Determinantes Sistemas Lineares

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DETERMINANTESDETERMINANTES

DefiniçãoDefinição:: Determinante é um número associado a Determinante é um número associado a uma matriz quadrada de ordem uma matriz quadrada de ordem n x n.n x n.

Matriz quadrada de ordem 1Matriz quadrada de ordem 1

Se A é uma matriz quadrada de ordem 1, isto é A = ( aSe A é uma matriz quadrada de ordem 1, isto é A = ( a1111 ), ),

o seu determinante será o próprio elemento ao seu determinante será o próprio elemento a1111..

det A =det A = aa1111 = = aa1111

Exemplo.:Exemplo.:

A = ( 120 ) A = ( 120 ) ⇒⇒ det A = 120det A = 120B = (– 29 ) B = (– 29 ) ⇒⇒ det A = – 29det A = – 29



A = A = aa1111 a a1212

aa2121 a a2222 ⇒⇒ det A = det A =

aa1111 a a1212

aa2121 a a2222 = = aa1111 ⋅⋅ a a2222 – a – a1212 ⋅⋅ a a2121

A = A = ––3 23 2

1 –5 1 –5 ⇒⇒

Produto dos elementos da diagonal principal Produto dos elementos da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária.menos o produto da diagonal secundária.

––3 23 2

1 –5 1 –5 det A = det A = = = (–3) (–3) ⋅⋅ (–5) – (2) (–5) – (2) ⋅⋅ (1) (1)

det A = 15 – 2 = 13det A = 15 – 2 = 13

det A = 13det A = 13



Regra de SarrusRegra de Sarrus: Repete-se as duas primeiras linhas : Repete-se as duas primeiras linhas abaixo da terceira linha ou repete-se as duas primeiras abaixo da terceira linha ou repete-se as duas primeiras colunas após a terceira coluna. Em seguida, calcula-se a colunas após a terceira coluna. Em seguida, calcula-se a soma do produto da diagonal principal com o produto soma do produto da diagonal principal com o produto das diagonais paralelas a ela (SDP). Faz-se o mesmo com das diagonais paralelas a ela (SDP). Faz-se o mesmo com a diagonal secundária e suas paralelas (SDS). Em a diagonal secundária e suas paralelas (SDS). Em seguida, faz-se a diferença desses valores obtidos com seguida, faz-se a diferença desses valores obtidos com as diagonais. (det A = SDP – SDS) as diagonais. (det A = SDP – SDS)


aa1111 a a1212 a a1313

aa2121 a a2222 a a2323

aa3131 a a3232 a a3333

aa1111 a a1212 a a1313

aa2121 a a2222 a a2323

SDP = SDP = ( a( a1111⋅⋅aa2222⋅⋅ aa3333 + + aa2121⋅⋅ aa3232⋅⋅aa1313 + + aa3131⋅⋅ aa1212⋅⋅aa2323 ) )

SDS = SDS = ( a( a1313⋅⋅aa2222⋅⋅ aa3131 + + aa2323⋅⋅ aa3232⋅⋅aa1111 + + aa3333⋅⋅ aa1212⋅⋅aa2121 ) )

det A = SDP – SDI det A = SDP – SDI

aa1111 a a1212 a a13 13 a a1111 a a1212

aa2121 a a2222 a a2323 a a2121 a a2222

aa3131 a a3232 a a3333 a a3131 a a3232

ouou


Propriedades dos determinantesPropriedades dos determinantes

1.1. Um determinante será nulo quando possuir uma fila Um determinante será nulo quando possuir uma fila formada só por zeros ou duas filas paralelas iguais ou formada só por zeros ou duas filas paralelas iguais ou proporcionaisproporcionais

det A = det A = 0 0 0 0

3 5 3 5 = = (0) (0) ⋅⋅ (5) – (0) (5) – (0) ⋅⋅ (3) (3) 0 – 00 – 0= = = = 00

1 3 5 1 3 5

3 0 –53 0 –5

1 3 51 3 5det A = det A =

( 0 + ( 0 + 45 45 – – 15 )15 )det A = det A = – – ( 0 + ( 0 + 45 45 – – 15 )15 ) det A = 0 det A = 0 ⇒⇒


2.2. Se trocarmos entre si a posição de duas filas paralelas, Se trocarmos entre si a posição de duas filas paralelas, o determinante mudará o sinal.o determinante mudará o sinal.

