View
2
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
1
02 Προτασιακός Λογισμός
Διακριτά Μαθηματικά, Εαρινό Εξάμηνο 2020
Module #1 - Logic
06-Feb-20 1 1
HY118-Διακριτά Μαθηματικά
Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το
University of Aberdeen
Πέμπτη, 06/02/2020
Αντώνης Α. Αργυρόςe-mail: argyros@csd.uoc.gr
Module #1 - Logic
06-Feb-20 2 2
Προηγούμενη φορά…
• Διαδικαστικά θέματα ΗΥ118• Εισαγωγή στα Διακριτά Μαθηματικά• Εισαγωγή στο ΗΥ118• Επισκόπηση ερευνητικών ενδιαφερόντων
• Θυμίζω:– http://users.ics.forth.gr/~argyros/cs118.html– http://users.ics.forth.gr/~argyros/cs118diary.html– Username: cs118– Password: !dm20!
Module #1 - Logic
06-Feb-20 3 3
Προτασιακός Λογισμός
Module #1 - Logic
06-Feb-20 4 4
Βάσεις της Μαθηματικής Λογικής
Η Μαθηματική Λογική είναι ένα εργαλείο που μας βοηθά να χειριστούμε σύνθετες προτάσεις.
Περιλαμβάνει:– Μία τυπική γλώσσα για να τις εκφράζουμε.– Μία μεθοδολογία για να αποφασίζουμε σχετικά με το
αν είναι αληθείς ή ψευδείς.
Αποτελεί το θεμέλιο της έκφρασης τυπικών αποδείξεων σε όλους τους κλάδους των
μαθηματικών!
2
02 Προτασιακός Λογισμός
Διακριτά Μαθηματικά, Εαρινό Εξάμηνο 2020
Module #1 - Logic
06-Feb-20 5 5
Θα μιλήσουμε για δύο συστήματα λογικής:
1. Προτασιακός λογισμός
2. Κατηγορηματικός λογισμός– (επεκτείνει τον 1. )
Πολλοί άλλοι “λογισμοί” υπάρχουν, αλλά μοιάζουν με τους δύο παραπάνω
Module #1 - Logic
06-Feb-20 6 6
Προτασιακός λογισμός
Ο Προτασιακός λογισμός είναι η λογική των σύνθετων προτάσεων οι οποίες δημιουργούνται από απλούστερες, χρησιμοποιώντας λογικές πράξεις.Μερικές άμεσες εφαρμογές στους υπολογιστές:
• Σχεδιασμός ψηφιακών κυκλωμάτων.• Έκφραση συνθηκών σε προγράμματα.• Ερωτήσεις σε βάσεις δεδομένων και μηχανές
αναζήτησης.• …
George Boole(1815-1864)
Χρύσιππος(280 – 206 π.Χ.)
Module #1 - Logic
06-Feb-20 7 7
Προτάσεις
Μία πρόταση είναι απλά μία δήλωση με κάποια οριστική σημασία και η οποία μπορεί να είναιείτε αληθής (T) είτε ψευδής (F)
– Δεν είναι ποτέ και τα δύο, ούτε κάπου “ανάμεσα”
– Ωστόσο, η τιμή αληθείας της δεν είναι απαραίτητο να μας είναι γνωστή…
Module #1 - Logic
06-Feb-20 8 8
Παραδείγματα προτάσεων
• “Μου αρέσει η rock μουσική”
• “Ο γάιδαρος πετάει”
• “Εχθές έβρεξε στη Νέα Υόρκη”
• “Η Αθήνα είναι η πρωτεύουσα της Ελλάδας, και 1 + 4 = 2.7”
• “2x2 = x2 + x2”
Αλλά οι ακόλουθες ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ προτάσεις:• “Ποιός είναι εκεί;” (ερωτηματική)
• “Φέρε μου ένα ποτήρι νερό” (προστακτική)
• “x := x+1” (προστακτική)
• “1 + 2” (ένας αριθμητικός όρος)
3
02 Προτασιακός Λογισμός
Διακριτά Μαθηματικά, Εαρινό Εξάμηνο 2020
Module #1 - Logic
06-Feb-20 9 9
Προτάσεις στον προτασιακό λογισμό
• Ατομικές: πχ, p = “Ονομάζομαι Αντώνης Αργυρός”
• Σύνθετες: χτίζονται από τις ατομικέςπροτάσεις χρησιμοποιώντας λογικούς τελεστές(π.χ., “Ονομάζομαι Αντώνης Αργυρός ΚΑΙείμαι πενήντα δύο ετών”)
Module #1 - Logic
06-Feb-20 10 10
Προτάσεις στον προτασιακό λογισμό
• Η λογική προσφέρει ορισμούς γι’ αυτούς τους τελεστές
• Επομένως, καθορίζει το νόημα των σύνθετων προτάσεων που δημιουργούνται με τη χρήση των τελεστών.
