TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 (ÔN THI LÊN LỚP 10)

HOÀNG THÁI VIỆT

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÁCH GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9

(DÙNG CHO HS ÔN THI VÀO LỚP 10)

Đà nẵng ,Năm 2015

HOÀNG THÁI VIỆT- ĐHBK- 01695316875

Truy cập face để liên hệ và học tập :

https://www.facebook.com/ttbdgdhtv

Download tại liệu của Hoàng thái việt tại :

http://www.slideshare.net/barackobamahtv

https://www.facebook.com/ttbdgdhtv

TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9

HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015 2

tæng hîp kiÕn thøc

vµ çch gi¶i çc d¹ng bµi tËp to¸n 9

A. KiÕn thøc cÇn nhí.

1. §iÒu kiÖn ®Ó c¨n thøc cã nghÜa.

A cã nghÜa khi A 0

2. Çc c«ng thøc biÕn ®æi c¨n thøc.

a. 2A A

b. . ( 0; 0)AB A B A B

c. ( 0; 0)A A

A BB B

d. 2 ( 0)A B A B B

e. 2 ( 0; 0)A B A B A B

2 ( 0; 0)A B A B A B

f. 1

( 0; 0)A

AB AB BB B

i. ( 0)A A B

BBB

k. 2

2

( )( 0; )

C C A BA A B

A BA B

m

m. 2

( )( 0; 0; )

C C A BA B A B

A BA B

m

3. Hµm sè y = ax + b (a 0)

- TÝnh chÊt:

+ Hµm sè ®ång biÕn trªn R khi a > 0. + Hµm sè nghÞch biÕn trªn R khi a < 0. - §å thÞ: §å thÞ lµ mét ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(0;b); B(-b/a;0).

4. Hµm sè y = ax2 (a 0)

- TÝnh chÊt:

+ NÕu a > 0 hµm sè nghÞch biÕn khi x < 0 vµ ®ång biÕn khi x > 0. + NÕu a < 0 hµm sè ®ång biÕn khi x < 0 vµ nghÞch biÕn khi x > 0. - §å thÞ: §å thÞ lµ mét ®êng cong Parabol ®i qua gèc to¹ ®é O(0;0). + NÕu a > 0 th× ®å thÞ n»m phÝa trªn trôc hoµnh. + NÕu a < 0 th× ®å thÞ n»m phÝa díi trôc hoµnh.

PhÇn I:

§¹i sè



5. VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®êng th¼ng

XÐt ®êng th¼ng y = ax + b (d) vµ y = a'x + b' (d')

(d) vµ (d') c¾t nhau a a'

(d) // (d') a = a' vµ b b'

(d) (d') a = a' vµ b = b' 6. VÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®êng th¼ng vµ ®êng cong.

XÐt ®êng th¼ng y = ax + b (d) vµ y = ax2 (P) (d) vµ (P) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm (d) tiÕp xóc víi (P) t¹i mét ®iÓm (d) vµ (P) kh«ng cã ®iÓm chung 7. Ph¬ng tr×nh bËc hai.

XÐt ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0)

C«ng thøc nghiÖm C«ng thøc nghiÖm thu gän

= b2 - 4ac

NÕu > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:

a

bx

21

;

a

bx

22

NÕu = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm

kÐp : a

bxx

221

NÕu < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm

' = b'2 - ac víi b = 2b'

- NÕu ' > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:

a

bx

''

1

;

a

bx

''

2

- NÕu ' = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm

kÐp: a

bxx

'

21

- NÕu ' < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm

8. HÖ thøc Viet vµ øng dông.

- HÖ thøc Viet:

NÕu x1, x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) th×:

1 2

1 2.

bS x x

a

cP x x

a

- Mét sè øng dông:

+ T×m hai sè u vµ v biÕt u + v = S; u.v = P ta gi¶i ph¬ng tr×nh: x2 - Sx + P = 0

(§iÒu kiÖn S2 - 4P 0)

+ NhÈm nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) NÕu a + b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm:

x1 = 1 ; x2 = c

a

NÕu a - b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm:

x1 = -1 ; x2 = c

a



9. Gi¶i bµi to¸n b»ng çch lËp ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh

Bíc 1: LËp ph¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph¬ng tr×nh Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph¬ng tr×nh Bíc 3: KiÓm tra çc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph¬ng tr×nh nghiÖm nµo thÝch hîp víi bµi to¸n vµ kÕt luËn

B. çc d¹ng bµi tËp

D¹ng 1: Rót gän biÓu thøc

Bµi to¸n: Rót gän biÓu thøc A

§Ó rót gän biÓu thøc A ta thùc hiÖn çc bíc sau: - Quy ®ång mÉu thøc (nÕu cã)

- §a bít thõa sè ra ngoµi c¨n thøc (nÕu cã)

- Trôc c¨n thøc ë mÉu (nÕu cã)

- Thùc hiÖn çc phÐp tÝnh: luü thõa, khai c¨n, nh©n chia.... - Céng trõ çc sè h¹ng ®ång d¹ng.

Bài tập:

1)

2

5 2 8 5

2 5 4

;

2) 3 3

1 3 1 1 3 1

3) 3 5 3 5 ;

4) 14 8 3 24 12 3 ;

5) Cho biÓu thøc x 1 x x x x

A =2 2 x x 1 x 1

a) Rót gän biÓu thøc A; b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > - 6.

6) Cho biÓu thøc

x 2 1 10 xB = : x 2

x 4 2 x x 2 x 2

a) Rót gän biÓu thøc B; b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > 0.

D¹ng 2: Bµi to¸n tÝnh to¸n

Bµi to¸n 1: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A.

TÝnh A mµ kh«ng cã ®iÒu kiÖn kÌm theo ®ång nghÜa víi bµi to¸n Rót

gän biÓu thøc A

Bµi to¸n 2: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A(x) biÕt x = a

Çch gi¶i:



- Rót gän biÓu thøc A(x). - Thay x = a vµo biÓu thøc rót gän. Bài tập : Bµi 9: Cho biÓu thøc :

P =

a

a

aaa

a

aa

1

1.

1

1

a) Tính P khi a = 2

b) T×m a ®Ó P< 347

D¹ng 3: Chøng minh ®¼ng thøc

Bµi to¸n: Chøng minh ®¼ng thøc A = B

Mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh: - Ph¬ng ph¸p 1: Dùa vµo ®Þnh nghÜa.

A = B A - B = 0 - Ph¬ng ph¸p 2: BiÕn ®æi trùc tiÕp.

A = A1 = A2 = ... = B - Ph¬ng ph¸p 3: Ph¬ng ph¸p so s¸nh.

A = A1 = A2 = ... = C B = B1 = B2 = ... = C - Ph¬ng ph¸p 4: Ph¬ng ph¸p t¬ng ®¬ng.

