2019/9/20

1

二、随机变量的概念

一、随机变量的引入

三、小结

第一节 随机变量

概率论是从数量上来研究随机现象内在规律

性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用

数学分析的方法来研究，因此为了便于数学上的

推导和计算，就需将任意的随机事件数量化．当

把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时，

就建立起了随机变量的概念．

1. 为什么引入随机变量?

一、随机变量的引入

2. 随机变量的引入

实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色.

S={红色、白色}

非数量

将 S 数量化?

可采用下列方法

S红色 白色

)(eX

R1

0

即有 X (红色)=1 ,

.,0

,,1)(

白色

红色

e

eeX

X (白色)=0.

这样便将非数量的 S={红色，白色} 数量化了.

实例2 抛掷骰子,观察出现的点数.

,3)3(,2)2(,1)1( XXX ,6)6(,5)5(,4)4( XXX

).6,5,4,3,2,1(,61

}{ iiXP

S={1，2，3，4，5，6}

样本点本身就是数量

恒等变换

且有

eeX )(

则有

.)(

),(

,)(,

}.{ ,

为随机变量称

上的单值实值函数这样就得到一个定义在

与之对应有一个实数果对于每一个

如它的样本空间是是随机试验设

eX

eXS

eXSe

eSE

二、随机变量的概念

1.定义

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2

随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,

由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因

此随机变量的取值也有一定的概率规律.

(2)随机变量的取值具有一定的概率规律

随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有

着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而

随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元

素不一定是实数).

2.说明(1)随机变量与普通的函数不同

实例3 掷一个硬币, 观察出现的面 , 共有两个

结果: ),(1 反面朝上e

),(2 正面朝上e

若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有

)(eX)(1 反面朝上e

)(2 正面朝上e 1

0 0)( 1 eX

1)( 2 eX

即 X (e) 是一个随机变量.

实例4 在有两个孩子的家庭中,考虑

其性别 , 共有 4 个样本点:

).,(),,(,),(),,( 4321 女女男女女男男男 eeee

若用 X 表示该家女孩子的个数时 , 则有

,0)( 1 eX ,1)( 2 eX ,1)( 3 eX ,2)( 4 eX

可得随机变量 X(e),

.,2

,,,1

,,0

)(

4

32

1

ee

eeee

ee

eX

3.随机变量的分类

离散型

(1)离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或

无限可列个, 叫做离散型随机变量.

观察掷一个骰子出现的点数.

随机变量 X 的可能值是 :

随机变量

连续型

实例1

1, 2, 3, 4, 5, 6.

非离散型

其它

实例2 随机变量 X 为“测量某零件尺寸时的测量

误差”.

则 X 的取值范围为 (a, b) .

实例1 随机变量 X 为“灯泡的寿命”.

).,0[

(2)连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充

满某个区间,叫做连续型随机变量.

则 X 的取值范围为

三、小结

2. 随机变量的分类: 离散型、连续型.

1. 概率论是从数量上来研究随机现象内在规

律性的，因此为了方便有力的研究随机现象，就

需将随机事件数量化，把一些非数量表示的随机

事件用数字表示时，就建立起了随机变量的概

念．因此随机变量是定义在样本空间上的一种特

殊的函数．

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1

一、离散型随机变量的分布律

二、常见离散型随机变量的概率分布

三、小结

第二节 离散型随机变量及其分布律

说明 ;,2,1,0)1( kpk

.1)2(1

kkp

.

.,2,1,}{

,}{

,),,2,1(

的分布律称此为离散型随机变量

为的概率

即事件取各个可能值的概率

所有可能取的值为设离散型随机变量

X

kpxXP

xX

Xkx

X

kk

k

k

一、离散型随机变量的分布律

定义

离散型随机变量的分布律也可表示为

n

n

ppp

xxxX

21

21~

X

kp

nxxx 21

nppp 21

.

),(

,.

21,

的分布律求

相互独立的设各组信号灯的工作是号灯的组数

它已通过的信表示汽车首次停下时以车通过

的概率允许或禁止汽每组信号灯以组信号灯

的道路上需经过四设一汽车在开往目的地

X

X

解

,通过的概率为每组信号灯禁止汽车设 p 则有

kp

X 43210

p pp)1( pp 2)1( pp 3)1( 4)1( p

例1

代入得将21

p

X

kp

43210

5.0 25.0 125.0 0625.0 0625.0

二、常见离散型随机变量的概率分布

设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为

Xkp

0p1

1p

则称 X 服从 (0—1) 分布或两点分布.

