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Matemáticas Financieras
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Matemáticas Financieras
DocenteJosué Chura Varas
Ingeniero ComercialPostgrado en FinanzasUniversidad de Chile
Matemáticas Financieras
A lo largo de este módulo, aprenderás
conceptos básicos sobre Finanzas e Inversiones, que te ayudarán en tu
trabajo diario.
Tasa de Interés
La tasa de interés es el porcentaje al que está invertido un capital en una
unidad de tiempo, determinando lo que se refiere como "el precio del dinero en
el mercado financiero".
La tasa de interés es fijada por el Banco central de cada país a los otros bancos y estos, a su vez, la fijan a las
personas por los préstamos otorgados.Una tasa de interés alta incentiva al
ahorro y una tasa de interés baja incentiva al consumo.
BIENVENIDO
AL
INTERÉS SIMPLE
Interés Simple
Comencemos revisando los
conceptos claves : Capital, Interés y Tasa de Interés.
Interés Simple
Si un amigo(a) te pide un préstamo de $10.000, podemos decir que el CAPITAL que has prestado es de $10.000.
Interés Simple
Si tu amigo(a) promete devolverte $11.000 en un mes más, podemos decir que obtendrás un interés de $1.000.
Interés Simple
Si tu amigo(a) promete devolverte $11.000 en un mes más, podemos decir que obtendrás un interés de $1.000.
Interés SimplePero además hay otro concepto importante asociado a los dos anteriores.
LA TASA DE INTERÉS, que es el porcentaje que representa el interés sobre el capital en un periodo determinado.
A este concepto de tasa de interés, también se le denomina RENTABILIDAD en renta fija.
Interés Simple
En consecuencia, tenemos tres conceptos básicos que serán permanentemente empleados en operaciones crediticias, Inversiones y Finanzas en general.
Así abreviaremos :
No confundas interés con tasa de interés. Comoves son muy diferentes. Cuando ustedes consultanpor rentabilidad, puedes asociarla con el concepto
de TASA DE INTERÉS.
Interés SimpleEJEMPLO : Imagina que vas al banco y ..............
Interés SimpleVeamos ahora si podemos reconocer y aplicar los conceptos revisados.
C
I
i
Interés SimpleA continuación veremos como opera el cálculo de intereses…………..
REVISEMOS EL SIGUIENTE GRÁFICO :
Interés Simple
En el interés simple, el Capital y la Ganancia por el
interés permanece invariable en el tiempo.
Interés SimpleAnalicemos el caso de un Capital de $10.000 colocado a una Tasa de Interés de 8% anual durante 5 años :
Veamos ahora cómo funciona, en el siguiente gráfico :
Interés Simple
En el ejemplo anterior, notaste que el interés simple era de $800.
Ello es así porque el interés simple es directamente proporcional al Capital, a la tasa de interés y al número de períodos.
Matemáticamente, ello se expresa de la siguiente forma:
I
C
i
n
I = C x i x n
Interés Simple
Capital
Tasa de interés
Período
Interés Simple
El interés Simple posee las siguientes características :
A mayorC A P I T A L
A mayor TASA DE INTERÉS
A mayorN° DE PERÍODOS
Mayor INTERÉS
Mayor INTERÉS
Mayor INTERÉS
Interés SimpleEjercicio 1 :
Si depositas en una cuenta de ahorro $100.000 al 6% anual y mantienes este ahorro durantes 5 años...
¿ Cuánto interés recibirás al final del quinto año, si el interés a recibir es de tipo “SIMPLE” ?
Seleccionamos la fórmula :
I = C x i x n
Reemplazando los valores en la fórmula :
I = 100.000 x 0.06 x 5
Efectuando los cálculos se obtiene :
I = $ 30.000
Es necesario precisar que la tasa de interés (i) se expresaen porcentaje (%) y para usarla en una fórmula, esnecesario expresarla en decimales.
Por Ejemplo :6% = 0,06 (6 Dividido por 100)
Interés SimpleA modo de práctica, resolvamos los siguientes ejercicios :
¿ Qué capital colocado al 24% anual producirá al cabo de 6 meses $ 24.000 de Interés ?
¿ Qué fórmula usaras ?
Verificando fórmula.....
Correcto, en este caso la incógnita es el Capital, al despejarla de la fórmula de Interés Simple obtenemos la
fórmula seleccionada.
En este caso “n” = 6 meses o para“homogeneizar”, 0,5 años.
¡Muy bien!$200.000 es el
CAPITAL
Interés SimpleEjercicio 2 :
Si depositas en una cuenta de ahorro $100.000 al 6% anual y mantienes este ahorro durantes 5 días...