A = B A' = B' A" = B" ...... (*) (*) ®óng do ®ã A = B - Ph¬ng ph¸p 5: Ph¬ng ph¸p sö dông gi¶ thiÕt.

- Ph¬ng ph¸p 6: Ph¬ng ph¸p quy n¹p.

- Ph¬ng ph¸p 7: Ph¬ng ph¸p dïng biÓu thøc phô.

D¹ng 4: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc

Bµi to¸n: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc A > B

Mét sè bÊt ®¼ng thøc quan träng:

- BÊt ®¼ng thøc Cosi:

nn

n aaaan

aaaa.....

...321

321

(víi 0..... 321 naaaa )

DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi: naaaa ...321

- BÊt ®¼ng thøc BunhiaC«pxki:

Víi mäi sè a1; a2; a3;…; an; b1; b2; b3;…bn

)...)(...(... 22

3

2

2

2

1

22

3

2

2

2

1

2

332211 nnnn bbbbaaaababababa

DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi: n

n

b

a

b

a

b

a

b

a ...

3

3

2

2

1

1

Mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh: - Ph¬ng ph¸p 1: Dùa vµo ®Þnh nghÜa

A > B A - B > 0 - Ph¬ng ph¸p 2: BiÕn ®æi trùc tiÕp

A = A1 = A2 = ... = B + M2 > B nÕu M 0

A = B



- Ph¬ng ph¸p 3: Ph¬ng ph¸p t¬ng ®¬ng

A > B A' > B' A" > B" ...... (*) (*) ®óng do ®ã A > B - Ph¬ng ph¸p 4: Ph¬ng ph¸p dïng tÝnh chÊt b¾c cÇu

A > C vµ C > B A > B - Ph¬ng ph¸p 5: Ph¬ng ph¸p ph¶n chøng

§Ó chøng minh A > B ta gi¶ sö B > A vµ dïng çc phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng ®Ó dÉn ®Õn ®iÒu v« lÝ khi ®ã ta kÕt luËn A > B. - Ph¬ng ph¸p 6: Ph¬ng ph¸p sö dông gi¶ thiÕt.

- Ph¬ng ph¸p 7: Ph¬ng ph¸p quy n¹p.

- Ph¬ng ph¸p 8: Ph¬ng ph¸p dïng biÓu thøc phô.

D¹ng 5: bµi to¸n liªn quan tíi ph¬ng tr×nh bËc hai

Bµi to¸n 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a0)

Çc ph¬ng ph¸p gi¶i:

- Ph¬ng ph¸p 1: Ph©n tÝch ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch.

- Ph¬ng ph¸p 2: Dïng kiÕn thøc vÒ c¨n bËc hai

x2 = a x = a

- Ph¬ng ph¸p 3: Dïng c«ng thøc nghiÖm

Ta cã = b2 - 4ac

+ NÕu > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:

a

bx

21

;

a

bx

22

+ NÕu = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp

a

bxx

221

+ NÕu < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm - Ph¬ng ph¸p 4: Dïng c«ng thøc nghiÖm thu gän

Ta cã ' = b'2 - ac víi b = 2b'

+ NÕu ' > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:

a

bx

''

1

;

a

bx

''

2

+ NÕu ' = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp

a

bxx

'

21

+ NÕu ' < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm - Ph¬ng ph¸p 5: NhÈm nghiÖm nhê ®Þnh lÝ Vi-et.

NÕu x1, x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) th×:

a

cxx

a

bxx

21

21

.

Chó ý: NÕu a, c tr¸i dÊu tøc lµ a.c < 0 th× ph¬ng tr×nh lu«n cã hai

nghiÖm ph©n biÖt.



Bµi to¸n 2: BiÖn luËn theo m sù cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc

hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ).

XÐt hÖ sè a: Cã thÓ cã 2 kh¶ n¨ng a. Trêng hîp a = 0 víi vµi gi¸ trÞ nµo ®ã cña m.

Gi¶ sö a = 0 m = m0 ta cã: (*) trë thµnh ph¬ng tr×nh bËc nhÊt ax + c = 0 (**)

+ NÕu b 0 víi m = m0: (**) cã mét nghiÖm x = -c/b

+ NÕu b = 0 vµ c = 0 víi m = m0: (**) v« ®Þnh (*) v« ®Þnh

+ NÕu b = 0 vµ c 0 víi m = m0: (**) v« nghiÖm (*) v« nghiÖm

b. Trêng hîp a 0: TÝnh hoÆc '

+ TÝnh = b2 - 4ac

NÕu > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:

a

bx

21

;

a

bx

22

NÕu = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp : a

bxx

221

NÕu < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm

+ TÝnh ' = b'2 - ac víi b = 2b'

NÕu ' > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:

a

bx

''

1

;

a

bx

''

2

NÕu ' = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: a

bxx

'

21

NÕu ' < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm - Ghi tãm t¾t phÇn biÖn luËn trªn. Bµi to¸n 3: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh bËc

hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã nghiÖm.

Cã hai kh¶ n¨ng ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 cã nghiÖm:

1. HoÆc a = 0, b 0

2. HoÆc a 0, 0 hoÆc ' 0 TËp hîp çc gi¸ trÞ m lµ toµn bé çc gi¸ trÞ m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 1 hoÆc

®iÒu kiÖn 2. Bµi to¸n 4: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh bËc

hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt.

§iÒu kiÖn cã hai nghiÖm ph©n biÖt

0

0a hoÆc

0

0

'

a

Bµi to¸n 5: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh bËc

hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 1 nghiÖm.

§iÒu kiÖn cã mét nghiÖm:

0

0

b

a hoÆc

0

0ahoÆc

0

0

'

a


hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã nghiÖm kÐp.



§iÒu kiÖn cã nghiÖm kÐp:

0

0ahoÆc

0

0

'

a


hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) v« nghiÖm.

§iÒu kiÖn vô nghiÖm:

0

0ahoÆc

0

0

'

a


hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 1 nghiÖm.

§iÒu kiÖn cã mét nghiÖm:

0

0

b

a hoÆc

0

0ahoÆc

0

0

'

a

Bµi to¸n 9 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh bËc

hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã hai nghiÖm cïng dÊu.

§iÒu kiÖn cã hai nghiÖm cïng dÊu:

0

0

a

cP

hoÆc

0

0'

a

cP


hai ax2 + bx + c = 0 (a, b, c phô thuéc tham sè m) cã 2 nghiÖm d¬ng.

§iÒu kiÖn cã hai nghiÖm d¬ng:

0

0

0

a

bS

a

cP hoÆc

0

0

0'

a

bS

a

cP


hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 2 nghiÖm ©m.

