ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ(ΑΛΓΕΒΡΑ, ΣΕΛ. 174-196)

1. Ορισμοί

2. Αλγεβρικό Συμπλήρωμα

3. Τιμή ορίζουσας

4. Βασικές ιδιότητες οριζουσών

5. Συστήματα εξισώσεων

•Τάξη ορίζουσας λέγεται ο αριθμός των στοιχείων μιας γραμμής. Για παράδειγμα η ορίζουσα a, που βλέπετε πιο πάνω, είναι τάξης 4.

ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

•Ορίζουσα λέγεται μια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες με τη μορφή ενός τετραγωνικού πίνακα.

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

a a a a

a a a aa =

a a a a

a a a a•Η ορίζουσα τοποθετείται μεταξύ δύο κατακόρυφων γραμμών όπως αυτές που χρησιμοποιούμε για τις απόλυτες τιμές.

•Τα περιεχόμενα μιας ορίζουσας λέγονται στοιχεία της ορίζουσας.

•Κάθε ορίζουσα έχει μια και μόνο τιμή. Ο υπολογισμός της τιμής ορίζουσας, θα αναλυθεί αργότερα .

Πριν όμως προχωρήσουμε, θα δώσουμε μερικούς ορισμούς.

ΑΛΓΕΒΡΙΚΟ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ

Παράδειγμα: Το στοιχείο a22 της ορίζουσας a βρίσκεται στη 2η γραμμή και 2η στήλη, τις οποίες διαγράφουμε.

•Αλγεβρικό συμπλήρωμα D(aij) του στοιχείου aij, που βρίσκεται στη γραμμή i και στήλη j λέγεται η ορίζουσα που προκύπτει αν διαγράψουμε ολόκληρη τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου αυτού.Πρόσημο του αλγεβρικού συμπληρώματος είναι το (–1)i+j

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:

Παρατηρούμε ότι το αλγεβρικό συμπλήρωμα κάθε στοιχείου είναι ορίζουσα τάξης

μικρότερης κατά 1 της τάξης της αρχικής ορίζουσας.

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

a a a a

a a a aa =

a a a a

Ισχύει i=j=2. Συνεπώς το πρόσημο είναι (-1)2+2=+1

Άρα το στοιχείο a22 έχει το αλγεβρικό συμπλήρωμα D(a22 ):

11 13 14

22 31 33 34

41 43 44

D(a ) = + a a a

ΑΣΚΗΣΗ:

Να υπολογισθεί το αλγεβρικό συμπλήρωμα του στοιχείου a34.

ΑΛΓΕΒΡΙΚΟ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

a a a a

a a a aa =

a a a a

ΛΥΣΗ:

i=3, j=4, i+j=7

(-1)i+j=(-1)7=-1 (Πρόσημο ελάσσονος ορίζουσας το -)

Η ορίζουσα θα προκύψει μετά τη διαγραφή της γραμμής 3 και της στήλης 4

11 12 13

34 21 22 23

41 42 43

D(a ) = - a a a

Γράφουμε την ορίζουσα σε μορφή αθροίσματος γινομένων των στοιχείων μιας γραμμής της επί τα αλγεβρικά τους συμπληρώματα, που όλα θα είναι τάξης ν-1. Έτσι θα έχουμε πλέον ν ορίζουσες τάξης ν-1.

ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ

•Η τιμή μιας ορίζουσας είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων όλων των στοιχείων μιας γραμμής (ή μιας στήλης) επί τα αλγεβρικά τους συμπληρώματα.

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

a a a a

a a a aa =

a a a a

a a a a Η διαδικασία για τον υπολογισμό της τιμής μιας ορίζουσας ν τάξης είναι:

Επαναλαμβάνουμε τον υποβιβασμό της τάξης των οριζουσών, μέχρι να καταλήξουμε σε ν! ορίζουσες τάξης 1.

Κάθε μία ορίζουσα τάξης ν-1 τη γράφουμε σε μορφή αθροίσματος γινομένων των στοιχείων μιας γραμμής της επί τα αλγεβρικά τους συμπληρώματα, που όλα θα είναι τάξης ν-2. Έτσι θα έχουμε πλέον ν•(ν-1) ορίζουσες τάξης ν-2.

•Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 1 (περιλαμβάνει ένα μόνο στοιχείο) είναι ίση με την τιμή του μοναδικού της στοιχείου.

a = a11 = a11

Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 2 (2 γραμμές και 2 στήλες) υπολογίζεται σύμφωνα με τον κανόνα που είδαμε νωρίτερα ως εξής:

a = a11 = a11

a11 a12

a21 a22a =

1.Για κάθε στοιχείο της 1ης γραμμής υπολογίζουμε τα αλγεβρικά συμπληρώματα

a = a11 = a11

a11 a12

a21 a22a =

a = a11 = a11

a11 a12

a21 a22a =

a11 a12

a21 a22D(a11) = (-1)1+1• = 1•a22

a = a11 = a11

a11 a12

a21 a22a =

a11 a12

a21 a22D(a11) = (-1)1+1• = 1•a22

a11 a12

a21 a22D(a12) = (-1)1+2• = -1•a21

2.Εκφράζουμε την ορίζουσα σαν άθροισμα γινομένων των στοιχείων της 1ης γραμμής επί τα αλγεβρικά τους συμπληρώματα.

a = a11 = a11

a11 a12

a21 a22a =

a11 a12

a21 a22D(a11) = (-1)1+1• = 1•a22

a11 a12

a21 a22D(a12) = (-1)1+2• = -1•a21

a= a11•D(a11) +a12•D(a12) = a11•a22 - a12•a21

a = a11 = a11

a11 a12

a21 a22a =

a11 a12

a21 a22D(a11) = (-1)1+1• = 1•a22

a11 a12

a21 a22D(a12) = (-1)1+2• = -1•a21

a= a11•D(a11) +a12•D(a12) = a11•a22 - a12•a21

= a11•a22 - a12•a21

a = a11 = a11

a11 a12

a21 a22a =

a11 a12

a21 a22D(a11) = (-1)1+1• = 1•a22

a11 a12

a21 a22D(a12) = (-1)1+2• = -1•a21

a= a11•D(a11) +a12•D(a12) = a11•a22 - a12•a21

= a11•a22 - a12•a21

Παρατηρούμε ότι τελικά η τιμή ορίζουσας 2ης τάξης ισούται με τη

διαφορά των γινομένων των στοιχείων των διαγωνίων της.

ΣΗΜ. Χρησιμοποιώ κόκκινη διαγράμμιση για το θετικό

γινόμενο και πράσινη για το αρνητικό.

ΑΣΚΗΣΗ: Να.υπολογισθεί η τιμή της ορίζουσας:

2 -2-1 -4

ΛΥΣΗ:

a = = 2 (-4) - (-2) (-1) = -10-1 -4

•Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 3 υπολογίζεται με την ίδια διαδικασία, εκφράζοντάς τη σαν άθροισμα γινομένων των στοιχείων της 1ης γραμμής επί τα αλγεβρικά συμπληρώματα.

a11 a12 a13

a = a21 a22 a23

a31 a32 a33

Υπάρχει όμως ένας πιο απλός τρόπος, ο κανόνας Sarrus:

1.Γράφουμε την ορίζουσαa11 a12 a13

a = a21 a22 a23

a31 a32 a33

1.Γράφουμε την ορίζουσα

2.Προσθέτουμε προς τα δεξιά τις 2 πρώτες στήλες

a11 a12 a13 a11 a12

a = a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

a11 a12 a13

a = a21 a22 a23

a31 a32 a33

3.Υπολογίζουμε τα γινόμενα των διαγωνίων που φαίνονται με κόκκινη διαγράμμιση και τα προσθέτουμε.

a11 a12 a13 a11 a12

a = a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

a = a11•a22•a33 + a12•a23•a31 + a13•a21•a32

4.Υπολογίζουμε τα γινόμενα των διαγωνίων που φαίνονται με πράσινη διαγράμμιση και τα αφαιρούμε.