1 3 5 1 3 5

3 0 –53 0 –5

2 1 22 1 2det A = det A =

( 0 + ( 0 + 15 15 – – 30 )30 )det A = det A = – – ( 0 – ( 0 – 5 + 5 + 18 )18 )

det A = –28det A = –28⇒⇒(– 15 )(– 15 )det A = det A = – – ( 13 )( 13 )

2 1 2 2 1 2

3 0 –53 0 –5

1 3 51 3 5det A = det A = ( 0 + ( 0 + 18 18 – – 5 )5 )= = – – ( 0 – ( 0 – 30 + 30 + 15 )15 )

det A = 28det A = 28⇒⇒( 13 )( 13 ) – – ( –15 )( –15 )


3.3. Se multiplicarmos umas das filas de uma matriz Se multiplicarmos umas das filas de uma matriz quadrada por um número quadrada por um número kk, o seu determinante ficará , o seu determinante ficará multiplicado por multiplicado por kk..

det A = det A = 2 4 2 4

3 5 3 5 = = (10) – (12) = –2 (10) – (12) = –2

det B = det B = 6 12 6 12

3 5 3 5 = = (30) – (36) = –6(30) – (36) = –6

kk = 3 = 3

det B = det B = kk⋅⋅ det Adet A

det B = 3det B = 3⋅⋅ (–2) = –6(–2) = –6


4.4. Da propriedade 3, decorre que: det ( Da propriedade 3, decorre que: det ( kk⋅⋅ AAnn ) = ) = kknn⋅⋅det Adet Ann..

AA22 = = 2 4 2 4

3 5 3 5 ⇒⇒ 33⋅⋅ AA22 = = 6 126 12

9 15 9 15

det ( 3det ( 3⋅⋅ AA22) = ) = 6 126 12

9 15 9 15 = = (90) – (108) = –18(90) – (108) = –18

det ( 3det ( 3⋅⋅AA22 ) = 3 ) = 322⋅⋅det Adet A2 2 = 9= 9⋅⋅ (–2) = –18 (–2) = –18

kk = 3 = 3


5.5. det A = det A det A = det ATT . .1 3 5 1 3 5

3 0 –53 0 –5

2 1 22 1 2det A = det A =

( 0 + ( 0 + 15 15 – – 30 )30 )det A = det A = – – ( 0 – ( 0 – 5 + 5 + 18 )18 )

det A = –28det A = –28⇒⇒(– 15 )(– 15 )det A = det A = – – ( 13 )( 13 )

1 3 2 1 3 2

3 0 13 0 1

5 –5 25 –5 2det Adet ATT = =

( 0 – ( 0 – 3030 + 15 )+ 15 )det Adet ATT = = – – ( 0 – ( 0 – 5 + 5 + 18 )18 )

det Adet ATT = –28 = –28⇒⇒(– 15 )(– 15 )det Adet ATT = = – – ( 13 )( 13 )


6.6. det ( A det ( Ann ⋅⋅ B Bnn ) = det A ) = det A ⋅⋅ det B det B

AA22 = = 2 4 2 4

3 5 3 5 BB22 = =

3 103 10

1 2 1 2

AA22 ⋅⋅ B B22 = = 2 4 2 4

3 5 3 5 3 103 10

1 2 1 2 ⋅⋅

;;

= = 10 2810 28

14 4014 40

det ( Adet ( Ann ⋅⋅ B Bnn ) = 400 – 392 = 8 ) = 400 – 392 = 8

det A det A ⋅⋅ det B = (–2) det B = (–2) ⋅⋅ (–4) = 8 (–4) = 8


7.7. det I det Inn = 1 = 1

1 0 0 1 0 0

0 1 00 1 0

0 0 10 0 1det Idet I33 = = det Idet I33 = 1 = 1⇒⇒

8.8. O determinante de matrizes triangulares e de matrizes O determinante de matrizes triangulares e de matrizes diagonais se resume ao produto dos elementos da diagonais se resume ao produto dos elementos da diagonal principal.diagonal principal.

5 3 2 5 3 2

0 –2 10 –2 1

0 0 30 0 3det A = det A = det A = 5 det A = 5 ⋅⋅ (–2) (–2) ⋅⋅ 3 = –30 3 = –30


Matriz inversaMatriz inversa

Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Essa matriz Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Essa matriz possuirá inversa (Apossuirá inversa (A–1–1) se, e somente se, seu determinante ) se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.for diferente de zero.