§iÒu kiÖn cã hai nghiÖm ©m:

0

0

0

a

bS

a

cP hoÆc

0

0

0'

a

bS

a

cP


hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m) cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu.

§iÒu kiÖn cã hai nghiÖm tr¸i dÊu: P < 0 hoÆc a vµ c tr¸i dÊu.

Bài tập: 1. 2 2 2 3 2 0mx m x m có 2 nghiệm cùng dấu.

2. 23 2 2 1 0mx m x m có 2 nghiệm âm.

3. 21 2 0m x x m có ít nhất một nghiệm không âm.




hai ax2 + bx + c = 0 (*) ( a, b, c phô thuéc tham sè m) cã mét nghiÖm x = x1.

Çch gi¶i:

- Thay x = x1 vµo ph¬ng tr×nh (*) ta cã: ax12 + bx1 + c = 0 m

- Thay gi¸ trÞ cña m vµo (*) x1, x2

- HoÆc tÝnh x2 = S - x1 hoÆc x2 = 1x

P


hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m) cã 2 nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n

çc ®iÒu kiÖn:

a. 21 xx b. kxx 2

2

2

1

c. nxx

21

11 d. hxx 2

2

2

1 e. txx 3

2

3

1

§iÒu kiÖn chung: 0 hoÆc ' 0 (*) Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã:

)2(.

)1(

21

21

Pa

cxx

Sa

bxx

a. Trêng hîp: 21 xx

Gi¶i hÖ

21

21

xx

a

bxx

Thay x1, x2 vµo (2) m Chän çc gi¸ trÞ cña m tho¶ m·n (*)

b. Trêng hîp: kxxxxkxx 21

2

21

2

2

2

1 2)(

Thay x1 + x2 = S = a

b vµ x1.x2 = P =

a

c vµo ta cã:

S2 - 2P = k T×m ®îc gi¸ trÞ cña m tho¶ m·n (*)

c. Trêng hîp: ncbxnxxxnxx

2121

21

.11

Gi¶i ph¬ng tr×nh - b = nc t×m ®îc m tho¶ m·n (*)

d. Trêng hîp: 0222

2

2

1 hPShxx

Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh S2 - 2P - h 0 chän m tho¶ m·n (*)

e. Trêng hîp: tPSStxx 333

2

3

1

Gi¶i ph¬ng tr×nh tPSS 33 chän m tho¶ m·n (*)

Bµi to¸n 15 : T×m hai sè u vµ v biÕt tæng u + v = S vµ tÝch u.v = P

cña chóng.

x1, x2



Ta cã u vµ v lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2 - Sx + P = 0 (*)

(§iÒu kiÖn S2 - 4P 0) Gi¶i ph¬ng tr×nh (*) ta t×m ®îc hai sè u vµ v cÇn t×m.

Bài toán 16. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM

Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là çc em phải biết biến đổi biểu thức

nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm 1 2x x và tích nghiệm 1 2x x để áp

dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức

1.Ph¬ng ph¸p: Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( 1 2x x ) và 1 2x x

D¹ng 1. 2 2 2 2 2

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2( 2 ) 2 ( ) 2x x x x x x x x x x x x

D¹ng 2. 23 3 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 23x x x x x x x x x x x x x x

D¹ng 3. 2 2

4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 2 ( ) 2 2x x x x x x x x x x x x x x

D¹ng 4. 1 2

1 2 1 2

1 1 x x

x x x x

D¹ng 5. 1 2 ?x x Ta biết 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 24 4x x x x x x x x x x x x

D¹ng 6. 2 2

1 2x x 1 2 1 2x x x x = ).(4)( 2121

2

21 xxxxxx

D¹ng 7. 3 3

1 2x x = 22 2

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2x x x x x x x x x x x x

=…….

D¹ng 8. 4 4

1 2x x = 2 2 2 2

1 2 1 2x x x x =……

D¹ng 9. 6 6

1 2x x = 2 3 2 3 2 2 4 2 2 4

1 2 1 2 1 1 2 2( ) ( )x x x x x x x x = ……..

D¹ng 10. 6 6

1 2x x ...)(.)()()()( 22

2

2

2

2

1

22

1

2

2

2

1

32

2

32

1 xxxxxxxx

D¹ng 11. 5 5

1 2x x = )(.))(( 21

2

2

2

1

2

2

2

1

3

2

3

1 xxxxxxxx

D¹ng12: (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2

D¹ng13 2

21

21

21

2

))((

211

aaSp

aS

axax

axx

axax

Bµi to¸n 17 : . TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH

SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ

Để làm các bài toán loại này,çc em làm lần lượt theo các bước sau:

1- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2

(thường là a 0 và 0)

2- Áp dụng hệ thức VI-ÉT: a

cxx

a

bxx

2121 .;

3- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau

đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham

số.§ã chÝnh lµ hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2 kh«ng phô thuéc vµo tham sè

m.



Ví dụ 1: Cho phương trình : 21 2 4 0m x mx m (1) có 2 nghiệm 1 2;x x . Lập hệ

thức liên hệ giữa 1 2;x x sao cho chúng không phụ thuộc vào m.

(Bµi nµy ®· cho PT cã hai nghiÖmx1 ;x2 nªn ta kh«ng biÖn luËn bíc 1)

Gi¶i:

Bíc2: Theo hệ th ức VI- ÉT ta có :

1 2 1 2

1 2 1 2

2 22 (1)

1 1

4 3. . 1 (2)

1 1

mx x x x

m m

mx x x x

m m

Bíc2: Rút m từ (1) ta có :

1 2

1 2

2 22 1

1 2x x m

m x x

(3)

Rút m từ (2) ta có :

1 2

1 2

3 31 1

1 1x x m

m x x

(4)

Bíc 3: từ (3) và (4) ta có:

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

2 32 1 3 2 3 2 8 0

2 1x x x x x x x x

x x x x

Ví dụ 2: Gọi 1 2;x x là nghiệm của phương trình : 21 2 4 0m x mx m . Chứng

minh rằng biểu thức 1 2 1 23 2 8A x x x x không phụ thuộc giá trị của m.

Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó :

1 2

1 2

2

1

4.

1

mx x

m

mx x

m

§K:( 101 mm ) ;Thay vào A ta c ó:

1 2 1 2

2 4 6 2 8 8( 1) 03 2 8 3. 2. 8 0

1 1 1 1

m m m m mA x x x x

m m m m

Vậy A = 0 với mọi 1m . Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m

Bài tập áp dụng:

1. Cho phương trình : 2 2 2 1 0x m x m . Hãy lập hệ thức liên hệ giữa 1 2;x x

sao cho 1 2;x x độc lập đối với m.

