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第四章 随机变量的数字特征. 数学期望. 方差. * 协方差与相关系数. 大数定律与中心极限定理. 数学期望的引例. Mathematical Expectation. 例如 :某 7 人的高数成绩为 90 , 85 , 85 , 80 , 80 , 75 , 60 ,则他们的平均成绩为. 以频率为权重的加权平均. 数学期望 E(X). Mathematical Expectation. 离散型随机变量. 定义 设离散型随机变量的概率分布为. 随机变量 X 的数学期望,记作 E ( X ),即. X. 4. 5. 6. P. 1/4. - PowerPoint PPT Presentation
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第四章 随机变量的数字特征
数学期望
方差
* 协方差与相关系数
大数定律与中心极限定理
数学期望的引例Mathematical Expectation
例如:某 7 人的高数成绩为 90 , 85 , 85 , 80 , 80 ,
75 , 60 ,则他们的平均成绩为90 85 2 80 2 75 60
7
1 2 2 1 190 85 80 75 60
7 7 7 7 7
79.3以频率为权重的加权平均
数学期望 E(X)
1 1 2 2( ) k k k kk
E X p x p x p x p x
( ) 1, 2,k kP X x p k
Mathematical Expectation
定义 设离散型随机变量的概率分布为
离散型随机变量
k kk
p x 若级数 绝对收敛, 则称此级数为
随机变量 X的数学期望,记作 E( X),即
X
P
4
1/4
5
1/2
6
1/4
数学期望的计算已知随机变量 X 的分布律:
1 1 2 2 3 3 ) (E X p x p x p x
例
求数学期望 E( X)
解 1 1 1( ) 4 5 6 5
4 2 4E X
连续型随机变量的数学期望 E(X)
( ) ( )E X x f x dx
连续型随机变量
定义设连续型随机变量 X 的概率密度为 f (x), 则
( ) ,若广义积分 绝对收敛 则称此积分为
的数学期望
xf x dx
X
即
数学期望的计算
已知随机变量 X 的密度函数为例
2
11
( ) 10 1
xf x x
x
( ) ( )E X xf x dx
求数学期望。
解
1 1
21 1
10 0
10
x dx x dx x dxx
数学期望的意义
试验次数较大时, X 的观测值的算术平均值
在 E(X) 附近摆动x
( )x E X
数学期望又可以称为期望值 (Expected Value) ,
均值 (Mean)
E(X) 反映了随机变量 X 取值的“概率平均” , 是 X 的
可能值以其相应概率的加权平均。
二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望
(X,Y) 为二维离散型随机变量
( , ) ( ( ), ( ))E X Y E X E Y
.( ) { }i i i i i iji i i j
E X x P X x x p x p
.( ) { }j j j j j ijj j j i
E Y y P Y y y p y p
( ) ( ) ( , ) ,XE X x f x dx x f x y dxdy
( ) ( ) ( , ) .YE Y y f y dy y f x y dxdy
(X,Y) 为二维连续型随机变量
设 (X,Y) 的联合密度为例
[0,1], [1,3]( , )
0
kxy x yf x y
其它
(1) 求 k
(2) 求 X 和 Y 的边缘密度
(3) 求 E(X), E(Y).
14 2 1
2k k
1
2k
( ) ( , )Xf x f x y dy
3
1
12
2xydy x
2 [0,1]( )
0X
x xf x
其它
( , ) 1f x y dxdy
(1) 由解
3 1
1 0k ydy xdx
所以
所以
得
113
[0,1]x 时时(2)
( ) ( , )Yf y f x y dx
1
0
1 1
2 4xydx y
[1,3]( ) 4
0 其它y
yy
f y
( ) ( )XE X xf x dx
(3)
( ) ( )YE Y yf y dy
1
0
22
3x xdx
3
1
13
4 6
yy dy
[1,3]y 时时
113
113
( ) ( , )E X xf x y dxdy
(3)另解
1
0
22
3x xdx
3
1
13
4 6
yy dy
1 3
0 1
1
2dx x xydy
( ) ( , )E Y yf x y dxdy
3 1
1 0
1
2dy y xydx
无需求
边缘分布密度函数
随机变量的函数的数学期望定理 1 :一维情形
( )Y g X设设 是随机变量 X 的函数 ,
1
( ) [ ( )] ( )k kk
E Y E g X g x p
{ } , 1, 2,k kP X x p k 离散型离散型
连续型连续型
( ) [ ( )] ( ) ( )E Y E g X g x f x dx
( )f x概率密度为
X 服从 2,0
sinY X
已知 上的均匀分布,求
的数学期望。
( ) sin sin E Y E X x f x dx
1
, 0 220,
xf x
;
其它。
2
0
1sin sin 0
2E X xdx
因为
所以
例
解
随机变量的函数的数学期望
[ ( , )] ( , )i j iji j
E g X Y g x y p
定理 2 :二维情形
1 2{ , } , , , ,i j ijP X x Y y p i j
[ ( , )] ( , ) ( , )E g X Y g x y f x y dxdy
( , )f x y联合概率密度为
( , )Z g X Y设设 是随机变量 X , Y 的函数 ,
连续型连续型
离散型
1
5
[ )] ( , )E XY xyf x y dxdy
例 设相互独立的随机变量 X , Y 的密度函数分别为
1
2 , (0 1)( )
0,
x xf x
其它
( 5)
2
, ( 5)( )
0,
ye yf y
其它求 E ( XY )
解
1 2( ) ( )xyf x f y dxdy
1 ( 5)
0 52 ydx xy x e dy
1 2 ( 5)
0 52 yx dx ye dy
4
数学期望的性质
,X Y相互独立时 当随机变量
( ) ( ) ( )E XY E X E Y
( )E C C . C 为常数
( ) ( )E CX CE X .