Module #1 - Logic
06-Feb-20 11 11
Ένας τελεστής συνδυάζει n το πλήθος εκφράσεις σε μία μεγαλύτερη έκφραση– π.χ., “+” στις αριθμητικές εκφράσεις
• Οι μοναδιαίοι τελεστές έχουν 1 όρισμα (π.χ., −3)
• Οι δυαδικοί τελεστές έχουν 2 ορίσματα (π.χ., 3+4)
• …
• Οι προτασιακοί τελεστές (Boolean operators) συνδέουν ένα πλήθος λογικών προτάσεων και όχι αριθμητικές εκφράσεις.
Τελεστές
Module #1 - Logic
06-Feb-20 12 12
Μερικοί προτασιακοί τελεστές
Ονομα Συντομ. Τύπος Σύμβολο
Άρνηση NOT Μον. ¬
Σύζευξη (ΚΑΙ) AND Δυαδ.
Διάζευξη (Ή) OR Δυαδ.
Αποκλειστική διάζευξη XOR Δυαδ.
«αν... τότε...» IMPLIES Δυαδ.
«αν και μόνο αν» IFF Δυαδ. ↔
4
02 Προτασιακός Λογισμός
Διακριτά Μαθηματικά, Εαρινό Εξάμηνο 2020
Module #1 - Logic
06-Feb-20 13 13
Λογική άρνηση
Ο μοναδιαίος τελεστής άρνησης “¬” (NOT) μετασχηματίζει μία πρόταση στην άρνησή της.
Π.χ. Εάν p = “Είμαι κοντός.”
τότε ¬p = “Δεν είμαι κοντός.”
Ο πίνακας αληθείας για την NOT: p p T F F T
T :≡ True; F :≡ False“:≡” σημαίνει “ορίζεται ως”
Όρισμα Αποτέλεσμα
Module #1 - Logic
06-Feb-20 14 14
Λογική σύζευξη
Ο δυαδικός τελεστής σύζευξης “” (AND)
Π.χ. Έστω
p=“Έφαγα μπριζόλα για μεσημεριανό.”
q=“Έφαγα σαλάτα για βραδυνό”
Τότε
pq=“Έφαγα μπριζόλα για μεσημεριανό και έφαγα σαλάτα για βραδυνό.”
Module #1 - Logic
06-Feb-20 15 15
Ορισμός της λογικής σύζευξηςμέσω πίνακα αληθείας
p q pqF F FF T FT F FT T T
Στήλες ορισμάτων Αποτέλεσμα
Module #1 - Logic
06-Feb-20 16 16
Λογική διάζευξη
Ο δυαδικός τελεστής διάζευξης “” (OR).
p=“Το αυτοκίνητό μου έχει χαλασμένη μηχανή.”
q=“Το αυτοκίνητό μου δεν έχει βενζίνη.”
pq=“Το αυτοκίνητό μου έχει χαλασμένη μηχανή ή το αυτοκίνητό μου δεν έχει βενζίνη.”
