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ALUNO (A) :____________________________________
PROFESSOR (A): ANDRÉ (MAL) DISCIPLINA: MATEMÁTICA DATA: 09 / 05 / 2016
GEOMETRIA PLANA 1 – ESTUDO DE ÂNGULOS
01) Sabendo-se que a soma de dois ângulos é 78° e um deles vale 3/5 do complemento do outro, os valores são: a) 10° e 68° b) 15° e 63° c) 16° e 62° d) 18° e 60° e) 20° e 58° 02) Determine o valor de: 4° 39' 45" + 18° 32' 43" + 8° - 7° 49" 03a) A metade de um ângulo menos a quinta parte do seu complemento mede 38°. Qual é esse ângulo? b) 2/3 do complemento de um ângulo mais 1/5 do suplemento do mesmo ângulo perfazem 70°. Qual é esse ângulo? 2- ESTUDO DE PARALELISMOS E TRIÂNGULOS
04) Na figura, calcule a medida
do ângulo , sendo r//s. 05) Na figura a seguir, as medidas x, y e z são diretamente proporcionais aos números 5, 20 e 25, respectivamente.
06 - Fuvest) Na figura AB = BD = CD. Então. a) y = 3x b) y = 2x e) x + y = 180º d) x = y e) 3x = 2y 3 – POLÍGONOS
07) O polígono regular convexo em que o n° de lados é igual ao n° de diagonais é o: a) dodecágono. b) pentágono. c) decágono. d) hexágono. e) heptágono. 08) Qual é o polígono convexo em que a soma dos ângulos internos é 1080°? 09) O número de diagonais de um polígono convexo de x lados é dado por N(x) = (x
2 - 3x)/2. Se o polígono possui 9 diagonais, seu
número de lados é: a)10. b) 9. c) 8. d) 7. e) 6. 4 – TEOREMA DE TALES
10) A figura a seguir mostra um segmento AD dividido em três partes: AB=2cm, BC=3cm e CD=5cm. O segmento AD' mede 13cm e as retas BB' e CC' são paralelas a DD'. Determine os comprimentos dos segmentos AB', B'C' e C'D'.
11 - UFG) O desenho a seguir, construído na escala 1:7000, representa parte do bairro Água Branca em Goiânia. As ruas R. 1, R. 2 e R. 3 são paralelas à Av. Olinda. O comprimento da Av. B, da esquina com a Av. Olinda até a esquina com a Rua Dores do Indaya, é de 350 m. Considerando-se que cada rua mede 7 m de largura, calcule quantos metros um pedestre caminhará na Av. B, partindo da esquina com Av. Olinda, até a esquina com a Rua R. 2, sem atravessá-las.
5 – APLICAÇÕES DO TEOTEMA DE TALES
ESTUDO DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
12) Se = , determine x e y nos casos:
13) Calcule o valor de x e y nos casos:
14-UFG) Uma fonte luminosa a 25 cm do centro de uma esfera projeta sobre uma parede uma sombra circular de 28 cm de diâmetro, conforme figura a seguir. Se o raio da esfera mede 7 cm, a distância (d) do centro da esfera até a parede, em cm: a) 23 b) 25 c) 28 d) 32 e) 35 6 – ESTUDO DE TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
15) Dados experimentais indicam que a dilatação linear experimentada por um objeto material é proporcional ao seu comprimento inicial (LO) e à variação da temperatura a que é
submetido (T),sendo que a constante de proporcionalidade,
denominada de coeficiente de dilatação linear ( ) depende do
material utilizado. Um fio de alumínio ( = 25x10-6
oC
-1) de 10 m
de comprimento está a uma temperatura de 20 oC, e é fixado
pelas extremidades entre dois suportes, cuja distância é de 10 m. Um peso é colocado em seu ponto médio, de modo que o fio possa ser considerado reto entre o ponto médio e cada extremidade. Caso o fio seja aquecido, atingindo uma temperatura de 40
oC ,
ele sofrerá uma dilatação, de modo que o ponto médio estará a uma distância H da horizontal, como mostrado na figura. Nessa situação, qual é o valor de H em
centímetros?
2
16-UFMG) Nesta figura, estão representadas três circunferências, tangentes duas a duas, e uma reta tangente às três circunferências. Sabe-se que o raio de cada uma das duas circunferências maiores mede1cm. Então, é correto afirmar que a medida do raio da circunferência menor é: a) 1/3 cm. b)1/4 cm.
c) 2 /2 cm. d) 2 /4 cm.
17-PC-SP)Na figura, o losango PQRS, cuja diagonal maior mede 24 cm, tem perímetro igual a 52 cm e está inscrito no paralelogramo ABCD.
