Γραμμική Άλγεβρα - Υλικό...

Επίλυση και ανάλυση μη-τετραγωνικών συστημάτων Θεμελειώδεις Χώροι Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι Θεμελειώδεις Χώροι Θεμελειώδεις Χώροι Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι

Γραμμική Άλγεβρα - Υλικό Διαλέξεων

Μανόλης Βάβαλης

Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών ΥπολογιστώνΠανεπιστήμιο Θεσσαλίας

17 Νοεμβρίου 2017

Προσοχή

Απο εδώ και πέρα έχουμεn ̸=m

Άνω κλιμακωτός πίνακας

Ένας πίνακας είναι σε άνω κλιμακωτή μορφή αν

Ï όλες οι μηδενικές σειρές του βρίσκονται στον κάτω μέρος του,και

Ï το πρώτο μη-μηδενικό στοιχείο κάθε γραμμής, το οποίολέγεται οδηγό στοιχείο, βρίσκεται στα δεξιά του οδηγούστοιχείου της προηγούμενης γραμμής.

Παράδειγμα: $ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗0 $ ∗ ∗ ∗ ∗0 0 0 $ ∗ ∗0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

$ = μη-μηδενικό στοιχείο ή οδηγό στοιχείο, * = οτιδήποτε στοιχείο

Ένας πίνακας είναι σε άνω κλιμακωτή μορφή ανÏ όλες οι μηδενικές σειρές του βρίσκονται στον κάτω μέρος του,

και

Ï το πρώτο μη-μηδενικό στοιχείο κάθε γραμμής, το οποίολέγεται οδηγό στοιχείο, βρίσκεται στα δεξιά του οδηγούστοιχείου της προηγούμενης γραμμής.

Παράδειγμα: $ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗0 $ ∗ ∗ ∗ ∗0 0 0 $ ∗ ∗0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

καιÏ το πρώτο μη-μηδενικό στοιχείο κάθε γραμμής, το οποίο

λέγεται οδηγό στοιχείο, βρίσκεται στα δεξιά του οδηγούστοιχείου της προηγούμενης γραμμής.

Παράδειγμα: $ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗0 $ ∗ ∗ ∗ ∗0 0 0 $ ∗ ∗0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

καιÏ το πρώτο μη-μηδενικό στοιχείο κάθε γραμμής, το οποίο

λέγεται οδηγό στοιχείο, βρίσκεται στα δεξιά του οδηγούστοιχείου της προηγούμενης γραμμής.

Παράδειγμα: $ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗0 $ ∗ ∗ ∗ ∗0 0 0 $ ∗ ∗0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

Παράδειγμα

1 3 3 22 6 9 5−1 −3 3 0

→ 1 3 3 2

0 0 3 10 0 6 2

→ 1 3 3 2

0 0 3 10 0 0 0

1 3 3 22 6 9 5−1 −3 3 0

= 1 0 0

2 1 0−1 2 1

1 3 3 20 0 3 10 0 0 0

1 3 3 22 6 9 5−1 −3 3 0

→ 1 3 3 2

0 0 3 10 0 6 2

→ 1 3 3 2

0 0 3 10 0 0 0

1 3 3 22 6 9 5−1 −3 3 0

= 1 0 0

2 1 0−1 2 1

1 3 3 20 0 3 10 0 0 0

1 3 3 22 6 9 5−1 −3 3 0

→ 1 3 3 2

0 0 3 10 0 6 2

→ 1 3 3 2

0 0 3 10 0 0 0

1 3 3 22 6 9 5−1 −3 3 0

1 0 02 1 0−1 2 1

1 3 3 20 0 3 10 0 0 0

1 3 3 22 6 9 5−1 −3 3 0

→ 1 3 3 2

0 0 3 10 0 6 2

→ 1 3 3 2

0 0 3 10 0 0 0

1 3 3 22 6 9 5−1 −3 3 0

= 1 0 0

2 1 0−1 2 1

1 3 3 20 0 3 10 0 0 0

1 3 3 22 6 9 5−1 −3 3 0

→ 1 3 3 2

0 0 3 10 0 6 2

→ 1 3 3 2

0 0 3 10 0 0 0

1 3 3 22 6 9 5−1 −3 3 0

= 1 0 0

2 1 0−1 2 1

1 3 3 20 0 3 10 0 0 0

Παραγοντοποίηση A=PLU (n ̸=m)

Κάθε n×m πίνακας A μπορεί να αναλυθεί σεγινόμενο ενός πίνακα αντιμετάθεσης P, ενός κάτωτριγωνικού πίνακα L με μονάδες στην διαγώνιο καιενός άνω κλιμακωτού πίνακα U.