¿ Cuánto interés recibirás al final del quinto día, si el interés a recibir es de tipo “SIMPLE” ?
Seleccionamos la fórmula :
I = C x i x n / 360
Reemplazando los valores en la fórmula :
I = 100.000 x 0.06 x 5 / 360
Efectuando los cálculos se obtiene :
I = $ 83,3
El interés que obtendría usted es de$83
Interés Simple
Los ejemplos y actividades que verás, sebasan en el llamado tiempo ajustado, o
Tiempo comercial, que considera cada mescomo de 30 días. El denominado tiempo realque tiene meses de entre 28 y 31 días, no se
usará por razones prácticas.
Interés Simple
OJO :
Debemos igualar las unidades de tiempo enque están expresadas la tasa y el período.
BIENVENIDO
AL
INTERÉS COMPUESTO
Interés Compuesto
El interés simple es necesario de conocer, pero en la práctica se emplea muy poco. La gran mayoría de los cálculos financieros se basan en lo que se denomina INTERÉS COMPUESTO.
Al final de cada período el capital
varía, y por consiguiente, el interés que se generará será
mayor.
Interés CompuestoLo más importante que debes recordar es que para efectuar el cálculo de cada período, el nuevo capital es = al anterior más el interés ganado en el período.
Interés CompuestoRevisemos cuidadosamente el siguiente desarrollo de la fórmula para interés compuesto :
Interés CompuestoRevisemos cuidadosamente el siguiente desarrollo de la fórmula para interés compuesto :
Recuerda que el exponente de(1+i) es igual al número de
períodos.
Interés Compuesto
Un concepto importante que debes recordar,se refiere a la CAPITALIZACIÓN de los intereses,es decir, cada cuánto tiempo el interés ganadose agrega al Capital anterior a efectos decalcular nuevos intereses.
En general la CAPITALIZACIÓN se efectúa aIntervalos regulares :• Diario• Mensual• Trimestral• Cuatrimestral• Semestral• Anual
Interés Compuesto
Se dice entonces :
que el interés es “CAPITALIZABLE”, o convertibleen capital, en consecuencia, también gana interés
El interés aumenta periódicamente duranteel tiempo que dura la transacción.
El capital al final de la transacción se llama MONTOCOMPUESTO y lo designaremos MC.
A la diferencia entre el MONTO COMPUESTO y el CAPITAL (C) se le conoce como INTERÉSCOMPUESTO y lo designaremos por IC.
Obtenemos entonces la siguiente fórmula :
IC = MC – CInterés Compuesto = Monto Compuesto - Capital
Interés CompuestoDe acuerdo a lo que ya hemos revisado respecto a INTERÉS COMPUESTO:
Monto Compuesto, alfinal del periodo “n”estaría dado por :
MC = C*(1+i)^n
En los problemas deInterés Compuesto elPrincipio fundamentalEstablece que la Tasa De Interés y el Tiempodeben estar en la mismaunidad que establecela capitalización.
El factor
(1+i)^n
Se denomina FACTOR DECAPITALIZACIÓN COMPUESTO
Interés CompuestoEjercicio 1 :
¿ Cuál es el MONTO COMPUESTO de un CAPITAL de $250.000 depositado a una TASA del 2% mensual durante 8 meses, capitalizable mensualmente ?
Seleccionamos la fórmula :
MC = C * (1+i)^n
Reemplazando los valores en la fórmula :
MC = 250.000 * (1+0.02)^8
Efectuando los cálculos se obtiene :
MC = $ 292.915
PARE :
Recuerde respetar las prioridadesOperacionales :
1° Resolvemos el paréntesis.2° Multiplicamos.
Interés CompuestoEjercicio 2 :
Un CAPITAL de $200.000, colocados a una TASA DE INTERÉS COMPUESTO del 3,5%, capitalizable mensualmente, se convirtió en un MONTO COMPUESTO de $ 237.537 ¿Cuánto TIEMPO duró la operación?
Seleccionamos la fórmula :
N = Log MC – Log C / Log (1+i)
Reemplazando los valores en la fórmula :
N = Log 237.537 – Log 200.000/ Log 1,035
Efectuando los cálculos se obtiene :
N = 5,375731267 – 5,301029996/ 0,01494035 = 4,999969739 = 5
Interés CompuestoEjercicio 3 :
Un CAPITAL de $200.000, colocados durante 5 MESES en un banco, se convirtió en un MONTO COMPUESTO de $ 237.537, capitalizable mensualmente. ¿Cuál es la TASA DE INTERÉS de la operación?
