Лекция № 10. Рюкзачная криптосистемаmsa/lecture10.pdf · Лекция...

Защита информации

Иванов М.А.

Лекция № 10. Рюкзачная криптосистема

Кафедра 12 НИЯУ МИФИ

Москва, 2018

Защита информации

Иванов М.А.

Лекция № 10. Рюкзачная криптосистема

Кафедра 12 НИЯУ МИФИ

Москва, 2018

Трудные математические задачи

Задача об укладке рюкзака

Knapsack Cryptosystem

Пример рюкзачной криптосистемы

Темы

M. Ivanov

Трудные задачи

M. Ivanov

Криптосистемы с ОК

1/11

M. Ivanov

Факторизация целых чисел

Трудные задачи

M. Ivanov

Криптосистема RSA

Криптосистемы с ОК

1/11

M. Ivanov

Факторизация целых чисел

Дискретное логарифмирование

Трудные задачи

M. Ivanov

Криптосистема RSA

Криптосистема Эль Гамаля (ElGamal Cryptosystem)

Криптосистемы с ОК

1/11

M. Ivanov

Факторизация целых чисел

Дискретное логарифмирование

Задача об укладке рюкзака

Трудные задачи

M. Ivanov

Криптосистема RSA

Криптосистема Эль Гамаля (ElGamal Cryptosystem)

Рюкзачная криптосистема (Knapsack Cryptosystem)

Криптосистемы с ОК

1/11

M. Ivanov

Факторизация целых чисел

Дискретное логарифмирование (DLP)

Задача об укладке рюкзака

Дискретное логарифмирование на группе точек эллиптической кривой

…

Трудные задачи

M. Ivanov

Криптосистема RSA

Криптосистема Эль Гамаля (ElGamal Cryptosystem)

Рюкзачная криптосистема (Knapsack Cryptosystem)

Криптосистема, основанная на свойствах эллиптической кривой (Elliptic Curves Cryptosystem)

…

Криптосистемы с ОК

1/11

M. Ivanov

QRP

DDH

Декодирование линейного кода

Еще три трудные задачи

M. Ivanov

Goldwasser-Micali Probabilistic Cryptosystem

Cramer-Shoup Cryptosystem

McEliece Cryptosystem

Криптосистемы с ОК

2/11

DDH Заданы группа G простого порядка q

и числа (g1, g2, u1, u2) G, g1 1, g2 1

Существуют ли числа (a, b) [0, q), удовлетворяющие условию

g2 = g1a, u1 = g1

b, u2 = g1ab?

Представить число 55 в виде суммы элементов списка чисел {3, 8, 12, 2, 32, 59}

Ответ: 55 = 3 + 8 + 12 + 32 или 55 ↔ (111010)

Простая задача об укладке рюкзака

3/11

Представить число 55 в виде суммы элементов списка чисел {3, 8, 12, 2, 32, 59}

Ответ: 55 = 3 + 8 + 12 + 32 или 55 ↔ (111010)

Простая задача об укладке рюкзака

Примитивная система шифрования,

в которой отправителю и получателю известен

список чисел {3, 8, 12, 2, 32, 59}

3/11

Представить число 26 в виде суммы различных чисел из списка {32, 16, 8, 4, 2, 1}

Ответ: 26 = 16 + 8 + 2 или 26 ↔ (011010)

Очень простая задача об укладке рюкзака

4/11

Представить число 26 в виде суммы различных чисел из списка {32, 16, 8, 4, 2, 1}

Ответ: 26 = 16 + 8 + 2 или 26 ↔ (011010)

Очень простая задача об укладке рюкзака

Примитивная система шифрования,

в которой отправителю и получателю известен

список чисел {32, 16, 8, 4, 2, 1}

4/11

Последовательность построения криптосистемы с открытым ключом

5/11

Составляется трудная задача T, не решаемая

за полиномиальное время

Последовательность построения криптосистемы с открытым ключом

5/11

Составляется трудная задача T, не решаемая

за полиномиальное время Из T выделяется легкая подзадача Teasy , имеющая

полиномиальный или даже более простой алгоритм решения

Последовательность построения криптосистемы с открытым ключом

5/11

Составляется трудная задача T, не решаемая

за полиномиальное время Из T выделяется легкая подзадача Teasy , имеющая

полиномиальный или даже более простой алгоритм решения Путем «взбивания» легкая задача Teasy превращается

в трудно решаемую задачу Tshuffle, не имеющую никакого сходства с Teasy

Последовательность построения криптосистемы с открытым ключом

5/11

Составляется трудная задача T, не решаемая

за полиномиальное время Из T выделяется легкая подзадача Teasy , имеющая

полиномиальный или даже более простой алгоритм решения Путем «взбивания» легкая задача Teasy превращается

в трудно решаемую задачу Tshuffle , не имеющую никакого сходства с Teasy

На основе Tshuffle определяется открытая функция зашифрования; процедура получения Teasy из Tshuffle держится в секрете

Последовательность построения криптосистемы с открытым ключом

5/11

Составляется трудная задача T, не решаемая

за полиномиальное время Из T выделяется легкая подзадача Teasy , имеющая

полиномиальный или даже более простой алгоритм решения Путем «взбивания» легкая задача Teasy превращается

в трудно решаемую задачу Tshuffle , не имеющую никакого сходства с Teasy

На основе Tshuffle определяется открытая функция зашифрования; процедура получения Teasy из Tshuffle держится в секрете

Криптосистема конструируется таким образом, чтобы для противника процедура дешифрования заключалась в решении Tshuffle, имеющей вид трудной задачи T, а законный получатель, знающий секрет, решал бы легкую задачу Teasy

