第四章 向量自回归模型

第四章 向量自回归模型

传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变量关系的模型。

经济理论通常并不足以对变量之间的动态联系提供严密的说明，内生变量既可出现在方程的左端又可出现在方程的右端 , 使得估计和推断变得更加复杂。

为此提出一种用非结构性方法来建立各个变量之间关系的模型。

第四章 向量自回归模型

研究多种经济变量动态变化的方法 ---- 多元时间序列分析 向量自回归模型 向量移动平均模型 向量 ARMA模型

第四章 向量自回归模型

非结构化的多方程模型 向量自回归模型 (vector

autoregression ， VAR) 向量误差修正模型 (vector error correction

model ， VECM)

第四章 向量自回归模型

向量自回归 (VAR) 是将单变量自回归模型推广到由多元时间序列变量组成的“向量”自回归模型。

VAR模型把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型。

VAR 模型是处理多个相关经济指标的分析与预测最容易操作的模型之一，并且在一定的条件下，多元MA 和 ARMA 模型也可转化成 VAR 模型，因此，近年来 VAR 模型受到越来越多的经济工作者的重视。

5

1.1 1.1 VARVAR 模型的一般表示模型的一般表示

Tt ,,2,1 tptptt εyΦyΦy 11

VAR(p) 模型的数学表达式 :

其中： yt 是 k 维内生变量列向量， p 是滞后阶数，T 是样本个数， 1 ，…， p 是待估计的 kk 维系数矩阵

称为非限制性向量自回归模型

6

Tt ,,2,1

kt

t

t

ptk

pt

pt

p

tk

t

t

kt

t

t

y

y

y

y

y

y

y

y

y

2

1

2

1

1

12

11

12

1

ΦΦ

1.1 1.1 VARVAR 模型的一般表示模型的一般表示

tptptt εyΦyΦy 11

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1.1 1.1 VARVAR 模型的一般表示模型的一般表示

t 是 k 维扰动列向量（它们相互之间可以是同期相关的，但与自己的滞后值无关且与等式右边的变量也无关）

白噪声向量 t 也称为冲击向量、抖动或新息 ，因为 t 没有结构性的含义，被称为简化形式的冲击向量。

不以严格的经济理论为依据。在建模过程中只需明确：VAR 模型中包含哪些变量和滞后期 p

VAR 模型对参数不施加零约束，即参数估计值显著与否都被保留在模型中

VAR 模型估计的参数较多，当样本容量较小时，多数参数的估计量误差较大

VAR 模型的解释变量中不包括任何当期变量 非限制性 VAR 模型的应用之一是预测。由于模型右

侧不含当期变量，用于预测时不必对解释变量在预测期内的取值作任何预测

VARVAR 模型的特点：模型的特点：

9

VAR 模型的 EViews 操作

三种方法： 1 、选择 Quick/

Estimate VAR…

10

VAR 模型的 EViews 操作

三种方法： 1 、选择 Quick/Estimate

VAR… 出现右图的对话框 :

11

VAR 模型的 EViews 操作

三种方法： 2 、选择 Objects/New

object

12

VAR 模型的 EViews 操作

三种方法： 2 、选择 Objects/New

object 选择 VAR

13

VAR 模型的 EViews 操作

三种方法： 2 、选择 Objects/New

object 选择 VAR 输出对话框

14

VAR 模型的 EViews 操作

三种方法： 3 、在命令窗口中键入 var 回车

15

VAR 模型的 EViews 操作

三种方法： 3 、在命令窗口中键入 var 回车 输出对话框

16

VAR 模型的 EViews 操作

选择模型类型（ VAR Type ） 无约束向量自回归（ Unrestricted VAR ）或向

量误差修正（ Vector Error Correction ）。无约束 VAR 模型是指 VAR 模型的简化式。

在 Estimation Sample 中设置样本区间

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VAR 模型的 EViews 操作

输入滞后信息输入滞后信息 在 Lag Intervals for Endogenous 中输入滞后信息，

表明哪些滞后变量应该被包括在每个等式的右端。 这一信息应成对输入：每一对数字描述一个滞后区间。这一信息应成对输入：每一对数字描述一个滞后区间。如 : 1 4 表示用系统中所有内生变量的 1-4 阶滞后变量作为等式右端的

