Физические основы естествознания

Физические основы естествознания

Василий Семёнович Бескин Лекции 7-9

СПИН

П.Эренфест Р.Крониг Ю.Уленбек С.Гаудсмит

Х.Лоренц, А.Комптон, …

СПИН

В.Паули (1900-1958)

СПИН• Чисто квантовое явление• Только при учете релятивистских эффектов вращение со скоростью c нет в уравнении Шредингера

• Связан с внутренней степенью свободы проявление внутренней симметрии

СПИНпроявление внутренней симметрии

СПИННаблюдения• Расщепление на два подуровня

• Опыт Штерна-Герлаха (1921)

Опыт Штерна-Герлаха

В.Герлах (1889-1979) О.Штерн (1888-1969)

Магнетон Бора

Опыт Штерна-Герлаха

Опыт Штерна-Герлаха

Линия 21 см

Вращение галактики

Я.Оорт (1900-1992)

Л.Д.Ландау В.В.Виткевич И.С.Шкловский (1908-1968) (1917-1972) (1916-1985)

СПИН

• У электрона есть дополнительные степени свободы

• Эти степени свободы связаны с вращением

• Не могут быть объяснены собственным вращением

Угловой момент в физике

• Один из основных интегралов движения• Определяет свойства при повороте

координатных осей

Угловой момент в квантовом мире

• Может быть определена лишь одна компонента

r

Угловой момент в квантовом мире

Волновая функция (движение по прямой)• Полная волновая функция

• Бегущая волна (частица, движущаяся по прямой)

Угловой момент в квантовом мире

Волновая функция (вращение)• Разделение переменных

• Бегущая волна (частица, движущаяся по окружности)

Угловой момент в квантовом мире

l = 0 (s орбиталь)

Угловой момент в квантовом мире

l = 1 (p орбиталь)

Угловой момент в квантовом мире

l = 1 (p орбиталь)

Принцип линейности волн

Угловой момент в квантовом мире

l = 1 (p орбиталь)

Угловой момент в квантовом мире

l = 1 (p орбиталь)

Угловой момент в квантовом мире

l = 1 (p орбиталь)

Сферические функции

Полная ортогональная система (координат)• Скалярное произведение для одинаковых 1, для разных 0 • Если в одной системе координат функция Y()

разлагается как

то это возможно и в любой другой системе координат.

Сферические функции

Скалярное произведение

Сферические функции

Скалярное произведение

Вращения в трехмерном пространстве

x

у

z

y’

x’

Вращения в трехмерном пространстве

x

у

z

z’

y’

Вращения в трехмерном пространстве

x

у

z

y’

z’

Вращения в трехмерном пространстве

x

у

z

z’

y’

Угол отсчитывается от оси zугол ’ отсчитывается от оси z’

Вращения в трехмерном пространстве

x

у

z

y’

z’

Сферические функции

Сферические функции

как обычный

вектор

Внимание! Ключевое место

Уравнение Шредингера линейно – любая линейная комбинация решений есть тоже решение.

Волновые функции описывают вероятность обнаружить частицу в данной точке

Коэффициенты a описывают вероятность обнаружить частицу в данном состоянии

Мост в квантовую механику

• Достаточно знать ‘координаты’, а не базисные функции.

• Именно ‘координаты’ будут определять вероятность нахождения в данном состоянии.

• При этом ключевым свойством является закон преобразования при повороте системы координат.

Мост в квантовую механику

Благодаря ортогональности сохраняется суммаквадратов

Мост в квантовую механику

Благодаря ортогональности сохраняется суммаквадратов

Волновые функции

как обычный

вектор

Полные волновые функции

Полные волновые функции

Полные волновые функции

Полные волновые функции

Волновые функции l =1 (p орбиталь)

Волновые функции l =1 (p орбиталь)

• Детерминант равен 1

• Сумма квадратов равна 1

• Средние по углам равны 1/3

• При повороте на 90о состояние (1,0,0) не переходит в состояние (0,1,0)

Волновые функции l =2 (d орбиталь)

Волновые функции l =2 (d орбиталь)

• Детерминант равен 1

• Сумма квадратов равна 1

• Средние по углам равны 1/5

• При повороте на 90о состояние (1,0,0,0,0) не переходит в состояние (0,0,1,0,0)

Волновые функции l =2 (d орбиталь)

Полный угловой момент

Полный угловой момент

• (2l1) проекций• вероятность каждой 1/(2l+1)