a11 a12 a13 a11 a12

a = a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

a = a11•a22•a33 + a12•a23•a31 + a13•a21•a32

- a31•a22•a13 - a32•a23•a11 - a33•a21•a12

4.Υπολογίζουμε τα γινόμενα των διαγωνίων που φαίνονται με πράσινη διαγράμμιση και τα αφαιρούμε.

a11 a12 a13 a11 a12

a = a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

a = a11•a22•a33 + a12•a23•a31 + a13•a21•a32

- a31•a22•a13 - a32•a23•a11 - a33•a21•a12

Το άθροισμα γινομένων που προκύπτει είναι η τιμή της ορίζουσας 3ης τάξης

ΑΣΚΗΣΗ:

Να υπολογίσετε την τιμή της ορίζουσας 3ης τάξης με τον κανόνα Sarrus:

1 1 21 2 -11 1 -1

ΛΥΣΗ:

1 1 2 1 1

a = 1 2 -1 1 2 =

1 1 -1 1 1

1× 2 × (-1) + 1× (-1)×1 + 2 ×1×1

-1× 2 × 2 - 1× (-1)×1 - (-1)×1×1=

-2 - 1+ 2 - 4 +1+1= -3

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΤΙΜΗΣ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ

5ης ΤΑΞΗΣ

Θέμα: Να υπολογισθεί η τιμή της ακόλουθης ορίζουσας 5ης τάξης:

3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

Επιλέγω την 1η γραμμή για να αναπτύξω την ορίζουσα σε άθροισμα 5 οριζουσών 4ης τάξης.

3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

Επιλέγω την 1η γραμμή για να αναπτύξω την ορίζουσα σε άθροισμα 5 οριζουσών 4ης τάξης.ΣΚΕΠΤΙΚΟ:Ο αριθμός γραμμής παραμένει σταθερός i =1. Ο αριθμός στήλης αυξάνει κατά 1, αρχίζοντας από j=1. Επομένως το άθροισμα (i+j) αρχίζει από 2 και αυξάνει συνέχεια κατά 1. Συνεπώς οι δυνάμεις του (-1) είναι άρτιες και περιττές και εναλλάσσονται διαρκώς. Οι άρτιες δυνάμεις του (-1) μου δίνουν 1 και οι περιττές –1. Τα πρόσημα επομένως εναλλάσσονται αρχίζοντας από το + για το 1ο στοιχείο της 1ης γραμμής.

3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

Επιλέγω την 1η γραμμή για να αναπτύξω την ορίζουσα σε άθροισμα 5 οριζουσών 4ης τάξης.ΣΚΕΠΤΙΚΟ:Ο αριθμός γραμμής παραμένει σταθερός i =1. Ο αριθμός στήλης αυξάνει κατά 1, αρχίζοντας από j=1. Επομένως το άθροισμα (i+j) αρχίζει από 2 και αυξάνει συνέχεια κατά 1. Συνεπώς οι δυνάμεις του (-1) είναι άρτιες και περιττές και εναλλάσσονται συνέχεια Οι άρτιες δυνάμεις του (-1) μου δίνουν 1 και οι περιττές –1. Τα πρόσημα επομένως εναλλάσσονται αρχίζοντας από το + για το 1ο στοιχείο της 1ης γραμμής.

Για κάθε στοιχείο της γραμμής, λοιπόν, σημειώνω το πρόσημο που θα έχει στο τελικό άθροισμα.

3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+ - + - +3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+ - + - +3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω.

Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση.

+ - + - +3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+ - + - +3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -2

1 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+ - + - +3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -2

1 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+ - + - +3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -2

1 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+ - + - +3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -2

1 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

Αναπτύσσω την ορίζουσα σε άθροισμα 5 οριζουσών 4ης τάξης.

+ - + - +3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -2

1 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+ - + - +3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -2

1 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

1 0 2 -22 0 -1 -4

+3 1 2 2 -21 3 -2 -1

+ - + - +3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -2

1 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

1 0 2 -22 0 -1 -4

+3 1 2 2 -21 3 -2 -1

1 0 2 -22 0 -1 -4

-2 1 2 2 -22 3 -2 -1

+ - + - +3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -2

1 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

1 0 2 -22 0 -1 -4

+3 1 2 2 -21 3 -2 -1

1 0 2 -22 0 -1 -4

-2 1 2 2 -22 3 -2 -1

1 1 2 -22 2 -1 -4

+(-1) 1 1 2 -22 1 -2 -1

+ - + - +3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -2

1 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

1 0 2 -22 0 -1 -4

+3 1 2 2 -21 3 -2 -1

1 0 2 -22 0 -1 -4

-2 1 2 2 -22 3 -2 -1

1 1 2 -22 2 -1 -4

+(-1) 1 1 2 -22 1 -2 -1

1 1 0 -22 2 0 -4

-3 1 1 2 -22 1 3 -1

+ - + - +3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -2

1 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

1 0 2 -22 0 -1 -4

+3 1 2 2 -21 3 -2 -1

1 0 2 -22 0 -1 -4

-2 1 2 2 -22 3 -2 -1

1 1 2 -22 2 -1 -4

+(-1) 1 1 2 -22 1 -2 -1

1 1 0 -22 2 0 -4

-3 1 1 2 -22 1 3 -1

1 1 0 22 2 0 -1

+(-2) 1 1 2 22 1 3 -2

Συνεχίζω αναπτύσσοντας κάθε ορίζουσα σε άθροισμα 4 οριζουσών 3ης τάξης. κ.ο.κ.

+ - + - +3 2 -1 3 -21 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -2

1 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

-3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

+3 2 -1 3 -21 1 0 2 -22 2 0 -1 -41 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

1 0 2 -22 0 -1 -4

+3 1 2 2 -21 3 -2 -1

1 0 2 -22 0 -1 -4

-2 1 2 2 -22 3 -2 -1

1 1 2 -22 2 -1 -4

+(-1) 1 1 2 -22 1 -2 -1

1 1 0 -22 2 0 -4

-3 1 1 2 -22 1 3 -1

1 1 0 22 2 0 -1

+(-2) 1 1 2 22 1 3 -2

Ο κλασσικός τρόπος υπολογισμού της τιμής μιας ορίζουσας ν βαθμού μας οδηγεί σε ν!

πολλαπλασιασμούς, πράγμα πολύ χρονοβόρο.

Ο κλασσικός τρόπος υπολογισμού της τιμής μιας ορίζουσας ν βαθμού μας οδηγεί σε ν!

πολλαπλασιασμούς, πράγμα πολύ χρονοβόρο.

Τώρα θα εξετάσουμε μερικές ιδιότητες των οριζουσών που θα μας φανούν χρήσιμες

και θα μειώσουν το χρόνο υπολογισμού της τιμής μιας ορίζουσας.

•Η τιμή μιας ορίζουσας δεν μεταβάλλεται αν αντικαταστήσω τα στοιχεία μιας γραμμής (ή στήλης) με το άθροισμα (ή τη διαφορά) των στοιχείων αυτών και των αντίστοιχων στοιχείων (ή και πολλαπλάσιων) μιας άλλης γραμμής (ή στήλης) :

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ

a11 a12 a13 a14 a15 a16

a21 a22 a23 a24 a25 a26

a31 a32 a33 a34 a35 a36

a41 a42 a43 a44 a45 a46

a51 a52 a53 a54 a55 a56

a61 a62 a63 a64 a65 a66

•Η τιμή μιας ορίζουσας δεν μεταβάλλεται αν αντικαταστήσω τα στοιχεία μιας γραμμής (ή στήλης) με το άθροισμα (ή τη διαφορά) των στοιχείων αυτών και των αντίστοιχων στοιχείων (ή και πολλαπλάσιων) μιας άλλης γραμμής (ή στήλης) :

a11 a12 a13 a14 a15 a16

a21 a22 a23 a24 a25 a26

a31 a32 a33 a34 a35 a36

a41 a42 a43 a44 a45 a46

a51 a52 a53 a54 a55 a56

a61 a62 a63 a64 a65 a66

a11+2a12 a12 a13 a14 a15 a16

a21+2a22 a22 a23 a24 a25 a26

a31+2a32 a32 a33 a34 a35 a36

a41+2a42 a42 a43 a44 a45 a46

a51+2a52 a52 a53 a54 a55 a56

a61+2a62 a62 a63 a64 a65 a66

•Η τιμή μιας ορίζουσας δεν μεταβάλλεται αν κατατάξω όλα τα στοιχεία των γραμμών σε στήλες και αντίστροφα.

