Разложение в степенной ряд cos(x)

Содержание

1. Теория. Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд функции cos(x) по целым неотрицательным степеням x

2. Промежуток сходимости 3. Сумма (на ЭВМ) n слагаемых разложения. Графическое изображение постепенного

приближения частичных сумм ряда к функции

1. Теория. Ряды Тейлора и Маклорена

Пусть функция имеет в окрестности точки производные любого порядка. Ряд

называется рядом Тейлора функции в точке .

Если , то ряд Тейлора имеет вид

и называется рядом Маклорена.

Радиус сходимости степенного ряда может быть как равным нулю, так и

отличным от него, причем в последнем случае сумма ряда Тейлора может не совпадать с . Важно определить, когда в формуле

~

допустим знак равенства, т. е. когда ряд Тейлора сходится к функции , для которой он

составлен. Если на , то говорят, что функция разложима в ряд

Тейлора в окрестности точки .Частичные суммы ряда Тейлора

представляют собой многочлены Тейлора для в точке  .

2. Разложение в степенной ряд функции cos(x) по целым неотрицательным степеням x

Найдём производные функции cos(x) и вычислим значения функции её производных в нуле:

Мы видим, что значения производных нечётного порядка равны нулю, а значения производных чётного порядка образуют последовательность единиц с чередующимися знаками. Подставляем полученные значения в ряд Маклорена:

,

3. Промежуток сходимости

Использую признак Даламбера, ряд сходится при любом х (-∞<х<+∞).

Можно сказать, что ряд сходится к функции у=cos(х), при любом значении х.

4. Сумма (на ЭВМ) n слагаемых разложения. Графическое изображение постепенного приближения частичных сумм ряда к функции

По формуле , найдём сумму ряда для n=1, n=2, n=3:

x cos(x) n=1 n=2 n=3-3,14 -1 -3,9298 0,120688 -1,21052

-3 -0,98999 -3,5 -0,125 -1,1375-2,86 -0,96061 -3,0898 -0,30206 -1,06214-2,72 -0,91244 -2,6992 -0,41852 -0,98097-2,58 -0,84641 -2,3282 -0,48205 -0,89167-2,44 -0,76382 -1,9768 -0,49991 -0,793-2,3 -0,66628 -1,645 -0,479 -0,6846

-2,16 -0,5557 -1,3328 -0,42581 -0,56686-2,02 -0,43425 -1,0402 -0,34646 -0,44082-1,88 -0,3043 -0,7672 -0,2467 -0,30802-1,74 -0,1684 -0,5138 -0,13187 -0,17041-1,6 -0,0292 -0,28 -0,00693 -0,03024

-1,46 0,11057 -0,0658 0,123522 0,11007-1,32 0,248175 0,1288 0,255298 0,247951-1,18 0,380925 0,3038 0,384582 0,380833-1,04 0,50622 0,4592 0,507944 0,506187-0,9 0,62161 0,595 0,622338 0,621599

-0,76 0,724836 0,7112 0,725101 0,724833-0,62 0,813878 0,8078 0,813957 0,813878-0,48 0,886995 0,8848 0,887012 0,886995-0,34 0,942755 0,9422 0,942757 0,942755-0,2 0,980067 0,98 0,980067 0,980067

-0,06 0,998201 0,9982 0,998201 0,9982010,08 0,996802 0,9968 0,996802 0,9968020,22 0,975897 0,9758 0,975898 0,9758970,36 0,935897 0,9352 0,9359 0,9358970,5 0,877583 0,875 0,877604 0,877582

0,64 0,802096 0,7952 0,802191 0,8020950,78 0,710914 0,6958 0,711223 0,710910,92 0,60582 0,5768 0,60665 0,6058081,06 0,488872 0,4382 0,490803 0,4888331,2 0,362358 0,28 0,3664 0,362253

1,34 0,228753 0,1022 0,236541 0,22851,48 0,090672 -0,0952 0,104711 0,0901141,62 -0,04918 -0,3122 -0,02522 -0,050331,76 -0,18808 -0,5488 -0,149 -0,190281,9 -0,32329 -0,805 -0,262 -0,32734

2,04 -0,45218 -1,0808 -0,35918 -0,459282,18 -0,57221 -1,3762 -0,43515 -0,584222,32 -0,68106 -1,6912 -0,48411 -0,700682,46 -0,77657 -2,0258 -0,49989 -0,80772,6 -0,85689 -2,38 -0,47593 -0,90498

2,74 -0,92044 -2,7538 -0,4053 -0,993022,88 -0,96598 -3,1472 -0,28066 -1,07323,02 -0,99262 -3,5602 -0,0943 -1,147983,16 -0,99983 -3,9928 0,161875 -1,221023,3 -0,98748 -4,445 0,496338 -1,29737

Рис.1. таблица сумм для n от 1 до 3

Рис.2. постепенное приближение частичной суммы ряда к функции cos(х)