1.两点分布

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2

实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.

随机变量 X 服从 (0—1) 分布.

,1)(eXX

,0 ,正面当 e

.反面当 e

X

kp

0 1

21

21其分布律为

实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那末,若规定

,0

,1X

取得不合格品,

取得合格品.

则随机变量 X 服从(0 —1)分布.

X

kp

0 1

200190

20010

两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点分布.

说明

将试验 E 重复进行 n 次, 若各次试验的结果互

不影响 , 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其

它各次试验的结果, 则称这 n 次试验是相互独立的,

或称为 n 次重复独立试验.

(1) 重复独立试验

2.二项分布

(2) n 重伯努利试验

.1)(),10()(

.

,:

pAPppAP

EAAE

此时　　设

为伯努利试验

则称及只有两个可能结果　　设试验

.

,

重伯努利试验 n

nE

复的独立试验为

则称这一串重次独立地重复地进行　　将

实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬

币抛 n 次,就是n重伯努利试验.

实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”,

就是 n重伯努利试验.

(3) 二项概率公式

,发生的次数重伯努利试验中事件表示若 AnX

所有可能取的值为则 X

.,,2,1,0 n

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3

,)0( 时当 nkkX

.次次试验中发生了在即 knA

次k

AAA , 次kn

AAA

次1k

AAA A A 次1kn

AAA

次的方式共有次试验中发生在得 knA ,种

k

n

且两两互不相容.

nknknnk pqp

k

npq

nqp

nkX

1

1

10

称这样的分布为二项分布.记为 ).,(~ pnbX

次的概率为次试验中发生在因此 knA

knk ppk

n

)1( pq 1记 knkqp

k

n

的分布律为得 X

二项分布1n

两点分布

例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每

次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次

数 X 服从 b (5,0.6) 的二项分布.

5)4.0( 44.06.01

5

32 4.06.02

5

23 4.06.03

5

4.06.0

4

5 4

56.0

X

kp

0 1 2 3 4 5

二项分布的图形

?)20,,1,0(

20.20,2.0

.1500

,

一级品的概率是多少只中恰有

只元件问只现在从中随机地抽查品率为

级已知某一大批产品的一小时的为一级品

用寿命超过某种型号电子元件的使按规定

kk

分析 这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很

大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很

小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.

.2020, 重伯努利试验只元件相当于做检查验

一级品看成是一次试把检查一只元件是否为

例2 解 ,20 只元件中一级品的只数记以 X

),2.0,20(~ bX则 因此所求概率为

.20,,1,0,)8.0()2.0(20

}{ 20

k

kkXP kk

012.0}0{ XP

058.0}1{ XP

137.0}2{ XP

205.0}3{ XP

218.0}4{ XP

175.0}5{ XP

109.0}6{ XP

055.0}7{ XP

022.0}8{ XP

007.0}9{ XP

002.0}10{ XP

时当 11,001.0}{ kkXP

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4

图示概率分布

.,400

,02.0,

率试求至少击中两次的概次独立射击

设每次射击的命中率为某人进行射击

解 ,X设击中的次数为

).02.0,400(~ bX则

的分布律为X

,)98.0()02.0(400

}{ 400 kk

kkXP

.400,,1,0 k

因此 }1{}0{1}2{ XPXPXP399400 )98.0)(02.0(400)98.0(1 .9972.0

例3

3. 泊松分布

).(π~,

.0

,,2,1,0,!

e}{

,,2,1,0

X

X

kk

kXPk

记为布

的泊松分服从参数为则称是常数其中

值的概率为

而取各个的值为设随机变量所有可能取

泊松分布的图形

泊松定理：

二项分布 泊松分布)( nnp

设1000 辆车通过,出事故的次数为 X , 则

可利用泊松定理计算 ,1.00001.01000

所求概率为

9991000 9999.00001.01

10009999.01

.0047.0!1e1.0

!0e

11.01.0

解

}2{ XP

}1{}0{1}2{ XPXPXP

),0001.0,1000(~ bX

例4 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过,设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?