a11 a12 a13 a14 a15 a16

a21 a22 a23 a24 a25 a26

a31 a32 a33 a34 a35 a36

a41 a42 a43 a44 a45 a46

a51 a52 a53 a54 a55 a56

a61 a62 a63 a64 a65 a66

•Η τιμή μιας ορίζουσας δεν μεταβάλλεται αν κατατάξω όλα τα στοιχεία των γραμμών σε στήλες και αντίστροφα.

a11 a21 a31 a41 a51 a61

a12 a22 a32 a42 a52 a62

a13 a23 a33 a43 a53 a63

a14 a24 a34 a44 a54 a64

a15 a25 a35 a45 a55 a65

a16 a26 a36 a46 a56 a66

a11 a12 a13 a14 a15 a16

a21 a22 a23 a24 a25 a26

a31 a32 a33 a34 a35 a36

a41 a42 a43 a44 a45 a46

a51 a52 a53 a54 a55 a56

a61 a62 a63 a64 a65 a66

•Η ορίζουσα αλλάξει πρόσημο αν αλλάξω δύο γραμμές (ή στήλες) μεταξύ τους.

a11 a12 a13 a14 a15 a16

a21 a22 a23 a24 a25 a26

a31 a32 a33 a34 a35 a36

a41 a42 a43 a44 a45 a46

a51 a52 a53 a54 a55 a56

a61 a62 a63 a64 a65 a66

•Η ορίζουσα αλλάξει πρόσημο αν αλλάξω δύο γραμμές (ή στήλες) μεταξύ τους.

a11 a12 a13 a14 a15 a16

a21 a22 a23 a24 a25 a26

a31 a32 a33 a34 a35 a36

a41 a42 a43 a44 a45 a46

a51 a52 a53 a54 a55 a56

a61 a62 a63 a64 a65 a66

a11 a15 a13 a14 a12 a16

a21 a25 a23 a24 a22 a26

a31 a35 a33 a34 a32 a36

a41 a45 a43 a44 a42 a46

a51 a55 a53 a54 a52 a56

a61 a65 a63 a64 a62 a66

Οι ιδιότητες των οριζουσών μας δίνουν το δικαίωμα να προσθέτουμε γραμμές (ή στήλες) μεταξύ τους έτσι ώστε να πετύχουμε τον μηδενισμό αρκετών στοιχείων μιας γραμμής (ή στήλης).

Στη συνέχεια αναπτύσσουμε την ορίζουσα ως προς τη γραμμή (ή στήλη) που έχει τα περισσότερα μηδενικά στοιχεία.

Αυτό θα μας οδηγήσει σε υπολογισμό λιγότερων ελασσόνων οριζουσών.

Η αντικατάσταση μιας γραμμής με το άθροισμά της με το πολλαπλάσιο μιας άλλης συμβολίζεται όπως φαίνεται στα παραδείγματα που ακολουθούν.

Γ3=Γ3-Γ1 : αντικαθιστώ την γραμμή 3 με τη διαφορά της 1ης από την 3η γραμμή

Σ1=Σ1+2Σ4 : αντικαθιστώ τη στήλη 1 με τό άθροισμα της 1ης με το διπλάσιο της 4ης

Εφαρμόζοντας τις παραπάνω ιδιότητες στην ορίζουσα του θέματος, μπορούμε να προχωρήσουμε με την εξής μέθοδο:

3 2 -1 3 -2

1 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -4

1 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

3 2-3 -1 3 -21 1-1 0 2 -22 2-2 0 -1 -41 1-1 2 2 -22 1-2 3 -2 -1

3 -1 -1 3 -21 0 0 2 -22 0 0 -1 -41 0 2 2 -22 -1 3 -2 -1

Πρώτα αφαιρώ την 1η από τη 2η στήλη: Σ2=Σ2-Σ1

Εφαρμόζοντας τις παραπάνω ιδιότητες στην ορίζουσα του θέματος, μπορούμε να προχωρήσουμε με την εξής μέθοδο:

3 2 -1 3 -2

1 1 0 2 -2

a = 2 2 0 -1 -4

1 1 2 2 -22 1 3 -2 -1

3 -1 -1 3 -21 0 0 2 -22 0 0 -1 -41 0 2 2 -2

2-3 -1+1 3+1 -2-3 -1+2

Κατόπιν αφαιρώ την 1η από τη 5η γραμμή: Γ5=Γ5-Γ1

3 -1 -1 3 -21 0 0 2 -22 0 0 -1 -41 0 2 2 -22 -1 3 -2 -1

3 -1 -1 3 -21 0 0 2 -22 0 0 -1 -41 0 2 2 -2-1 0 4 -5 1

3 -1 -1 3 -21 0 0 2 -22 0 0 -1 -41 0 2 2 -2

2-3 -1+1 3+1 -2-3 -1+2

3 -1 -1 3 -21 0 0 2 -22 0 0 -1 -41 0 2 2 -22 -1 3 -2 -1

Βλέπουμε ότι η στήλη 2 έχει μόνο ένα μη μηδενικό στοιχείο. Συνεπώς θα έχουμε μόνο μια ορίζουσα 4ης τάξης να υπολογίσουμε.

3 -1 -1 3 -21 0 0 2 -22 0 0 -1 -41 0 2 2 -2-1 0 4 -5 1

3 -1 -1 3 -21 0 0 2 -22 0 0 -1 -41 0 2 2 -2

2-3 -1+1 3+1 -2-3 -1+2

3 -1 -1 3 -21 0 0 2 -22 0 0 -1 -41 0 2 2 -22 -1 3 -2 -1

Βλέπουμε ότι η στήλη 2 έχει μόνο ένα μη μηδενικό στοιχείο. Συνεπώς θα έχουμε μόνο μια ορίζουσα 4ης τάξης να υπολογίσουμε.

Εκτός αυτού και οι ορίζουσες 3ης τάξης, που θα προκύψουν στη συνέχεια των υποβιβασμών, έχουν ήδη μηδενικά στοιχεία, όπως φαίνεται στη στήλη 3.

3 -1 -1 3 -21 0 0 2 -22 0 0 -1 -41 0 2 2 -2-1 0 4 -5 1

1 0 2 -22 0 -1 -41 2 2 -2-1 4 -5 1

Αναπτύσσω την ορίζουσα ως προς τη 2η στήλη. Το μοναδικό μη μηδενικό στοιχείο είναι το –1 (i=1η γραμμή, j=2η στήλη, άρα i+j=3, συνεπώς (–1)3=-1), (-1)(-1)= 1.

3 -1 -1 3 -21 0 0 2 -22 0 0 -1 -41 0 2 2 -2-1 0 4 -5 1

1 0 2 -22 0 -1 -41 2 2 -2-1 4 -5 1

Στην ορίζουσα 4ης τάξης εφαρμόζω την πράξη: Γ4=Γ4-2Γ3

1 0 2 -22 0 -1 -41 2 2 -2

-1-2 4-4 -5-4 1+4

1 0 2 -22 0 -1 -41 2 2 -2-3 0 -9 5

3 -1 -1 3 -21 0 0 2 -22 0 0 -1 -41 0 2 2 -2-1 0 4 -5 1

1 0 2 -22 0 -1 -41 2 2 -2-1 4 -5 1

1 0 2 -22 0 -1 -41 2 2 -2

-1-2 4-4 -5-4 1+4

1 0 2 -22 0 -1 -41 2 2 -2-3 0 -9 5

Η δεύτερη στήλη περιέχει μόνο ένα μη μηδενικό στοιχείο, άρα θα αναπτύξουμε ως προς τη στήλη 2 και θα έχουμε μόνο μια ορίζουσα 3ης τάξης.