AA–1–1⋅⋅ A = A A = A ⋅⋅ A A–1–1 = I = I ⇔⇔ det A det A ≠≠ 0. 0.

1. Se A1. Se A2x22x2 = =a ba b

c dc d, então :, então : AA–1–1 = =

d –b d –b

––c a c a

det Adet A det Adet A

det Adet A det Adet A

2. det A2. det A–1–1 = = 1 1 det Adet A

, det A , det A ≠≠ 0 0

3. Se A possuir inversa, essa será única.3. Se A possuir inversa, essa será única.


01. (Fuvest – SP) Se a é uma matriz 2x2 iversível que 01. (Fuvest – SP) Se a é uma matriz 2x2 iversível que satisfaz Asatisfaz A22 = 2A, então o determinante de A será: = 2A, então o determinante de A será:

a)a) 0.0.b)b) 1.1.c)c) 2.2.d)d) 3.3.e)e) 4.4.

det A det A ⋅⋅ det A = 2 det A = 222 ⋅⋅ det A det A

det A = 4det A = 4

EE

det Adet A22 = det (2A) = det (2A)


02. (Udesc) O grau do polinômio que expressa o02. (Udesc) O grau do polinômio que expressa o

determinante da matriz A = determinante da matriz A =

x x 1 x x 1

2 x –x2 x –x

1 x 11 x 1

x x 1 x x 1

2 x –x2 x –x

1 x 11 x 1P(x) = P(x) =

x x 1 x x 1

2 x –x2 x –x

P(x) = xP(x) = x22 + 2x – x + 2x – x22 – x + x – x + x33 – 2x – 2x

P(x) = xP(x) = x33 – x – x Grau 3Grau 3

a)a) 3.3.b)b) 2.2.c)c) 1.1.d)d) 0.0.e)e) 4.4.

AA


03. (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) 03. (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s)correta(s)..

(01) Se K = (k(01) Se K = (kijij) é uma matriz quadrada de ordem 2 dada ) é uma matriz quadrada de ordem 2 dada

por kpor kijij = 2 = 22i + j2i + j para i < j e k para i < j e kijij = i = i22 + 1 para i + 1 para i >> j, então k é j, então k é

uma matriz inversível.uma matriz inversível.

K = K = kk1111 k k1212

kk2121 k k2222

kk1111 = 1 = 122 + 1 = 2 + 1 = 2kk1212 = 2 = 22(1) + 2 2(1) + 2 = 2= 244 = 16 = 16

kk2121 = 2 = 222 + 1 = 5 + 1 = 5

kk2222 = 2 = 222 + 1 = 5 + 1 = 5

K = K = 2 162 16

5 55 5

Det K = 10 – 80 = –70 Det K = 10 – 80 = –70 ≠≠ 0 0 ∴∴ é inversívelé inversível

(01) - correta(01) - correta


(02) Se A e B são matrizes tais que A (02) Se A e B são matrizes tais que A ⋅⋅ B é uma matriz B é uma matriz nula, então A é uma matriz nula ou B é uma matriz nula.nula, então A é uma matriz nula ou B é uma matriz nula.

A A ⋅⋅ B = 0 não implica em A = 0 ou B = 0. B = 0 não implica em A = 0 ou B = 0.

(02) - incorreta(02) - incorreta

(04) Sejam as matrizes M e P, respectivamente de tipos (04) Sejam as matrizes M e P, respectivamente de tipos 5x7 e 7x5. Se R = MP, então a matriz R5x7 e 7x5. Se R = MP, então a matriz R22 tem 625 tem 625 elementos.elementos.

MM5x75x7 ⋅⋅ P P7x57x5 = R = R5x55x5 (A matriz R possui 25 elementos) (A matriz R possui 25 elementos)

Logo, a matriz RLogo, a matriz R22 tem 25 elementos. tem 25 elementos.c.e.pc.e.p

Ordem nOrdem n

(04) - incorreta(04) - incorreta


(08) Chamamos de “traço de L” e anotamos Tr(L) a soma (08) Chamamos de “traço de L” e anotamos Tr(L) a soma do elementos da diagonal principal de uma matriz do elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada L; então Tr(L) = Tr(Lquadrada L; então Tr(L) = Tr(LTT).).