1 2 1 2 1 2 1 2( ) 1 2 16 2 ( ) 17 0x x x x x x x x

Bµi to¸n 18.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƢƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC

CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO

Đối với các bài toán dạng này çc em làm như sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2

(thường là a 0 và 0)

1



- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là

tham số).

- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.

Ví dụ 1: Cho phương trình : 2 6 1 9 3 0mx m x m

Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức :

1 2 1 2.x x x x

Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 l à :

2 2 2

0 0 0 0

' 9 2 1 9 27 0 ' 9 1 0 1' 3 21 9( 3) 0

m m m m

m m m m mm m m

Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: 1 2

1 2

6( 1)

9( 3)

mx x

m

mx x

m

và từ giả thiết: 1 2 1 2x x x x . Suy ra:

6( 1) 9( 3)

6( 1) 9( 3) 6 6 9 27 3 21 7m m

m m m m m mm m

(thoả mãn điều kiện xác định )

Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức :

1 2 1 2.x x x x

Ví dụ 2: Cho phương trình : 2 22 1 2 0x m x m .

Tìm m để 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức : 1 2 1 23 5 7 0x x x x

Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm 1 2&x x là :

2 2' (2 1) 4( 2) 0m m

2 24 4 1 4 8 0m m m

7

4 7 04

m m

Theo hệ thức VI-ÉT ta có: 1 2

2

1 2

2 1

2

x x m

x x m

và từ giả thiết 1 2 1 23 5 7 0x x x x .

Suy ra

2

2

2

3( 2) 5(2 1) 7 0

3 6 10 5 7 0

2( )

3 10 8 0 4( )

3

m m

m m

m TM

m mm KTM

Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức :

1 2 1 23 5 7 0x x x x

Bài tập áp dụng



1. Cho phương trình : 2 2 4 7 0mx m x m

Tìm m để 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức : 1 22 0x x

2. Cho phương trình : 2 1 5 6 0x m x m

Tìm m để 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức: 1 24 3 1x x

3. Cho phương trình : 23 3 2 3 1 0x m x m .

Tìm m để 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức : 1 23 5 6x x

Hƣớng dẫn cách giải:

Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác biệt so với bài tập ở Ví

dụ 1 và ví dụ 2 ở chỗ:

+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm 1 2x x và tích nghiệm

1 2x x nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m.

+ Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó

vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa

tổng nghiệm 1 2x x và tích nghiệm 1 2x x rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình

bày ở Ví dụ 1 và ví dụ 2.

BT1: - ĐKX Đ: 16

0 &15

m m

-Theo VI-ÉT: 1 2

1 2

( 4)

(1)7

mx x

m

mx x

m

- Từ 1 22 0x x Suy ra: 1 2 2 2

1 2 1 2

1 2 1

32( ) 9

2( ) 3

x x xx x x x

x x x

(2)

- Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau: 2

1 2127 128 0 1; 128m m m m

BT2: - ĐKXĐ: 2 22 25 0 11 96 11 96m m m

- Theo VI-ÉT: 1 2

1 2

1(1)

5 6

x x m

x x m

- Từ : 1 24 3 1x x . Suy ra: 1 1 2

1 2 1 2 1 2

2 1 2

2

1 2 1 2 1 2

1 3( )1 3( ) . 4( ) 1

4( ) 1

7( ) 12( ) 1

x x xx x x x x x

x x x

x x x x x x

(2)

- Thế (1) vào (2) ta có phương trình : 0

12 ( 1) 01

mm m

m

(thoả mãn ĐKXĐ)

BT3: - Vì 2 2 2(3 2) 4.3(3 1) 9 24 16 (3 4) 0m m m m m với mọi số thực m

nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

- -Theo VI-ÉT: 1 2

1 2

3 2

3(1)

(3 1)

3

mx x

mx x



- Từ giả thiết: 1 23 5 6x x . Suy ra:

1 1 2

1 2 1 2 1 2

2 1 2

2

1 2 1 2 1 2

8 5( ) 664 5( ) 6 . 3( ) 6

8 3( ) 6

64 15( ) 12( ) 36

x x xx x x x x x

x x x

x x x x x x

(2)

- Thế (1) vào (2) ta được phương trình:

0

(45 96) 0 32

15

m

m mm

(thoả mãn )

DẠNG 6 .

®å thÞ )0(&)0( '2' axayabaxy

vµ t¬ng quan gi÷a chóng

I/.ĐiÓm thuộc đƣờng – đƣờng đi qua điểm.

Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) yA = f(xA).

Ví dụ 1: Tìm hệ số a của hàm số: y = ax2 biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm A(2;4)

Giải:

Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4) nên: 4 = a.22 a = 1

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(-2;2) và đường thẳng (d) có phương trình:

y = -2(x + 1). Đường thẳng (d) có đi qua A không?

Giải:

Ta thấy -2.(-2 + 1) = 2 nên điểm A thuộc v ào đường thẳng (d)

II.Cách tìm giao điểm của hai đƣờng y = f(x) và y = g(x).

Bước 1: Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (*)

Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = f(x) hoặc y = g(x) để tìm

tung độ giao điểm.

Chú ý: Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điÓm của hai đường trên.

III.Quan hệ giữa hai đƣờng thẳng.

Xét hai đường thẳng : (d1) : y = a1x + b1. vµ (d2) : y = a2x + b2.

a) (d1) cắt (d2) a1 a2.

b) d1) // (d2)

c) d1) (d2)

d) (d1) (d2) a1 a2 = -1

IV.Tìm điều kiện để 3 đƣờng thẳng đồng qui.

Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng không chứa tham số để tìm (x;y).

Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm được vào phương trình còn lại để tìm ra tham số .

V.Quan hệ giữa (d): y = ax + b và (P): y = a’x

2 (a

’0).

1.Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).

Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:

a’x

2 = ax + b (#) a

’x

2- ax – b = 0

Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = ax +b hoặc y = ax2 để tìm

tung độ giao điểm.

Chú ý: Số nghiệm của phương trình (#) là số giao điểm của (d) và (P).

2.Tìm điều kiện để (d) và (P) c¾t;tiÕp xóc; kh«ng c¾t nhau:

Tõ ph¬ng tr×nh (#) ta cã: baabaxxa .4)(0 '22'



a) (d) và (P) cắt nhau phương trình (#) có hai nghiệm phân biệt 0

b) (d) và (P) tiếp xúc với nhau phương trình (#) có nghiệm kép 0

c) (d) và (P) không giao nhau phương trình (#) vô nghiệm 0

VI.Viết phƣơng trình đƣờng thẳng y = ax + b :

1.BiÕt quan hệ về hệ số góc(//hay vu«ng gãc) và đi qua điểm A(x0;y0)

Chú ý : song song a2=a1 và b1 khác b2

Vuông góc a2 = - 1/a1 (tìm hiểu trong sgk)

Bước 1: Dựa vào quan hệ song song hay vuông góc ®Ó tìm hệ số a.