Ï Ο P καθορίζεται απο τις εναλλαγές γραμμώνπου απαιτεί η διαδικασία της απαλοιφής μεοδήγηση.

Ï Ο L έχει τους πολλαπλασιαστές της απαλοιφήςκάτω απο την διαγώνιο.

Ï Ο U τα στοιχεία του A όπως αυτά προκύπτουνμετά την απαλοιφή.

Ορισμοί

xγϵνικη: όλες οι λύσεις του Ax= b

xoµoγϵνoυς: όλες οι λύσεις του Ax= 0xειδικη: μια οποιαδήποτε λύση του

Ax= bΕλεύθερες μεταβλητές: όλες οι

συνιστώσες της λύσης πουδεν αντιστοιχούν σε στήλημε οδηγό.

Ορισμοί

xγϵνικη: όλες οι λύσεις του Ax= bxoµoγϵνoυς: όλες οι λύσεις του Ax= 0

xειδικη: μια οποιαδήποτε λύση τουAx= b

Ελεύθερες μεταβλητές: όλες οισυνιστώσες της λύσης πουδεν αντιστοιχούν σε στήλημε οδηγό.

Ορισμοί

xγϵνικη: όλες οι λύσεις του Ax= bxoµoγϵνoυς: όλες οι λύσεις του Ax= 0xειδικη: μια οποιαδήποτε λύση του

Ελεύθερες μεταβλητές: όλες οισυνιστώσες της λύσης πουδεν αντιστοιχούν σε στήλημε οδηγό.

Ορισμοί

xγϵνικη: όλες οι λύσεις του Ax= bxoµoγϵνoυς: όλες οι λύσεις του Ax= 0xειδικη: μια οποιαδήποτε λύση του

Ax= bΕλεύθερες μεταβλητές: όλες οι

συνιστώσες της λύσης πουδεν αντιστοιχούν σε στήλημε οδηγό.

Υπολογισμός Γενικευμένης Λύσης Ax= b

1. Aπαλοιφή στο Ax= b (Ax= b⇒Ux= c)

2. Μηδένισε τις ελεύθερες μεταβλητές και λύσε(xειδικη)

3. Θέσε b= 0 και διαδοχικά, σε κάθε ελεύθερημεταβλητή 1 θέτοντας ταυτόχρονα τιςυπόλοιπες μεταβλητές ίσες με 0 και βρες μιαομογενή λύση (xoµoγϵνoυς)

4. xγϵνικη = xειδικη+xoµoγϵνoυς

1. Aπαλοιφή στο Ax= b (Ax= b⇒Ux= c)2. Μηδένισε τις ελεύθερες μεταβλητές και λύσε

(xειδικη)

3. Θέσε b= 0 και διαδοχικά, σε κάθε ελεύθερημεταβλητή 1 θέτοντας ταυτόχρονα τιςυπόλοιπες μεταβλητές ίσες με 0 και βρες μιαομογενή λύση (xoµoγϵνoυς)

(xειδικη)3. Θέσε b= 0 και διαδοχικά, σε κάθε ελεύθερη

μεταβλητή 1 θέτοντας ταυτόχρονα τιςυπόλοιπες μεταβλητές ίσες με 0 και βρες μιαομογενή λύση (xoµoγϵνoυς)

1 3 0 2 −10 0 1 4 −31 3 1 6 −4

0 1 01 1 1

y1y2y3

→y1y2y3

1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −30 0 0 0 −0

x1x2x3x4x5

xειδικη =

x1x2x3x4x5

1 3 0 2 −10 0 1 4 −31 3 1 6 −4

0 1 01 1 1

y1y2y3

→y1y2y3

1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0

x1x2x3x4x5

xειδικη =

x1x2x3x4x5

1 3 0 2 −10 0 1 4 −31 3 1 6 −4

0 1 01 1 1

y1y2y3

→y1y2y3

1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −30 0 0 0 −0

x1x2x3x4x5

xειδικη =

x1x2x3x4x5

1 3 0 2 −10 0 1 4 −31 3 1 6 −4

0 1 01 1 1

y1y2y3

→y1y2y3

1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −30 0 0 0 −0

x1x2x3x4x5

xειδικη =

x1x2x3x4x5

xγϵνικη = xoµoγϵνoυς+xειδικη

xγϵνικη = c1

−31000

−410

xγϵνικη = c1

−410

xγϵνικη = c1

−410

Τέσσερα σημαντικά σύνολα

Ï Μηδενόχωρος N (A)

Ï Χώρος Στηλών R(A)

Ï Χώρος Γραμμών R (AT)

Ï Αριστερός Μηδενόχωρος N (AT)

Μηδενόχωρος N (A) ενός Πίνακα A ∈Rm×n είναιτο σύνολο όλων των διανυσμάτων x για τα οποίαισχύει ότι Ax= 0.