Seleccionamos la fórmula :
i = (MC / C ) ^ 1/n - 1
Reemplazando los valores en la fórmula :
i = ((237.537 / 200.000) ^ (1/5)) - 1
Efectuando los cálculos se obtiene :
i = 1,187685 ^ 1/5 - 1 i = 1,034999772 – 1 = 0,0349998 = 0,035
Entonces la TASA DE INTERÉS fue de un 3,5 %mensual.
Interés CompuestoEjercicio 4 :
¿ Cuánto CAPITAL depositó una persona, a una TASA DE INTERÉS del 12% anual, si al cabo de 2 AÑOS tiene un MONTO COMPUESTO de $ 250.000, capitalizable anualmente ?.
Seleccionamos la fórmula :
C = MC / (1 + i)^n
Reemplazando los valores en la fórmula :
C = 250.000 / (1 + 0,12)^2
Efectuando los cálculos se obtiene :
C = 250.000 / 1,2544 = $ 199.298
Entonces el CAPITAL DEPOSITADÓ fue de$ 199.298
Interés Real y Nominal
El ultimo concepto que revisaremos en esta lección se refiere a INTERÉS REAL.
Como muchos otros bienes, el dinero se deprecia en el tiempo (tiene un menor valor). En el caso del dinero, esto se produce
por el efecto que tiene sobre él un fenómeno denominado INFLACIÓN.
La inflación tiene un efecto directo sobre la rentabilidad que exigiráun Inversionista respecto de su inversión.
El interés que se pacta normalmente, no tiene en cuenta el efecto dela INFLACIÓN. Se le denomina INTERÉS NOMINAL.
Los conceptos y ejercicios que hemosdesarrollado hasta ahora, siempre han
considerado el interés NOMINAL.
No obstante, ustedes se deben interesarsiempre por el interés o rentabilidad
REAL de su inversión.
Inflación y tasas de interés
Aumento sostenido en el nivel general de precios. Normalmente medido a través del cambio en el IPC
Inflación:
En presencia de inflación (π) , la capacidad de compra o poder adquisitivo de un monto de dinero es mayor hoy que en un año más.
$100 $100Si π = 25%
Periodo 0(Año 0)
Periodo 1 (Año 1)
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Inflación y tasas de interés
La ecuación que relaciona las tasas nominal y real, es conocida en la literatura con el nombre de igualdad de Fischer:
Donde i = tasa de interés nominalr = tasa de interés real = Tasa de inflación
ri 1*11 AB
La tasa de interés (conocida como tasa nominal) deberá incorporar:
A. La rentabilidad exigida para hacer indiferente un monto ahora o en el futuro (valor dinero en el tiempo) (tasa real)
B. Diferencial que cubra la inflación y mantenga el poder adquisitivo (tasa inflación)
...continuación...
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
RESUMEN:2 conceptos: * Costo de oportunidad (tasa interés real)
* Poder adquisitivo (inflación)
Paso 1: Valora costo de oportunidad, tasa de interés de 10%
Paso 2: Valora costo de oportunidad y además; Mantiene poder adquisitivo, inflación de 25%
Inflación y tasas de interés
$1100 $1375
Año 1 Año 1Si π = 25%
$1000 $1100
Año 0 Año 1Si r = 10%
...continuación...
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Inflación y tasas de interés
Si tengo $ 500 y un banco me ofrece una tasa de interés nominal anual del 37,5% y me encuentro en una economía donde la inflación es del 25% anual.
¿ Cuál es la tasa real correspondiente ? ¿ cuánto es mi capital nominal al final del año ?
Ejemplo:
...continuación...
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Si: ( 1 + i ) = ( 1 + ) * ( 1 + r )
Donde =0,25 y i =0,375
Entonces: (1+0,375) = (1+0,25)*(1+r) (1+r) = 1,1 r = 10%
Si el capital inicial es C0 = $ 500
Entonces: C1 = C0*(1+i) = 500*(1,375) C1= $ 687,5
Inflación y tasas de interés...continuación...
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Inflación y tasas de interés...continuación
La evaluación de proyectos utiliza tasas de interés reales y por tanto flujos reales, de esta forma se evita trabajar con inflaciones que normalmente tendrían que ser estimadas a futuro con el consiguiente problema de incertidumbre.
Nota importante
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Interés Real y Nominal
El interés REAL, es el ajuste que debe efectuarseal interés NOMINAL para que refleje correctamentela inflación del período.