Bước 2: Thay a vừa tìm được và x0;y0 vào công thức y = ax + b để tìm b.

2.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2). Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2) nên ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình tìm a,b.

3.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x0;y0) và tiếp xúc với (P): y = a’x

2

+) Do đường thẳng đi qua điểm A(x0;y0) nên có phương trình :

y0 = ax0 + b

+) Do đồ thị hàm số y = ax + b tiếp xúc với (P): y = a’x

2 nên:

Pt: a’x

2 = ax + b có nghiệm kép

+) Gi¶i hÖ

0

00 baxy để tìm a,b.

VII.Chứng minh đƣờng thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định ( giả sử tham số là m).

+) Giả sử A(x0;y0) là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua với mọi m, thay x0;y0

vào phương trình đường thẳng chuyển về phương trình ẩn m hệ số x0;y0 nghiệm đúng

với mọi m.

+) Đồng nhất hệ số của phương trình trên với 0 giải hệ tìm ra x0;y0.

VIII.T×m kho¶ng çch gi÷a hai ®iÓm bÊt kú A; B

Gäi x1; x2 lÇn lît lµ hoµnh ®é cña A vµ B; y1,y2 lÇn lît lµ tung ®é cña A vµ B

Khi ®ã kho¶ng çch AB ®îc tÝnh bëi ®Þnh lý Pi Ta Go trong tam gi¸c vu«ng ABC:

2

12

2

12

22 )()( yyxxBCACAB

IX. Một số ứng dụng của đồ thị hàm số:

1.Ứng dụng vào phương trình.

2.Ứng dụng vào bài toán cực trị.

bµi tËp vÒ hµm sè.

Bµi 1. cho parabol (p): y = 2x2.



1. t×m gi¸ trÞ cña a,b sao cho ®êng th¼ng y = ax+b tiÕp xóc víi (p) vµ ®i qua A(0;-2).

2. t×m ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng tiÕp xóc víi (p) t¹i B(1;2).

3. T×m giao ®iÓm cña (p) víi ®êng th¼ng y = 2m +1.

Bµi 2: Cho (P) 2

2

1xy vµ ®êng th¼ng (d): y = ax + b .

1. X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(-1;0) vµ tiÕp xóc víi (P). 2. T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm.

Bµi 3: Cho (P) 2xy vµ ®êng th¼ng (d) y = 2x + m

1. VÏ (P) 2. T×m m ®Ó (P) tiÕp xóc (d) 3. T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm.

Bµi 4: Cho hµm sè (P): 2xy vµ hµm sè(d): y = x + m

1. T×m m sao cho (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B 2. X¸c ®Þnh ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d') vu«ng gãc víi (d) vµ tiÕp xóc víi (P)

3. T×m m sao cho kho¶ng çch gi÷a hai ®iÓm A vµ B b»ng 23

Bµi56: Cho ®iÓm A(-2;2) vµ ®êng th¼ng ( 1d ) y = -2(x+1)

1. §iÓm A cã thuéc ( 1d ) kh«ng ? V× sao ?

2. T×m a ®Ó hµm sè (P): 2.xay ®i qua A

3. X¸c ®Þnh ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ( 2d ) ®i qua A vµ vu«ng gãc víi ( 1d )

4. Gäi A vµ B lµ giao ®iÓm cña (P) vµ ( 2d ) ; C lµ giao ®iÓm cña ( 1d ) víi trôc tung .

T×m to¹ ®é cña B vµ C . TÝnh chu vi tam gi¸c ABC?

DẠNG 7:

gi¶i ph¬ng tr×nh

b»ng ph¬ng ph¸p ®Æt Èn sè phô

Bµi to¸n1: Gi¶i ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng ax4 + bx2 + c = 0

§Æt t = x2 (t0) ta cã ph¬ng tr×nh at2 + bt + c = 0 Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai Èn t sau ®ã thay vµo t×m Èn x

B¶ng tãm t¾t

at2 + bt + c = 0 ax4 + bx2 + c = 0

v« nghiÖm v« nghiÖm

2 nghiÖm ©m v« nghiÖm

nghiÖm kÐp ©m v« nghiÖm

1 nghiÖm d¬ng 2 nghiÖm ®èi nhau

2 nghiÖm d¬ng 4 nghiÖm

2 cÆp nghiÖm ®èi nhau

Bµi to¸n 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh 0)1

()1

(2

2 Cx

xBx

xA



§Æt x

x1

= t x2 - tx + 1 = 0

Suy ra t2 = (x

x1

)2 = 21

2

2 x

x 21 2

2

2 tx

x

Thay vµo ph¬ng tr×nh ta cã: A(t2 - 2) + Bt + C = 0

At2 + Bt + C - 2A = 0

Gi¶i ph¬ng tr×nh Èn t sau ®ã thÕ vµo x

x1

= t gi¶i t×m x.

Bµi to¸n 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh 0)1

()1

(2

2 Cx

xBx

xA

§Æt x

x1

= t x2 - tx - 1 = 0

Suy ra t2 = (x

x1

)2 = 21

2

2 x

x 21 2

2

2 tx

x

Thay vµo ph¬ng tr×nh ta cã: A(t2 + 2) + Bt + C = 0

At2 + Bt + C + 2A = 0

Gi¶i ph¬ng tr×nh Èn t sau ®ã thÕ vµo x

x1

= t gi¶i t×m x.

Bµi to¸n 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao

Dïng çc phÐp biÕn ®æi ®a ph¬ng tr×nh bËc cao vÒ d¹ng: + Ph¬ng tr×nh tÝch + Ph¬ng tr×nh bËc hai.

DẠNG 8:

gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

Bµi to¸n: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

''' cybxa

cbyax

Çc ph¬ng ph¸p gi¶i:

+ Ph¬ng ph¸p ®å thÞ

+ Ph¬ng ph¸p céng

+ Ph¬ng ph¸p thÕ

+ Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô

DẠNG: 9

gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ

Bµi to¸n 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng )()( xgxf (1)

Ta cã

)3()()(

)2(0)()()(

2xgxf

xgxgxf



Gi¶i (3) ®èi chiÕu ®iÒu kiÖn (2) chän nghiÖm thÝch hîp nghiÖm cña (1)

Bµi to¸n 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng )()()( xgxhxf

§iÒu kiÖn cã nghÜa cña ph¬ng tr×nh

0)(

0)(

0)(

xg

xh

xf

Víi ®iÒu kiÖn trªn tho¶ m·n ta b×nh ph¬ng hai vÕ ®Ó gi¶i t×m x.