N (A)= {x ∈Rn :Ax= 0

Χώρος Στηλών R(A) ενός πίνακα A ∈Rm×n είναι τοσύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών τωνστηλών του A.

R(A)={

x ∈Rm : x=n∑

k=1ckA∗,k,∀ck ∈R

R(A)={

x ∈Rm : x=n∑

Χώρος Γραμμών R (AT) ενός πίνακα A ∈Rm×n είναιτο σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών τωνγραμμών του A.

R(AT)={

x ∈Rn : x=m∑

k=1ckAk,∗,∀ck ∈R

R(AT)={

x ∈Rn : x=m∑

Αριστερός Μηδενόχωρος N (AT) ενός πίνακα Aείναι το σύνολο όλων των διανυσμάτων x για ταοποία ισχύει ότι xTA= 0.

N (AT)= {x ∈Rm : xTA= 0

}N (AT)= {

x ∈Rm :ATx= 0}

N (AT)= {x ∈Rm : xTA= 0

N (AT)= {x ∈Rm :ATx= 0

N (AT)= {x ∈Rm : xTA= 0

}N (AT)= {

x ∈Rm :ATx= 0}

Θεωρήματα

Έστω ότι η απαλοιφή μετατρέπει το σύστημαAx= b στο σύστημα Ux= c.

Ï N (A)=N (U).

Ï x λύση του Ax= b⇔ b ∈R(A).

Θεωρήματα

Ï N (A)=N (U).Ï x λύση του Ax= b⇔ b ∈R(A).

Ορισμός

Διανυσματικός χώρος είναι ένα σύνολο αντικειμένων (πουσυνήθως ονομάζουμε διανύσματα) για τα οποία έχουμε ορίσειτις πράξεις

Ï άθροισμα δύο διανυσμάτων καιÏ πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με αριθμό.

Παραδείγματα: Το σύνολο των πραγματικών αριθμών, τοσύνολο των διανυσμάτων στο επίπεδο (στον τρισδιάστατοχώρο), το σύνολο των πραγματικών συναρτήσεων, . . .

Ορισμός

Διανυσματικός υποχώρος Y ενός διανυσματικού χώρου Vείναι ένα υποσύνολο του V τέτοιο ώστε

Ï το άθροισμα δύο οποιονδήποτε διανυσμάτων του Y ναανήκει και αυτό στο Y και

Ï ο πολλαπλασιασμός οποιουδήποτε διανύσματος Y μεέναν αριθμό να ανήκει και αυτό στο Y.

Παραδείγματα: Το σύνολο των διανυσμάτων του Rn, τοσύνολο των συμμετρικών n×n πινάκων, το σύνολο τωνσυνεχών πραγματικών συναρτήσεων, . . .

Ορισμός

Εναλακτικός Ορισμός

Διανυσματικός υποχώρος Y ενός διανυσματικού χώρου Vείναι ένα υποσύνολο του V τέτοιο ώστε κάθε γραμμικόςσυνδοιασμός των στοιχείων του Y ανήκει στο Y.

Διανυσματικός υποχώρος Y ενός διανυσματικού χώρου Vείναι ένα υποσύνολο του V τέτοιο ώστε ∀x,y ∈Y και∀α,β ∈R, αx+βy ∈Y.

Άσκηση

Ποιά απο τα παρακάτω σύνολα είναι διανυσματικοίυπόχωροι1. Οι n×n άνω τριγωνικοί πίνακες.

2. Οι n×n αντιστρέψιμοι πίνακες.3. Οι λύσεις του συστήματος Ax= b.4. Οι λύσεις του ομογενούς συστήματος Ax= 0.5. Το σύνολο των διανυσμάτων (x,y,z) που ανήκουν στο

επίπεδο z= 2.

