Синиша Мозетић - презентација у Ваљевској гимназији

Недоумице и недоследности у

актуелном школском

дефинисању појма и коришћењу

симбола корена

Синиша Мозетић,

професор математике

По дефиницији је :

𝑎𝑛

= 𝑏 ⟺ (𝑏𝑛 = 𝑎) ,

дакле 𝑎𝑛

је било који број 𝑏 за који важи 𝑏𝑛 = 𝑎 .

Тако је :

13

= 𝑏 ⟺ (𝑏3 = 1) , односно

13

= 1, −1

2±

3

2𝑖 , али и :

13

= 1 .

Овакав приступ кореновању може се увести у другом разреду средње школе,

када се уче и кореновање и комплексни бројеви. Можда би прво требало обрадити

комплексне бројеве, па тек онда кореновање. У другом разреду може се дефинисати

основни 𝑛 - ти корен броја 𝑎, на следећи начин :

1) , за 𝑎 ∈ 𝑅+ ∪ 0 је једино ненегативно решење по 𝑏 , једначине

𝑏𝑛 = 𝑎 ;

2) , за 𝑎 ∈ 𝑅− и 𝑛 = 2𝑘 + 1 , сводимо на први случај, користећи једнакост

−𝑎𝑛

= − (својство непарности);

3) ∉ 𝑅 , за 𝑎 ∈ 𝑅− и 𝑛 = 2𝑘 .

Затим следе сва позната правила у раду са основним коренима, уз уведену и

обезбеђену претпоставку да за 𝑎𝑛

важи 𝑎 ≥ 0 .

Одговор на питање шта је , за 𝑎 ∈ 𝑅− и 𝑛 = 2𝑘 уследиће у трећем разреду

након увођења тригонометријског облика комплексног броја. У скупу решења

једначине 𝑏𝑛 = 𝑎 број са најмањим аргументом прогласићемо основним кореном.

Основна школа и појам корена

У основној школи ученик се упознаје само са појмом основног корена броја

∈ 𝑅 . Након уводних часова, на којима уз реч корен иде префикс основни, он се

касније може изоставити уз напомену да се подразумева. Такође нема проблема са

симболом, јер се једини симбол користи за основни корен као једини појам.

Сматрам, за крај, да ученицима у основној школи не треба дати информацију

која ће касније бити спорна или чак демантована. Такође се не треба упуштати у

средњошколске дефиниције.

Требало би рећи : 2 је основни (други) корен броја 4 , и -2 није основни (други)

корен броја 4, а не : -2 није (други) корен броја 4.

Такође мислим да би требало рећи : У 𝑅 не постоји други корен негативног

броја, а не : Не постоји други корен негативног броја.

Можда ученици неће ни приметити ове језичке

финесе, али када запишу или прочитају ово што сам

навео, мислим да касније неће имати проблема у

прихватању средњошколског приступа појму корена,

посебно у прихватању Моаврове формуле и

Кардановог обрасца.

Корекције :

1) 14

= 1 (основни корен)

2) ( 14

)𝑘 = 14

∗ cos2𝑘𝜋

4+ 𝑖 sin

2𝑘𝜋

4 , 𝑘 = 0, 1, 2, 3 ; тако је ( 1

4)1 = 1

4∗ 𝑖

3) 14

∈ ±1, ±𝑖

4) 14

= ±1, ±𝑖

За ауторе уџбеника и збирки, мали технички проблем је штампање два симбола

за корен (општи и основни) али су вам на часу, за целу причу довољни креда, табла и

пажљиви ученици.

Резиме

На основу јединствене дефиниције( и у 𝑅 и у 𝐶 ) 𝑛 - тог корена броја 𝑎 :

𝑎𝑛

= 𝑏 ⟺ (𝑏𝑛 = 𝑎) , по којој су 𝑛 - ти корени броја 𝑎 решења по 𝑏

једначине

𝑏𝑛 = 𝑎 , јасно је да постоје три нивоа у поимању појма корена :

1) - скуп свих решења (корена)

2) - било које решење (корен)

3) - основно решење (корен)

Ове нивое прате одговарајући симболи :

1) 𝑎𝑛

- скуп свих решења (корена)

2) 𝑎𝑛

- било које решење (корен), може и : 𝑎𝑛

𝑘

3) - основно решење (корен)

Пример :

1) 14

= ±1, ±𝑖

2) 14

= 1 14

= −1 14

= 𝑖 14

= −𝑖 , може и :

14

0

= 1 14

1

= −1 14

2

= 𝑖 14

3

= −𝑖

3) 14

= 1

У средњошколском приступу кореновању, у трећем разреду, уобичајено је :

𝑧 = 𝑟 ∗ cos𝜑 + 𝑖 sin𝜑

𝑧𝑛

= 𝑟𝑛

∗ cos𝜑+2𝑘𝜋

𝑛+ 𝑖 sin

𝜑+2𝑘𝜋

𝑛 , 𝑘 = 0, 𝑛 − 1

Предлажем :

𝑧𝑛

𝑘

= 𝑟𝑛

∗ cos𝜑+2𝑘𝜋

𝑛+ 𝑖 sin

𝜑+2𝑘𝜋

𝑛 , 𝑘 = 0, 𝑛 − 1

𝑧𝑛

= 𝑧𝑛

𝑘

, 𝑘 = 0, 𝑛 − 1

𝑧𝑛

𝑘

∈ 𝑧𝑛

, 𝑘 = 0, 𝑛 − 1

𝑧𝑛

= 𝑧𝑛

0

𝑧𝑛

∈ 𝑧𝑛

1𝑛

𝑘

= cos2𝑘𝜋

𝑛+ 𝑖 sin

2𝑘𝜋

𝑛 , 𝑘 = 0, 𝑛 − 1

𝑧𝑛

𝑘

= 𝑧𝑛

∗ 1𝑛

𝑘 , 𝑘 = 0, 𝑛 − 1

𝑧𝑛

= 𝑧𝑛

∗ 1𝑛

Општи (било који) 𝒏 - ти корен броја 𝒛 једнак је производу основног 𝒏 -

тог корена броја 𝒛 и општег (било ког) 𝒏 - тог корена броја 𝟏 .

Следећа табела показује неке варијанте записа општег и основног корена :

Корен Цртица

Општи Основни

𝒂𝒏

𝒂𝒏

нема има

𝒂𝒏

𝒂𝒏

краћа дужа

𝒂𝒏

𝒂𝒏

коса права

Хвала на пажњи!