Кривые второго порядка

Кривые второго Кривые второго порядкапорядка

Выполнили студенты группы И3-11Кузьмин МаксимМатвеев РоманАлександров ВячеславКузнецов ДенисКарачев Александр

БОУ Чувашской Республики СПО "Чебоксарский электромеханический колледж"

Чебоксары 2012

СодержаниеСодержание

• Цель• Введение• История• Окружность• Уравнения окружности• Эллипс • Гипербола• Парабола

ЦельЦель

• Узнать новое о кривых второго порядка• Изучить различные виды кривых второго

порядка• Дать определения новым терминам• Обобщить полученные знания и сделать

вывод

ВведениеВведение• Кривыми второго

порядка на плоскости называются линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину. Существуют различные виды кривых второго порядка, основными из которых являются окружность, эллипс, гипербола и парабола

ИсторияИстория

Впервые кривые второго порядка изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и

вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении

получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола,

гипербола и несколько вырожденных фигур.

ИсторияИсторияОднако эти научные знания

нашли применение лишь в XVII, когда стало известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Ещё позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу, а по достижении второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли.

Космические скорости

Траектория полета снарядов

ОкружностьОкружность

M

O x

y

Окружностью называется геометрическое место точек,

одинаково удаленных от точки, называемой центром.

Координаты любой точки окружности удовлетворяют этому уравнению

Уравнения окружностиУравнения окружности

Уравнение окружности с центром в произвольной точке. Пусть окружность радиуса R имеет центр в точке C(a;b). Выберем на окружности произвольную точку M(x;y). Получим:

M

O x

y

С

ЭллипсЭллипс

Из последних двух неравенств следует, что эллипс есть кривая, ограниченная прямоугольником со сторонами 2а

и 2b и с центром в начале координат

ЭллипсЭллипсЕсли M(х; у) принадлежит

эллипсу, то точки с координатами (x;-y) (-x;y),

(-x;-y) тоже принадлежат эллипсу. Из этого следует, что эллипс симметричен относительно осей координат и начала координат.

Началокоординат — центр симметрии называется центром эллипса.

Точки пересечения осей координат — осей симметрии с эллипсом A1(a; 0), B1(0; b), А2(-а; 0), В2(0; -b) — называются вершинами эллипса. Отрезок оси Oх длиной 2а между вершинами А1 и А2 называется большой осью, а отрезок оси Оy длиной 2Ь между вершинами B1 и В2 называется малой осью эллипса.

Точки F1(-c; 0), F2(c; 0)называются фокусами эллипса.

Расстояния r1 и г2 от любой точки М на кривой эллипса до фокусов F1 и F2 называются радиусами точки М.

Это равенство дает возможность сформулировать определение эллипса:

Эллипсом называется геометрическое место точек М, для каждой из которых сумма расстояний r1 и г2 до двух данных точек F1 и F2 (фокусов) есть величина постоянная.

ЭллипсЭллипс

ГиперболаГипербола


Гиперболой называется геометрическое место точек M, для каждой из которых разность расстояний r1,r2 до двух

данных точек (фокусов) есть величина постоянная: r1 - r2 = 2а (правая ветвь); r2 – r1 = 2а (левая ветвь).

ПараболаПарабола


• Теорема Паскаля: точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в кривую второго порядка, лежат на одной прямой.

Теоремы, связанные с кривыми Теоремы, связанные с кривыми второго порядкавторого порядка

• Теорема Брианшона: диагонали, проходящие через противоположные вершины шестиугольника, описанного около кривой второго порядка, пересекаются в одной точке.

Теоремы, связанные с кривыми Теоремы, связанные с кривыми второго порядкавторого порядка

С примерами кривых второго порядка мы сталкиваемся каждый день, порой не замечая этого. Применение знаний о кривых второго порядка началось сравнительно недавно, но эти знания помогают совершать сложные расчеты в важных областях науки и техники.

ЗаключениеЗаключение

• Математика. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. - М.: Дрофа, 2010

• Корн Т. Кривые второго порядка (конические сечения-- М: Наука, 1978

• http://ru.wikipedia.org/• http://myurok.narod.ru/ks/• http://forstu.narod.ru/

Использованная литература и Использованная литература и Интернет ресурсыИнтернет ресурсы

Documents

Кривые второго порядка