Άσκηση

Ποιά απο τα παρακάτω σύνολα είναι διανυσματικοίυπόχωροι1. Οι n×n άνω τριγωνικοί πίνακες.2. Οι n×n αντιστρέψιμοι πίνακες.

3. Οι λύσεις του συστήματος Ax= b.4. Οι λύσεις του ομογενούς συστήματος Ax= 0.5. Το σύνολο των διανυσμάτων (x,y,z) που ανήκουν στο

Άσκηση

Ποιά απο τα παρακάτω σύνολα είναι διανυσματικοίυπόχωροι1. Οι n×n άνω τριγωνικοί πίνακες.2. Οι n×n αντιστρέψιμοι πίνακες.3. Οι λύσεις του συστήματος Ax= b.

4. Οι λύσεις του ομογενούς συστήματος Ax= 0.5. Το σύνολο των διανυσμάτων (x,y,z) που ανήκουν στο

Άσκηση

Ποιά απο τα παρακάτω σύνολα είναι διανυσματικοίυπόχωροι1. Οι n×n άνω τριγωνικοί πίνακες.2. Οι n×n αντιστρέψιμοι πίνακες.3. Οι λύσεις του συστήματος Ax= b.4. Οι λύσεις του ομογενούς συστήματος Ax= 0.

5. Το σύνολο των διανυσμάτων (x,y,z) που ανήκουν στοεπίπεδο z= 2.

Άσκηση

Ποιά απο τα παρακάτω σύνολα είναι διανυσματικοίυπόχωροι1. Οι n×n άνω τριγωνικοί πίνακες.2. Οι n×n αντιστρέψιμοι πίνακες.3. Οι λύσεις του συστήματος Ax= b.4. Οι λύσεις του ομογενούς συστήματος Ax= 0.5. Το σύνολο των διανυσμάτων (x,y,z) που ανήκουν στο

Ορισμοί

xγϵνικη: όλες οι λύσεις του Ax= bxoµoγϵνoυς: όλες οι λύσεις του Ax= 0

xειδικη: μια οποιαδήποτε λύση του Ax= bΕλεύθερες μεταβλητές: όλες οι συνιστώσες της λύσης που

δεν αντιστοιχούν σε στήλη με οδηγό.

μεταβλητή 1 θέτοντας ταυτόχρονα τιςυπόλοιπες μεταβλητές ίσες με 0 και βρες τοσύνολο των λύσεων του ομογενούς (xoµoγϵνoυς)

A= 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −31 3 1 6 −4

→ 1 0 0

0 1 01 1 1

1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0

x1x2x3x4x5

Λύσεις ομογενούς

, s2 =

, s3 =

A= 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −31 3 1 6 −4

→ 1 0 0

0 1 01 1 1

1 3 0 2 −10 0 1 4 −30 0 0 0 −0

1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −30 0 0 0 −0

x1x2x3x4x5

Λύσεις ομογενούς

, s2 =

, s3 =

A= 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −31 3 1 6 −4

0 1 01 1 1

y1y2y3

→y1y2y3

1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −30 0 0 0 −0

x1x2x3x4x5

xειδικη =

x1x2x3x4x5

A= 1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −31 3 1 6 −4

0 1 01 1 1

y1y2y3

→y1y2y3

1 3 0 2 −1

0 0 1 4 −30 0 0 0 −0

x1x2x3x4x5

xειδικη =

x1x2x3x4x5

Λύσεις

xγϵνικη = c1

−31000

−410

, ∀c1,c2,c3 ∈R

Επίλυση ομογενούς m×n

Ax= 0⇒LUx= 0⇒Ux=L−10⇒Ux= 0

1 3 3 20 0 3 10 0 0 0

−3v−y

Ax= 0⇒LUx= 0⇒Ux=L−10⇒Ux= 0

1 3 3 20 0 3 10 0 0 0

−3v−y

Ax= 0⇒LUx= 0⇒Ux=L−10⇒Ux= 0

1 3 3 20 0 3 10 0 0 0

−3v−y

Ax= 0⇒LUx= 0⇒Ux=L−10⇒Ux= 0

1 3 3 20 0 3 10 0 0 0

−3v−y

Ερωτήματα

Ï Είναι τα διανύσματα του xγϵνικη όλα λύσεις του συστήματος?Ï Είναι τα διανύσματα του xγϵνικη όλες οι λύσεις του

συστήματος?Ï Υπάρχει και άλλος τρόπος αναπαράστασης του xγϵνικη?Ï Κάτω απο ποιές συνθήκες ένα σύστημα έχει λύση?