3 -1 -1 3 -21 0 0 2 -22 0 0 -1 -41 0 2 2 -2-1 0 4 -5 1

1 0 2 -22 0 -1 -41 2 2 -2-1 4 -5 1

1 0 2 -22 0 -1 -41 2 2 -2

-1-2 4-4 -5-4 1+4

1 0 2 -22 0 -1 -41 2 2 -2-3 0 -9 5

Η δεύτερη στήλη περιέχει μόνο ένα μη μηδενικό στοιχείο, άρα θα αναπτύξουμε ως προς τη στήλη 2 και θα έχουμε μόνο μια ορίζουσα 3ης τάξης.

Τέλος, η τιμή της ορίζουσας 3ης τάξης θα υπολογισθεί με τον κανόνα Sarrus.

ΑΣΚΗΣΗ: Η παραπάνω ισότητα είναι η τελευταία στην ακολουθία του θέματός μας.

1. Να δημιουργήσετε το αλγεβρικό συμπλήρωμα του μη μηδενικού στοιχείου της δεύτερης στήλης.

2. Να συνεχίσετε την ισότητα

3. Να υπολογίσετε την τιμή της ορίζουσας 3ης τάξης με τον κανόνα Sarrus.

4. Να υπολογίσετε την τελική τιμή της αρχικής ορίζουσας

1 0 2 -22 0 -1 -41 2 2 -2-3 0 -9 5

a11 a12 a13 a14 a15 a16

a21 a22 a23 a24 a25 a26

a31 a32 a33 a34 a35 a36

a41 a42 a43 a44 a45 a46

a51 a52 a53 a54 a55 a56

a61 a62 a63 a64 a65 a66

ΑΣΚΗΣΗ: Να δημιουργήσετε μια ορίζουσα που κάθε στοιχείο της θα είναι το άθροισμα των δεικτών των στοιχείων της παρακάτω ορίζουσας.

Μόνο με πράξεις μεταξύ των γραμμών (ή στηλών) να αποδείξετε ότι η τιμή της είναι μηδέν (0).

ΥΠΟΔΕΙΞΗ: Μετά από κατάλληλες πράξεις πρέπει όλα τα στοιχεία μιας γραμμής (ή στήλης) να είναι μηδέν (0).

2 3 4 5 6 73 4 5 6 7 84 5 6 7 8 95 6 7 8 9 106 7 8 9 10 117 8 9 10 11 12

Γ2-Γ1

2 3 4 5 6 71 1 1 1 1 14 5 6 7 8 95 6 7 8 9 106 7 8 9 10 117 8 9 10 11 12

Γ5-Γ4

2 3 4 5 6 73 4 5 6 7 84 5 6 7 8 95 6 7 8 9 106 7 8 9 10 117 8 9 10 11 12

2 3 4 5 6 71 1 1 1 1 14 5 6 7 8 95 6 7 8 9 106 7 8 9 10 117 8 9 10 11 12

Γ2-Γ1

2 3 4 5 6 71 1 1 1 1 14 5 6 7 8 95 6 7 8 9 101 1 1 1 1 17 8 9 10 11 12

Γ5-Γ4 Γ5-Γ2

2 3 4 5 6 73 4 5 6 7 84 5 6 7 8 95 6 7 8 9 106 7 8 9 10 117 8 9 10 11 12

2 3 4 5 6 71 1 1 1 1 14 5 6 7 8 95 6 7 8 9 101 1 1 1 1 17 8 9 10 11 12

2 3 4 5 6 71 1 1 1 1 14 5 6 7 8 95 6 7 8 9 106 7 8 9 10 117 8 9 10 11 12

Γ2-Γ1

2 3 4 5 6 71 1 1 1 1 14 5 6 7 8 95 6 7 8 9 100 0 0 0 0 07 8 9 10 11 12

Γ5-Γ4 Γ5-Γ2

2 3 4 5 6 73 4 5 6 7 84 5 6 7 8 95 6 7 8 9 106 7 8 9 10 117 8 9 10 11 12

2 3 4 5 6 71 1 1 1 1 14 5 6 7 8 95 6 7 8 9 101 1 1 1 1 17 8 9 10 11 12

2 3 4 5 6 71 1 1 1 1 14 5 6 7 8 95 6 7 8 9 106 7 8 9 10 117 8 9 10 11 12

Γ2-Γ1

2 3 4 5 6 71 1 1 1 1 14 5 6 7 8 95 6 7 8 9 100 0 0 0 0 07 8 9 10 11 12

Η γραμμή 5 έχει μόνο μηδενικά στοιχεία, άρα a=0.

ΑΣΚΗΣΗ: Να αποδείξετε ότι πάντα μια ορίζουσα υποβιβάζεται σε μία μόνο ορίζουσα μικρότερης τάξης.

Η απόδειξη να γίνει για την ορίζουσα:

5 7 12 -8 -2-3 1 7 4 35 9 -6 -4 39 8 2 7 -5-6 3 2 8 4

0 -2 18 -4 -5-3 1 7 4 35 9 -6 -4 39 8 2 7 -5-6 3 2 8 4

Γ1-Γ3

0 -2 18 0 -5-3 1 7 2 35 9 -6 -22 39 8 2 -9 -5-6 3 2 2 4

Σ4-2Σ2

0 -2 0 0 -5-3 1 16 2 35 9 75 -22 39 8 74 -9 -5-6 3 29 2 4

Σ3+9Σ2

0 -2 0 0 0-3 1 16 2 0,55 9 75 -22 -19,59 8 74 -9 -25-6 3 29 2 -3,5

Σ5-2,5Σ2

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ

Η μοναδική ορίζουσα μικρότερης τάξης περιέχει στοιχεία που προσθέτουν δυσκολία

στον υπολογισμό των γινομένων.

Αυτό όμως αντισταθμίζεται με το γεγονός ότι έχουμε μόνο 1 ορίζουσα αντί για 5

ΑΣΚΗΣΗ: Να αποδείξετε ότι η τιμή της παρακάτω ορίζουσας είναι ίση με μηδέν (0).

1 3 -1 2

4 1 6 1a =

3 9 -3 6

3 2 1 4

ΛΥΣΗ

Παρατηρούμε ότι η 3η γραμμή είναι το τριπλάσιο της 1ης γραμμής.

ΑΣΚΗΣΗ: Να αποδείξετε ότι η τιμή της παρακάτω ορίζουσας είναι ίση με το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου της.

11 12 13 14

22 23 24

a a a a

0 a a aa =

0 0 a a

0 0 0 a

ΑΣΚΗΣΗ: Να αποδείξετε ότι η τιμή της παρακάτω ορίζουσας είναι ίση με το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου της.

11 12 13 14

22 23 24

a a a a

0 a a aa =

0 0 a a

0 0 0 a

Αναπτύσσοντας ως προς την 1η στήλη, θα έχω μόνο μια ορίζουσα 3ης τάξης.

Αναπτύσσοντας και πάλι ως προς την 1η στήλη, θα έχω μόνο μια ορίζουσα 2ης τάξης.

11 12 13 14

22 23 24

a a a a

0 a a aa =

0 0 a a

0 0 0 a

22 23 24

11 33 34

= a 0 a a

33 3411 22

a a= a a

0 a 11 22 33 44= a a a a

11 22 33 44a = a a a a

Θέλω να αποδείξω ότι:

Ορίζουσες τέτοιας μορφής λέγονται τριγωνικές.

ΑΣΚΗΣΗ: Να αποδείξετε ότι κάθε ορίζουσα μπορεί να μετατραπεί σε τριγωνική.

