ucg.br/design/da2/solidosgeometricos.pdf


12cm6cm

6cm

6cm

6cm

12cm

120°

Possuem a mesma área total?

Caixas de presente


120° 60°H

6cm

sen60°= H/6

62

3 H

cmH 2,533

Área total= 350,4cm2

Área total prisma reto = 360cm2

• Qual o maior lápis que se pode guardar, nas caixas abaixo, sem que a ponta fique de fora?

• Formato de paralelepípedo reto-retângulo com 3cm de comprimento, 4cm de profundidade e 12cm de altura.

• Formato de prisma regular triangular de aresta da base 12cm e altura 16cm.

• Formato de prisma regular hexagonal , com aresta de base 6cm e altura 8cm



O Volume de um Prisma e o Princípio de Cavalieri

Cartas

• Tomando dois sólidos com base de mesma área e sobre um mesmo plano, se todas as seções paralelas à base dos dois sólidos tem a mesma área, então os dois sólidos têm o mesmo volume.

Diretoria de Ensino Campinas-OestePCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino


http://alfaconnection.net/pag_avsm/geo160

1.htm

VOLUME INTERNO X QUANTIDADE DE MATERIAL UTILIZADO

(DISTRIUIR 2 FOLHAS SULFITES)


Construir alvéolos:

Com uma folha a parte lateral e com a outra as bases

Prisma triangular regular

Prisma quadrangular regular

Prisma hexagonal regular


http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://bi.gave.min-edu.pt/files/2085/9_94.png&imgrefurl=http://bi.gave.min-edu.pt/bi/3eb/920/2085&h=177&w=148&sz=2&tbnid=6VuxmPiz8CNRUM:&tbnh=101&tbnw=84&prev=/images?q=prisma+triangular&zoom=1&q=prisma+triangular&usg=__A2YJKymbMKsIUlnwrswlRcb8Rjw=&sa=X&ei=oCiqTPm8DsP68Ab79qCODQ&ved=0CBsQ9QEwAQ












• Perímetro: lado maior da folha

• Perímetro do triangulo: 3x

• Perímetro do quadrado: 4y

• Perímetro do hexágono: 6z

• 3x=4y=6z y=3x/4 e z= x/2

• Os 3 prismas tem a mesma altura - lado menor da folha


• Volume do prisma: área da base x altura

Triangular regular :

Quadrangular regular:

Hexagonal regular:


hx

.4

32

hx

.16

9 2

hx

.8

33 2

Prisma Triangular regular: 0,4330.x2.h

Prisma Quadrangular regular: 0,5625.x2.h

Prisma Hexagonal regular: 0,6495.x2.h


7320,13

CILINDROS: (podemos imaginar)

Prisma regular cuja base teve o número de lados sucessivamente aumentado, aproximando-se de um círculo.

Sólido de Revolução








Área do cilindro


Volume do Cilindro


Um tanque de álcool em formato de

um cilindro com 1m de raio de base e

4m de altura. Qual é o volume de

álcool consumido quando a régua

registra a marca de d= 30cm?


0.3m

1m

4m


R=1R=1

d=0,3m

O

θ

Área do setor circular – Área do triângulo isósceles

0,7

R=1 1

7,0

2cos

45

2

902

• Área do setor circular = 1/4 da área do círculo

= πr2/4 = π.12/4 = π/4

• Área do triângulo isósceles (retangulo)= R.R/2 = 1.1/2= 1/2

• Área do segmento circular = π/4 – 1/2 =

0,785- 0,5= 0,285 m2


• Volume = área da base x altura

• Volume = 0,285.4= 1140 litros

Foram consumidos 1140 litros de álcool

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Clementino

Pirâmide


• Uma pirâmide é todo poliedro formado por uma face inferior e um vértice que une todas as faces laterais. As faces laterais de uma pirâmide são regiões triangulares, e o vértice que une todas as faces laterais é chamado de vértice da pirâmide.

Apótema (ou o apotegma) de um polígono

regular é a designação dada ao segmento de

reta que partindo do centro geométrico da

figura é perpendicular a um dos seus lados.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Poliedro

http://pt.wikipedia.org/wiki/Face

http://pt.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Face_lateral&action=edit&redlink=1

http://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo

http://pt.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono

http://pt.wikipedia.org/wiki/Perpendicular

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A

C

B

Volume da Pirâmide =

hChBhA .3

1.

3

1.