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5

例5 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修工人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况) ,问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?

解 .人设需配备 N 设备记同一时刻发生故障的

,X台数为 ).01.0,300(~, bX那么 所需解决的问题

,N是确定最小的 使得

合理配备维修工人问题

P X N{ } 0.01

由泊松定理得

,!

e3}{

0

3

N

k

k

kNXP

故有 ,99.0!

e3

0

3

N

k

k

k

.8是小的查表可求得满足此式最 N

个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01.

故至少需配备8

.99.0}{ NXP即

离散型随机变量的分布

二项分布

泊松分布

1010 .p,n

两点分布

1n

三、小结

).,(,

,)10(

),,2,1(,,0

,1

,,

,)10(

21 pnXXXX

nii

iX

p

n

n

i

参数为服从二项分布

那末分布并且相互独立它们都服从

次试验失败若第

次试验成功若第

设每次试验成功的概率为立重复伯努里试验

次独对于分布的推广二项分布是

.)10(.2 关系分布、泊松分布之间的二项分布与

).,,2,1,0(

,e!)(

)1(}{

,

,)(,

nk

knp

ppk

nkXP

nnppn

npk

knk

即为参数的泊松分布于以

时趋当为参数的二项分布以

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1

一、分布函数的概念

二、分布函数的性质

三、例题讲解

四、小结

第三节 随机变量的分布函数

对于随机变量X, 我们不仅要知道X 取哪些值,

要知道 X 取这些值的概率 ; 而且更重要的是想知

道 X 在任意有限区间(a,b)内取值的概率.

}{ 21 xXxP }{}{ 12 xXPxXP

)( 2xF )( 1xF

}{ 21 xXxP

分布函数

).()( 12 xFxF

?

一、分布函数的概念

例如 .],( 21 内的概率落在区间求随机变量 xxX

1.概念的引入

2.分布函数的定义

说明

(1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值

的概率情况.

.

}{)(

,,

的分布函数称为

函数是任意实数是一个随机变量设定义

X

xXPxF

xX

.)()2( 的一个普通实函数是分布函数 xxF

实例 抛掷均匀硬币, 令

.,0

,,1

出反面

出正面X

求随机变量 X 的分布函数.

解 }1{ Xp }0{ Xp ,21

0

1 x,0时当 x

;0}0{)( xXPxF

0

1 x,10 时当 x

}{)( xXPxF }0{ XP ;21

,1时当 x

}{)( xXPxF

}0{ XP }1{ XP

21

21 .1

.1,1

,10,21

,0,0

)(

x

x

x

xF得

);,(,1)(0)1( xxF

);(),()()2( 2121 xxxFxF

证明 21 xx 由

},{}{ 21 xXPxXP 得

).()( 21 xFxF 故

}{ 1xX },{ 2xX

},{)( 11 xXPxF 又 },{)( 22 xXPxF

二、分布函数的性质

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2

).(),()(lim)4( 000

xxFxFxx

即任一分布函数处处右连续.