变量。 也可添加代表滞后区间的任意数字，但都要成对输入。如： 2 4 6 9 12 12即为用 2―4 阶， 6―9 阶及第 12 阶滞后变量。

18

VAR 模型的 EViews 操作

在 Endogenous Variables中输入相应的内生变量 在 Exogenous Variables中输入相应的外生变量

EViews允许VAR 模型中包含外生变量，

其中 xt 是 d 维外生变量向量 , kd 维矩阵 H 是要被估计的系数矩阵。可以在 Exogenous Variables编辑栏中输入相应的外生变量。系统通常会自动给出常数 c 作为外生变量。

ttptptt εHxyΦyΦy 11

19

VAR 模型的 EViews 操作

其余两个菜单 :Cointegration 和 Restrictions 仅与 VEC模型有关，将在下面介绍。

20

VAR 模型的 EViews 操作

三种方法： 1 、选择 Quick/Estimate

VAR… 在对话中填入参数

21

VAR 模型的 EViews 操作

三种方法： 选择 Quick/Estimate

VAR… 选择 Objects/New

object/ VAR 在对话中填入参数 输出结果

22

VAR 模型的 EViews 操作

三种方法： 选择 Quick/Estimate

VAR… 选择 Objects/New

object/ VAR 在对话中填入参数 输出结果 上半段是模型的参数

23

VAR 模型的 EViews 操作

写出方程

t

t

ec

gdp

ec

gdp

ec

gdp

2

1

)2(

)2(

82.002.0

1.411.0

)1(

)1(

74.105.0

56.092.0

7130

12184

24

VAR 模型的 EViews 操作

后半段给出两类回归统计量 :

