Физические основы естествознания

Физические основы естествознания

Василий Семёнович Бескин Лекции 7-9

СПИН

П.Эренфест Р.Крониг Ю.Уленбек С.Гаудсмит

Х.Лоренц, А.Комптон, …

СПИН

В.Паули (1900-1958)

СПИН• Чисто квантовое явление• Только при учете релятивистских эффектов вращение со скоростью c нет в уравнении Шредингера

• Связан с внутренней степенью свободы проявление внутренней симметрии

СПИНпроявление внутренней симметрии

СПИННаблюдения• Расщепление на два подуровня

• Опыт Штерна-Герлаха (1921)

Опыт Штерна-Герлаха

В.Герлах (1889-1979) О.Штерн (1888-1969)

Магнетон Бора



Линия 21 см

Вращение галактики

Я.Оорт (1900-1992)

Л.Д.Ландау В.В.Виткевич И.С.Шкловский (1908-1968) (1917-1972) (1916-1985)

СПИН

• У электрона есть дополнительные степени свободы

• Эти степени свободы связаны с вращением

• Не могут быть объяснены собственным вращением

Угловой момент в физике

• Один из основных интегралов движения• Определяет свойства при повороте

координатных осей

Угловой момент в квантовом мире

• Может быть определена лишь одна компонента

r


Волновая функция (движение по прямой)• Полная волновая функция

• Бегущая волна (частица, движущаяся по прямой)


Волновая функция (вращение)• Разделение переменных

• Бегущая волна (частица, движущаяся по окружности)


l = 0 (s орбиталь)


l = 1 (p орбиталь)



Принцип линейности волн







Сферические функции

Полная ортогональная система (координат)• Скалярное произведение для одинаковых 1, для разных 0 • Если в одной системе координат функция Y()

разлагается как

то это возможно и в любой другой системе координат.


Скалярное произведение


Скалярное произведение

Вращения в трехмерном пространстве

x

у

z

y’

x’


x

у

z

z’

y’


x

у

z

y’

z’


x

у

z

z’

y’

Угол отсчитывается от оси zугол ’ отсчитывается от оси z’


x

у

z

y’

z’



как обычный

вектор

Внимание! Ключевое место

Уравнение Шредингера линейно – любая линейная комбинация решений есть тоже решение.

Волновые функции описывают вероятность обнаружить частицу в данной точке

Коэффициенты a описывают вероятность обнаружить частицу в данном состоянии

Мост в квантовую механику

• Достаточно знать ‘координаты’, а не базисные функции.

• Именно ‘координаты’ будут определять вероятность нахождения в данном состоянии.

• При этом ключевым свойством является закон преобразования при повороте системы координат.


Благодаря ортогональности сохраняется суммаквадратов


Благодаря ортогональности сохраняется суммаквадратов

Волновые функции

как обычный

вектор

Полные волновые функции




Волновые функции l =1 (p орбиталь)

Волновые функции l =1 (p орбиталь)

• Детерминант равен 1

• Сумма квадратов равна 1

• Средние по углам равны 1/3

• При повороте на 90о состояние (1,0,0) не переходит в состояние (0,1,0)

Волновые функции l =2 (d орбиталь)


• Детерминант равен 1

• Сумма квадратов равна 1

• Средние по углам равны 1/5

• При повороте на 90о состояние (1,0,0,0,0) не переходит в состояние (0,0,1,0,0)


Полный угловой момент


• (2l1) проекций• вероятность каждой 1/(2l+1)




Уравнение Шредингера

Если U(r) = U(r), то



Химия

Вращательные уровниДвухатомные Н2, HD, Н2

+ , СН, СН+, 13СН+ , ОН, 17ОН,18ОН , С2, CN, NO, СО, 13СО, С17O, 13С17O , СS, 13СS, С33S, С34S , SiO, 29SiO, 30SiO , SO, 34SO , NS , SiS

Трёхатомные H2O, HDO, H2

18O , C2H , HCN, DCN, H13C , HC15N , HNC, DNC, HN13C, H15NC , HCO, HCO+, DCO+, H13CO+, HC18O+, HOC+, HCS+, N2H+, N 2D+, H2S, HNO, OCS, SO2, O3, NaOH

Четырёхатомные NH 3, NH2D, 15NH3, C2H2 , H2CO, HDCO, H2

13CO, H2C18O, HNCO, H2CS, C3N, HNCS Пятиатомные CH4, CH2NH, CH2CO, NH2CN, HCOOH, C2H, HC3N, Н13СС2N, HC13CCN, HCC13CN, DC3N Шестиатомные СН3ОН, 13СН3ОН, CH3OD , CH3CN, NH2CHO, NH2

13CHO, CH3SN Сeмиатомные CH3NH2, CH3NHD, СН3С2Н, СН3СНО, CH2CHCN, HC5N, DC5N Восьмиатомная НСООСН3 Девятиатомные СН3СН2ОН , (СН3) 2O, СН3СН2CN , HC7N Одиннадцатиатомная HC9N Тринадцатиатомная HC11N

Вращательные уровни

Энергия вращения

Момент инерции

Момент импульса





Правила отбора





Правила отбора

Наблюдения

Спин

• У электрона есть дополнительные степени свободы

• Эти степени свободы связаны с вращением

• Не могут быть объяснены собственным вращением

Обычный момент импульса

Спин

СпинЭксперимент показывает, что со спином связано четное число состояний

Значит, спин полуцелый?И при поворотах будет верно это соотношение?

Спин

Проявление внутренней симметрии,диктуемой неодносвязанностьюпространства поворотов в трехмерномпространстве

Спинпроявление внутренней симметрии

Неодносвязанность

Пространство поворотовДля задания поворота в трехмерном пространственужно задать три параметра.Можно ввести шар радиуса Поворот на 180о есть поворот на 180о вокруг противоположнонаправленной оси.Поэтому противоположныеточки на поверхности шара тождественны.

BA

A’B’

Пространство поворотовВ результате, двойную петлю можно стянуть в точку,а одиночную – нет.

AA’

B

B’

Пространство поворотов

П.Дирак (1902-1984)

Ремень Дирака

A

A’

B’

B

Пространство поворотов

Два наглядных образа

Янь и Инь Бутылка Клейна

Спин фотона

• Спин целый:

• Не спин, а спиральность

• Только две поляризации

Так что-же такое спин?

Проявление внутренней симметрии,диктуемой неодносвязанностьюпространства поворотов в трехмерномпространстве

Уровни Ландау

1/2

3/2

5/2

7/2

0

1

2

3

Тождественность частицКоробка

LА если частицы две?


L


L


L

Тождественность частицДва варианта

Тождественность частицРазличная четность приперестановках частиц

четные

нечетные

Статистика

Э.Ферми П.Дирак Ш.Бозе А.Эйнштейн (1901-1954) (1902-1984) (1904-1984) (1979-1955)

нечетные – фермионы четные – бозоны

Связь спина со статистикой

В.Паули (1900-1958)

Частицы с целым спином – бозоны(статистика Бозе-Эйнштейна)частицы с полуцелым спином – фермионы(статистика Ферми-Дирака)

Запрет Паули Фермионы не могут занимать одно и тоже квантовое состояние

Столкновение частиц

классика бозоны фермионынеупр. 1/3 1/2 0упруг. 2/3 1/2 1

Обменные силы

• Фермионы – отталкивание• Бозоны – притяжение

Documents

Физические основы естествознания