.,1

,,

,0,

,0,0

)(

2

212

11

xx

xxxp

xxp

x

xF

xo

)(xF

1x

2x

1p

2p

1

,0)(lim)()3(

xFFx

;1)(lim)(

xFFx 重要公式

),()(}{)1( aFbFbXaP

).(1}{)2( aFaXP

证明 },{}{}{ bXaaXbX 因为

,}{}{ bXaaX

},{}{}{ bXaPaXPbXP 所以

).()(}{ aFbFbXaP 故

,,,,,,,, TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHS

因此分布律为

81

83

83

81

3210

p

X

解 则

三、例题讲解

}.31{},5.5{},31{

,,

,

XPXPXP

X

X

列概率值

并求下的分布律及分布函数求”出现的次数

表示“三次中正面将一枚硬币连掷三次例1

,, 反面正面设 TH

;21

83

81

,0时当 x

,10 时当 x

求分布函数

}{)( xXPxF

x

o

1

2

3

}{)( xXPxF }0{ XP ;81

0

ix

ip

}{)( xXPxF

1ix

ip

}0{ XP }1{ XP

;0

,21 时当 x

,32 时当 x

;87

83

83

81

,3时当 x

}{)( xXPxF

}{)( xXPxF

2ix

ip}0{ XP }1{ XP }2{ XP

x

o

1

2

3

.1

3ix

ip

}0{ XP }1{ XP}2{ XP }3{ XP

}31{ XP }3{}1{}3{ XPXPXP

)1()3( FF

81

84

1

.3 ,1

,32 ,87

,21 ,84

,10 ,81

,0 ,0

)(

x

x

x

x

x

xF所以

}3{ XP

.83

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3

}5.5{ XP }5.5{1 XP

}31{ XP }1{}3{ XPXP

)1()3( FF

}5.5{}5.5{1 XPXP

011 .0

84

1 .21

的分布律为设随机变量 X

X

kp

321

41

21

41

解

},{)(

,03,2,1

xXPxF

xX

　　　　

且处概率不为仅在由于

例2

}.32{

},2

5

2

3{},

2

1{,

XP

XPXPX 并求的分布函数求

.3,1

,32},2{}1{

,21},1{

,1,0

)(

x

xXPXP

xXP

x

xF得

0, 1,

1, 1 2,

4( )3

, 2 3,41, 3.

x

xF x

x

x

即

,}{)( xXPxF 由

,41

)23

()25

(}25

23

{ FFXP ,21

41

43

}2{)2()3(}32{ XPFFXP

21

43

1 .43

)2

1(}

2

1{ FXP 得

xx

k

k

pxXPxF }{)(分布函数

分布律 }{ kk xXPp

离散型随机变量分布律与分布函数的关系 例3 一个靶子是半径为2m的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量 X 的分布函数.解 ,0时当 x

,}{ 是不可能事件xXP

,20 时当 x .,}0{ 2 是常数kkxxXP

,1}20{ XP由 ,14 k得 .41

k即

.4

}0{2x

xXP 因而

;0}{)( xXPxF于是

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4

于是}{)( xXPxF

,2时当 x

故 X 的分布函数为

.2,1

,20,4

,0,0

)(2

x

xx

x

xF

}0{ XP }0{ xXP .4

2x

}{)( xXPxF .1

其图形为一连续曲线

.,0

,20,2)(

其它

若记t

ttf

.d)()( ttfxFx

则

,],()()( 上的积分在区间恰是非负函数 xtfxF

.为连续型随机变量此时称X

注意 两类随机变量的分布函数图形的特点不一样.

.}{)(

xx

k

i

pxXPxF

2.分布律与分布函数的关系

1.离散型随机变量的分布函数

四、小结

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1

一、概率密度的概念与性质

二、常见连续型随机变量的分布

三、小结

第四节 连续型随机变量及其概率密度

.,

)(,

,d)()(,

,)(

简称概率密度密度函数

的概率称为其中为连续型随机变量则称

有使对于任意实数非负函数

存在的分布函数如果对于随机变量

XxfX

ttfxFx

xFXx

一、概率密度的概念与性质

1.定义

xo

)(xf

1

1d)(

xxfS

1SxxfS

x

xd)(

2

11

1x

2x

)()(}{)3( 1221 xFxFxXxP ;d)(2

1

xxfx

x

xxfx

d)(2

证明

.d)(2

1

xxfx

x

)()(}{ 1221 xFxFxXxP

xxfx

d)(1

性质

;0)()1( xf

;1d)()2(

xxf

证明 .d)()(1 xxfF

).()(,)()4( xfxFxxf 则有处连续在点若

)(}{ aFaXP ,d)( xxfa

}{1}{ aXPaXP

xxfxxfa

d)(d)(

)(1 aF

xxfxxfa

d)(d)(

.d)( xxf

a

同时得以下计算公式

注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a

的概率等于零.即.0}{ aXP

证明 }{ aXP .0

由此可得

xxfxa

axd)(lim

0

连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关

}{ bXaP }{ bXaP }{ bXaP

}.{ bXaP

.0}{ aXP

X是连续型随机变量，若{ X=a }是不

可能事件，则有

,0}{ aXP若

是不可能事件}{ aX .0}{ aXP

若 X 为离散型随机变量,

注意

连续型

离散型

是不可能事件则不能确定 }{ aX

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2

}.27

1{)3(

;)2(;)1(

.,0

,43,2

2

,30,

)(

XP

Xk

xx

xkx

xf

X

求

的分布函数求确定常数

其它

具有概率密度随机变量设

解 ,1d)()1(

xxf由

例1

（书例2-27） 的概率密度为知由 Xk61

)2(

.,0

,43,2

2

,30,6

)(

其它

xx

xx

xf

,1d)2

2(d3

0

4

3 x

xxkx得 .