En otras palabras, el interés REAL refleja el “PODERADQUISITIVO” de la rentabilidad obtenida en unainversión.
Si la inflación es positiva, siempre el interés REALserá menor que el interés NOMINAL.
Interés Real y Nominal
El impacto de la inflación se puede estimar. Ello esnecesario, para muchas decisiones financieras dondelo que realmente importa es la rentabilidad REAL.
Interés Real y Nominal
IPC NOMINAL
NOMINAL REALREAL
IPM
INFERIOR
SIMPLE
IPCIPM
REAL NOMINAL
REALNOMINAL
INFERIOR
MATEMÁTICA FINANCIERA
Valor del dinero en el tiempo Valor futuro y valor actual
Temario
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Corresponde a la rentabilidad que un agente económico exigirá por no hacer uso del dinero en el periodo 0 y posponerlo a un periodo futuro
Sacrificar consumo hoy debe compensarse en el futuro. Un monto hoy puede al menos ser invertido en el banco
ganando una rentabilidad.
La tasa de interés (r) es la variable requerida para determinar la equivalencia de un monto de dinero en dos periodos distintos de tiempo
La sociedad es un participante más que también tiene preferencia intertemporal entre consumo e inversión presente y futura.
Valor del dinero en el tiempo
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Periodo 0(Año 0)
$1.000 $1.100
Si r = 10%Periodo 1(Año 1)
Valor del dinero en el tiempo ...continuación...
EjemploUn individuo obtiene hoy un ingreso (Y0) de $1.000 por una sola vez y decide no consumir nada hoy. Tiene la opción de poner el dinero en el banco.
a) ¿Cuál será el valor de ese monto dentro de un año si la tasa rentabilidad o de interés (r) que puede obtener en el banco es de 10% ?
1.000 * (0,1) = 100 (rentabilidad) 100 + 1000 = 1.100 (valor dentro de un año)
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Valor del dinero en el tiempo ...continuación
Si : Sólo hay sólo 2 periodos Ingreso sólo hoy (Y0=1.000) Puede consumir hoy o en un
año (C0, C1) Rentabilidad exigida por no consumir hoy: r=10%
b) ¿ Cuál sería el monto final disponible para consumir dentro de un año si consume $200 hoy ?
Si C0=200, C1=(1000-200)*1,1= 880
EntoncesC1 = (Y0 – C0)*(1+r) 0
200
400
600
800
1.000
1.200
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1.00
0
Periodo 0
Peri
odo
1
(200, 880)
(500, 550)
(800, 220)
1.100
Consumo total= 200 + 880 = 1.080
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Valor futuro (VF) y valor actual (VA)
31111* rVArrrVAVF
0 3
VF
Año:
VA
1 2
Si son 3 periodos
Caso General: nrVAVF 1*
VALOR FUTURO
rVAVF 1*
0 1
VFVA
Año:
Sólo 1 periodo
Donde:r = tasa de interés
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Valor futuro (VF) y valor actual (VA)
311*1*1 r
VFrrr
VFVA
0 3
VF
Año:
VA
1 2
Caso 3 periodos
Caso General: nrVF
VA
1
VALOR ACTUAL
...continuación...
rVF
VA
1
0 1
VFVA
Año:
Caso 1 periodo
Donde:r = tasa de interés
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Ejemplos VF y VA:
Valor futuro (VF) y valor actual (VA)
a) Si se tiene $1.000 hoy y la tasa de interés anual es de 12%. ¿Cuál será su valor al final del tercer año?
Año 0: 1.000Año 1: 1.000 * (1+0,12) = 1.120Año 2: 1.120 * (1+0,12) = 1.254Año 3: 1.254 * (1+0,12) = 1.405
VF= 1.000 * (1+0,12)3 = 1.000 * 1,4049 = 1.405
Alternativamente:
...continuación...
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Ejemplos VF y VA:
Valor futuro (VF) y valor actual (VA)
b) Si en cuatro años más necesito tener $ 3.300 y la tasa de interés anual es de 15%. ¿Cuál es el monto que requiero depositar hoy para lograr la meta?
Año 4: 3.300Año 3: 3.300 / (1+0,15) = 2.869,6Año 2: 2.869,6 / (1+0,15) = 2.495,3Año 1: 2.495,3 / (1+0,15) = 2.169,8Año 0: 2.169,8 / (1+0,15) = 1.886,8
VA= 3.300 / (1+0,15)4 = 3.300 / 1,749 = 1.886,8
Alternativamente:
...continuación
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Ejemplos VF y VA:
Valor futuro (VF) y valor actual (VA)
Caso especialc) Si los $1.000 de hoy equivalen a $1.643 al final del año 3. ¿Cuál será la tasa de interés anual relevante?