A transposta de uma matriz não altera sua diagonal A transposta de uma matriz não altera sua diagonal principal.principal.

(08) - correta(08) - correta

GABARITO QUESTÃO 03 : 01 + 08 = 09 GABARITO QUESTÃO 03 : 01 + 08 = 09


SISTEMAS LINEARESSISTEMAS LINEARESEquação Linear é uma equação de forma:Equação Linear é uma equação de forma:

aa11⋅⋅ xx11 + a + a22⋅⋅xx22 + a + a33⋅⋅ xx33 + ... + a + ... + ann⋅⋅xxnn = b = b

Portanto, um sistema será linear quando for composto de Portanto, um sistema será linear quando for composto de equações lineares.equações lineares.

2x + 3y = 52x + 3y = 5x – y = 2x – y = 2

2x2x22 + 3y = 5 + 3y = 5x – y = 2x – y = 2

2x + 3y – z = 52x + 3y – z = 5x – y + z = 2x – y + z = 2––5x – 3y + 4z = 105x – 3y + 4z = 10

2xy + 3y = 52xy + 3y = 5x – y = 2x – y = 2

linearlinear

não-linearnão-linear


Observações:Observações:

3x + 2y + z = 13x + 2y + z = 1x – y + 3z = 2x – y + 3z = 25x + 2y + z = 75x + 2y + z = 7

3 2 1 3 2 1 1 –1 3 1 –1 3 5 2 1 5 2 1

xxyyzz

112277

==..⇒⇒1.1. Forma Forma matricialmatricial

3 2 1 1 3 2 1 1 1 –1 3 2 1 –1 3 2 5 2 1 7 5 2 1 7

Forma matricial Forma matricial completacompleta

2. A matriz constituída apenas pelos coeficientes é 2. A matriz constituída apenas pelos coeficientes é denominanda denominanda matriz principalmatriz principal..


3. Se o número de equações é igual ao número de 3. Se o número de equações é igual ao número de variáveis e o determinante da matriz principal (variáveis e o determinante da matriz principal (∆∆ ) for ) for diferente de zero,o sistema recebe o nome de diferente de zero,o sistema recebe o nome de normalnormal..

4. Se todos os termos independentes são nulos (0), o 4. Se todos os termos independentes são nulos (0), o sistem é chamado de sistem é chamado de homogêneohomogêneo..

2x + 3y = 02x + 3y = 0x – y = 0x – y = 0


Método de CramerMétodo de Cramer

aa1111⋅⋅ xx11 + a + a1212⋅⋅xx22 + a + a1313⋅⋅ xx33 + ... + a + ... + a1n1n⋅⋅xxnn = b = b11

aa2121⋅⋅ xx11 + a + a2222⋅⋅xx22 + a + a2323⋅⋅ xx33 + ... + a + ... + a2n2n⋅⋅xxnn = b = b22

aan1n1⋅⋅xx11 + a + an2n2⋅⋅ xx22 + a + an3n3⋅⋅ xx33 + ... + a + ... + annnn⋅⋅xxnn = b = bnn

..

..

..

aa11 11 a a1212 a a1313 ... a ... a1n1n

aa21 21 a a2222 a a2323 ... a ... a2n2n............

aan1 n1 a an2n2 a an3n3 ... a ... annnn

∆∆ = =


bb1 1 a a1212 a a1313 ... a ... a1n1n

bb2 2 a a2222 a a2323 ... a ... a2n2n............

bbn n a an2n2 a an3n3 ... a ... annnn

∆∆xx11 = =

aa11 11 b b11 a a1313 ... a ... a1n1n

aa21 21 b b22 a a2323 ... a ... a2n2n............

aan1 n1 b bnn a an3n3 ... a ... annnn

∆∆xx22 = =

aa11 11 a a1212 b b11 ... a ... a1n1n

aa21 21 a a2222 b b22 ... a ... a2n2n............

aan1 n1 a an2n2 b bnn ... a ... annnn

∆∆xx33 = = ......


aa11 11 a a1212 a a1313 ... b ... b11

aa21 21 a a2222 a a2323 ... b ... b22............

aan1 n1 a an2n2 a an3n3 ... b ... bnn

∆∆xxnn = = ......