61

k解之得

.4,1

,43,d)2

2(d6

,30,d6

,0,0

)(3

0 3

0

x

xxx

xx

xxx

x

xFx

x

得由

xxxfxF d)()(

.4,1

,43,4

23

,30,12

,0,0

)(2

2

x

xx

x

xx

x

xF即

}27

1{)3( XP )1()27

( FF .4841

.)3(

};2

{)2(

;,)1(:

.,1

,,arcsin

,,0

)(

的概率密度随机变量

的值系数求

的分布函数为设连续型随机变量

X

aXaP

BA

ax

axaax

BA

ax

xF

X

例2

),(lim)( xFaFax

故有

解 (1) 因为 X 是连续型随机变量,

,)(lim)( xFaFax

,)( 连续所以 xF

aa

BA arcsin

aa

BA arcsin即 BA2

,0

BA2

,1

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3

.1

B

.,1

,,arcsin1

21

,,0

)(

ax

axaax

ax

xF所以

,2

1A解之得

)2

(a

F

0)2

arcsin(π

1

2

1

a

a

6

π

π

1

2

1

}2

{)2(a

XaP )( aF

.32

)()( xFxf

的概率密度为随机变量 X)3(

.,0

,,1 22

其它

axaxa

二、常见连续型随机变量的分布

).,(~

,),(

,,0

,,1

)(

baUX

baX

bxaabxf

X

记为

区间上服从均匀分布在区间则称

其它

具有概率密度设连续型随机变量定义

1. 均匀分布

xo

)(xf

a

b

概率密度函数图形

.,1

,,

,,0

)(

bx

bxaabax

ax

xF

分布函数

xo

)(xF

a

b

1

均匀分布的意义

,),( Xba 变量上服从均匀分布的随机在区间

.

),(

性是相同的

内的可能中任意等长度的子区间落在区间 ba

解 由题意,R 的概率密度为

.,0

,1100900),9001100(1)(

其他

rrf

故有 }1050950{ RP .5.0d200

11050

950 r

例3 设电阻值 R 是一个随机变量，均匀分布在

900 ~ 1100 ．求 R 的概率密度及 R 落在

950 ~ 1050 的概率．

例4 设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值

大于3 的概率.

X 的分布密度函数为

.,0

,52,31

)(其他

xxf

设 A 表示“对 X 的观测值大于 3 ”,

解

即 A={ X >3 }.

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2019/9/20

4

}2{ YP .2720

因而有

设Y 表示三次独立观测中观测值大于3的次数,

则 .32

,3~

bY

32

132

2

3 2 03

32

132

3

3

}3{)( XPAP由于 ,32

d315

3 x

.

,0

.0,0

,0,e1

)(

分布

的指数服从参数为则称为常数其中

的概率密度为设连续型随机变量定义

Xθ

x

xθxf

X

θx

2. 指数分布

某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如

无线电元件的寿命、电力设备的寿命、动物的

寿命等都服从指数分布.

应用与背景

分布函数

1 e , 0,( )

0, 0.

x θ xF x

x

例5 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为

θ=2000的指数分布(单位:小时).

(1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以

上的概率.

(2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以

上,求还能使用1000小时以上的概率.

.0,0

,0,e1)(2000

1

x

xxFx

X 的分布函数为解

}1000{)1( XP }1000{1 XP

)1000(1 F

.607.0e 2

1

}10002000{)2( XXP

}1000{}1000,2000{

XP

XXP

}1000{}2000{

XPXP

}1000{1}2000{1

XPXP

)1000(1)2000(1

FF

.607.0e 2

1

指数分布的重要性质 : “无记忆性”.

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5

).,(~,

,,)0(,

,,eπ2

1)(

2

2

)(2

2

σμNX

σμXσσμ

xσ

xf

X

σ

μx

记为的正态分布或高斯分布

服从参数为则称为常数其中

的概率密度为设连续型随机变量定义

3. 正态分布(或高斯分布) 正态概率密度函数的几何特征

;)1( 对称曲线关于 μx ;

π21

)(,)2(σ

xfμx 取得最大值时当

;0)(,)3( xfx 时当

;)4( 处有拐点曲线在 σμx

;

,)(

,,)6(

轴作平移变换着

只是沿图形的形状不变

的大小时改变当固定

x

xf

μσ

;)5( 轴为渐近线曲线以 x

.