DẠNG 10:

gi¶i ph¬ng tr×nh chøa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi

Bµi to¸n: Gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng )()( xgxf

Ph¬ng ph¸p 1: )()( xgxf

22)()(

0)(

xgxf

xg

Ph¬ng ph¸p 2: XÐt f(x) 0 f(x) = g(x)

XÐt f(x) < 0 - f(x) = g(x)

Ph¬ng ph¸p 3: Víi g(x) 0 ta cã f(x) = g(x)

Một số dạng khác . VÝ dô: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 31323 xx

Ta cã thÓ gi¶i nh sau: LËp b¶ng xÐt vÕ tr¸i:

x

3

1

3

2

23 x 23 x 23 x 23 x

13 x 13 x 13 x 13 x

VÕ tr¸i céng l¹i

36 x 10 x 36 x

VËy: + Víi 3

1x th× ph¬ng tr×nh (1) 006336 xxx ( tho¶ m·n)

+ Víi 3

2

3

1 x th× ph¬ng tr×nh (1) 310 x ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.

+ Víi 3

2x th× ph¬ngtr×nh (1) 166336 xxx tho¶ m·n.

Bµi tËp:

Bµi 1: 5122 xx

DẠNG 11

gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc

Bµi to¸n: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè y = f(x)

Ph¬ng ph¸p 1: Dùa vµo luü thõa bËc ch½n.

- BiÕn ®æi hµm sè y = f(x) sao cho:

y = M - [g(x)]2n , n Z y M Do ®ã ymax = M khi g(x) = 0 - BiÕn ®æi hµm sè y = f(x) sao cho:



y = m + [h(x)]2k kZ y m Do ®ã ymin = m khi h(x) = 0 Ph¬ng ph¸p 2: Dùa vµo tËp gi¸ trÞ hµm.

Ph¬ng ph¸p 3: Dùa vµo ®¼ng thøc.

DẠNG 12:

çc bµi to¸n liªn quan ®Õn hµm sè

* §iÓm thuéc ®êng - ®êng ®i qua mét ®iÓm

Bµi to¸n: Cho (C) lµ ®å thÞ cña hµm sè y = f(x) vµ mét

®iÓm A(xA;yA). Hái (C) cã ®i qua A kh«ng?

§å thÞ (C) ®i qua A(xA;yA) khi vµ chØ khi to¹ ®é cña A nghiÖm ®óng ph¬ng tr×nh cña (C)

A(C) yA = f(xA) Dã ®ã tÝnh f(xA) NÕu f(xA) = yA th× (C) ®i qua A.

NÕu f(xA) yA th× (C) kh«ng ®i qua A.

* sù t¬ng giao cña hai ®å thÞ

Bµi to¸n : Cho (C) vµ (L) theo thø tù lµ ®é thÞ hµm sè

y = f(x) vµ y = g(x)

H·y kh¶o s¸t sù t¬ng giao cña hai ®å thÞ

To¹ ®é ®iÓm chung cña (C) vµ (L) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung:

f(x) = g(x) (*) - NÕu (*) v« nghiÖm th× (C) vµ (L) kh«ng cã ®iÓm chung. - NÕu (*) cã nghiÖm kÐp th× (C) vµ (L) tiÕp xóc nhau. - NÕu (*) cã 1 nghiÖm th× (C) vµ (L) cã 1 ®iÓm chung. - NÕu (*) cã 2 nghiÖm th× (C) vµ (L) cã 2 ®iÓm chung. * lËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng

Bµi to¸n 1: LËp ph¬ng tr×nh cña ®êng th¼ng (D) ®i qua ®iÓm

A(xA;yA) vµ cã hÖ sè gãc b»ng k.

Ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®êng th¼ng (D) lµ : y = ax + b (*) - X¸c ®Þnh a: ta cã a = k

- X¸c ®Þnh b: (D) ®i qua A(xA;yA) nªn ta cã yA = kxA + b b = yA - kxA

- Thay a = k; b = yA - kxA vµo (*) ta cã ph¬ng tr×nh cña (D) Bµi to¸n 2: LËp ph¬ng tr×nh cña ®êng th¼ng (D) ®i qua ®iÓm

A(xA;yA); B(xB;yB)

Ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®êng th¼ng (D) lµ : y = ax + b

(D) ®i qua A vµ B nªn ta cã:

b ax y

b ax y

BB

AA

Gi¶i hÖ ta t×m ®îc a vµ b suy ra ph¬ng tr×nh cña (D) Bµi to¸n 3: LËp ph¬ng tr×nh cña ®êng th¼ng (D) cã hÖ sè gãc k vµ

tiÕp xóc víi ®êng cong (C): y = f(x)

Ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®êng th¼ng (D) lµ : y = kx + b Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung cña (D) vµ (P) lµ:



f(x) = kx + b (*) V× (D) tiÕp xóc víi (P) nªn (*) cã nghiÖm kÐp. Tõ ®iÒu kiÖn nµy ta t×m ®îc b vµ suy ra ph¬ng tr×nh cña (D) Bµi to¸n 3: LËp ph¬ng tr×nh cña ®êng th¼ng (D) ®i qua ®iÓm

A(xA;yA) k vµ tiÕp xóc víi ®êng cong (C): y = f(x)

Ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®êng th¼ng (D) lµ : y = kx + b Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung cña (D) vµ (P) lµ: f(x) = kx + b (*) V× (D) tiÕp xóc víi (P) nªn (*) cã nghiÖm kÐp. Tõ ®iÒu kiÖn nµy ta t×m ®îc hÖ thøc liªn hÖ gi÷a a vµ b (**) MÆt kh¸c: (D) qua A(xA;yA) do ®ã ta cã yA = axA + b (***)

Tõ (**) vµ (***) a vµ b Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (D).



A. KiÕn thøc cÇn nhí.

1. HÖ thøc lîng trong tam gi¸c vu«ng.

b2 = ab' c2 = ac'

h2 = b'c'

ah = bc

a2 = b2 + c2

222

111

cbh

2. TØ sè lîng gi¸c cña gãc nhän.

0 < sin < 1 0 < coss < 1

cos

sintg

sin

coscot g sin2 + cos2 = 1

tg.cotg = 1

2

2

cos

11 tg

2

2

sin

1cot1 g

3. HÖ thøc vÒ c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng.

b = asinB = acosC

b = ctgB = ccotgC

c = a sinC = acosB

c = btgC = bcotg B

4. §êng trßn.

- Çch x¸c ®Þnh: Qua ba ®iÓm kh«ng th¼ng hµng ta vÏ ®îc mét vµ chØ mét ®êng trßn. - T©m ®èi xøng, trôc ®èi xøng: §êng trßn cã mét t©m ®èi xøng; cã v« sè trôc ®èi xøng. - Quan hÖ vu«ng gãc gi÷a ®êng kÝnh vµ d©y.