Sabe-se que a diagonal menor do losango é a altura do paralelogramo. Nesse caso, é correto afirmar que a medida da altura desse paralelogramo é igual, em centímetros, a (A) 5. (B) 10. (C) 9. (D) 6. (E) 8. 7 – ESTUDO DE COMPRIMENTOS DE CIRCUNFERÊNCIAS
17 - Uff) A localização de um ponto qualquer na superfície da Terra (considerada como uma esfera) é feita, em geral, a partir de duas coordenadas, sendo uma delas a latitude - que é o ângulo (em grau) entre o plano que contém a linha do equador e o segmento que une o centro da esfera ao ponto em questão. Sabe-se que as cidades de Porto Alegre e de Macapá situam-se, praticamente, no mesmo meridiano. Considere que a cidade de Macapá (ponto M) localiza-se bem próximo da linha do equador (latitude = 0°02'20" ao norte); que a latitude de Porto Alegre (ponto P) é de 30°01'59" ao sul e que o valor do diâmetro da Terra é de 12750 quilômetros. Veja figura a seguir. Tendo em vista tais considerações, pode-se afirmar que a distância, em quilômetro, entre as duas cidades é de aproximadamente: a) 2300 b) 3300 c) 4600 d) 6600 e) 9000 18. (Ufg) Deseja-se marcar nas trajetórias circulares concêntricas, representadas na figura abaixo, os pontos A e B, de modo que dois móveis partindo, respectivamente, dos pontos A e B, no sentido horário, mantendo-se na mesma trajetória, percorram distâncias iguais até a linha de origem. Considerando que o ponto A deverá ser marcado sobre a linha de origem a 8 m do centro e o ponto B a 10 m do centro, o valor do ângulo , em graus, será
igual a: a) 30 b) 36 c) 45 d) 60 e) 72 19. (Ufrs) Dentre os desenhos abaixo, aquele que representa o ângulo que tem medida mais próxima de 1 radiano é:
8 - ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA
20 - UFES) Na figura, segmentos de reta AP e DP são tangentes à circunferência, o arco ABC mede 110º e o ângulo CAD mede 45º. A medida, do ângulo APD é: a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35 21 - UFRJ) Um arquiteto vai construir um obelisco de base circular. Serão elevadas sobre essa base duas hastes triangulares, conforme figura a seguir, onde o ponto 0 é o centro do círculo de raio 2m e os ângulos BOC e OBC são iguais. O comprimento do segmento AB é:
a) 2 m. b) 3 m. c) 3 2 m d)2 5 m. e)2 3 m.
22) Observando a figura a seguir, determine (em cm): a) o valor de x. b) a medida do segmento AN, sabendo que o perímetro do triângulo ABC é 46 cm.
23 - PERITO CRIMINAL (FUNCAB) Determine a medida do lado AD do quadrilátero ABCD abaixo, circunscrito à circunferência de centro O, sabendo que AB = 5, BC = 4 e CD = 6. A) 4 B) 5 C) 7 D) 8 E) 6
9 ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
26) Determine a área da região sombreada nos casos: a) quadrado de lado 8 m b) hexágono regular de lado 6 m
c) ∆ eqüilátero de L = 12 m d) hexágono regular de L = 12 m
e) retângulo
f) quadrado g) quadrado .
27) Em torno de um campo de futebol, construiu-se uma pista de
atletismo com 3 metros de largura, cujo preço por metro
quadrado é de R$ 500,00. O
custo total desta construção é:
a) R$ 300.000.00
b) R$ 202.530,00
c) R$ 464.500,00
d) R$ 502.530,00
e) R$ 667.030,00
3
28) A figura a seguir possui x
unidades de área.
Determine o inteiro mais
próximo de x.
29 - IBMEC) O triângulo ABC
(figura) tem área igual a 36 cm2.
Os pontos M e N são pontos
médios dos lados AC e BC.
Assim, a área da região MPNC,
em cm2, vale:
a) 10. b) 12. c) 14.
d) 16. e) 18.
30) Ao redor de uma piscina retangular com 10m de comprimento
por 5m de largura, será construído um revestimento de madeira
com x metros de largura, representado na figura a seguir. Existe
madeira para revestir
87,75m2. Qual deverá ser a
medida x para que para que
toda a madeira seja
aproveitada?
a) 9,75 m b) 7,25 m
c) 3,75 m d) 3,25 m
e) 2,25 m
31- PC- MG) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de
lado a e a parte hachurada é limitada por quartos de
circunferências centradas nos vértices B e D. A área da
figura hachurada, em função de a, é:
2
2a π - 2
) m2
a
2
2a π - 2
b) m4
2 2c) a π - 2 m
2 2d) a π + 2 m
32 PC-SP) Um determinado espaço será decorado com duas pequenas telas retangulares, A e B, cujas dimensões, em centímetros, estão indicadas nas figuras.
Sabendo-se que ambas as telas tem perímetro igual a 120 cm, é correto afirmar que a área ocupada pelas duas, juntas, é igual, em centímetros quadrados, a a) 1 300. b) 1 450. c) 1 250. d) 1 600. e) 1 200. 32 – PC-UEG12) Na figura ao lado, F é o ponto médio de AE. Sabe-se que AB e DE são perpendiculares a AE e que as medidas de AB, BC, DE e AE são, respectivamente 1,5 cm, 5 cm, 3,7 cm e 6 cm. A medida da área da figura ABCDE é a) 6,25 cm
2 b) 9,75 cm
2 c) 15,75 cm
2 d) 24,3 cm
2
33 - PC UEG12) O art. 88 da Lei n. 7.210/84 do Código Penal, no capítulo sobre sistema penitenciário, recomenda uma área mínima de 6 m2 como requisito básico para uma cela individual. Respeitada essa condição, um alojamento coletivo retangular de dimensões 5 m por 11 m poderá receber no máximo quantas pessoas: a) 8. b) 9. c) 10. d) 11.