,,,,,

)(,,)7(

图形越矮越胖

越大图形越高越瘦越小而形状在改变不变

图形的对称轴的大小时改变当固定

σσ

xfσμ

正态分布密度函数图形示例

正态分布的分布函数

tσ

xFx

σ

μt

deπ2

1)(

2

2

2

)(

正态分布分布函数图形示例

正态分布下的概率计算

tσ

xFx

σ

μt

deπ2

1)(

2

2

2

)(

}{ xXP

?

原函数不是初等函数

方法一:利用MATLAB软件包计算

方法二:转化为标准正态分布查表计算

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6

).1,0(,

,1,0),( 2

N

σμσμN

记为态分布的正态分布称为标准正

这样时中的当正态分布

标准正态分布的概率密度表示为

,,eπ2

1)( 2

2

xxx

标准正态分布

标准正态分布的分布函数表示为

.,deπ2

1)( 2

2

xtx

xt

标准正态分布的图形

}.225.1{),1,0(~ XPNX 求已知

解 }225.1{ XP

)25.1()2(

8944.09772.0

例6

. 0828.0

).1,0(~),,(~ 2 NσμX

ZσμNX

则若引理

证明 略

解

}.{),,(~ 2 dXcPσμNX 求已知例7

{ } ( ) ( )P c X d F d F c

.

σμc

σμd

.}{

σμc

σμd

dXcP 即

例8 证明 ).(1)( xx

xxx

xde

π21

)( 2

2

xx

xde

π21 2

2

xx

deπ2

1 2

2

xx

xde

π21 2

2

).(1 x

证明

(1) 所求概率为

}89{ XP )2(5.09089

)2(1

9772.01 .0228.0

解

例9

?,99.0

80)2(

.89,90)1(

).5.0,(~,

)(,.

o

2

oo

至少为多少问低于

的概率不至少为若要求保持液体的温度

的概率小于求若

且是一个随机变量

计以液体的温度调节器整定在容器内

贮存着某种液体的将一温度调节器放置在

d

C

Xd

dNX

CXCd

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7

99.0}80{)2( XP

99.0}80{1 XP

99.0)80(1 F

99.05.0

801

d

800.99

0.5

d

-802.327

0.5

d即 .1635.81 d

分布函数 概率密度

三、小结

2. 常见连续型随机变量的分布

x

ttfxF d)()(.1 连续型随机变量

均匀分布

正态分布(或高斯分布)

指数分布

正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量

误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ,正常

情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度,

炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态

分布.可以说,正态分布是自然界和社会现象中最

为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小

的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般

是一个正态随机变量.

3. 正态分布是概率论中最重要的分布 另一方面,有些分布(如二项分布、泊松分布)的极

限分布是正态分布.所以,无论在实践中,还是在理

论上,正态分布是概率论中最重要的一种分布.

二项分布向正态分布的转换↓↓

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1

一、离散型随机变量的函数的分布

二、连续型随机变量的函数的分布

三、小结

第五节 随机变量的函数的分布

).(,

,)(

,

)(

XfYX

Yxfy

xXYx

Xxf

记作的函数变量

为随机则称随机变量的值的值而取

取值随着若随机变量的集合上的函数

的一切可能值是定义在随机变量设

问题

?)( 的分布分布求得随机变量

的量如何根据已知的随机变

XfY

X

一、离散型随机变量的函数的分布

Y 的可能值为 ;2,1,0,)1( 2222

即 0, 1, 4.

解

}0{}0{}0{ 2 XPXPYP ,41

.2 的分布律求

的分布律为设

XY

X

X

p

2101

41

41

41

41

例1 )}1()1{(}1{}1{ 2 XXPXPYP

}1{}1{ XPXP ,21

41

41

}2{}4{}4{ 2 XPXPYP ,41

故 Y 的分布律为Y

p

410

41

21

41

由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法.

离散型随机变量的函数的分布

的分布律为若也是离散型随机变量

其函数是离散型随机变量如果

X

XgYX

.