( ) ( ) ( )E X Y E X E Y .
设( X,Y )在由 4 个点( 0 , 0 )( 3 , 0 ),( 3 , 2),
(0,2) 决定的矩形域内服从均匀分布,求 E(X+Y),E(X2)
E(Y2),E(XY).
30
2
6面积
答案:
25( ) ; ( ) 3;
2E X Y E X
2 4 3( ) ; ( )
3 2E Y E XY
0-1 分布的数学期望
X 服从 0-1 分布,其概率分布为
P(X=1)=p
P(X=0)=1- p
X
P
0 1
1-p p
若 X 服从参数为 p 的 0-1 分布, 则 E(X) = p
( ) 0 (1 ) 1E X p p p
分布律
数学期望
If X~B( n, p ), then E(X)= np
{ } (1 )k k n knP X k C p p
二项分布的数学期望分布律 X 服从二项分布,其概率分布为
数学期望n二项分布可表示为 个0-1分布的和
1
n
ii
X X
0,
1i
A iX
A i
在第次试验中不发生, 在第次试验中发生
1 1
( ) ( ) ( )n n
i ii i
E X E X E X np
其中
则
泊松分布的数学期望
If , then ~ ( )X P ( )E X
( )!
k
P X k ek
分布律
数学期望1
0 1
( )! ( 1)!
k k
k k
E X k e ek k
( 1 )k t
0 !
t
t
e e et
1( )
0
a x bf x b a
其它
均匀分布的期望
分布密度
数学期望
( )
2( )
b
a
xxf x dx dxE X
b
b
a
a
X~ N (μ , σ2 )
正态分布的期望分布密度
2
2
2
)(
2
1)(
x
exf
数学期望2
2
( )
2( )1
2
x
x e dxE X
2
21
( )2
t
t e dt
xt
0( )
0 0
xe xf x
x
指数分布的期望
分布密度
数学期望
0( () ) xxf x dE x x e dxX
0 0 0
1| |x x xxe e dx e
1
数学期望在医学上的一个应用An application of Expected Value in Medicine
考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每 10 个人一组,把这 10 个人的血液样本混合起来进行化验。如果结果为阴性,则 10 个人只需化验 1 次;若结果为阳性,则需对 10 个人在逐个化验,总计化验 11 次。假定人群中这种病的患病率是 10% ,且每人患病与否是相互独立的。试问:这种分组化验的方法与通常的逐一化验方法相比,是否能减少化验次数?分析:设随机抽取的 10 人组所需的化验次数为 X
我们需要计算 X 的数学期望,然后与10 比较
化验次数 X 的可能取值为 1 , 11
先求出化验次数 X 的分布律。
(X=1)=“10 人都是阴性”
( X=11)=“ 至少 1 人阳性”
结论:分组化验法的次数少于逐一化验法的次数
注意求 X期望值的步骤!
10 10{ 1} (1 0.1) 0.9P X
10{ 11} 1 0.9P X 10 10( ) 0.9 1 (1 0.9 ) 11 7.513 10E X
1 、概率 p 对是否分组的影响问题的进一步讨论
若 p=0.2 ,则
当 p>0.2057 时, E(X)>10
( ) 0.9 1 (1 0.9 ) 11 10n nE X
10 10( ) 0.8 1 (1 0.8 ) 11 9.9262E X
2 、概率 p 对每组人数 n 的影响
21.86n 当 p=0.2 时,可得出 n<10.32 ,才能保证
EX<10.
当 p=0.1 时,为使
例 独立地操作两台仪器,他们发生故障的概率分别为 p1 和 p2. 证明:产生故障的仪器数目的数学期望为 p1 + p2
设产生故障的仪器数目为X则 X 的所有可能取值为 0 , 1
解
1 2( 0) (1- )(1- )P X p p
1 2 1 2( 1) (1- ) (1- ) P X p p p p
1 2( 2) P X p p
1 2 1 2 1 2( ) [ (1- ) (1- ) ] 2 E X p p p p p p
1 2 p p
所以
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