GABARITO
01) D 02) 24° 11' 39'' 03a) 80° b) 30° 04) 100º 05) A 06) A 07) B 08) Octógono 09) E 10) AB' = 2,6cm ; B'C' = 3,9cm ; C'D' = 6,5cm. 11) 168 metros
12.a)9; 32/3 b)7;10 13.a) 6; 10/3 b) 15/2; 5 14) A
15) H = 250,06 cm ou H 15,81cm 16) B 17. B 18. E
19. B 20. B 21. E 22) a) x = 20 cm b) AN = 3 cm 23) EM SALA 25) x = 3/2
26a) 8 π - 2 m2
b) 23 2π - 3 3 m c) 24 4π - 3 3 m
d) 218 2 3 - π m e) 24 - π
a2
f) 2π - 2
a4
g) 24 - π a
4
27) D 28 15 29) B 30) E 31) E 32) D 33) B
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01) Dado um ângulo de medida x, indique: a) seu complemento; b) seu suplemento; c) o dobro do seu complemento; d) a metade de seu suplemento; e) o triplo de seu suplemento; f) a sétima parte do complemento; g) a quinta parte do suplemento; h) o complemento da sua terça parte; i) o triplo do suplemento da sua quinta parte. 02) Efetue a divisão indicada a) (12° 15' 4" ) : 8 b) (15° 12' 13" ) : 7 03) Calcule o que se pede: a) Dê a medida do ângulo que vale o dobro do seu complemento. b) Determine a medida do ângulo igual ao triplo do seu complemento. c) Calcule o ângulo que vale o quádruplo de seu complemento. d) Calcule um ângulo, sabendo que um quarto do seu suplemento vale 36°. e) Qual é o ângulo que excede o seu complemento em 76°? f) Qual é o ângulo que excede o seu suplemento em 66°? 04) A figura mostra um triângulo ABC,
isósceles, de base BC . Sendo BD bissetriz
de A B C e CD bissetriz de A C B, calcule o
valor de x.
05) Calcule x e y indicados na figura abaixo.
06 - PUC) A soma das medidas dos
ângulos A + B + C + D + E :
a) 60º b) 120º c) 180º d) 360º e) varia de “estrela” para “estrela” 07) Um polígono regular possui a partir de cada um de seus vértices tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono. Cada ângulo interno desse polígono mede em graus: a) 140 b) 150 c) 155 d) 160 e) 170 08) Considere 3 retas coplanares paralelas, r, s e t, cortadas por 2 outras retas, conforme a figura. Os valores dos segmentos identificados por x e y são, respectivamente: a) 3/20 e 3/40. b) 6 e 11. c) 9 e 13. d) 11 e 6. e) 20/3 e 40/3.
09) A crise energética tem levado as médias e grandes empresas a buscarem alternativas na geração de energia elétrica para a manutenção do maquinário. Uma alternativa encontrada por uma fábrica foi a de construir uma pequena
4
hidrelétrica, aproveitando a correnteza de um rio que passa próximo às suas instalações. Observando a figura e admitindo que as linhas retas r, s e t sejam paralelas, pode-se afirmar que a barreira mede: a) 33 m b) 38 m c) 43 m d) 48 m e) 53 m 10.Fuvest) Um lateral L faz um lançamento para um atacante A, situado 32m à sua frente em uma linha paralela à lateral do campo de futebol. A bola, entretanto, segue uma trajetória retilínea, mas não paralela à lateral e quando passa pela linha de meio do campo está a uma distância de 12m da linha que une o lateral ao atacante. Sabendo-se que a linha de meio do campo está à mesma distância dos dois jogadores, a distância mínima que o atacante terá que percorrer para encontrar a trajetória da bola será de: a) 18,8m b) 19,2m c) 19,6m d) 20m e) 20,4m 11.UFMG) Em determinada hora do dia, o sol projeta a sombra de um poste de iluminação sobre o piso plano de uma quadra de vôlei. Neste instante, a sombra mede 16m. Simultaneamente, um poste de 2,7m, que sustenta a rede, tem sua sombra projetada sobre a mesma quadra. Neste momento, essa sombra mede 4,8m.A altura do poste de luz é de: a) 8,0 m b) 8,5 m c) 9,0 m d) 7,5 m 12.UFG) Em um sistema de coordenadas cartesianas são dados os pontos A(0, 0), B(0, 2), C(4, 2), D(4, 0) e E(x,0) , onde 0 < x < 4. Considerando os segmentos BD e CE, obtêm-se os triângulos T• e T2 , destacados na figura. Para que a área do triângulo T• seja o dobro da
área de T2 , o valor de x é:
a) 2 - 2 b) 4 - 2 2 c) 4 - 2
d) 8 - 2 2 e) 8 - 4 2
13 - Ufrj) Na figura a seguir, os círculos de centros O1 e O2 são tangentes em B e têm raios 1 cm e 3 cm. Determine o comprimento da curva ABC. 14 - Unicamp) Para calcular a circunferência terrestre, no século III a.C. o sábio Eratóstenes valeu-se da distância conhecida de 800 km entre as localidades de Alexandria e Siena, no Egito (A e S, respectivamente, na figura), situadas no mesmo meridiano terrestre. Ele sabia que, quando em Siena os raios solares caíam verticalmente, em Alexandria eles faziam um ângulo de 7,2º com a vertical. Calcule, com esses dados, a circunferência terrestre, isto é, o comprimento de uma volta completa em torno da Terra. 15) Calcule o valor de x na figura a seguir:
16) Calcule o valor de x na figura a seguir:
17-UnB) A figura, o segmento tangente PA mede 15 cm e PR mede 12 cm. a) Determine a medida RS b) Qual é o perímetro do triângulo PRT
18 – UFRS) Sobre os lados de um triângulo retângulo constroem-se quadrados, conforme mostra a figura abaixo. Sendo "a" a medida da hipotenusa, "b" e "c" as medidas dos catetos, e P e Q os pontos representados na figura, então a distância entre P e Q é igual a:
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
a) a + b . b) 2a + b .
c) a + 2b . d) 3a + b .
e) a + 3b .