3

1

)(3

1CBAh

hAreadabasemideVolumePira .3

1

h

CONE


Construção do Cone

Vamos construir setores circulares de raio 10cm e com ângulos de : 60°, 120°, 90° e 270°.

Podemos unir os raios.

Cada figura corresponde a área lateral de um cone

Um cone é um sólido geométrico formado por

todos os segmentos de reta que têm uma

extremidade em um ponto V (vértice) em comum

e a outra extremidade em um ponto qualquer de

uma mesma região plana R (delimitada por uma

curva suave, a base).

http://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lido_geom%C3%A9trico

Observando as figuras

Ângulo Central α

Área do setorCircular A

Raio da base r

Altura do cone h

60°

90°

120°

270°

• Área do círculo (360°) =

• Área do setor (60°) =

• Comprimento do arco = comprimento da base= comprimento do setor

• Comprimento do setor (60°) =

• 2πr = π r= cm


22 100. cmR

2

3

50

6

100.cm

3

10

36

2

RR

3

10

3

5


• Altura, raio da base e geratriz formam um triangulo retângulo

g2= R2 + h2

102= (5/3)2 + h2

100 = (25/4) + h2

h2= 100 – 25/4

h2= 375/4

h = cm2

155

4

375

Observando as figuras

Ângulo Central α

Área do setorCircular A

Raio da base r

Altura do cone h

60° 50π/3 5/3

90° 25π 5/2

120° 100π/3 10/3

270° 75π 15/2

3

355

2

155

3

220

2

75

• Segundo estudos da ABNT, o campo de proteção oferecido por um para-raios é aquele abrangido por um cone, tendo por vértice o ponto mais alto da haste vertical, cuja geratriz forma um ângulo de 60° com esta haste. Geralmente a medida das hastes é de 1m. Com base nessas informações, faça uma representação e determine a área aproximada da base do “campo de proteção” oferecido por um para-raios disposto sobre uma antena de 79m de altura.


Base do campo de

proteção

1m

79m

60°

8060

Rtg

mR 56,1383.80

87,19198.14,32 ReçãoAreadeprot

Área de aproximadamente 60 284,46 m2


R

R

h

Esfera raio R

Cilindro eqüilátero

Do cilindro, vamos subtrair dois cones iguais com base na base

do cilindro e vértices coincidentes com o centro do cilindro

Este sólido C (clépsidra) é tal que qualquer plano horizontal

distando h do seu centro (ou do centro da esfera que é o

mesmo), produz uma seção que é uma coroa circular de

raio externo é R e raio interno h.

Logo o volume da esfera é igual ao volume de C

O volume de C é o volume do cilindro de raio R e altura 2R subtraído de dois cones de raio R e altura R, que nos dá:


322

3

4

3

1.22 RRRRR

CÔNICAS


YouTube - Video Conicas LSLC -1_2.mp4

YouTube - Video Conicas LSLC - 1_2.mp4

CIRCUNFERÊNCIA

Lugar geométrico dos pontos P(x;y) de um plano que equidistam de um mesmo

ponto fixo


222 Ryx 2: R

2

2

2

2

2

2

R

R

R

y

R

x

R

ysen

R

x ,cos

2

22

2

22 ,cos

R

ysen

R

x

1cos22 sen

ELIPSE

Lugar geométrico dos pontos P(x;y) de um plano onde a soma das distâncias a dois

pontos fixos F1 e F2 permanece constante


PF1 + PF2 = constante

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Clementino

cc

aa

b

b

Se P estiver em V2

PF1 + PF2=cte= (a+c) + (a-c)= 2a

V3

V2V1

V4

F1 F2

cc

2a


Se P estiver em V3

V3F1+V3F2=2a

V3

V1F1F2 V3F1=V3F2

2V3F1=2a

V3F1= a

a2 = b2 + c2

c2 = a2 – b2


ayxcyxc 22222

22222 yxcaycx

222222244 yxcyxcaaycx


222 444 ycxaaxc Elevando ao quadrado

224222222 xcaxayaca c2 = a2 - b2

22242222222 )()( xbaaxabaaya

222242222422 xbxaaxabaaya

222222 baxbya 12

2

2

2

b

y

a

x

HIPÉRBOLE

Lugar geométrico dos pontos P(x;y) de um plano onde o módulo da diferença das distâncias a dois pontos fixos F1 e F2,

permanece constante.



OF1=OF2=c

|PF1 – PF2|= K = constante


cb

c2=a2+ b2

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