View
135
Download
4
Category
Preview:
Citation preview
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
1
Кривые и поверхностив компьютерной графике
URL: http://www.school30.spb.ru/cgsg/cgc/
E-mail: CGSG@yandex.ru
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
2Представления кривых на плоскости
• явный способ (explicit curves)
• неявный способ (implicit)
• Параметрический способ (parametric curves)
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
3Явные кривые
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
4Неявные кривые
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
5Параметрические кртвые
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
6Параболическая интерполяция
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
7Кривые Безье (Pierre Bézier): линейные
• Линейные кривые Безье• Линейная интерполяция между концевыми точками
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
8Кривые Безье: квадратичные
• Квадратичные кривые Безье• Композиция нескольких линейных кривых:
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
9Кривые Безье: кубические
• Кубические кривые Безье
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
10Кривые Безье: старшие степени
• В общем случае:
полином Бернштейна
число Сочетаний
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
11Кубические кривые Безье: матричная запись
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
12Сопряжение кривых Безье
R0
P0 R2
R3P1
P2 P3R1
P4 P5
P6
P7
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
13Интерполяция с помощью кривых Безье
• Сплайны Катмула-Рома:
P0
Q0 P2
P3Q1
Q2 Q3P1
Q4 Q5
Q6
Q7
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
14Рациональные кривые Безье (rational)
w=(1, 1, 1, 1) w=(1, 1, 10, 1) w=(1, 30, 30, 1) w=(1, 1000, 1, 1)
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
15B-сплайны (B-splines)
• Кокс и де Бур:
полагаем
- узловой вектор
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
16Примеры B-сплайнов (кривая Безье)
• Кубическая кривая Безье:
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
17Примеры B-сплайнов (uniform)
• Униформный кубический B-spline
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
18Примеры B-сплайнов (nonuniform rational)
• NURBS
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
19Поверхности (surfaces)
• явный способ
• неявный способ
• параметрический способ
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
20Повехности Безье: билинейные
P00
P01
P11
P10
R0
R1
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
21Поверхность Кунса
• Граничные кривые:
• Билинейно смешиваем (учитывая повторение угловых точек):
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
22Поверхности Безье (общий случай)
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
23Бикубическая поверхность Безье
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
24Бикубическая поверхность Безье: сопряжение
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
25Бикубическая поверхность Безье: пример
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
26Общий случай бикубических поверхностей
uniform B-spline cubic Bezier Catmull-Rom
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
27Трикубические пространства: Free Form Deformation
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
28
• Практические задания (до 13.11.2011)– Реализовать интерактивную среду демонстрации
параметрических кубических кривых (выполнять интерполяцию по нескольким точкам, использовать uniform B-spline и сплайн Катмула-Рома). Дополнительное задание: реализовать изменение весов точек и визуализацию рациональными кривыми.
– Реализовать интерактивную среду демонстрации FFD на плоскости для растрового изображения. Использовать биквадратную «сетку» (9 точек) Безье.
(
CurvesCurves
Галинский В.А.Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
29Литература
• David F. Rodgers, J. van Adams. "Mathematical Elements for Computer Graphics", 2nd ed., McGraw-Hill Publishing Company, 1990.
• Alan Watt, Mark Watt. "Advanced Animation and Rendering Techniques. Theory and Practice", ACM Press, Addison-Wesley Longman Limited, 1992.
• Е.Шикин, А.Плис. "Кривые и поверхности на экране компьютера". Москва: Диалог-МИФИ, 1996.
• Е.В.Шикин, М.М.Франк-Каменецкий. "Кривые на плоскости и в пространстве". Москва: "ФАЗИС", 1997.
Recommended