19) Em um quadrilátero
convexo ABCD, a diagonal
AC mede 12cm e os vértices
B e D distam,
respectivamente, 3cm e 5cm
da diagonal AC. Calcule a
área do quadrilátero.
20-Unifesp) Se um arco de 60° num círculo I tem o mesmo
comprimento de um arco de 40° num círculo II, então, a razão
entre a área do círculo I e do círculo II é:
a) 2/9. b) 4/9. c) 2/3. d) 3/2. e) 9/4.
21) O hexágono cujo interior aparece destacado em cinza na
figura regular e origina-se da sobreposição de
dois triângulos equiláteros.Se k é a área do
hexágono, a soma das áreas desses dois
triângulos é igual a:
a) k. b) 2k. c) 3k. d) 4k. e) 5k.
22 – UDESCO) Uma circunferência intercepta um triângulo
equilátero nos pontos médios de dois de seus lados, conforme
mostra a figura, sendo que um dos vértices do triângulo é o
centro da circunferência. Se o lado do triângulo mede 6 cm, a
área da região destacada na figura é:
2 2
2 2
2
a) 9 [2 3 - ( /6)] cm b) 9 [ 3 - ( /18)] cm
c) 9 [ 3 - ] cm d) 9 [ 3 - ( /3)] cm
e) 9 [ 3 - ( /6)] cm
GABARITO
01 a) 90º - x b) 180º - x c) 2(90º - x) d) (180º - x)/2 e) 3(180º - x) f) (90º - x)/7 g) ( 180 – x)/5 h) 90º - x/3 i) 3(180º - x/5) 02a)1° 31' 53'' b) 2° 10' 19'' 03 a) 60º b) 67º 30’ c) 72º d) 36º e) 83º f) 123º 04) 130
O 05) x = 70º e y = 125º 06) C
07) B 08) E 09) B 10. B
11. C1 12. B 13. 5π/3 14. 6369 km 15.x=75° 16. x = 20° 17b. 30 18) E 19) 48 cm
2 20) B 21) C 22) E
TESTES DE RELAÇÕES MÉTRICAS DO TRIANGULO
1. As substâncias poliatômicas podem ser representadas por
estruturas geométricas, as quais são definidas de acordo com as propriedades químicas dos elementos. Em uma estrutura octaédrica formada pelos elementos genéricos X e Y, onde o comprimento da ligação X _ Y é igual a 5 nm
9(1nm 1 10 m), a seção que a divide em duas pirâmides
regulares está representada na figura a seguir. Desprezando-se os efeitos de atração e repulsão, a distância aproximada entre os elementos Y e um exemplo de fórmula molecular que apresente a estrutura geométrica abordada são, respectivamente, a) 5 nm e SF6 b) 5 nm e CH4 c) 7 nm e SF6 d) 7 nm e NH3 e) 7 nm e CH4
5
2. O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as
medidas dos lados estão em progressão aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a a) 3,0 m
2. b) 2,0 m
2. c) 1,5 m
2. d) 3,5 m
2.
3.Uma escada de 15 m encostada em uma parede, fica estável
quando a distância do chão ao seu topo é 5 m maior que a distância da parede à base da escada. Nessa posição, qual é, em metros, aproximadamente, a altura que a escada alcança na parede, considerando que as bases da escada e da parede estão no mesmo nível? Use para o cálculo a
aproximação 4,12log 17 2.
a) 7,80 b) 8,24 c) 10,00 d) 12,80 e) 13,40 4. Nessa figura, ABCD é um retângulo cujos lados medem b e 2b. O ponto R pertence aos segmentos AC e BD e, ARDS é um quadrilátero em que M é ponto médio do segmento RS. O segmento MP, expresso em função de b, é
a)
b 5.
5 b)
b 5.
3
c)
2b 5.
3 d)
3b 5.
5 5. Na figura abaixo, o valor da área do quadrado de lado “a”, em função dos segmentos “b” e “c”, é
a) b
2 + c
2
b) b2 - c
2
c) b2c
2
d) c2 - b
2
e) b2/c
2
6) Nesta figura, ABCD é um retângulo e DH é um arco de circunferência cujo centro é o ponto M.
O segmento EH em unidades de comprimento, mede
a)
1 5.
2
b)
2 5.
2
c) 1/3 d) 1/2 e)
5.
2 7) Um restaurante foi representado em sua planta por um retângulo PQRS. Um arquiteto dividiu sua área em: cozinha (C), área de atendimento ao público (A) e estacionamento (E), como mostra a figura abaixo. Sabendo que P, H e R são colineares, que PH mede 9 m e que SH mede 12 m, a área total do restaurante, em metros quadrados, é a) 150. b) 200. c) 250. d) 300. e) 350. 8) Um triângulo isósceles inscrito em um círculo de raio igual a 8 cm possui um lado que mede 16 cm A medida dos outros dois lados do triângulo, em cm, é igual a a) 8 b) 8√2 c) 16 d) 16√2 9. (Fgv) Um triângulo tem lados medindo 1cm, 2cm e 2,5cm. Seja h a medida da altura relativa ao maior lado. O valor de h
2 expresso em cm
2 é, aproximadamente, igual a
a) 0,54 b) 0,56 c) 0,58 d) 0,60 e) 0,62
10) A escadaria a seguir tem oito batentes no primeiro lance e seis, no segundo lance de escada. Sabendo que cada batente tem 20 cm de altura e 30 cm de comprimento (profundidade), a tangente do ângulo CAD mede: a) 9/10 b) 14/15 c) 29/30 d) 1 11) Considere uma corda AB, perpendicular ao diâmetro EC de um círculo de centro O. Sendo o ponto D a interseção dos segmentos AB e EC e sabendo que CD = 4cm e ED = 9cm, a área do triângulo AED, em cm
2, é igual a
a) 27. b) 18. c) 36. d) 78. 12) No retângulo ABCD de lado AB = 3 cm, bc = √7 cm. o segmento AP é perpendicular à diagonal BD. O segmento BP mede em cm: a) 9/2 b) 7/4 c) 9/4 d) 3/4 e) 5/4
GABARITO DOS TESTES DE RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO
Resposta da questão 1: [C] Teremos:
2 2 2
Y Y X Y X Y
2 2Y Y X Y
2 2Y Y
2 2Y Y
2 2Y Y
d d d
d 2 d
d 2 (5 nm)
d 50 nm
d 50 nm 7,07 7 nm
Resposta da questão 2: [C] Sejam x, x r e x 2r as
medidas, em metros, dos lados do triângulo, com x, r 0.
Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos x 3r. Logo,
os lados do triângulo medem 3r, 4r e 5r.
Sabendo que o perímetro do triângulo mede 6,0 m, vem
13r 4r 5r 6 r .
2
Portanto, a área do triângulo é igual a
2
23r 4r 16 1,5 m .
2 2
Resposta da questão 3: [D] Se x é a altura que a escada
alcança na parede, então, pelo Teorema de Pitágoras, vem
22 2 2 2 5 425 5
x (x 5) 15 x 5x 100 x x (1 17).2 4 2
Sendo 17α e tomando 4,12log 17 2, encontramos
1
24,12 4,12 4,12 4,12
4,12
1log log 17 log log 17
2
log 1
4,12.
α α
α
α
Portanto, 5
x (1 4,12) 12,80 m.2
Resposta da questão 4: [A] Como M é ponto médio de SR,
AMS 90 e AR AD, segue-se que ARDS é losango.
6
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ADC,
encontramos AC b 5. Logo, b 5
AR DS .2
Portanto, como o produto dos catetos é igual ao produto da
hipotenusa pela altura, do triângulo MSD, vem
b 5 b b 5
DS MP MS DM MP b MP .2 2 5
Resposta da questão 5: [A] A área A de um quadrado de lado a
é dada por A = a2. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo
DFH, temos a2 = b
2 + c
2. Portanto, A = a
2 + b
2.
Resposta da questão 6: [A] Desde que AB EM e E é o
ponto médio de AD, segue-se que EM é base média do
triângulo ABD. Assim, temos AB 1
EM .2 2
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo DEM, vem
22 2 2 2 21 5
DM EM DE DM 1 DM .2 2
Por conseguinte, dado que DH é um arco de circunferência com
centro em M, encontramos
1 5EH HM EM .
2
Resposta da questão 7: [D]
2 2 2No PHS: PS 9 12 PS 15m.
9 12PHS PSR SR 20m.
15 SR
Δ
Δ Δ
Portanto, a área do terreno será:
2A 20 15 300m
Resposta da questão 8: [B]
O lado que mede 16 cm é diâmetro
da circunferência e a ângulo
ˆACB 90 , logo:
2 2 2x x 16 x 8 2 Resposta da questão 9: [C]
Considere a figura, em que AC 1, AB 2,BC 2,5 e AH h.
Façamos HB x, com 0 x 2,5. Aplicando o Teorema de
Pitágoras nos triângulos AHC e AHB, obtemos
2 2 2h 1 (2,5 x) e 2 2 2h 2 x . Logo,
2 21 6,25 5x x 4 x 5x 9,25
x 1,85cm.
Portanto, 2 2h 4 (1,85) 0,58.
Resposta da questão 10: [B] Supondo que A, B e C
pertencem a um mesmo plano horizontal, temos
AB 8 30 240cm, BC 6 30 180cm e CD (8 6) 20 280cm.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC,
encontramos 2 2 2 2 2 2AC AB BC AC 240 180
AC 300cm.
Portanto, do triângulo retângulo ACD vem
CD 280 14
tgCAD .300 15AC
Resposta da questão 11: [A]
EÂC 180 : 2 90
No triângulo retângulo AEC,
temos:
2h 9 4 h 36. Logo, h 6.
Portanto, a área do triângulo AED
será dada por:
A =(6.9):2 = 27 cm2
Resposta da questão 12: [C] Pelo Teorema de Pitágoras, temos: 2 2 2 2 2 2BD AB AD BD 3 ( 7)
BD 4cm.
Portanto, como o quadrado de um cateto é igual ao produto da
sua projeção pela hipotenusa, vem:
2 2 9
AB BP BD 3 BP 4 BP cm.4
TESTES DE ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
1) Caminhando 100 metros pelo contorno de uma praça circular,
uma pessoa descreve um arco de 144°. Desse modo, é correto
afirmar que a medida, em metros, do raio da circunferência da
praça é
a) 125π b) 175
π c)
125
π d)
250
π e) 250π
2) A roda de um carro tem 30 cm de raio. Depois de a roda
completar uma volta, o carro terá se deslocado aproximadamente:
Usando 3,14π a) 60 cm b) 120 cm c) 180 cm d) 188 cm e) 198 cm 3) Uma máquina possui duas engrenagens circulares, sendo a
distância entre seus centros A e B igual a 11cm, como mostra
o esquema:
Sabe-se que a engrenagem menor dá
1000 voltas no mesmo tempo em que
a maior dá 375 voltas, e que os
comprimentos dos dentes de ambas têm
valores desprezíveis.
