Геометрическая прогрессия

(Алгебра – 9)(Алгебра – 9)

Шахматы – одна из самых древних игр. Она существует уже многие века и неудивительно, что с нею связаны различные придания, правдивость которых, за давностью времени, невозможно проверить. Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений.

Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. - Я желаю достойно вознаградить тебя . Мудрец молчал. - Я достаточно богат, чтобы исполнить твоё самое смелое пожелание. Назови награду , которая тебя удовлетворит.

- Повелитель,- сказал Сета,- прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничноё зерно, за вторую – 2, за третью - 4, за четвёртую – 8, за пятую – 16…

- Довольно, - с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои зёрна за всё 64 клетки доски. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости.

Сета улыбнулся и покинул залу.

Отходя ко сну царь вспомнил об изобретателе шахмат и спросил:

-Унёс ли Сета свою жалкую награду? - Повелитель ,- ответили ему, математики

твои трудятся без отдыха и надеются к рассвету закончит подсчёт.

Утром царю доложили , что число это так велико, что в его амбарах нет такого количества зёрен.

Что за последовательность Что за последовательность чисел получилась?чисел получилась?

1 ; 2 ; 4 ; 16 ; 32 ; 64….1 ; 2 ; 4 ; 16 ; 32 ; 64…. В этой последовательности каждый её

член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на два.

Такая последовательность называется геометрической прогрессией.

Определение геометрической Определение геометрической прогрессии.прогрессии.

Числовая последовательность

b1 ; b2 ; b3 ;….; bn;…

называется геометрической прогрессиейгеометрической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство bn+1 = bnq ,

где bn ≠ 0, q – некоторое число , не равное нулю.

qq называется знаменателемзнаменателем прогрессии.

Примеры геометрических Примеры геометрических последовательностей.последовательностей.

• Размножение бактерий.

• Последовательность длин сторон.

2; 4; 8; 16; 32;….

...,32

1,

16

1,

8

1,

4

1,

2

1;11

Свойство геометрической Свойство геометрической прогрессии.прогрессии.

bn+1 = bnq bn-1 = bn : q

Перемножим эти равенства

bn+1∙ bn-1 = (bnq) ∙ (bn : q) = bn2

11 nnn bbb

• Если все члены прогрессии положительны, то

т. е. каждый член, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов.

• Этим объясняется название

«геометрическая»«геометрическая» прогрессия.

,11 nnn bbb

Формула Формула n –n – го члена го члена геометрической прогрессии.геометрической прогрессии.

bbnn++11 = b = bnnqq

bb22 = b = b11qq

bb33 = b = b22qq = = bb11qq22

bb44 = b = b33q = bq = b11qq33

bbnn = b = b11qqn-1n-1

………………………

Задача №1.Задача №1.

Найти седьмой член геометрической

прогрессии, если b1 = 81, q = .

Решение.Решение.3

1

1-n1n qb = b

6

4

6 3

3=

3

81.

9

1

17

7 3

181b

Задача № 2.Задача № 2.

.:

.,,:

nНайти486b6b2bДано n21

,32

6

b

bq)1

1

2

.6:Ответ

.6n

,51n

Решение.Решение.

2) bn=2·3n-1= 486,

bn=b1·qn-1

3n-1= 243,

3n-1= 35,

На луг площадью 12800 м2 попали семена одуванчика и со временем заняли 50м2. При благоприятных условиях одуванчик размножаясь, занимает площадь в двое большую, чем в прошлом году. Через сколько лет одуванчики займут весь луг?

Задача № 3 .Задача № 3 .

Дано:

b1=50,

bn=12800,

q=2.

Найти: n.

Ответ: за 9 лет.

Решение.

bn=50·2n-1= 12800,

bn=b1·qn-1

2n-1= 256,

2n-1= 28,

n – 1 = 8,n = 9.

Закрепление.Закрепление.

• Какая последовательность называется геометрической прогрессией?

• Почему она так называется?• Как вычислить n – ный член геометрической

прогрессии?

Д\з: Д\з: §§30,30, № 407-409 (чет). № 407-409 (чет).

Работа в классе:• № 406 (устно),• № 407-409 (нечет).