Trong mét ®êng trßn + §êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua trung ®iÓm cña d©y Êy + §êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y Êy.

PhÇn II:

h×nh häc

a

b'c'

bc

h

H

B

C

A

b

a

c

C

B

A



- Liªn hÖ gi÷a d©y vµ kho¶ng çch tõ t©m ®Õn d©y:

Trong mét ®êng trßn:

+ Hai d©y b»ng nhau th× çch ®Òu t©m

+ Hai d©y çch ®Òu t©m th× b»ng nhau

+ D©y nµo lín h¬n th× d©y ®ã gÇn t©m h¬n

+ D©y nµo gÇn t©m h¬n th× d©y ®ã lín h¬n

- Liªn hÖ gi÷a cung vµ d©y:

Trong mét ®êng trßn hay trong hai ®êng trßn b»ng nhau:

+ Hai cung b»ng nhau c¨ng hai d©y b»ng nhau

+ Hai d©y b»ng nhau c¨ng hai cung b»ng nhau

+ Cung lín h¬n c¨ng d©y lín h¬n

+ D©y lín h¬n c¨ng cung lín h¬n.

- VÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®êng th¼ng vµ ®êng trßn:

VÞ trÝ t¬ng ®èi Sè ®iÓm chung HÖ thøc liªn hÖ

gi÷a d vµ R

- §êng th¼ng vµ ®êng trßn c¾t nhau

2

d < R

- §êng th¼ng vµ ®êng trßn tiÕp xóc nhau

1

d = R

- §êng th¼ng vµ ®êng trßn kh«ng giao nhau

0

d > R



- VÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®êng th¼ng vµ ®êng trßn:

VÞ trÝ t¬ng ®èi Sè ®iÓm chung

HÖ thøc liªn hÖ gi÷a d vµ R

- Hai ®êng trßn c¾t nhau

2

R - r < OO' < R + r

- Hai ®êng trßn tiÕp xóc nhau + TiÕp xóc ngoµi + TiÕp xóc trong

1

OO' = R + r OO' = R - r

- Hai ®êng trßn kh«ng giao nhau + (O) vµ (O') ë ngoµi nhau + (O) ®ùng (O') + (O) vµ (O') ®ång t©m

0

OO' > R + r OO' < R - r OO' = 0

5. TiÕp tuyÕn cña ®êng trßn

- TÝnh chÊt cña tiÕp tuyÕn: TiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua

tiÕp ®iÓm.

- DÊu hiÖu nhËn biÕt tiÕp tuyÕn:

+ §êng th¼ng vµ ®êng trßn chØ cã mét ®iÓm chung

+ Kho¶ng çch tõ t©m cña ®êng trßn ®Õn ®êng th¼ng b»ng b¸n kÝnh

+ §êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cña

®êng trßn vµ vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua

®iÓm ®ã.

- TÝnh chÊt cña 2 tiÕp tuyÕn c¾t nhau

MA, MB lµ hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau th×:

+ MA = MB

+ MO lµ ph©n gi¸c cña gãc AMB

+ OM lµ ph©n gi¸c cña gãc AOB

B

O

A

M



- TiÕp tuyÕn chung cña hai ®êng trßn: lµ ®êng th¼ng tiÕp xóc víi c¶

hai ®êng trßn ®ã:

TiÕp tuyÕn chung ngoµi TiÕp tuyÕn chung trong

6. Gãc víi ®êng trßn

Lo¹i gãc H×nh vÏ C«ng thøc tÝnh sè ®o

1. Gãc ë t©m

· »AOB sd AB

2. Gãc néi tiÕp

· »1

2AMB sd AB

3. Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung.

· »1

2xBA sd AB

4. Gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®êng trßn

· » »1( )

2AMB sd AB sdCD

5. Gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®êng trßn

· » »1( )

2AMB sd AB sdCD

d'

d

O'

O

d'

d

O'

O

BA

O

M

BA

O

x

BA

O

M

D

C

BA

O

O

B

A

DC

M



Chó ý: Trong mét ®êng trßn

- Çc gãc néi tiÕp b»ng nhau ch¾n çc cung b»ng nhau - Çc gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng nhau - Çc gãc néi tiÕp ch¾n çc cung b»ng nhau th× b»ng nhau - Gãc néi tiÕp nhá h¬n hoÆc b»ng 900 cã sè ®o b»ng nöa sè ®o cña gãc ë t©m cïng ch¾n mét cung. - Gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn lµ gãc vu«ng vµ ngîc l¹i gãc vu«ng néi tiÕp th× ch¾n nöa ®êng trßn. - Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung vµ gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng nhau. 7. §é dµi ®êng trßn - §é dµi cung trßn.

- §é dµi ®êng trßn b¸n kÝnh R: C = 2R = d

- §é dµi cung trßn n0 b¸n kÝnh R : 180

Rnl

8. DiÖn tÝch h×nh trßn - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn

- DiÖn tÝch h×nh trßn: S = R2

- DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn b¸n kÝnh R, cong n0: 2

360 2

R n lRS

9. Çc lo¹i ®êng trßn

§êng trßn ngo¹i tiÕp

tam gi¸c

§êng trßn néi tiÕp

tam gi¸c

§êng trßn bµng tiÕp

tam gi¸c

T©m ®êng trßn lµ giao cña ba ®êng trung trùc

cña tam gi¸c

T©m ®êng trßn lµ giao cña ba ®êng ph©n gi¸c trong

cña tam gi¸c

T©m cña ®êng trßn bµng tiÕp trong gãc A lµ giao

®iÓm cña hai ®êng ph©n gi¸c çc gãc ngoµi t¹i B

hoÆc C hoÆc lµ giao ®iÓm cña ®êng ph©n gi¸c gãc

A vµ ®êng ph©n gi¸c ngoµi t¹i B (hoÆc C)

10. Çc lo¹i h×nh kh«ng gian.

a. H×nh trô.

- DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = 2rh

- DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = 2rh + r2

- ThÓ tÝch h×nh trô: V = Sh = r2h

O

C

B

A

O

C

B

A

FE

J

B

C

A

r: b¸n kÝnh Trong ®ã h: chiÒu cao



b. H×nh nãn:

- DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = 2rl

- DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = 2rl + r2

- ThÓ tÝch h×nh trô: V = 21 r

3h

c. H×nh nãn côt:

- DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = (r1 + r2)l

- ThÓ tÝch: V = 2 2

1 2 1 2

1( )

3h r r r r

d. H×nh cÇu.