A medida, em centímetros, do raio da
engrenagem menor equivale a: a) 2,5 b) 3,0 c) 3,5 d) 4,0 4) Uma bicicleta, cuja medida do raio da circunferência de cada
pneu é 35 cm, percorreu uma distância de 100 m, em linha reta,
sem deslizamento de pneu ao longo do percurso. O número
inteiro que indica, de forma mais aproximada, a quantidade de
giros completos de cada pneu da bicicleta, ao longo do trajeto
realizado, é Observação: Use 3,14 para o valor de .π a) 42. b) 45. c) 50. d) 53. 5) Maria Campos, a mocinha do Mercado Central, caminha pela
Praça Raul Soares sobre o arco ABC e, depois, segue em linha
reta até o ponto D. Um esquema
simplificado da praça está
desenhado a seguir, onde se
apresentam duas circunferências
de centro O, de raios 5 m e 42 m.
Sabe-se que os pontos A, R, S e
T são vértices de um quadrado.
Considere 3.π
O percurso realizado por Maria,
em metros, encontra-se no
intervalo a) [55, 60[. b) [60, 65[. c) [65, 70[. d) [70, 75[. 6) Ao projetar um teatro, um arquiteto recebeu o seguinte pedido
da equipe que seria responsável pela filmagem dos eventos que lá
aconteceriam:
7
“É necessário que seja construído um trilho no teto ao qual
acoplaremos uma câmera de
controle remoto. Para que a
câmera não precise ficar mudando
a calibragem do foco a cada
movimentação, o ângulo de
abertura com que a câmera captura
as imagens do palco deve ser
sempre o mesmo, conforme
ilustração abaixo.
Por exemplo, dos pontos P1 e P2 a
câmera deve ter o mesmo ângulo
de abertura α para o palco.”
Das propostas de trilho a seguir,
aquela que atende a essa
necessidade é
a) b) c)
d) e) 7) Considere três circunferências de raio
unitário e de centros A, B e C, conforme a
figura. Dessa forma, o perímetro da região
sombreada, em unidades de comprimento,
é
a) .3
π b) .
2
π c) .π d) 2 .π
8) Um hexágono regular de área 12 cm
2 e de
centro P foi pintado em duas tonalidades,
conforme a figura. A área pintada na
tonalidade mais clara, em cm2, é
a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. 9) Na figura, AB e AE são tangentes à circunferência nos pontos
B e E, respectivamente, e
ˆBAE 60 . Se os arcos
BPC, CQD e DRE têm medidas
iguais, a medida do ângulo ˆBEC,
indicada na figura por ,α é igual a a) 20° b) 40° c) 45°
d) 60° e) 80° 10) Uma pista de atletismo é formada por duas raias cujo
percurso é formado por duas partes retas intercaladas com duas
semicircunferências, conforme a figura.
Dois atletas estavam correndo, um na raia I e outro na raia II,
quando pararam para descansar. O atleta da raia II disse que dera
10 voltas na pista e correra mais, pois sua raia é maior; já, o outro
atleta discordou, pois ele
acreditava ter dado mais
voltas. Se a
semicircunferência
tracejada da raia I tem raio
igual a 10 metros, a da raia
II tem raio de 12 metros, e
as partes retas têm 100 metros de comprimento, então o número
mínimo de voltas que o atleta da raia I deve completar para correr
mais que o outro é
a) 11. b) 12. c) 13. d) 14. e) 15. 11) Um restaurante utiliza, para servir bebidas,
bandejas com base quadradas. Todos os copos
desse restaurante têm o formato representado
na figura:
Considere que 7AC BD
5 e que é a medida
de um dos lados da base da bandeja. Qual deve
ser o menor valor da razão BD
para que uma
bandeja tenha capacidade de portar exatamente
quatro copos de uma só vez? a) 2 b) 14/5 c) 4 d) 24/5 e) 28/5 12. (Fgv 2012) Uma bobina cilíndrica de papel possui raio
interno igual a 4 cm e raio
externo igual a 8 cm. A
espessura do papel é
0,2 mm.
Adotando nos cálculos
3,π o papel da bobina,
quando completamente
desenrolado, corresponde a um retângulo cuja maior dimensão,
em metros, é aproximadamente igual a a) 20. b) 30. c) 50. d) 70. e) 90. 13) Uma circunferência de raio R é tangente externamente a
duas circunferências de raio r, com r
< R. As três circunferências são
tangentes a uma mesma reta, como
ilustrado a seguir. Qual a distância
entre os centros das circunferências
de raio r?
a) 4 Rr b) 3 Rr c) 2 Rr d) Rr e) Rr /2
14) Durante seu treinamento, um atleta percorre metade de uma
pista circular de raio R, conforme figura a seguir. A sua largada
foi dada na posição representada pela letra L, a chegada está
representada pela letra C e a letra A representa o atleta. O
segmento LC é um diâmetro da circunferência e o centro da
circunferência está representado pela letra F.
Sabemos que, em qualquer posição que o atleta esteja na pista, os
segmentos LA e AC são perpendiculares. Seja θ o ângulo que o
segmento AF faz com segmento FC. Quantos graus mede o ângulo θ
quando o segmento AC medir R
durante a corrida? a) 15 graus b) 30 graus c) 60 graus d) 90 graus e) 120 graus 15) Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande erupção do
vulcão Bulusan nas Filipinas. A sua localização geográfica no
globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em inglês para Sistema de
Posicionamento Global) com longitude de 124° 3’ 0” a leste do
Meridiano de Greenwich.