Εννοώντας “και/ή” στα ελληνικά.
5
02 Προτασιακός Λογισμός
Διακριτά Μαθηματικά, Εαρινό Εξάμηνο 2020
Module #1 - Logic
06-Feb-20 17 17
• Η pq εννοεί ότιη p είναι αληθής, ή η q είναι αληθής ή και τα δύο.
• Οι τελεστές ¬ και μαζί, είναι ικανοί να εκφράσουν κάθε πίνακα αληθείας
Πίνακας αλήθειας της διάζευξης
p q pqF F FF T TT F TT T T
Διαφοράμε τηνAND
Module #1 - Logic
06-Feb-20 18 18
Μερικές βασικές ιδέες:
• Διαφορετικοί τύποι προτάσεων
• Συνειδητοποίηση ότι κάποιες προτάσεις έχουν διαφορετική εμφάνιση αλλά εκφράζουν την ίδια πληροφορία
Module #1 - Logic
06-Feb-20 19 19
Ταυτολογίες
Μία ταυτολογία είναι μία σύνθετη πρόταση η οποία είναι αληθής ανεξάρτητα από τις τιμές αληθείας των ατομικών προτάσεων.
Π.χ. p (p)
Ποιός είναι ο πίνακας αληθείας;
Module #1 - Logic
06-Feb-20 20 20
Ταυτολογίες
• p (p)
• Κάθε γραμμή του πίνακα αληθείας δίνει T.
p p p(p) F T T T F T
6
02 Προτασιακός Λογισμός
Διακριτά Μαθηματικά, Εαρινό Εξάμηνο 2020
Module #1 - Logic
06-Feb-20 21 21
Αντιφάσεις
Μία αντίφαση είναι μία σύνθετη πρότασηπου είναι ψευδής ανεξάρτητα από τις τιμές αληθείας των ατομικών προτάσεων.
Π.χ., p (p)
Ποιός είναι ο πίνακας αληθείας;
Module #1 - Logic
06-Feb-20 22 22
Αντιφάσεις
• p (p)
• Κάθε γραμμή του πίνακα αληθείας δίνει F
p p p(p) F T F T F F
Module #1 - Logic
06-Feb-20 23 23
Τι απομένει πέραν τωνταυτολογιών και των αντιφάσεων
Προφανώς, υπάρχουν προτάσεις που δεν είναι ούτε ταυτολογίες ούτε αντιφάσεις…
...κάποιες γραμμές του πίνακα αληθείας δίνουν T, άλλες δίνουν F
Module #1 - Logic
06-Feb-20 24 24
Λογική ισοδυναμία προτάσεων
Δύο συντακτικά διαφορετικές σύνθετες προτάσεις μπορεί να είναι σημασιολογικάταυτόσημες (δηλ., να έχουν το ίδιο νόημα). Τέτοιες προτάσεις τις ονομάζουμε λογικά ισοδύναμες.
7
02 Προτασιακός Λογισμός
Διακριτά Μαθηματικά, Εαρινό Εξάμηνο 2020
Module #1 - Logic
06-Feb-20 25 25
Λογική ισοδυναμία προτάσεων
Δύο σύνθετες προτάσεις p και q είναι λογικά ισοδύναμες, και το συμβολίζουμε με p q:
• Αν και μόνο αν οποιαδήποτε εκχώρηση τιμών στις επιμέρους προτάσεις που απαρτίζουν τις p και qκαταλήγει σε ταυτολογία …
• …δηλαδή αν και μόνο αν οι p και q έχουν τις ίδιες τιμές αληθείας σε όλες τις γραμμές των πινάκων αληθείας τους
Module #1 - Logic
06-Feb-20 26 26
Π.χ.: Αποδείξτε ότι pq(p q).
p q ppqq pp qq pp qq ((pp qq)) F F F T T F T T
Απόδειξη ισοδυναμίας μέσω των πινάκων αληθείας
FT
TT
T
T
T
TTT
FF
F
F
FFF
F
TT
Module #1 - Logic
06-Feb-20 27 27
Η λογική ως «στενογραφία» της φυσικής γλώσσας
Έστωp = “Είμαι έξυπνος”, q = “Είμαι καλός”,r = “Είμαι όμορφος”
¬p = r ¬p = ¬ r p q =
“Δεν είμαι έξυπνος.”