- DiÖn tÝch mÆt cÇu: S = 4R2 = d

- ThÓ tÝch h×nh cÇu: V = 34

3R

11. Tø gi¸c néi tiÕp:

DÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp: - Tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800 - Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn - Tø gi¸c cã 4 ®Ønh çch ®Òu mét ®iÓm. - Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i díi

mét gãc .

B. çc d¹ng bµi tËp.

D¹ng 1: Chøng minh hai gãc b»ng nhau.

Çch chøng minh: - Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba - Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng nhau kh¸c - Hai gãc b»ng tæng hoÆc hiÖu cña hai gãc theo thø tù ®«i mét b»ng nhau - Hai gãc cïng phô (hoÆc cïng bï) víi gãc thø ba - Hai gãc cïng nhän hoÆc cïng tï cã çc c¹nh ®«i mét song song hoÆc vu«ng gãc - Hai gãc ã le trong, so le ngoµi hoÆc ®ång vÞ - Hai gãc ë vÞ trÝ ®èi ®Ønh - Hai gãc cña cïng mé tam gi¸c c©n hoÆc ®Òu - Hai gãc t¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau hoÆc ®ång d¹ng - Hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung hoÆc ch¾n hai cung b»ng nhau. D¹ng 2: Chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau

Çch chøng minh: - Chøng minh hai ®o¹n th¼ng cïng b»ng ®o¹n thø ba - Hai c¹nh cña mmét tam gi¸c c©n hoÆc tam gi¸c ®Òu - Hai c¹nh t¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau - Hai c¹nh ®èi cña h×nh b×nh hµnh (ch÷ nhËt, h×nh thoi, h×nh vu«ng) - Hai c¹nh bªn cña h×nh thang c©n - Hai d©y tr¬ng hai cung b»ng nhau trong mét ®êng trßn hoÆc hai ®êng b»ng nhau.

r: b¸n kÝnh Trong ®ã l: ®êng sinh h: chiÒu cao

r1: b¸n kÝnh d¸y lín r2: b¸n kÝnh ®¸y nhá Trong ®ã l: ®êng sinh h: chiÒu cao

R: b¸n kÝnh Trong ®ã d: ®êng kÝnh



D¹ng 2: Chøng minh hai ®êng th¼ng song song

Çch chøng minh:

- Chøng minh hai ®êng th¼ng cïng song song víi ®êng th¼ng thø ba

- Chøng minh hai ®êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi ®êng th¼ng thø ba

- Chøng minh chóng cïng t¹o víi mét çt tuyÕn hai gãc b»ng nhau:

+ ë vÞ trÝ so le trong

+ ë vÞ trÝ so le ngoµi

+ ë vÞ trÝ ®ång vÞ.

- Lµ hai d©y ch¾n gi÷a chóng hai cung b»ng nhau trong mét ®êng trßn

- Chóng lµ hai c¹nh ®èi cña mét h×nh b×nh hµnh

D¹ng 3: Chøng minh hai ®êng th¼ng vu«ng gãc

Çch chøng minh:

- Chóng song song song song víi hai ®êng th¼ng vu«ng gãc kh¸c.

- Chøng minh chóng lµ ch©n ®êng cao trong mét tam gi¸c.

- §êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm d©y vµ d©y.

- Chóng lµ ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï nhau.

D¹ng 4: Chøng minh ba ®êng th¼ng ®ång quy.

Çch chøng minh:

- Chøng minh chóng lµ ba ®êng cao, ba trung tuyÕn, ba trung trùc, ba

ph©n gi¸c trong (hoÆc mét ph©n gi¸c trong vµ ph©n gi¸c ngoµi cña hai gãc kia)

- VËn dông ®Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ Talet.

D¹ng 5: Chøng minh hai tam gi¸c b»ng nhau

Çch chøng minh:

* Hai tam gi¸c thêng:

- Trêng hîp gãc - c¹nh - gãc (g-c-g)

- Trêng hîp c¹nh - gãc - c¹nh (c-g-c)

- Trêng hîp c¹nh - c¹nh - c¹nh (c-c-c)

* Hai tam gi¸c vu«ng:

- Cã c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän b»ng nhau

- Cã c¹nh huyÒn b»ng nhau vµ mét c¹nh gãc vu«ng b»ng nhau

- C¹nh gãc vu«ng ®«i mét b»ng nhau



D¹ng 6: Chøng minh hai tam gi¸c ®ång d¹ng

Çch chøng minh:

* Hai tam gi¸c thêng:

- Cã hai gãc b»ng nhau ®«i mét - Cã mét gãc b»ng nhau xen gi÷a hai c¹nh t¬ng øng tû lÖ - Cã ba c¹nh t¬ng øng tû lÖ * Hai tam gi¸c vu«ng:

- Cã mét gãc nhän b»ng nhau - Cã hai c¹nh gãc vu«ng t¬ng øng tû lÖ D¹ng 7: Chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc

Çch chøng minh:

Gi¶ sö ph¶i chøng minh ®¼ng thøc: MA.MB = MC.MD (*)

- Chøng minh: MAC MDB hoÆc MAD MCB - NÕu 5 ®iÓm M, A, B, C, D cóng n»m trªn mét ®êng th¼ng th× ph¶i chøng minh çc tÝch trªn cïng b»ng tÝch thø ba:

MA.MB = ME.MF MC.MD = ME.MF

Tøc lµ ta chøng minh: MAE MFB

MCE MFD

MA.MB = MC.MD

* Trêng hîp ®Æc biÖt: MT2 = MA.MB ta chøng minh MTA MBT

D¹ng 8: Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp

Çch chøng minh: DÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp: - Tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800 - Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn - Tø gi¸c cã 4 ®Ønh çch ®Òu mét ®iÓm. - Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i díi

mét gãc .

D¹ng 9: Chøng minh MT lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O;R)

Çch chøng minh:

- Chøng minh OT MT t¹i T (O;R) - Chøng minh kho¶ng çch tõ t©m O ®Õn ®êng th¼ng MT b»ng b¸n kÝnh - Dïng gãc néi tiÕp. D¹ng 10: Çc bµi to¸n tÝnh to¸n ®é dµi c¹nh, ®é lín gãc

Çch tÝnh: - Dùa vµo hÖ thøc lîng trong tam gi¸c vu«ng. - Dùa vµo tû sè lîng gi¸c - Dùa vµo hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng - Dùa vµo c«ng thøc tÝnh ®é dµi, diÖn tÝch, thÓ tÝch...

®©y chØ lµ mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n cña ch¬ng tr×nh to¸n 9

®Ó «n tËp tèt h¬n çc em cÇn

®äc kü tµi liÖu vµ xem thªm s¸ch gi¸o khoa to¸n 9

CHÚC CÁC EM THI TỐT ! HOÀNG THÁI VIỆT

Travel

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9 (ÔN THI LÊN LỚP 10)