)(,

X

kp

kxxx 21

kppp 21

的分布律为则 )( XgY

kp)(XgY

kppp 21

)()()( 21 kxgxgxg

.,)( 合并应将相应的中有值相同的若 kk pxg

Y 的分布律为

Y

p

4 1

21

21

X

kp

211

61

62

63

例2 设

.52 的分布律求 XY

解

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2

第一步 先求Y=2X+8 的分布函数 ).( yFY

}{)( yYPyFY }82{ yXP

解

二、连续型随机变量的函数的分布

.82

.,0

,40,8)(

的概率密度求随机变量

其他

的概率密度为设随机变量

XY

xx

xf

X

X

例3

)()( yFyf yY

xxfy

X d)(28

}

28

{

y

XP

,)2

8)(

28

(

yyfX

第二步 由分布函数求概率密度.

]d)([ 28

xxf

y

X

.,0

,42

80,

21

)2

8(

81

)(其他

所以

yyyfY

.,0

,168,32

8

其他

yy

}{)( yYPyFY }{ 2 yXP

}{ yXyP

)()( yFyF XX

.32

.0,e

,0,0)(

2

3 2

的概率密度和求随机变量

的概率密度为设随机变量

XYXY

xx

xxf

X

xX

解 ,2 分布函数先求随机变量 XY

例4

.d)(d)( xxfxxfy

X

y

X

)()( yFyf YY ))(())(( yyfyyf XX

yy

yy

21

0e)(2

1 2)(3

.0,0

,0,2e

y

yy y

再由分布函数求概率密度.

当 Y=2X+3 时,有

32 xy ,2

3

yx

]d)([)()( 23

y

XyY xxfyFyf

.3,0

,3,)2

3(e)

23

(2)

2

3(3

y

yyy y

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3

.函数的概率密度的方法

的出计算连续型随机变量　　由上述例题可归纳

.3,0

,3,e)2

3(

21 2)

2

3(3

y

yy y

.)()(

)),(),(max()),(),(min(

的反函数是

其中

xgyh

ggβggα

( ),

, ( ) ,

( ) 0( ( ) 0), ( )

,

[ ( )] ( ) , ,( )

0, .

X

XY

X f x

x g x

g x g x Y g X

f h y h y α y βf y

　　定理　设随机变量 的具有概率密度

其中 又设函数 处处可导 且恒有

或恒有 则称 是连续型

随机变量 其概率密度为

其他

证明 X 的概率密度为

.,eπ2

1)(

2

2

2

)(

x

σxf σ

μx

X

,)( baxxgy 设

,)(a

byyhx

得 .0

1)(

ayh知

.)0(

,),(~ 2

也服从正态分布性函数

的线试证明设随机变量

abaXY

XσμNX例5

2

2

2

)(

eπ2

11 σ

μa

by

σa

.,eπ2

1 2

2

)(2

)]([

yσa

aσ

aμby

.),(1

)(

ya

byf

ayf XY

的概率密度为得

其它由公式

baXY

yyhyhfyf X

Y

.,0

,,)()]([)(

))(,(~ 2aσbaμN

baXY

得

.

),2π

,2π

(~,,

,sin

的概率密度试求电压

且有是一个随机变量相角常数

是一个已知的正其中设电压

V

UΘΘ

AΘAV

解 上恒有在因为 )2π

,2π

(sin)( θAθgv

,0cos)( θAθg

,arcsin)(Av

vhθ 所以反函数为

,1

)(22 vA

vh

例6的概率密度为知又由 ΘUΘ ),

2,

2(~

.,0

,2π

2π

,π1

)(其他

θθf

的概率密度为由定理得 ΘAV sin

.,0

,,1

π1

)( 22

其他

AvAvAvφ

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4

三、小结1. 离散型随机变量的函数的分布

:)( 的分布律为且若 XXgY

X

kp

kxxx 21

kppp 21

的分布律为则 )( XgY

kp)(XgY

kppp 21

)()()( 21 kxgxgxg

2. 连续型随机变量的函数的分布

})({}{)( yXgPyYPyFY

),(,d)()(

xxxf

yxg X

.)( 的密度函数求导得到再对 YyfY

方法1

方法2

.,0

,,)()]([)(

其他

yyhyhfyf X

Y

注意条件.

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