Последовательность построения криптосистемы с открытым ключом

5/11

Дан список чисел {a99 … a2 a1 a0}, цифры которых выбраны случайным образом, │ai│ = 4010, i = 0, 1, …, 99

Представить число c в виде cуммы некоторых чисел ai из списка, │c│ = 4210

Трудная задача об укладке рюкзака

6/11

Пример Teasy

806130

208021

504062

902022

501020

4

3

2

1

0

a

a

a

a

a

7/11

Пример Teasy

806130

208021

504062

902022

501020

4

3

2

1

0

a

a

a

a

a

7/11

926558000…00100609955

260577000…00200251002

221078000…00400282628 100

759120000…00800203081 чисел

932265000…01600902051

955061000…03200023579

…

2i

40 цифр

Random Random

8/11

«Взбивание» задачи Teasy и получение Tshuffle

9/11

Сформируем список {an - 1 … a1 a0}

«Взбивание» задачи Teasy и получение Tshuffle

9/11

Сформируем список {an - 1 … a1 a0}

Выберем два больших взаимно простых числа R и S и найдем такое число T, чтобы выполнялось условие SR ≡ 1 mod T

«Взбивание» задачи Teasy и получение Tshuffle

9/11

Сформируем список {an - 1 … a1 a0}

Выберем два больших взаимно простых числа R и S и найдем такое число T, чтобы выполнялось условие SR ≡ 1 mod T

Получим новый список {bn - 1 … b1 b0}, каждый элемент которого суть результат умножения соответствующего числа из первоначального списка на S по модулю T: bi = ai S mod T, i = 0, 1, …, (n – 1)

«Взбивание» задачи Teasy и получение Tshuffle

9/11

Сформируем список {an - 1 … a1 a0}

Выберем два больших взаимно простых числа R и S и найдем такое число T, чтобы выполнялось условие SR ≡ 1 mod T

Получим новый список {bn - 1 … b1 b0}, каждый элемент которого суть результат умножения соответствующего числа из первоначального списка на S по модулю T: bi = ai S mod T, i = 0, 1, …, (n - 1)

Уничтожим список {an - 1 … a1 a0} и число S

«Взбивание» задачи Teasy и получение Tshuffle

9/11

Сформируем список {an - 1 … a1 a0}

Выберем два больших взаимно простых числа R и S и найдем такое число T, чтобы выполнялось условие RS ≡ 1 mod T

Получим новый список {bn - 1 … b1 b0}, каждый элемент которого суть результат умножения соответствующего числа из первоначального списка на S по модулю T: bi = ai S mod T, i = 0, 1, …, (n - 1)

Уничтожим список {an - 1 … a1 a0} и число S

Для всех, не знающих секрета, числа из нового списка будут казаться случайными числами из интервала [0, (T – 1)], и все, кто не знает принцип их получения, примут соответствующую задачу за трудную задачу об укладке рюкзака

«Взбивание» задачи Teasy и получение Tshuffle

9/11

Сформируем список {an - 1 … a1 a0}

Выберем два больших взаимно простых числа R и S и найдем такое число T, чтобы выполнялось условие SR ≡ 1 mod T

Получим новый список {bn - 1 … b1 b0}, каждый элемент которого суть результат умножения соответствующего числа из первоначального списка на S по модулю T: bi = ai S mod T, i = 0, 1, …, (n - 1)

Уничтожим список {an - 1 … a1 a0} и число S

Для всех, не знающих секрета, числа из нового списка будут казаться случайными числами из интервала [0, (T – 1)], и все, кто не знает принцип их получения, примут соответствующую задачу за трудную задачу об укладке рюкзака

Cписок {bn - 1 … b1 b0} объявляется открытым ключом зашифрования

«Взбивание» задачи Teasy и получение Tshuffle

9/11

Сформируем список {an - 1 … a1 a0}

Выберем два больших взаимно простых числа R и S и найдем такое число T, чтобы выполнялось условие SR ≡ 1 mod T

Получим новый список {bn - 1 … b1 b0}, каждый элемент которого суть результат умножения соответствующего числа из первоначального списка на S по модулю T: bi = ai S mod T, i = 0, 1, …, (n - 1)

Уничтожим список {an - 1 … a1 a0} и число S

Для всех, не знающих секрета, числа из нового списка будут казаться случайными числами из интервала [0, (T – 1)], и все, кто не знает принцип их получения, примут соответствующую задачу за трудную задачу об укладке рюкзака

Cписок {bn - 1 … b1 b0} объявляется открытым ключом зашифрования

Числа R и T объявляются секретным ключом расшифрования

«Взбивание» задачи Teasy и получение Tshuffle

9/11

Рюкзачная криптосистема

10/11

Алгоритм зашифрования двоичного сообщения m = mn - 1 … m1 m0, mi {0, 1}: c = E(m) = ∑ bi mi (mod T)

Рюкзачная криптосистема

10/11

Алгоритм зашифрования двоичного сообщения m = mn - 1 … m1 m0, mi {0, 1}: c = E(m) = ∑ bi mi (mod T)

Алгоритм расшифрования закрытого сообщения c:

- составляем произведение Rc = R ∑ bi mi (mod T) = = ∑ ai SR mi (mod T) = ∑ ai mi (mod T)

- решая легкую задачу об укладке рюкзака, находим m = mn - 1 … m1 m0

Рюкзачная криптосистема

10/11

Пример ранцевой криптосистемы

11/11

14 × 19 ≡ 1 mod 265

Пример ранцевой криптосистемы

11/11

14 × 19 ≡ 1 mod 265

Пример ранцевой криптосистемы

11/11

14 × 19 ≡ 1 mod 265

Пример ранцевой криптосистемы

11/11

Пример ранцевой криптосистемы

444

11/11

Пример ранцевой криптосистемы

444 19 = = 221 mod 265

11/11

The questions are welcome !