“Είμαι όμορφος και δεν είμαι έξυπνος.”
“Δεν είμαι όμορφος, ή είμαι καλός, ή είμαι έξυπνος
Module #1 - Logic
06-Feb-20 28 28
«Φωλιασμένες» λογικές προτάσεις
Χρήση παρενθέσεων για την ομαδοποήσηυποεκφράσεωνΠχ, έστω η πρόταση p q r• “Έίμαι έξυπνος και είμαι καλός ή είμαι όμορφος”
p q r• Η πρόταση p (q r) σημαίνει:
– Είμαι έξυπνος,....... και είμαι καλός ή όμορφος
• Η πρόταση (p q) r σημαίνει:
– Είμαι έξυπνος και καλός, ....... ή είμαι όμορφος
• Οι παραπάνω δύο προτάσεις έχουν διαφορετικό νόημα!• Επομένως, η p q r είναι διφορούμενη!
8
02 Προτασιακός Λογισμός
Διακριτά Μαθηματικά, Εαρινό Εξάμηνο 2020
Module #1 - Logic
06-Feb-20 29 29
p q r p(q r) (pq) rF F FF F TF T FF T TT F FT F TT T FT T T
p(qr) σε σχέση με την (pq)r
Module #1 - Logic
06-Feb-20 30 30
p q r p(q r) (pq) rF F F F FF F T F TF T F F FF T T F T T F F F FT F T T TT T F T TT T T T T
p(qr) σε σχέση με την (pq)r
Module #1 - Logic
06-Feb-20 31 31
Συμβάσεις σε σχέση με την προτεραιότητα των τελεστών
– Κατά σύμβαση, ο τελεστής “¬” έχει προτεραιότητα έναντι των τελεστών “” και “”.– Η ¬f g σημαίνει (¬f)g , και όχι ¬ (f g)
– Κατά σύμβαση, ο τελεστής “” έχει προτεραιότητα έναντι του τελεστή “”.– Η f gh σημαίνει (fg)h, και όχι f(gh)
– Όπου χρειάζεται να επιβάλουμε την προτεραιότητα που επιθυμούμε, το κάνουμε χρησιμοποιώντας παρενθέσεις
Module #1 - Logic
• Μπορούμε να γράψουμε p1 p2 p3 χωρίς ασάφεια;
06-Feb-20 32 32
Ερώτημα
9
02 Προτασιακός Λογισμός
Διακριτά Μαθηματικά, Εαρινό Εξάμηνο 2020
Module #1 - Logic
06-Feb-20 33 33
Απάντηση
• Εάν οι προτάσεις (p1 p2 ) p3 και p1 (p2 p3 ) είναι ισοδύναμες, τότε ναι!