第一部分显示的是每个方程的标准 OLS回归统计量。根据各自的残差分别计算每个方程的结果，并显示在对应的列中。

第二部分显示的是 VAR模型的回归统计量。

25

VAR 模型的 EViews 操作

残差的同期相关性检验 : 在模型输出窗口 Vew/ /Residual/Corralation Matrix

26

VAR 模型的 EViews 操作

残差的同期相关性检验 : 在模型输出窗口 Vew/ /Residual/Corralation Matrix

输出相关矩阵

利用残差的同期相关矩阵可检验扰动项之间是否存在同期相关关系。

27

e1 e2

e1 1 0.06

e2 0.06 1

残差的同期相关矩阵

GDP与 EC的残差项之间存在的同期相关系数为 0.06，表明

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第二节 VAR 模型的检验

无论建立什么模型，都要对其进行识别和检验，以判别其是否符合模型最初的假定和经济意义。

本节简单介绍关于 VAR 模型的各种检验。这些检验对于后面将要介绍的向量误差修正模型（ VEC ）也适用。

2.1. VAR 模型的稳定性检验 VAR 模型的稳定性：当把一个脉动冲击施加在 VAR

模型中某一个方程的新息上时，随着时间推移，如果这个冲击的影响会逐渐地消失，那么称该系统是稳定的，否则称为不稳定的。

VAR模型的稳定性是进行脉冲响应函数等分析的基础。

第二节 VAR 模型的检验

30

第二节 VAR 模型的检验

0|| 22

11

pppp

N xxxI

0|| 221 p

pN zzzI

VAR 模型稳定的条件：特征方程

的所有特征根都落在单位圆之内； 等价地，方程

的所有根都落在单位圆之外

31

tt B εAy )(

1)()( BB ΦA

2210 BB AAA kIA 0

如果 VAR 模型是稳定的，可将其表示为无穷阶的向量滑动平均 (VMA(∞))形式

其中

第二节 VAR 模型的检验

32

VAR 模型单位根检验的 EViews 操作

View/Lag Structure

在在 VAR 模型估计的窗口中选择 View/Lag Structure

33

VAR 模型单位根检验的 EViews 操作

View/Lag Structure

在在 VAR 模型估计的窗口中选择 View/Lag Structure

点击 AR Roots Table/AR Roots Graph ，输出单位根的表 /图

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VAR 模型单位根检验的 EViews 操作

View/Lag Structure

在在 VAR 模型估计的窗口中选择 View/Lag Structure

点击 AR Roots Table/AR Roots Graph ，输出单位根的表 /图

35

VAR 模型单位根检验的 EViews 操作

如果 VAR模型所有根的模的倒数小于 1，即位于单位圆内，则其是稳定的。

VAR 模型共有 kp 个根，其中 k 是内生变量的个数，p 是最大滞后阶数。

如果估计一个有 r 个协整关系的 VEC 模型，则应有 kr 个根等于 1 。

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第三节 脉冲响应函数

在实际应用中，由于 VAR 模型是一种非理论性的模型，因此在分析 VAR 模型时，往往不分析一个变量的变化对另一个变量的影响如何，而是分析当一个误差项发生变化（即模型受到某种冲击）时对系统的动态影响 .

这种分析方法称为脉冲响应函数方法 (impulse response function ， IRF) 。

37

以 VAR(2) 模型为例，观察扰动项的影响是如何传播到各变量：

3.1 脉冲响应函数的基本思想

tttttt

tttttt

zdzdxcxcz

zbzbxaxax

222112211

122112211

其中， ai ， bi ， ci ， di 是参数，

t = ( 1t , 2t ) 是白噪声向量且满足：

Tt ,,2,1

st

t

t

st

ttt

t

,0)(

,)()var(

,0)(

Σ

第三节 脉冲响应函数

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•脉冲概念： 给定扰动项：

称为第 0 期给 x 以脉冲。

,2,1,0

0,11 t

tt ，，， 210,02 tt

–2 –1 0 1 2 3 4 5 ……… t

第三节 脉冲响应函数

39

假定上述系统从 0 期开始运动，且设 x-1=x-2= z-1=z-2= 0 。

考察 xt 与 zt 对第 0 期 x 的脉冲的响应：

t=0 ：

t=1:

t=2:

… … … …

称序列 为由由 xx 的脉冲引起的的脉冲引起的 xx 的响应函数的响应函数；

为为由由 xx 的脉冲引起的的脉冲引起的 zz 的响应函数的响应函数。

1111 , czax

,112212 cbaax

112112 cdcacz

,,,,, 43210 xxxxx

0,1 00 zx

tttttt

tttttt

zdzdxcxcz

zbzbxaxax

222112211

122112211

,,,,, 43210 zzzzz

40

类似地，第 0 期 z 的脉冲为：

可以求出 z 的脉冲引起的 x 的响应函数和 z 的响应函数。

,2,1,0

0,12 t

tt

，，， 210,01 tt –2 –1 0 1 2 3 4 5 ……… t

41

例例 4.4 4.4 钢铁行业的需求对下游相关行业变化的响应钢铁行业的需求对下游相关行业变化的响应

yy11 表示钢材销售收入钢材销售收入； yy22 表示建材销售收入；建材销售收入； yy33 表示汽车销售收入汽车销售收入； yy44 表示机械销售收入机械销售收入； yy5 5 表示家电销售收入家电销售收入。 样本区间： 1999 年 1月～ 2002 年 12月， 所采用数据均作了季节调整，指标名后加上后缀 sa ，