11 12 13 14

22 23 24

a a a a

0 a a aa =

0 0 a a

0 0 0 a

ΑΣΚΗΣΗ 2: Να λύσετε και να διερευνήσετε την εξίσωση:

f(x) = 1 1 1 = 0

ΑΣΚΗΣΗ 3: Να λύσετε και να διερευνήσετε την εξίσωση:

f(x) = 1 1 1 = 0

ΑΣΚΗΣΗ 1: Να υπολογίσετε την τιμή της ορίζουσας:

A = 3 1 1

-2 -1 1

ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

11 1 12 2 1n n 1

21 1 22 2 2n n 2

n1 1 n2 2 nn n n

a x + a x + ... + a x = b

Ένα σύστημα n εξισώσεων με n αγνώστους έχει μία λύση όταν η ορίζουσα των συντελεστών είναι διάφορη του 0.

Αυτά τα συστήματα ονομάζονται συστήματα Cramer

Η λύση ενός συστήματος Cramer είναι:

......

όπου Α είναι η ορίζουσα των συντελεστών και Α1, Α2, ... , Αn είναι οι ορίζουσες που προκύπτουν από την Α, αν στη θέση των συντελεστών κάθε αγνώστου θέσουμε τους σταθερούς όρους.

x + 2x - x = 0

4x + x + x = -1

-3x + 2x - x = 2

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Να λυθεί το σύστημα:

Οι ορίζουσες Α1,Α2,Α3 είναι:

31 21 2 3

AA 6 1 A -6 1 -6 1x = = = - x = = = x = = =

A -12 2 A -12 2 A -12 2

Η ορίζουσα Α των συντελεστών είναι: 1 2 -1

A = 4 1 1 = -12 0

-3 2 -1

2 -1 1 -1 1 2

A = 1 1 = 6 A = 4 1 = -6 A =

-1 -1 -1

4 1 = -6

2 -1 -3 - -3 2-2 21

Συνεπώς η λύση του συστήματος είναι:

1 2 3 4

x + x - x - x = -1

2x + x + x - x = 7

-x - 2x + x = -1

x + x = 3

ΑΣΚΗΣΗ: Να λυθεί το σύστημα:

ΤΕΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

(ΒΙΒΛΙΟ: ΑΛΓΕΒΡΑ, ΣΕΛ. 15-37)

1. Εισαγωγή2. Διανύσματα3. Άλγεβρα Διανυσμάτων4. Εσωτερικό Γινόμενο5. Εξωτερικό Γινόμενο

Οτιδήποτε στη φύση μπορεί να μετρηθεί και να καταταγεί αποτελεί φυσικό μέγεθος.

Τα φυσικά μεγέθη δεν είναι τίποτα άλλο από μια αντιστοίχιση των ιδιοτήτων υλικών σωμάτων ή ενεργειακών ποσοτήτων με κάποιο σώμα αριθμών ή μαθηματικό χώρο.

Βαθμωτά Μεγέθη

Φυσικά Μεγέθη

Βαθμωτό είναι ένα φυσικό μέγεθος, για την περιγραφή του οποίου αρκεί ο προσδιορισμός του μέτρου (πραγματικός αριθμός και μονάδα μέτρησης).

Διανυσματικά Μεγέθη

Διανυσματικό είναι ένα φυσικό μέγεθος, για την περιγραφή του οποίου χρειάζεται ο προσδιορισμός του μέτρου (πραγματικός αριθμός και μονάδα μέτρησης) και της διεύθυνσης (γωνία κατά την οποία εφαρμόζεται).

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Ποια από τα παρακάτω είναι φυσικά μεγέθη;

Ηλεκτρισμός Βάρος Υγρασία Μάζα Μήκος Αυτοκίνητο Χρώμα

Ποια από τα παρακάτω είναι βαθμωτά μεγέθη;

Θερμοκρασία Χρόνος Όγκος Ταχύτητα Πλήθος

Ποια από τα παρακάτω είναι διανυσματικά μεγέθη;

Μήκος Απόσταση Θερμότητα

Άσκηση

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Ο αναλυτικός συμβολισμός των διανυσμάτων γίνεται με ελληνικούς ή λατινικούς χαρακτήρες πάνω από τους οποίους τοποθετείται ένα μικρό οριζόντιο βέλος.

Συμβολισμός διανυσμάτων

Η γραφική απεικόνιση ενός διανύσματος γίνεται με ένα βέλος μήκους ίσου με το μέτρο και ίδιας διεύθυνσης με εκείνη του διανύσματος.

a, b, Pa, b, P

Το μέτρο των διανυσμάτων συμβολίζεται με τον τελεστή της απόλυτης τιμής.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Σε μερικές βιβλιογραφίες, για την παράσταση διανύσματος χρησιμοποιείται έντονη γραφή (χωρίς βέλος πάνω από το σύμβολο), ενώ για την παράσταση του μέτρου διανύσματος αρκεί η χρήση του συμβόλου του.

, ,a b P

Για τη θεμελίωση της άλγεβρας διανυσμάτων, δηλαδή των νόμων που ορίζουν την εκτέλεση πράξεων σε αυτά, είναι απαραίτητος ο ορισμός δύο πολύ βασικών διανυσμάτων: του μοναδιαίου και του μηδενικού διανύσματος.

Άλγεβρα διανυσμάτων

Μοναδιαίο είναι ένα διάνυσμα όταν το μέτρο του είναι ίσο με 1

Μηδενικό είναι ένα διάνυσμα όταν το μέτρο του είναι ίσο με 0

1a I a

0 0a a

Για κάθε μη μηδενικό διάνυσμα a υπάρχει ένα μόνο μοναδιαίο διάνυσμα με την ίδια διεύθυνση. Το μοναδιαίο αυτό διάνυσμα είναι ίσο με:

Ίσα διανύσματαΔύο διανύσματα είναι ίσα εάν έχουν ίσα μέτρα και την ίδια διεύθυνση

Αντίθετα διανύσματαΔύο διανύσματα είναι αντίθετα εάν έχουν ίσα μέτρα, αλλά αντίθετη διεύθυνση

Το αντίθετο διάνυσμα είναι το μηδενικό στοιχείο της πρόσθεσης.

Ακτινωτά διανύσματαΔύο διανύσματα λέγονται ακτινωτά ή διανυσματικές ακτίνες, όταν οι αρχές τους συμπίπτουν.

Επάλληλα διανύσματαΔύο διανύσματα λέγονται επάλληλα ή διαδοχικά, όταν το τέλος του πρώτου αποτελεί αρχή του δεύτερου.

Άθροισμα διανυσμάτωνΆθροισμα διανυσμάτων λέγεται το αποτέλεσμα της πρόσθεσής τους.

Το Άθροισμα δύο επάλληλων διανυσμάτων, είναι διάνυσμα, το οποίο έχει ίδια αρχή με το πρώτο και ίδιο τέλος με το δεύτερο διάνυσμα.

Το Άθροισμα δύο ακτινωτών διανυσμάτων, είναι διάνυσμα ίσο με τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου που ορίζουν τα διανύσματα, με αρχή την ίδια με τα αρχικά.

Διαφορά διανυσμάτωνΔιαφορά διανυσμάτων λέγεται το αποτέλεσμα της αφαίρεσής τους.

Η Διαφορά δύο ακτινωτών διανυσμάτων, είναι διάνυσμα με αρχή το τέλος του δεύτερου και τέλος το τέλος του πρώτου.

ΆσκησηΧρησιμοποιώντας τον ορισμό αθροίσματος επάλληλων διανυσμάτων να αποδείξετε τον παραπάνω ορισμό.

Γινόμενο διανύσματος με βαθμωτό

Γινόμενο διανύσματος με ένα βαθμωτό μέγεθος είναι ένα νέο διάνυσμα με μέτρο ίσο με το γινόμενο του βαθμωτού επί το μέτρο του διανύσματος και διεύθυνση ίδια ή αντίθετη με αυτήν του διανύσματος, εξαρτώμενη από το πρόσημο του βαθμωτού μεγέθους.

0)(λaλr

0)(κaκs

Το γινόμενο διανύσματος επί το μηδέν (0), είναι το μηδενικό διάνυσμα.

Δύο παράλληλα διανύσματα έχουν λόγο ένα πραγματικό αριθμό.