• Πρέπει δηλαδή να δούμε κατά πόσον ισχύει(p1 p2 ) p3 p1 (p2 p3 )
• Πως μπορούμε να το αποδείξουμε αυτό;
Module #1 - Logic
06-Feb-20 34 34
p1 p2 p3 (p1p2) (p1p2)p3 (p2p3) p1 (p2p3 )F F F F F F FF F T F F F FF T F F F F FF T T F F T FT F F F F F FT F T F F F FT T F T F F FT T T T T T T
Μπορούμε να γράψουμε p1 p2 p3
χωρίς ασάφεια;;;
Module #1 - Logic
• Ισχύει ότι (p1 p2 ) p3 = p1 ( p2 p3 );
• … Η ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΕΚΦΡΑΣΗ ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΝΟΗΜΑ (δεν έχουμε ορίσει την ισότηταπροτάσεων μόνο τη λογική ισοδυναμία! )
• Αυτό που όντως ισχύει είναι ότι (p1 p2 ) p3 p1 ( p2 p3 )
06-Feb-20 35 35
Ερώτημα
Module #1 - Logic
06-Feb-20 36 36
1. Θεωρείστε τη σύζευξηp1 p2 … pn, n το πλήθος προτάσεων.Πόσες γραμμές έχει ο πίνακας αληθείας της;
2x2x2x … x2 (n παράγοντες)Επομένως, το πλήθος των γραμμών του πίνακα αληθείας είναι 2n όπου n το πλήθος των προτάσεων
Ερώτημα
10
02 Προτασιακός Λογισμός
Διακριτά Μαθηματικά, Εαρινό Εξάμηνο 2020
Module #1 - Logic
06-Feb-20 37 37
Ας εισάγουμε κάποιους ακόμα τελεστές
• Αποκλειστική διάζευξη (XOR, σύμβολο )
• «εάν ... τότε» (IMPLIES, σύμβολο )
• «αν και μόνο αν» (IFF, σύμβολο )
Module #1 - Logic
06-Feb-20 38 38
Η αποκλειστική διάζευξη
Δυαδικός τελεστής αποκλειστικής διάζευξης“” (XOR).
p = “Θα πάρω 10 σε αυτό το μάθημα”
q = “Θα παρατήσω αυτό το μάθημα”
p q = “Ή θα πάρω 10 σε αυτό το μάθημα ή θα παρατήσω αυτό το μάθημα”
(...αλλά όχι και τα δύο!)
Module #1 - Logic
06-Feb-20 39 39
• Η pq είναι αληθής όποτε μόνο μία από τις p, q είναι αληθής, αλλά όχι και οι δύο!
• Αποκλειστική διάζευξη,επειδή αποκλείει το ενδεχόμενο και η p και η q να είναι ταυτόχρονα αληθείς.
• Οι τελεστές ¬ και “” μαζί, ΔΕΝ είναι ικανοί να εκφράσουν κάθε πίνακα αληθείας
Πίνακας αληθείας αποκλειστικής διάζευξης
p q pqF F FF T TT F TT T F Διαφορά
από τονOR.
Module #1 - Logic
06-Feb-20 40 40
Το Ελληνικό “ή” μπορεί να είναιδιφορούμενο…
Χρειαζόμαστε τα συμφραζόμενα για γνωρίζουμε εάν προκειται για την OR ή τηνXOR!
Η φυσική γλώσσα είναι διφορούμενη...
p q p "ή" q F F F F T T T F T T T ?
11
02 Προτασιακός Λογισμός
Διακριτά Μαθηματικά, Εαρινό Εξάμηνο 2020
Module #1 - Logic
06-Feb-20 41 41
Χρειαζόμαστε τα συμφραζόμενα για γνωρίζουμε εάν σε μία πρόταση το ακριβές νόημα αποδίδεται από την OR ή την XOR!
p = “Μου αρέσουν τα θρίλερ”
q = “Μου αρέσει η επιστημονική φαντασία”
r=“Μου αρέσουν τα θρίλερ ή η επιστημονική φαντασία”
r p q ... ή ... r p q;
Η φυσική γλώσσα είναι διφορούμενη...
Module #1 - Logic
06-Feb-20 42 42
Έλεγχος της κατανόησης των δύο διαζεύξεων
1. Ας υποθέσουμε ότι η p q είναι αληθής.Προκύπτει από αυτό ότι και η pq είναι αληθής;
OXI: δέστε τι συμβαίνει για p=T, q=T
Module #1 - Logic
06-Feb-20 43 43
Έλεγχος της κατανόησης των δύο διαζεύξεων
2. Ας υποθέσουμε ότι η pq είναι αληθής.Προκύπτει από αυτό ότι και η p q είναι
αληθής;
ΝΑΙ: Ελέγξτε τις δύο περιπτώσεις που κάνουν την pq αληθή:a) p=T, q=F (η p q είναι Τ)b) p=F, q=T (η p q είναι Τ)
Module #1 - Logic
06-Feb-20 44 44
Ο τελεστής «εάν...τότε»
Η πρόταση p q σημαίνει “εάν p τότε q”.