并进行了协整检验，存在协整关系，这表明所选的各下游行业的销售收入与钢铁工业的销售收入之间具有长期的均衡关系。

42

先建立先建立 VAR 模型 在 VAR 工具栏中选择

View/ Impulse Response… 或在工具栏选择

Impulse ，输出右图对话框，有两个菜单： Display 和 Impulse Definition 。

脉冲响应函数的 EViews 操作

43

脉冲响应函数的 EViews 操作

DisplayDisplay菜单提供下列选项： 菜单提供下列选项： 11 、显示形式（、显示形式（ Display FormatDisplay Format ）） 选择以图或表来显示结果。如果选择

Combined Graphs 则 Response Standard Error 选项是灰色，不显示标准误差。而且应注意：输出表的格式是按响应变量输出表的格式是按响应变量的顺序显示，而不是按脉冲变量的顺序的顺序显示，而不是按脉冲变量的顺序

44

脉冲响应函数的 EViews 操作

Display菜单提供下列选项： 2 、显示信息（ Display Information ） 输入产生冲击的变量（ Impulses ）和希望观察

其脉冲响应的变量（ Responses ）。可以输入内生变量的名称，也可以输入变量的对应的序数。

45

脉冲响应函数的 EViews 操作

例，如 VAR 模型以 GDP 、 M1 、 CPI 的形式定义，则既可以以：

GDP CPI M1 的形式输入，也可以以 1 3 2 的形式输入。输入变量的顺序仅仅影响结果的显示。

还应定义一个确定响应函数轨迹的期间的正整数。如果想显示累计的响应，则需要单击 Accumulate Response 选项。对于稳定的 VAR 模型，脉冲响应函数应趋向于 0，且累计响应应趋向于某些非 0常数。

46

脉冲响应函数的 EViews 操作

33 、脉冲响应标准差（、脉冲响应标准差（ Response Standard Response Standard ErrorError ））

提供计算脉冲响应标准误差的选项。解析的或 Monte Carlo 标准误差对一些 Impulse 选项和 VEC 不一定有效。若选择了Monte Carlo ，还需在下面的编辑框确定合适的迭代次数。

如选择表的格式，被估计的标准误差将在响应函数值下面的括号内显示。如选择以多图来显示结果，曲线图将包括关于脉冲相应的正负（ +/-）两个标准偏离带。在Combined Graphs 中将不显示标准误差偏离带。

47

脉冲响应函数的 EViews 操作

Impulse Definition菜单提供了转换脉冲的选项：

1 、 Residual-One Unit 设置脉冲为残差的一个单位的冲击。这个选项忽略了

VAR 模型残差的单位度量和相关性，所以不需要转换矩阵的选择。这个选项所产生的响应函数是 VAR模型相对应 VMA(∞) 模型的系数。

2 、 Residual-One Std.Dev 设置脉冲为残差的一个标准偏差的冲击。这个选项忽略了VAR 模型残差的相关性。

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脉冲响应函数的 EViews 操作

Impulse Definition菜单提供了转换脉冲的选项： 3 、 Cholesky 分解 用残差协方差矩阵的 Cholesky 因子的逆来正交化脉冲。这个选项为 VAR 模型的变量强加一个次序，并将所有影响变量的公共因素归结到在 VAR 模型中第一次出现的变量上。

注意：如果改变变量的次序，将会明显地改变响应结果。可以在 Cholesky Ordering 的编辑框中重新定义 VAR 模型中变量的次序。

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脉冲响应函数的 EViews 操作

Impulse Definition菜单提供了转换脉冲的选项：

4 、广义脉冲（广义脉冲（ Generalized ImpulsesGeneralized Impulses ）） 描述 Pesaran 和 Shin(1998) 构建的不依赖于