Ανάλυση διανυσμάτων

Κάθε διάνυσμα μπορεί να αναλυθεί σε 2 άλλα διανύσματα αρκεί να ορισθούν οι διευθύνσεις τους.

Κατ’ επέκταση μπορεί να αναλυθεί σε 3, 4, κ.ο.κ. διανύσματα γνωστών διευθύνσεων.

Ορθογώνια μοναδιαία διανύσματα

Τρία μοναδιαία διανύσματα λέγονται ορθογώνια όταν είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους. Κάθε τριάδα ορθογώνιων διανυσμάτων ορίζει ένα τρισορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων.

Συνιστώσες διανυσμάτων

Κάθε διάνυσμα μπορεί πάντα να αναλυθεί σε τρία διανύσματα παράλληλα προς τα ορθογώνια διανύσματα ενός συστήματος συντεταγμένων.

zayaxaa

a=a +a +ax y z

a =σ ixxa =σ jyy

a =σ kzza=σ i+σ j+σ kx y z

Οι πραγματικοί αριθμοί σx, σy, σz λέγονται συνιστώσες του διανύσματος a.

Το διάνυσμα μπορεί να γραφεί a = (σx, σy, σz )

Σημείωση

Στο εξής θα χρησιμοποιούμε κόκκινο για διανύσματα και μαύρο για τις συνιστώσες.

Συνιστώσες διανυσμάτων

Κάθε διάνυσμα μπορεί πάντα να αναλυθεί σε τρία διανύσματα παράλληλα προς τα ορθογώνια διανύσματα ενός συστήματος συντεταγμένων.

Το διάνυσμα μπορεί να γραφεί a = (σx, σy, σz )

Άθροισμα – Διαφορά διανυσμάτων από τις Συνιστώσες

Κάθε διάνυσμα a μπορεί πάντα να γραφεί a = (σx, σy, σz )

Όταν είναι γνωστές οι συνιστώσες των διανυσμάτων τότε η αναλυτική έκφραση της πρόσθεσης και αφαίρεσης είναι:

Άσκηση

Να υπολογίσετε το άθροισμα a+b και τη διαφορά a-b των διανυσμάτων:

, , , ,

x y z x x y y z z

a a a a

b b b b c a b a b a b

2, 1,3 (2,2,2)a b

Μέτρο διανυσμάτων από τις Συνιστώσες

Κάθε διάνυσμα a μπορεί πάντα να γραφεί a = (ax, ay, az )

Οι πραγματικοί αριθμοί ax, ay, az λέγονται συνιστώσες του διανύσματος a.

Όταν είναι γνωστές οι συνιστώσες των διανυσμάτων τότε η αναλυτική έκφραση του μέτρου του είναι:

Άσκηση

Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων:

2 2 2x y za a a a

(1,2,3) (1,2, 3)a b

Εσωτερικό γινόμενο

Εσωτερικό (ή βαθμωτό) γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι βαθμωτό μέγεθος ίσο με το γινόμενο των μέτρων των διανυσμάτων επί το συνημίτονο της περιεχόμενης γωνίας. Η πράξη συμβολίζεται με μια κουκίδα μεταξύ των διανυσμάτων.

m a b a b

Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων από τις Συνιστώσες

Όταν είναι γνωστές οι συνιστώσες των διανυσμάτων τότε η αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινομένου είναι:

Άσκηση

Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων:

μ= =σ τ +σ τ +σ τx x ya b y z z ,

= σ σ , σx y z

= τ τ τx y z

(3, 1,4)

(2,2,2)

3 2 1 2 4 2 16m a b

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 1: Το πρόσημο του ημιτόνου θα είναι και το πρόσημο του εξωτερικού γινομένου, άρα θα καθορίζει τη φορά του.

Εξωτερικό γινόμενο

Εξωτερικό (ή διανυσματικό) γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο των δύο διανυσμάτων, με μέτρο ίσο με το γινόμενο των μέτρων των διανυσμάτων επί το ημίτονο της περιεχόμενης γωνίας. Η πράξη συμβολίζεται με το x.

c a b a= × = bsin φc=axb

Εξωτερικό γινόμενο

Εξωτερικό (ή διανυσματικό) γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο των δύο διανυσμάτων, με μέτρο ίσο με το γινόμενο των μέτρων των διανυσμάτων επί το ημίτονο της περιεχόμενης γωνίας. Η πράξη συμβολίζεται με το x.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 2: Το μέτρο του εξωτερικού γινομένου είναι ίσο με το εμβαδό του παραλληλογράμμου των διανυσμάτων.

c a b a= × = bsin φc=axb

Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων από τις Συνιστώσες

Όταν είναι γνωστές οι συνιστώσες των διανυσμάτων σε ένα σύστημα μοναδιαίων διανυσμάτων i,j,k τότε η αναλυτική έκφραση του εξωτερικού γινομένου είναι:

( , , )

i j ka a a a

b b b ba b a a a

Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων από τις Συνιστώσες

Άσκηση

Να υπολογίσετε το εξωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων:

(3, 1,4)

(2,2,2)

-1 4 3 4 3 -1c =3 -1 4 = i- j+ k=-10i+2j+8k

2 2 2 2 2 22 2 2

Λύση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

(ΑΛΓΕΒΡΑ, ΣΕΛ. 41-120)

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

1. Εξίσωση ευθείας2. Απόσταση σημείου από ευθεία3. Εμβαδόν τριγώνου

Εξίσωση ευθείας

Όπως είναι γνωστό, δύο σημεία Α(x1,y1) και Β(x2,y2) ορίζουν μια ευθεία. Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β είναι:

y - y y - y=

x - x x - x

Ο λόγος της διαφοράς των συντεταγμένων δύο σημείων μιας ευθείας λέγεται συντελεστής διεύθυνσης λ.

y - yλ =

Όπως παρατηρούμε στο σχήμα, ο συντελεστής διεύθυνσης λ είναι ίσος με την εφαπτομένη της γωνίας φ που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα x.

λ = TanφΔηλαδή:

Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(x1,y1) και Β(x2,y2) είναι:

y - y y - y=

x - x x - x

Ευθεία που διέρχεται από σημείο Α(x1,y1) και έχει γνωστό συντελεστή διεύθυνσης λ περιγράφεται από την εξίσωση:

y - y= λ

Ευθεία που διέρχεται από σημείο Α(x1,y1) και είναι παράλληλη σε διάνυσμα r(xr,yr) περιγράφεται από την εξίσωση:

y - y y=

x - x x

Παράλληλες ευθείες σχηματίζουν την ίδια γωνία με τον άξονα x. Συνεπώς έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης.

1 2 1 2ε ε λ = λ

ε1 ε2

Κάθετες ευθείες σχηματίζουν γωνίες με τον άξονα x με διαφορά 90ο. Συνεπώς οι συντελεστές διεύθυνσης έχουν τη σχέση:

1 2 12

-1ε ε λ =

φ90ο+φ

Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας

Μια εξίσωση ευθείας μπορεί πάντα να μετασχηματισθεί στη μορφή:

Ax +By +Γ = 0

Η παραπάνω λέγεται Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας

Μετασχηματίζοντας την εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία, καταλήγουμε στην εξίσωση:

Η παραπάνω εξίσωση είναι της μορφής:

1 2 11 2 1 2 1 1

1 2 2 1 1 2 1 1

y - y y - y= y - y x - x = y - y x

y - y + x - x + x - x y +

- xx - x

xx = 0

Ax +By +Γ = 0

όπου:

1 2 1 2 1 1

Α = y - y

Β = x - x

Γ = x - x y + y - y x

y - y -Αλ = =

x - x ΒΠαρατηρούμε ότι:

Αν η αρχική εξίσωση ευθείας ήταν της μορφής:

y - y= λ

καταλήγουμε στη γενική της μορφή: Ax +By +Γ = 0

όπου: 1 1

Α = -λ

Β = 1

Γ = λx - y

τότε, κάνοντας τις πράξεις,

y - y= λ y - y = λ x - -λx + y + λx -x

-Αλ =

ΒΠαρατηρούμε και πάλι ότι:

Απόσταση σημείου από ευθεία

Δίνεται ευθεία ε και σημείο Μ εκτός αυτής.Ζητείται η απόσταση d του σημείου Μ από την ευθεία ε.Η εξίσωση της ευθείας είναι:

Αx +Βy +Γ = 0

Και ο συντελεστής διεύθυνσης:

Αλ = -

ΒΑπό το σημείο Μ θεωρούμε την κάθετο ΜΝ στην ευθεία ε. Έστω (x1,y1) και (x2,y2) οι συντεταγμένες των Μ και Ν αντίστοιχα. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ΜΝ είναι:

y - yλ' =

Επειδή η ΜΝ είναι κάθετη στην ευθεία ε, πρέπει:

1 2 1 2 1 2

y - y x - x y - yAλ λ' = -1 - = -1 =

B x - x A B

λ = λ λ' = -1λ'

Αντικαθιστώντας τα λ, λ’, παίρνουμε τη σχέση:

Εκτελώντας κατάλληλες πράξεις παίρνουμε:

1 2 1 2x - x y - y=

Το σημείο Ν βρίσκεται στην ευθεία ε, άρα ικανοποιεί την εξίσωση:

2 2Αx +Βy +Γ = 0

Αντικαθιστώντας το Γ στην εξίσωση (1) έχουμε κατά σειρά:

1 2 1 2 1 12 2

x - x y - y Ax +By +Γ= =

A B A +B

2 2Γ = -Αx -Βy

1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 22 2 2 2

x - x y - y Ax - Ax By -By Ax +By - Ax -By= = = =

A B A B A +B(1)

1 2 1 2 1 1

x - x + y - y Ax +By +Γ=

A +B A +B

2 2 2 1 2 1 2 1 1

x - x y - y Ax +By +Γ= =

A B A +B

22 2 1 1

1 2 1 2 2 2

Ax +By +Γx - x + y - y =

Η απόσταση d του σημείου Μ από την ευθεία ε είναι ίση με το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΜΝ

22 2 1 1

1 2 1 2 2 2

Ax +By +Γx - x + y - y =

A +B(2)

22 2 1 1

1 2 1 2 2 2

Ax +By +Γd = x - x + y - y =

1 2 1 2d = MN = x - x + y - y (3)

Από τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουμε τελικά:

Ax +By +Γd =

Εμβαδόν τριγώνου

Αν είναι γνωστές οι συντεταγμένες τριών σημείων:

1 1 2 2 3 3A(x ,y ) B(x ,y ) C(x ,y )

τότε το εμβαδόν του τριγώνου ABC είναι:

y x 11

(ABC) = y x 12

1. Για αριστερόστροφη διάταξη των σημείων

x y 11

(ABC) = x y 12

2. Για δεξιόστροφη διάταξη των σημείων

Εμβαδόν τριγώνου

ΑΣΚΗΣΗ: Δίνονται οι συντεταγμένες τριών σημείων:A(10,1) B(13,8) C(18,3)

Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ABC

1 10 11 1 1

(ABC) = 8 13 1 = 1 13 - 18 - 8 10 - 18 + 3 10 - 13 = -5 + 64 + -9 = 252 2 2

3 18 1

ΛΥΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

(ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ, ΣΕΛ. 117-323)

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

1. Παράγωγος συνάρτησης

2. Ακρότατα συναρτήσεων

3. Παράγωγος ανώτερης τάξης

4. Μελέτη συνάρτησης

5. Απροσδιόριστες μορφές – Κανόνας Hospital

Παράγωγος συνάρτησης

y f(x)Έστω y = f(x) μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής x, και έστω x0 ένα σημείο του πεδίου ορισμού της συνάρτησης.

Σε κάθε μεταβολή Δx του x στην περιοχή του x0 αντιστοιχεί μια μεταβολή Δy της συνάρτησης.

y=f( x) , x∈A0x ∈A

0 00 0

x=x f( x ) Δy=f( x +Δx)-f( x )

x=x +Δx f( x +Δx)

x0+Δx

f(x0+Δx)

Μέση ποσοστιαία μεταβολή της συνάρτησης στο διάστημα [x0 , x0 + Δx] λέγεται το πηλίκο:

0 0f( x +Δx)-f( x )Δy=

Δx Δx

Παράγωγος f’(x) της συνάρτησης f(x) στο σημείο x0 λέγεται η στιγμιαία μεταβολή της στο σημείο αυτό, δηλαδή:

0 0lim limx x

0 00 0

f( x +Δx)-f( x )Δy=

Δx Δx' 'f (x )= f (x )

y f(x)

x0 x0+Δx

f(x0+Δx)φ

=Tan φ

=Tan θ

Πλευρικές παράγωγοι συνάρτησης

Παράγωγος f’+(x) από δεξιά της συνάρτησης f(x) στο σημείο x0 λέγεται η στιγμιαία μεταβολή της στο σημείο αυτό, όταν Δx >0, δηλαδή:

f( x +Δx)-f( x )=

Δx'+f (x )

Παράγωγος f’-(x) από αριστερά της συνάρτησης f(x) στο σημείο x0 λέγεται η στιγμιαία μεταβολή της στο σημείο αυτό, όταν Δx <0 δηλαδή:

f( x +Δx)-f( x )=

Δx'-f (x )

y f(x)

x0 x0+Δx

f(x0+Δx)

x0+Δx

f(x0+Δx)

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Οι παράγωγοι από δεξιά f’+(x) και από αριστερά f’-(x) σε ένα σημείο x0 λέγονται πλευρικές παράγωγοι στο x0 .

Μια συνάρτηση έχει παράγωγο στο σημείο x0 αν υπάρχουν και οι δύο πλευρικές παράγωγοι και είναι ίσες.

0 0 0' ' '+ -f (x )=f (x )=f (x )

y f(x)

x0 x0+Δx

f(x0+Δx)

x0+Δx

f(x0+Δx)Μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β) όταν έχει παράγωγο για κάθε σημείο x του διαστήματος αυτού.

Δx→0 Δx→0

Δy f( x+Δx)-f( x)f'( x)=lim =lim , x ( a,b)

Δx Δx

Γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου

Η παράγωγος στη θέση x0 είναι η κλίση της ευθείας y=g(x) που εφάπτεται της καμπύλης στο σημείο (x0 , f(x0)), δηλαδή:

f’(x0) = Tan θ

Όταν η παράγωγος είναι θετική, η συνάρτηση είναι αύξουσα.

Όταν η παράγωγος είναι αρνητική η συνάρτηση είναι φθίνουσα.

Εξίσωση εφαπτόμενης ευθείας

Η εξίσωση της ευθείας y=g(x) εφαπτόμενης της καμπύλης f(x) στο σημείο (x0 , f(x0)), δίνεται από τη σχέση:

g( x)-g( x )εφθ=

εφθ=f'( x ) ⇒

g( x )=f( x )

g( x)=f'( x

( x)-f( x )=f'( x )( x-x

)( x-x )

Εξίσωση κάθετης ευθείας

Η εξίσωση της ευθείας y=h(x) κάθετης της καμπύλης f(x) στο σημείο (x0 , f(x0)), δίνεται από τη σχέση:

h( x)-h( x )εφ( 90+θ)=

1εφ( 90+θ)=- ⇒

εφθ

εφθ=f'( x )

h( x )=f( x )

1h( x)-f( x )=

1h( x)=- ( x-x )+f( x )

- ( x-x )f

⇒x )

Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων

Συναρτήσεις Παράγωγοι

f(x)=c (σταθερά) f’(x)=0

f(x)=x f’(x)=1

f(x)=xn f’(x)=nxn-1

f(x)=sin x f’(x)=cos x

f(x)=cos x f’(x)=-sin x

f(x)=ex f’(x)=ex

f(x)=ln x f’(x)=x-1

Βασικοί κανόνες παραγώγισης

Συναρτήσεις Παράγωγοι

f(x)=d(x)+g(x) f’(x)= d’(x)+g’(x)

f(x)= d(x)•g(x) f’(x)= d’(x)•g(x)+ d(x)•g’(x)

f(x)= c•d(x) f’(x)=c•d’(x)

f(x)= (d(x))n f’(x)=n•(d(x))n-1• d’(x)

f(x)=ln d(x) f’(x)=d’(x) •(d(x))-1

f(x)=logcd(x) f’(x)=d’(x)•(d(x))-1•(ln c)-1

f(x)=cd(x) f’(x)=cd(x) •d’(x)•ln c

f(x)= d(g(x)) f’(x)=d’g(x)•g’(x)

f(x)=d-1(x) f’(x)= (d’(x)) –1

Υπολογισμός παραγώγων

Εφαρμογή: Να υπολογισθεί η παράγωγος της συνάρτησης:

4f(x) = 2x

Η παράγωγος της συνάρτησης f(x) είναι:

Η συνάρτηση είναι γινόμενο σταθεράς επί συνάρτηση:

Η παράγωγος της g είναι:

4όπου

f(x) = 2 g(x)

g(x) = x

'4 3g'(x) = x = 4x

f(x) = 2 g(x)

f'(x) = 2 g'(x) = 2 4x = 8x

Εφαρμογή: Να υπολογισθεί η παράγωγος πολυωνυμικής συνάρτησης:

4 3 2f(x) = 2x + x +3x +5x +1

Η παράγωγος του αθροίσματος συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων:

g = 2x

i = 3x f(x) = g+h+ j+i+k

j = 5x

f'(x) = g' +h' + j' +i' +k' =

8x +3x +6x +5

' '4 4 3 3

' '2 2

g' = 2x = 2 x = 2 4x = 8x

h' = x = 3x

i' = 3x = 3 x = 3 2x = 6x

j' = 5x = 5 x' = 5 1= 5

k' = 1 = 0

Η συνάρτηση μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα συναρτήσεων:

Οι παράγωγοι των επιμέρους συναρτήσεων είναι:

Εφαρμογή: Να υπολογισθεί η παράγωγος πηλίκου συναρτήσεων:

g(x)f(x) =

h(x)Η συνάρτηση μπορεί να γραφεί σαν γινόμενο συναρτήσεων:

Γνωρίζουμε ότι αν f(x)= [d(x)]n τότε f’(x)=n•[d(x)]n-1• d’(x)

Συνεπώς για την συνάρτηση h-1 :

Οπότε έχουμε τελικά:

-1g 1f = = g = g h

22 ' ' '-1h = -1 h h = - h h

Γνωρίζουμε ότι αν f(x)= d(x)•e(x)

τότε f’(x)= d’(x)•e(x)+ d(x)•e’(x) '' '

' -1 -1 -1f = g h = g h g h

' -1' -1 'f = g h = g h - g h h

g h- g hf =

Άσκ. 1, σελ.208: Να υπολογισθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων:3 4(1) y = (3x - x +1)

Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση είναι της μορφής:

3όπου

y = (d)

d = 3x - x +1

Γνωρίζουμε ότι αν f(x)= (d(x))n τότε f’(x)=n•(d(x))n-1• d’(x)

Συνεπώς για την συνάρτηση y έχουμε:4 3y' = [(d) ]' = 4d d'

Υπολογίζουμε την παράγωγο της d(x): 3 2(d)' = (3x - x +1)' = 3 - 3x

Οπότε έχουμε τελικά:3 3 2y' = 4(3x - x +1) (3 - 3x )

Άσκ. 1, σελ.208: Να υπολογισθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων:5

x(2) y =

1+ xΗ συνάρτηση είναι της μορφής:

όπου

y = (d)

Γνωρίζουμε ότι αν f(x)= (d(x))n τότε f’(x)=n•(d(x))n-1• d’(x)

Συνεπώς για την συνάρτηση y:

y' = [(d) ]'

= 51+ x

= 5d d

Η συνάρτηση d(x) είναι πηλίκο συναρτήσεων. Άρα η παράγωγός της είναι:

' xd = =

x'(1+ x) - x(1+ x)' 1=

1+ x 1+ x

Ακρότατα συναρτήσεων

yΌταν η παράγωγος σε ένα σημείο x0 είναι f’(x0)=0 τότε στο σημείο αυτό η συνάρτηση έχει ένα τοπικό μέγιστο ή τοπικό ελάχιστο.

Πράγματι, η εξίσωση της ευθείας που εφάπτεται στο σημείο αυτό θα είναι:

g(x)=f'(x ) (x-x )+f(x )=

f(x ) (σταθ.)

Άρα η ευθεία θα είναι παράλληλη στον άξονα x ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Για να βρούμε όλα τα

τοπικά ακρότατα μιας συνάρτησης αρκεί να βρούμε τις ρίζες της παραγώγου της.

Παράγωγοι ανώτερης τάξης

Η παράγωγος f’(x) μιας συνάρτησης f(x) είναι επίσης μια συνάρτηση. Επομένως μπορούμε να υπολογίσουμε την παράγωγό της.

Αυτή θα τη συμβολίζουμε με 2 τόνους, δηλαδή f’’(x) και θα την ονομάζουμε δεύτερη παράγωγο της f(x).

Κατ’ ακολουθία, μπορούμε να υπολογίσουμε την τρίτη, τέταρτη κ.ο.κ. παραγώγους της αρχικής συνάρτησης.

Οι παράγωγοι ανώτερης τάξης συμβολίζονται με ένα εκθέτη σε παρένθεση, π.χ.

f(3)(x) = τρίτη παράγωγοςf(5)(x) = πέμπτη παράγωγος

κ.ο.κ.

-2 -1 1 2 3

Μελέτη συνάρτησης

3 2f(x) = x - 2x - x +2

Έστω η συνάρτηση f(x):

Η πρώτη παράγωγος g(x) είναι:

2g(x) = f'(x) = 3x - 4x -1

Και η δεύτερη παράγωγος h(x) είναι:

h(x) = f''(x) = g'(x) = 6x - 4

με ρίζες : x1= -0.215, x2 = 1.549

με ρίζα : x = 0.667

-2 -1 1 2 3

Μεταξύ των δύο ριζών της η πρώτη παράγωγος g(x) είναι αρνητική, ενώ στα υπόλοιπα τμήματά της είναι θετική.

Συνεπώς η συνάρτηση f(x) θα είναι φθίνουσα στο διάστημα (-0.215,1.549)και αύξουσα στα υπόλοιπα διαστήματα.

Στο σημείο -0.215 η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό μέγιστο και στο σημείο 1.549 τοπικό ελάχιστο.

-2 -1 1 2 3

Στο σημείο 0.667 η δεύτερη παράγωγος h(x) είναι ίση με 0. Συνεπώς το σημείο αυτό είναι σημείο καμπής της συνάρτησης f(x).

Αριστερά του 0.667 η δεύτερη παράγωγος είναι αρνητική, επομένως η συνάρτηση f(x) στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω.

Δεξιά του 0.667 η δεύτερη παράγωγος είναι θετική, συνεπώς η f(x) στρέφει τα κοίλα προς τα άνω.

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Documents

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑfiles.aygerinosvasilis.webnode.gr/200000000-3d4c13f3e9/ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄Γ... · 4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓ Δ

μαθηματικα στ1

ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Περιγραφική Στατιστικήvpiperig/Math-Biost/...Β. ΠΙΠΕΡΙΓΚΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ-ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΒΑΒΥΛΩΝΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

μαθηματικα β γυμνασιου

μαθηματικα και φιλοσοφια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓ Γ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ - Β

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' 2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓ Β

μαθηματικα και λογοτεχνια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Αριθµός …...2019/05/16 · ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Αριθµός αίτησης Τίτλος

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2013 blog

Εργασια για τα μαθηματικα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - pe03.gr · ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδα Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ

Μαθηματικα Α λυκειου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε'ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ

μαθηματικα με matlab