Se Se ∆∆ ≠≠ 0 temos: 0 temos:

∆∆xx11 xx11 = = ∆∆

∆∆xx22 xx22 = = ∆∆

∆∆xx33 xx33 = = ∆∆

∆∆xxnn xxnn = = ∆∆,, ,, ,, ...... ,,


∆∆ = = 3 23 21 -11 -1

= – 3 – 2 = – 5 = – 3 – 2 = – 5

∆∆ xx = = 8 28 21 -11 -1

= – 8 – 2 = – 10 = – 8 – 2 = – 10

∆∆ yy = = 3 83 81 11 1

= 3 – 8 = – 5= 3 – 8 = – 5

3x + 2y = 83x + 2y = 8x – y = 1x – y = 1

x = x = ∆∆ xx ∆∆ = = ––1010

––55 = 2 = 2

y = y = ∆∆ yy ∆∆ = = ––55

––55 = 1 = 1

S = {(x, y)}S = {(x, y)}

S = {(2, 1)}S = {(2, 1)}

Exemplo:


DISCUSSÃO DE SISTEMASDISCUSSÃO DE SISTEMAS

Sistema linearSistema linear

PossívelPossível

Impossível (sem solução)Impossível (sem solução)

determinadodeterminado

indeterminadoindeterminado

Solução única Solução única ∆∆ ≠≠ 0 0

Infinitas soluções Infinitas soluções ∆∆ = = ∆∆ x = x = ∆∆ y = y = ∆∆ z = 0z = 0

Infinitas soluções Infinitas soluções ∆∆ = 0 e = 0 e ∆∆ x x ≠≠ 0 ou 0 ou ∆∆ y y ≠≠ 0 ou 0 ou ∆∆ z z ≠≠ 0. 0.


Se o sistema linear for homogêneo:Se o sistema linear for homogêneo:

Possível e determinado ( Possível e determinado ( ∆∆ ≠≠ 0 , S = {(0, 0, 0, ..., 0)} ) 0 , S = {(0, 0, 0, ..., 0)} )Solução trivialSolução trivial

Possível e indeterminado ( Possível e indeterminado ( ∆∆ = 0 ) = 0 )(Além da trivial, admitirá soluções próprias)(Além da trivial, admitirá soluções próprias)


04. Três amigos sobem em uma balança de dois em dois. 04. Três amigos sobem em uma balança de dois em dois. Antônio e Beatriz somam 30 kg e Beatriz e Caio, 28 kg. Antônio e Beatriz somam 30 kg e Beatriz e Caio, 28 kg. Sabe-se que Antônio e Caio pesam juntos 34 kg. Sabe-se que Antônio e Caio pesam juntos 34 kg. Quanto pesa Beatriz?Quanto pesa Beatriz?

A + B = 30A + B = 30 B + C = 28B + C = 28A + C = 34A + C = 34 (–)(–)

2B = 242B = 24

B = 12B = 12

A + B = 30A + B = 30-A + B = –6-A + B = –6

++

Beatriz tem 12 kg.Beatriz tem 12 kg.


05. (UFSM – RS) Considere o sistema . 05. (UFSM – RS) Considere o sistema .

Então, pode-se afirmar que o sistema é: Então, pode-se afirmar que o sistema é:

x + y + z = 1x + y + z = 12x + 2y + 2z = m2x + 2y + 2z = m3x + 3y + 3z = 43x + 3y + 3z = 4

• possível e indeterminado.possível e indeterminado.• Impossível para qualquer valor de m.Impossível para qualquer valor de m.• Possível e determinado.Possível e determinado.• Possível para m Possível para m ≠≠ 2. 2.• Impossível apenas quando m Impossível apenas quando m ≠≠ 2. 2.


x + y + z = 1x + y + z = 12x + 2y + 2z = m2x + 2y + 2z = m3x + 3y + 3z = 43x + 3y + 3z = 4

÷÷ (2)(2)÷÷ (3)(3)

x + y + z = 1x + y + z = 1

x + y + z = x + y + z = 44 3 3

x + y + z =x + y + z = mm22

x + y + z = 1x + y + z = 1

x + y + z = x + y + z = 44 3 3

Impossível para Impossível para qualquer valor de m.qualquer valor de m.

BB


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Autor desta Aula: ANALBERTO SCHOT - professor BELL. Criciúma - SC

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