Dado: 1° equivale a 60’ e 1’ equivale a 60”.
PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012 (adaptado)
A representação angular da localização do vulcão com relação a
sua longitude da forma decimal é a) 124,02°. b) 124,05°. c) 124,20°. d) 124,30°. e) 124,50°. 16. (Mackenzie 2012) Na figura, se a
circunferência tem centro O e BC =
OA, então a razão entre as medidas
dos ângulos AÔD e CÔB é
a) 5/2 b) 3/2 c) 2 d) 4/3 e) 3 17) Uma bicicleta tem uma roda de
30 centímetros de raio e outra de 40 centímetros de raio.
Sabendo-se que a roda menor dá 136 voltas para certo percurso,
8
determine quantas voltas dará a roda maior para fazer o mesmo
percurso. a) 102. b) 108. c) 126. d) 120. e) 112. 18) Sabe-se que uma das raízes da equação 2x 7x 44 0
corresponde, em cm, ao comprimento do raio de uma
circunferência. Qual o comprimento desta circunferência,
considerando 3,14?π a) 69,08 cm. b) 69,01 cm. c) 69,80 cm.
d) 59,08 cm. e) 58,09 cm. 19) Uma mangueira de jardim enrolada forma uma pilha circular
medindo cerca de 100 cm de um lado a outro. Se há seis voltas
completas, o comprimento da mangueira é de, aproximadamente a) 9 m. b) 15 m. c) 19 m. d) 35 m. e) 39 m. 20) Uma partícula descreve um arco de 1080° sobre uma
circunferência de 15 cm de raio. A distância percorrida por essa
partícula, em cm, é igual a a) 90 .π b) 120 .π c) 140 .π d) 160 .π
21) A London Eye também conhecida como Millennium
Wheel (Roda do Milênio), é uma roda-gigante de observação
com 135 metros de diâmetro e está situada na cidade de Londres,
capital do Reino Unido. Quanto aproximadamente percorrerá
uma pessoa nesta roda-gigante em 6 voltas, considerando
3,14?π a) 67,5 m. b) 135 m. c) 423,9 m. d) 2543,4 m. e) 85839,75 m.
22) A figura abaixo representa um círculo de centro O e uma
régua retangular, graduada em milímetros. Os pontos A, E e O
pertencem à régua e os pontos B, C e D pertencem,
simultaneamente, à régua e à circunferência.
Considere os seguintes dados
Segmentos Medida
(cm)
AB 1,6
ED 2,0
EC 4,5
O diâmetro do círculo é, em centímetros, igual a: a) 3,1 b) 3,3 c) 3,5 d) 3,6
23) A estrada que liga duas cidades tem 4.396 m de extensão.
Quantas voltas completas dará uma das rodas da bicicleta que vai
percorrer essa estrada se o raio da roda é 0,35 m? Considere
3,14.π a) 50.000 voltas. b) 2.000 voltas. c) 100.000 voltas. d) 150.000 voltas. e) 20.000 voltas. 24) Na figura abaixo, têm-se quatro círculos congruentes de
centros 1O , 2O , 3O e 4O e de raio igual a 10 cm. Os pontos
M, N, P, Q são pontos de tangência entre os círculos e A, B, C,
D, E, F, G, H são pontos de
tangência entre os círculos e a
correia que os contorna.
Sabendo-se que essa correia é
inextensível, seu perímetro, em cm,
é igual a a) 2 40π b) 5 16π
c) 20 4π d) 5 8π
25) O atletismo é um dos esportes que mais se identificam com o
espírito olímpico. A
figura ilustra uma pista
de atletismo. A pista é
composta por oito raias e
tem largura de 9,76 m. As
raias são numeradas do
centro da pista para a extremidade e são
construídas de segmentos de retas paralelas e arcos de
circunferência. Os dois semicírculos da pista são iguais. Se os
atletas partissem do mesmo ponto, dando uma volta completa, em
qual das raias o corredor estaria sendo beneficiado? a) 1 b) 4 c) 5 d) 7 e) 8 26) Considere um relógio analógico de doze horas. O ângulo
obtuso formado entre os ponteiros que indicam a hora e o minuto,
quando o relógio marca exatamente 5 horas e 20 minutos, é a) 330°. b) 320°. c) 310°. d) 300°. e) 290°.
Gabarito: TESTES DE CIRCUNFERÊNCIA Resposta da questão 1: [C]Admitindo R a medida do raio,
temos: 4 100 125
144 rad R .5 R
π
π
Resposta da questão 2: [D] O perímetro da roda corresponde a
2 30 2 3,14 30 188cm,π que é o resultado desejado.
Resposta da questão 3: [B] Sejam An e Bn , respectivamente,
o número de voltas da engrenagem maior e o número de voltas da
engrenagem menor. Desse modo, se Ar e Br são os raios dessas
engrenagens, então
A A B B A B A B8
n 2 r n 2 r 375 r 1000 r r r .3
π π
Portanto, A B B B B8
r r 11 r r 11 r 3cm.3
esposta da questão 4: [B]
Perímetro do pneu: 2 35cm 70 3,14 219,8cmπ
Distância percorrida: 100m = 10 000 cm
Número de voltas: 10 000 : 219,8 = 45.
Resposta da questão 5: [C] O comprimento do percurso
realizado por Maria é dado por
1 1
2 OC OC OD 2 3 42 42 5 31,5 37 68,5 m.8 8
π
Portanto, segue que 68,5 [65, 70[.