...continuación
VF= 1.000 * (1+r)3 = 1.643(1+r)3 = 1,64(1+r) =
(1,64)1/3
1+r = 1,18 r = 0,18
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Tasas de interés compuesta y simple
Tasa de interés compuestaCorresponde al mismo concepto asociado a la conversión de un valor actual (VA) en un valor final (VF) y viceversa.
El monto inicial se va capitalizando periodo a periodo, así por ejemplo, luego del primer periodo se suma el capital más los intereses ganados y este total es el que gana intereses para un segundo periodo.
nrVAVF 1*
VF = Monto capitalizado (valor final) VA = Inversión inicial (valor actual)r = tasa de interés del periodon = número de períodos
(1+r) n : Factor de capitalización
nrVF
VA
1 : Factor de descuento
1(1+r) n
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Tasas de interés compuesta y simple
Tasa de interés simpleConcepto poco utilizado en el cálculo financiero, es de fácil obtención, pero con deficiencias por no capitalizar la inversión periodo a periodo.
El capital invertido es llevado directamente al final sin que se capitalice periodo a periodo con los intereses ganados
)*1(* nrVAVF VF = Monto acumulado (valor final) VA = Inversión inicial (valor actual)r = tasa de interés del periodon = número de períodos
(1+r*n) : Factor acumulación simple
nrVF
VA*1
: Factor descuento simple 1(1+r*n)
...continuación...
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Tasas de interés compuesta y simple
Ejemplo tasa interés compuesta versus tasa interés simpleSi se tiene $1.000 hoy y la tasa de interés anual es de 12%. ¿Cuál será su valor al final del tercer año?Con tasa interés compuesta:
C = 1.000 * (1+0,12)3 = 1.000 * 1,4049 = 1.405
Con tasa interés simple:
C = 1.000 * (1+0,12*3) = 1.000 * 1,36 = 1.360
1000 14051120 1254
1+r 1+r 1+r
1000 1360
1+r*3
...continuación...
Intereses ganados:Año 1: $ 120Año 2: $ 134Año 3: $ 151
Intereses ganados:Año 1: $ 120Año 2: $ 120Año 3: $ 120
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Interés Real y Nominal
A continuación resolveremos unos ejercicios, que nos ayudarán a determinar
si has adquirido los conocimientos entregados en esta LECCIÓN.
NIVEL IIResponde las siguientes preguntas para que puedas verificar tu avance :
La diferencia fundamental entre interés SIMPLE y COMPUESTOes que en el cálculo del interés SIMPLE, el capital es constante,en cambio en el interés COMPUESTO, el capital va aumentandosegún se capitalizan los intereses ganados.
El cálculo del interés COMPUESTO es poco empleado en lapractica.
Los conceptos claves para resolver problemas de INTERÉSSIMPLE son : CAPITAL, INTERÉS, TASA DE INTERÉS y PERÍODOTIEMPO.
La fórmula básica para resolver un problema de interés simplees :
i = C * I * n
Ejercicios
¿ Cuál es la alternativa correcta ?Si una persona invierte $30.000 a un interéssimple de 7% anual, al final de un período de30 años, habrá obtenido un interés de :
a) $63.000
b) $90.000
c) $42.000
d) $65.000
e) Ninguna de las anteriores
Ejercicios
¿ Qué opciones son correctas ?Marca aquellas sentencias que considerescorrectas, respecto al interés compuesto:
a) Es aquella que se utiliza en las aplicaciones financieras prácticas.
b) Debe especificar un período de capitalización
c) Si la inflación es 0, el interés nominal siempre será mayor al interés real en un mismo período de tiempo.
d) Ninguna de las anteriores
Ejercicios
¿ Qué opciones son correctas ?Marca aquellas sentencias que considerescorrectas, respecto al interés real:
a) El interés real es siempre compuesto.
b) Es aquel que tiene incorporado el efecto de la inflación.
c) Si la inflación medida por el IPC, es positiva, el interés nominal será siempre mayor que el real.
d) Ninguna de las anteriores.
CONCLUSIÓN FINAL
En este módulo hemos revisado conceptosclaves que son permanentemente utilizadosen tú desarrollo profesional :
1) Definimos Capital, Interés y Tasa de Interés
2) Interés Simple y ejemplos.
3) Interés Compuesto y ejemplos.
4) Analizamos el impacto de la inflación sobre el interés o la rentabilidad de una inversión.
5) Interés nominal v/s Interés real.
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