Tm9 diferensial-fungsi tokoh kalkulus

29/11/2010

1

Kalkulus: Diferensial Fungsi

Matematika Ekonomi - 2010 1

Diskripsi materi:-Pengertian Kalkulus-Derivatif dari derivatif-Hubungan fungsi dengan dervatifnya-Titik ekstrem dan titik belok-Menggambar grafik fungsi

Tokoh Kalkulus

Matematika Ekonomi - 20102

Sir Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz

29/11/2010

2

Kalkulus (dari Bahasa Latin calculus yang artinyaa u us (da a asa at ca cu us ya g a t ya"batu kecil") adalah cabang ilmu matematikayang mencakup limit, turunan, integral, dan derettakterhingga. Kalkulus, yang mempunyai aplikasi luas dalambidang sains dan teknik, digunakan untukmemecahkan masalah kompleks yang tidak cukupp y g pdiselesaikan dengan menggunakan teknik aljabarelementer.


KALKULUS adalah konsep matematika yang p y gmempelajari mengenai analisis tingkatperubahan dari suatu fungsiKALKULUS terdiri 2 bidang studi:

kalkulus diferensial: mempelajari tingkatperubahan rata-rata atau seketika dari suatufungsikalkulus integral: mempelajari pencarian nilaifungsi asal bila diketahui nilai perubahannyadan juga penentuan luas bidang dibawah kurvayang dibatasi oleh sumbu X


29/11/2010

3

PENEMU Operasi matematika untuk diferensial danU Ope as ate at a u tu d e e s a daintegral adalah Isaac Newton ( warga negaraInggris)

PENERAPAN diferensial untuk membandingkanperubahan dari suatu keseimbangan lama kesuatu keseimbangan baru (Analisis statiskomparatif)p )Analisis tingkat perubahan nilai keseimbanganvariabel endogen terhadap perubahan dalamparameter khusus atau variabel eksogen


Derivatif dari DerivatifSetiap fungsi bisa :contohSet ap u gs b saditurunkan lebih dari 1 kali (tergantungderajatnya).Turunan pertama (turunandari fungsi awal), turunankedua (turunan dari fungsi

0/6/'''

86/''583/'

754)(:

44'

33

22

2

23

==

−==

+−==

−+−==

dddxydy

xdxydyxxdxdyy

xxxxfycontoh

v( gpertama, dst.


0/ 44 == dxydy v

29/11/2010

4

Hubungan antara Fungsi dan Derivatifnya

Dengan mengetahui hub. antara fungsi danDengan mengetahui hub. antara fungsi danderivatifnya besarnya turunan pertama danturunan kedua akan bisa dikenali bentukgambar dari fungsi tersebutKita akan mengetahui kurva menaik ataumenurun, titik ekstrim dan juga titikb l kbeloknya.


Parabola y=f(x) mencapai titik ekstrim pada y’ = 0y’’ > 0, parabola terbuka ke atas,

titik ekstrim: titik minimumy” < 0, parabola terbuka ke bawah,

titik ekstrimnya: titik maksimum

Contoh:

konstanta2/'''linear fungsi82/''

kuadrat fungsi128/'kubik fungsi51243

1)(:

33

22

2

23

→==→−==→+−==

→−+−==

dxydyxdxydyxxdxdyy

xxxxfycontoh


Perhatikan pengurangan derajat fungsi pada masing-masing turunannya

29/11/2010

5

Fungsi Menaik atau MenurunTurunan pertamaTurunan pertamadari sebuah fungsinon-linear dapatdigunakan untukmenentukan apakahkurva dari fungsiyang bersangkutan

Lereng positif fungsi menaik

Lereng negatif fungsi

menurun

Lereng nol y = f(x)

yang bersangkutanmenaik ataumenurun padakedudukan tertentu.