VAR 模型中变量次序的正交的残差矩阵。应用按上面的 Cholesky顺序计算的第 j个变量的Cholesky 因子得到第 j个变量的扰动项的广义脉冲响应。

50

脉冲响应函数的 EViews 操作

Impulse Definition菜单提供了转换脉冲的选项：

5 、结构分解（ Structural Decomposition ）

用结构因子分解矩阵估计的正交转换矩阵。如果没有先估计一个结构因子分解矩阵，或者没有对模型施加约束，这个选项不能用。

51

脉冲响应函数的 EViews 操作

Impulse Definition菜单提供了转换脉冲的选项：

6 、用户指定（ User Specified ） 该选项允许用户定义脉冲。建立一个包含脉冲的矩

阵（或向量），并在编辑框中输入矩阵的名字。 如果 VAR 模型中有 k个内生变量，则脉冲矩阵必须是 k 行和 1 列或 k列的矩阵，每一列代表一个脉冲向量。

52

脉冲响应函数的 EViews 操作

例：一个有 k （ =3 ）个变量的 VAR 模型，希望同步对第一个变量有一个正的一个单位的冲击，给第二个变量一个负的一个单位的冲击，可以建立一个 31 的脉冲矩阵 S ，其值分别为： 1 ， 1 ， 0。在编辑框中键入矩阵的名字 : S 。

53

例 4.4 建立 5变量的 VAR(3) 模型，下面分别给各下游行业销售收入一个冲击（选择广义脉冲） ，得到关于钢材销售收入的脉冲响应函数图。在下列各图中，横轴表示冲击作用的响应期间数 (单位：月度 )，纵轴表示钢材销售收入 ( 亿元 )，实线表示脉冲响应函数，代表了钢材销售收入对相应的行业销售收入的冲击的反应，虚线表示正负两倍标准差偏离带 。

54y1 ：钢材； y2 ：建材； y3 ：汽车； y4 ：机械； y5 ：家电

55

从第一个图看出：当在本期给建材行业销售收入一个正冲击后，钢材销售收入在前 4 期内小幅上下波动之后在第 6 期达到最高点 ( =12.03 ，即在第 6 期 y1 对 y2 的响应是 12.03) ；

从第 9 期以后开始稳定增长。这表明建材行业受外部条件的某一冲击后，经市场传递给钢铁行业，给钢铁行业带来同向的冲击，而且这一冲击具有显著的促进作用和较长的持续效应。

)6(12a

56

从第二幅图看出，当在本期给汽车行业销售收入一个正冲击后，钢材销售收入在前 5 期内会上下波动；从第 5 期以后开始稳定增长 ( =1.76) 。这表明汽车行业的某一冲击也会给钢铁行业带来同向的冲击，即汽车行业销售收入增加会在 5 个月后对钢材的销售收入产生稳定的拉动作用。

)5(13a

57

从第三幅图看出，机械行业销售收入的正冲击经市场传递也会给钢材销售收入带来正面的影响，并且此影响具有较长的持续效应。 从第四幅图看出，当在本期给家电行业销售收入一个正冲击后，也会给钢材销售收入带来正面的冲击，但是冲击幅度不是很大。

综上所述，由于市场化程度、政府保护政策等各方面的原因，使得各下游相关行业的外部冲击会通过市场给钢铁行业带来不同程度的影响，但是都是同向的影响。政府可以利用这种现象，对市场进行有区别、有重点的调整，减少盲目的重复建设项目。

58

脉冲响应函数是随着时间的推移，观察模型中的各变量对于冲击是如何反应的。

脉冲响应函数比较精确地描述了 VAR 模型中的一个内生变量的冲击给其它内生变量所带来的影响。

定量且粗略地说明变量之间的影响关系―方差分解

第四节 方差分解

59

方差分解 (variance decomposition) 是由Sims 于 1980年依据 VMA(∞) 表示提出的一个方法。

方差分解是通过分析每一个结构冲击对内生变量变分析每一个结构冲击对内生变量变化化 (( 通常用方差来度量通常用方差来度量 )) 的贡献度的贡献度，进一步评价不同结构冲击的重要性。