Resposta da questão 6: [E] Para qualquer
ponto P, o ângulo ˆAPB situado na
semicircunferência (mostrada na figura)
será reto.
ˆAPB =180
902
Logo, o trilho deverá
ser o representado na figura da alternativa
[E]. Resposta da questão 7: [C]
Comprimento do arco cuja medida é x:
2 1x .
6 3
π π Portanto, o perímetro
da figura será: 33
ππ
Resposta da questão 8: [C] Dividindo o
hexágono em 12 triângulos de mesma área
(ver figura), cada área terá 21cm . Portanto,
a área destacada terá 2 25 1cm 5 cm .
Resposta da questão 9: [B] Seja S um ponto do menor arco
BE. Como BPC CQD DRE 2 ,α segue-se que
BSE 360 6 .α Portanto, como EAB é excêntrico exterior,
temos
BQE BSE 6 (360 6 )EAB 60 60 6 180 40 .
2 2
α αα α
Resposta da questão 10: [A]
Comprimento da raia I = 100 + 100 + 2. π .10 262,8 m
9
Comprimento da raia II = 100 + 100 + 2. π .12 275,36 m
De acordo com o problema, o atleta da raia II deu 10 voltas e
chamaremos de v o número de voltas dadas pelo atleta da raia I.
Logo: 2753,6
v 262,8 10 275,36 v V 10,4779262,8
Resposta: O atleta da raia I deve completar 11 voltas para correr
mais que o outro.
Resposta da questão 11: [D]
Considere a figura, em que BD x
e AC y. Para que a bandeja tenha
capacidade de portar exatamente
quatro copos de uma só vez, deve-se
ter
2472 (x y) 2 x.x x
55
Portanto, o resultado pedido é dado por
24x
245 .x 5BD
Resposta da questão 12: [D] Sabendo que a espessura do papel
é 0,2 mm, temos que todo o papel enrolado corresponde a
40 mm200
0,2 mm circunferências concêntricas, de tal modo que os
raios dessas circunferências crescem, de dentro para fora,
segundo uma progressão aritmética de razão 0,2 mm.
Portanto, a maior dimensão do retângulo é dada pela soma dos
comprimentos das circunferências, ou seja,
40,2 802 (40,2 40,4 80) 2 3 200 6 12020 72120mm 70 m.
2π
Resposta da questão 13: [A] Considere a
figura.
Sabendo que AC R r e BC R r,
pelo Teorema de Pitágoras, vem
2 2 2 22 2
2
AC AB BC (R r) AB (R r)
AB 4Rr AB 2 Rr.
Portanto, como AD 2 AB, segue que o resultado pedido é
2 2 Rr 4 Rr.
Resposta da questão 14: [C] Se AC = R, temos o triângulo
AFC equilátero. Logo, 60 .θ
Resposta da questão 15: [B] 3’= (3/60)° = 0,05°
124° 3’ 0” = 124,05°
Resposta da questão 16: [E] Considere a figura.
Sejam AOD e COB . Sabendo
que BC OA OC, vem OBC . Daí,
como AD e CE , encontramos
AD CEOBC 3.
2 2
Resposta da questão 17: [A] A distância percorrida pela roda
maior é igual à distância percorrida pela roda menor.
C = comprimento da roda maior. c = comprimento da roda menor.
x = número de voltas da roda maior
c C
136.2 .30 x.2 .40
136.30x 102
40
π π
Resposta da questão 18: [A] Determinando as raízes da equação
2x 7x 44 0 , temos x = - 4 ou x = 11.
Logo, o raio da circunferência é x = 11. Portanto, o comprimento
da circunferência será dado por:
C 2 r 2 3,14 11 69,08π
Resposta da questão 19: [C]
Raio de cada volta: 0,5 m.
Comprimento aproximado de cada
volta: 2 0,5 3,14 cm.π
Comprimento aproximado da
mangueira toda: 6 3,14 18,84 m 19 m.
Resposta da questão 20: [A]
Número de voltas: 1080°:360° = 3.
Distância total percorrida: 3 2 15 90 cm. π π
Resposta da questão 21: [D]
Comprimento de uma volta: C = 2.3,14.(135/2) = 423,9 m.
Comprimento de seis voltas: 6.423,9 = 2543,4 m. Resposta da questão 22: [B] Considere a figura abaixo.
Queremos calcular 2 OB. Sabemos que ED 2cm e
EC 4,5cm. Logo, DC EC ED 4,5 2 2,5cm.
Sendo M o ponto médio do segmento DC, vem que
DC 2,5DM 1,25cm.
2 2 Por outro lado, como EF AB,
temos FD ED EF ED AB 2 1,6 0,4cm.
Portanto, 2 OB 2 (FD DM) 2 (0,4 1,25) 3,3cm.
Resposta da questão 23: [B]
N.º de voltas = 4.396 4.3962.000.
2 0,35 6,28 0,35π
Resposta da questão 24: [C]
Resposta da questão 25: [A] Na raia 1, o atleta percorreria a
menor distância, pois seu comprimento é menor. Os raios das
semicircunferências são menores. Resposta da questão 26: [B] O ângulo percorrido pelo ponteiro
das horas em 20 minutos corresponde a 20
10 .2
Desse modo,
o menor ângulo formado pelos ponteiros dos minutos e das horas,
às 5 horas e 20 minutos, é igual a 30 10 40 . Em
consequência, o maior ângulo formado por esses ponteiros é
igual a 360 40 320 .
Observação: Dizemos que um ângulo α é obtuso se 90 180 .α
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