Lereng nol

f’(a) > 0, y = f(x) menaik

f’(a) < 0, y = f(x)menurun

Uji TandaJika turunan pertama f’(x) = 0, makap ( ) ,y = f(x) berada di titik ekstrimUntuk menentukan apakah titik ekstrim tersebutmerupakan titik maksimum ataukah minimum, maka perlu dilakukan uji tanda terhadap f’(a) = 0.Jika f’(x) > 0 untuk x < a dan f’(x) < 0 untuk x >

k titik k t i d l h titik k ia, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum.Jika f’(x) < 0 untuk x < a dan f’(x) > 0 untuk x > a, maka titik ekstrimnya adalah titik minimum.


29/11/2010

6

Contoh:Tentukan nilai dan jenis titik ekstrim dari Tentukan nilai dan jenis titik ekstrim dari fungsi berikut & gambarkan grafiknya.

y = f(x) = x2 - 8x + 12

Jawab:128

;482082)(''

2 +−==→=

=−===

xxyxx

xdXdYxfy

Turunan pertama dari fungsi parabolik y


412)4(8)4( 2

−=+−=

yyyp g p y

= f(x) berguna untuk menentukan letaktitik ekstrimnya.

2)(''' 2

2

===XdYdxfy

turunan kedua berguna untukmengetahui jenis titik ekstrim

12

y

y’= 2x 8

y = x2 – 8x + 12

42 6

2 y” = 2x

y = 2x - 8

0

-4

-8

(4,-4)

y’ = 0 , titik ekstrimy’’ > 0, parabola terbuka ke atas,

titik ekstrim: titik minimumy” < 0, parabola terbuka ke bawah,

titik ekstrimnya: titik maksimum

29/11/2010

7

Titik Ekstrim & Titik BelokTitik maksimum atau minimum fungsi kubik, sertat a s u atau u u gs ub , se tatitik beloknya dapat dicari melalui turunanpertama dan kedua dari fungsi tersebut.Fungsi Kubik y = f(x) mencapai titik ekstrim paday’ = 0Jika y” < 0 pada y’ = 0, maka titik ekstrimnyaadalah titik maksimumadalah titik maksimumJika y” > 0 pada y’ = 0, maka titik ekstrimnyaadalah titik minimumFungsi kubik y = f(x) berada di titik belok pada y” = 0


Contoh:Perhatikan fungsi kubik dan turunannyaPerhatikan fungsi kubik dan turunannyaberikut :y = 1/3x3 – 3x2 + 8x – 3 ………….fungsi kubiky’ = x2 – 6x + 8 ……………………fungsi kuadratiky” = 2x – 6 ………………………..fungsi linear


29/11/2010

8

Menentukan titik ekstrim:Jika y’=0,x2-6x+8=0, (x 2)(x 4) x =2 x =4

Jika y”=0,2x-6=0 x=3 y’ x2 6x+8 0(x-2)(x-4) x1=2,x2=4

Untuk x=x1=2y = 1/3x3 – 3x2 + 8x – 3y = 3,67y”= 2(2)-6=-2 < 0 (titik ekstrim maksimum)Untuk x=x2=4

y =x2-6x+8=0y’=-1

Menentukan titik belok:Jika y”=0,2x-6=0 x=3Untuk x=x2=4

y = 1/3x3 – 3x2 + 8x – 3y = 2,33

y”= 2(4)-6=2 > 0 (titik ekstrim minimum)

2x 6 0 x 3y = 1/3x3 – 3x2 + 8x – 3

y = 3


8

y

’’ 2 6

y’ = x2 – 6x + 8

32 4

2 y” = 2x

y’’= 2x – 6

0

3.67 y = 1/3x3 – 3x2 + 8x + 3(3,3)

(2,3.67)

(4,2.33)

-4

-6

(3,-1)-2

29/11/2010

9

SOAL LATIHAN1. f(X) = X2 -4X +3( )2. f(X) = X2 -6X +83. f(X) = X3 -6X2 +9X +54. f(X) = 2X2 -5X +85. f(X) = 3X2 -6X +106. f(X) = X3 +X2 - X +1

Carilah titik maksimum atau minimum darifungsi-fungsi diatas. Dan Gambarkan grafiknya.

Travel

Tm9 diferensial-fungsi tokoh kalkulus