Π.χ., .έστω p = “Μελετώ πολύ”q = “Θα πάρω καλό βαθμό.”
p q = “Εάν μελετώ πολύ, τότε θα πάρω καλό βαθμό.”
υπόθεση συμπέρασμα
12
02 Προτασιακός Λογισμός
Διακριτά Μαθηματικά, Εαρινό Εξάμηνο 2020
Module #1 - Logic
06-Feb-20 45 45
Πίνακας αληθείας «εάν...τότε»
• Η p q είναι ψευδής μόνο ότανp -αληθής αλλά q – ψευδής
• …με άλλα λόγια η p q είναιψευδής μόνο όταν μία αληθής υπόθεση οδηγεί σε ένα ψευδές συμπέρασμα…Η p q δεν λέει ότι η p είναι η αιτία της q!
• Η p q δεν απαιτεί η p ή η q να είναι αληθής!
• Π.χ.: Η πρόταση “(1=0) ο γάιδαρος πετάει” είναι αληθής!
p q pq F F T F T T T F F T T T
ΤομόνοFalse
Module #1 - Logic
06-Feb-20 46 46
«εάν...τότε» μεταξύ προτάσεων
• “Εάν αυτό το μάθημα είναι το ΗΥ118, τότε ο ήλιος ανέτειλε σήμερα το πρωί.” True ή False;
• “Εάν η Παρασκευή είναι μέρα της εβδομάδας, τότε είμαι πιγκουίνος.” True or False ;
• “Εάν 1+1=6, τότε διδάσκω Διακριτά Μαθηματικά.” True or False ;
• “Εάν το φεγγάρι είναι από τυρί, τότε είμαι πλουσιότερος από τον Bill Gates.” True or False ;
Module #1 - Logic
06-Feb-20 47 47
Γιατί αυτά μοιάζουν «λάθος»;
• Θυμηθείτε “Εάν [μελετώ πολύ] τότε [θα πάρω καλό βαθμό]”
• Στην καθομιλουμένη, υπάρχει μία σχέση αιτίας – αποτελέσματος μεταξύ των δύο προτάσεων. Ο τελεστής όμως, δεν δηλώνει τέτοιου είδους σχέση!
Module #1 - Logic
06-Feb-20 48 48
Πίνακας αληθείας «εάν...τότε»
• Ας υποθεσουμε ότι η qείναι T. Τί ξέρουμε για την αλήθεια τηςpq ;
• Είναι αληθής!
p q pq F F T F T T T F F T T T
13
02 Προτασιακός Λογισμός
Διακριτά Μαθηματικά, Εαρινό Εξάμηνο 2020
Module #1 - Logic
06-Feb-20 49 49
Πίνακας αληθείας «εάν...τότε»
• Ας υποθεσουμε ότι η pείναι F. Τι ξέρουμε για την αλήθεια της pq;
• Είναι αληθής!
p q pq F F T F T T T F F T T T
Module #1 - Logic
06-Feb-20 50 50
«εάν...τότε»
• Αποδείξτε ότι (pq) (p q)
p q pq p p q F F T T T F T T T T T F F F F T T T F T
Module #1 - Logic
06-Feb-20 51 51
Θυμηθείτε…
• Προηγουμένως είδαμε ότι αν η pq είναι αληθής τότε προκύπτει ότι και η pq είναι αληθής.
• Αυτό μπορούμε να το γράψουμε αυτό ως:
pq pq
• Η παραπάνω πρόταση είναι ταυτολογία: οποιεσδήποτε τιμές αληθείας και να έχουν οι p, q, η σύνθετη πρόταση είναι αληθής
Recommended