Полный угловой момент

Полный угловой момент

Полный угловой момент

Уравнение Шредингера

Если U(r) = U(r), то

Полный угловой момент

Полный угловой момент

Химия

Вращательные уровниДвухатомные Н2, HD, Н2

+ , СН, СН+, 13СН+ , ОН, 17ОН,18ОН , С2, CN, NO, СО, 13СО, С17O, 13С17O , СS, 13СS, С33S, С34S , SiO, 29SiO, 30SiO , SO, 34SO , NS , SiS

Трёхатомные H2O, HDO, H2

18O , C2H , HCN, DCN, H13C , HC15N , HNC, DNC, HN13C, H15NC , HCO, HCO+, DCO+, H13CO+, HC18O+, HOC+, HCS+, N2H+, N 2D+, H2S, HNO, OCS, SO2, O3, NaOH

Четырёхатомные NH 3, NH2D, 15NH3, C2H2 , H2CO, HDCO, H2

13CO, H2C18O, HNCO, H2CS, C3N, HNCS Пятиатомные CH4, CH2NH, CH2CO, NH2CN, HCOOH, C2H, HC3N, Н13СС2N, HC13CCN, HCC13CN, DC3N Шестиатомные СН3ОН, 13СН3ОН, CH3OD , CH3CN, NH2CHO, NH2

13CHO, CH3SN Сeмиатомные CH3NH2, CH3NHD, СН3С2Н, СН3СНО, CH2CHCN, HC5N, DC5N Восьмиатомная НСООСН3 Девятиатомные СН3СН2ОН , (СН3) 2O, СН3СН2CN , HC7N Одиннадцатиатомная HC9N Тринадцатиатомная HC11N

Вращательные уровни

Энергия вращения

Момент инерции

Момент импульса

Вращательные уровни

Энергия вращения

Момент инерции

Момент импульса

Правила отбора

Вращательные уровни

Энергия вращения

Момент инерции

Момент импульса

Правила отбора

Наблюдения

Спин

• У электрона есть дополнительные степени свободы

• Эти степени свободы связаны с вращением

• Не могут быть объяснены собственным вращением

Обычный момент импульса

Спин

СпинЭксперимент показывает, что со спином связано четное число состояний

Значит, спин полуцелый?И при поворотах будет верно это соотношение?

Спин

Проявление внутренней симметрии,диктуемой неодносвязанностьюпространства поворотов в трехмерномпространстве

Спинпроявление внутренней симметрии

Неодносвязанность

Пространство поворотовДля задания поворота в трехмерном пространственужно задать три параметра.Можно ввести шар радиуса Поворот на 180о есть поворот на 180о вокруг противоположнонаправленной оси.Поэтому противоположныеточки на поверхности шара тождественны.

BA

A’B’

Пространство поворотовВ результате, двойную петлю можно стянуть в точку,а одиночную – нет.

AA’

B

B’

Пространство поворотов

П.Дирак (1902-1984)

Ремень Дирака

A

A’

B’

B

Пространство поворотов

Два наглядных образа

Янь и Инь Бутылка Клейна

Спин фотона

• Спин целый:

• Не спин, а спиральность

• Только две поляризации

Так что-же такое спин?

Проявление внутренней симметрии,диктуемой неодносвязанностьюпространства поворотов в трехмерномпространстве

Уровни Ландау

1/2

3/2

5/2

7/2

0

1

2

3

Тождественность частицКоробка

LА если частицы две?

Тождественность частицКоробка

L

Тождественность частицКоробка

L

Тождественность частицКоробка

L

Тождественность частицДва варианта

Тождественность частицРазличная четность приперестановках частиц

четные

нечетные

Статистика

Э.Ферми П.Дирак Ш.Бозе А.Эйнштейн (1901-1954) (1902-1984) (1904-1984) (1979-1955)

нечетные – фермионы четные – бозоны

Связь спина со статистикой

В.Паули (1900-1958)

Частицы с целым спином – бозоны(статистика Бозе-Эйнштейна)частицы с полуцелым спином – фермионы(статистика Ферми-Дирака)

Запрет Паули Фермионы не могут занимать одно и тоже квантовое состояние

Столкновение частиц

классика бозоны фермионынеупр. 1/3 1/2 0упруг. 2/3 1/2 1

Обменные силы

• Фермионы – отталкивание• Бозоны – притяжение