因此，方差分解给出对 VAR 模型中的变量产生影响的每个随机扰动的相对重要性的信息。

第四节 方差分解

60

方差分解的思想： 由式

可知各个括号中的内容是第 j 个扰动项 j 从无限过去到现在时点对 yi 影响的总和。求其方差，假定 j 无序列相关，则

)( 3)3(

2)2(

1)1()0(

1

jtijjtijjtijjtij

k

jit aaaay

22)(

0

22

)2(1

)1()0( )(])[( jjq

ijq

jtijjtijjtij aaaaE

j = 1, 2, …, k

第四节 方差分解

61

这是把第 j 个扰动项对第 i 个变量从无限过去到现在时点的影响，用方差加以评价的结果。

yi 的方差是上述方差的 k 项简单和：

22)(

0

22

)2(1

)1()0( )(])[( jjq

ijq

jtijjtijjtij aaaaE

})({)var( 22)(

01jj

qjj

q

k

jit ay

j = 1, 2, …, k

j = 1, 2, …, k

62

yi 的方差可分解成 k 种不相关的影响。为测定各个扰动项

相对 yi 的方差有多大程度的贡献，定义如下相对方差贡献

率 (relative variance contribution ， RVC) ：

相对方差贡献率是根据第 j 个变量基于冲击的方差对 yi 的

方差的相对贡献度来观测第 j 个变量对第 i 个变量的影响。

i, j = 1, 2, …, k})({

)(

)var(

)()(

2)(

01

2)(

0

2)(

0

jjq

ijq

k

j

jjq

ijq

i

jjq

ijq

ij

a

a

y

aRVC

63

实际上，不可能用直到 s = ∞ 的项和来评价。如果模型满

足平稳性条件，则随着 q 的增大呈几何级数性的衰减，所以只需取有限的 s 项。 VAR(p) 模型的前 s 期的预测误差是

可得近似的相对方差贡献率 (RVC) ：

i, j = 1, 2, …, k

kststtt IAεAεAεAεA 01122110 ,

})({

)()(

2)(1

01

2)(1

0

jjq

ij

s

q

k

j

jjq

ij

s

qij

a

asRVC

64

RVCji (s) 的性质：

kjisRVC ij ，，， 21,1)(0

1)(1

sRVCk

j ij

65

方差分解的思想： 相对方差贡献率 RVCji(s)大，意味着第 j 个变量对

第 i 个变量的影响大， 相对方差贡献率 RVCji(s)小，意味着第 j 个变量对

第 i 个变量的影响小，

第四节 方差分解

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方差分解的 EViews 操作

先建立先建立 VAR 模型 在 VAR 工具栏中选择

View/ Variance

decomposition

（注意，因为非正交的因子分解所产生的分解不具有较好的性质，所选的因子分解仅限于正交的因子分解）

67

例 4.4 分析了钢铁销售收入对下游相关行业冲击变化的响应。本例中将利用方差分析的基本思想分析各下游行业对钢铁行业变动的贡献程度。数据的处理和例 4.4 一样，可得到如下的结果，各图中横轴表示滞后期间数（单位：月度），纵轴表示该行业需求对钢材需求的贡献率（单位：百分数）。数值越大，对钢材需求的影响越大。

例例 4.6 4.6 下游相关行业对钢铁行业变化的贡献程度 下游相关行业对钢铁行业变化的贡献程度

68y1 ：钢材； y2 ：建材； y3 ：汽车； y4 ：机械； y5 ：家电

69

从上面 4 个图中可以看出，不考虑钢铁行业自身的贡献率，建材行业对钢铁行业的贡献率最大达到 48.9% (RVC21 (36) =

48.9%) ，其次是汽车行业，其对钢铁行业的贡献率是逐渐增加的，在第 34 期达到 20%左右 (RVC31 (34) =20.03%) ，机

械行业和家电行业的贡献率较小，分别为 8% 和 6%左右。