Ύπαρξη λύσεων

Ï Αν ένα ομογενές σύστημα Ax= 0 έχει περισσότερουςαγνώστους απο εξισώσεις (n>m) τότε έχει μιατουλάχιστον μη-τεριμένη λύση.

Ï Το σύνολο των μη-τετριμένων λύσεων του ομογενούςσυστήματος Ax= 0 είναι ίσο με το σύνολο τωνμη-τετριμένων λύσεων του ομογενούς συστήματος Ux= 0όπου U ο άνω κλιμακωτός πίνακας που προκύπτει αποτον A με απαλοιφή.

Ï Αν ένα ομογενές σύστημα Ax= 0 έχει περισσότερουςαγνώστους απο εξισώσεις (n>m) τότε έχει μιατουλάχιστον μη-τεριμένη λύση.

Ï Το σύνολο των μη-τετριμένων λύσεων του ομογενούςσυστήματος Ax= 0 είναι ίσο με το σύνολο τωνμη-τετριμένων λύσεων του ομογενούς συστήματος Ux= 0όπου U ο άνω κλιμακωτός πίνακας που προκύπτει αποτον A με απαλοιφή.

Έστω ότι η απαλοιφή μετατρέπει το σύστημα Ax= b στο σύστημαUx= c. Έστω επίσης ότι υπάρχουν r (μη-μηδενικοί) οδηγοί τότε

Ï r=min{m,n}.Ï Οι τελευταίες m− r γραμμές του U είναι μηδενικές.Ï Υπάρχει λύση μόνον αν οι τελευταίες m− r συνίστώσες του c

είναι και αυτές μηδενικές.Ï Αν r=m υπάρχει πάντα λύσηÏ An r= n το ομογενές σύστημα έχει μόνον την τετριμένη λύση

Τέσσερα σημαντικά σύνολα

Ï Μηδενόχωρος N (A)

Ï Χώρος Στηλών R(A)

Ï Χώρος Γραμμών R (AT)

Ï Αριστερός Μηδενόχωρος N (AT)

N (A)= {x ∈Rn :Ax= 0

R(A)={

x ∈Rm : x=n∑

R(A)={

x ∈Rm : x=n∑

R(AT)={

x ∈Rn : x=m∑

R(AT)={

x ∈Rn : x=m∑

N (AT)= {x ∈Rm : xTA= 0

}N (AT)= {

x ∈Rm :ATx= 0}

N (AT)= {x ∈Rm : xTA= 0

N (AT)= {x ∈Rm :ATx= 0

N (AT)= {x ∈Rm : xTA= 0

}N (AT)= {

x ∈Rm :ATx= 0}

Θεωρήματα

Ï N (A)=N (U).

Ï x λύση του Ax= b⇔ b ∈R(A).

Θεωρήματα

Ï N (A)=N (U).Ï x λύση του Ax= b⇔ b ∈R(A).

Ορισμός

Εναλακτικός Ορισμός

Διανυσματικός υποχώρος Y ενός διανυσματικού χώρου Vείναι ένα υποσύνολο του V τέτοιο ώστε κάθε γραμμικόςσυνδοιασμός των στοιχείων του Y ανήκει στο Y.

Διανυσματικός υποχώρος Y ενός διανυσματικού χώρου Vείναι ένα υποσύνολο του V τέτοιο ώστε ∀x,y ∈Y και∀α,β ∈R, αx+βy ∈Y.

Άσκηση

Ποιά απο τα παρακάτω σύνολα είναι διανυσματικοίυπόχωροι1. Οι n×n άνω τριγωνικοί πίνακες.

2. Οι n×n αντιστρέψιμοι πίνακες.3. Οι λύσεις του συστήματος Ax= b.4. Οι λύσεις του ομογενούς συστήματος Ax= 0.5. Το σύνολο των διανυσμάτων (x,y,z) που ανήκουν στο

Άσκηση

Ποιά απο τα παρακάτω σύνολα είναι διανυσματικοίυπόχωροι1. Οι n×n άνω τριγωνικοί πίνακες.2. Οι n×n αντιστρέψιμοι πίνακες.

3. Οι λύσεις του συστήματος Ax= b.4. Οι λύσεις του ομογενούς συστήματος Ax= 0.5. Το σύνολο των διανυσμάτων (x,y,z) που ανήκουν στο

Άσκηση

Ποιά απο τα παρακάτω σύνολα είναι διανυσματικοίυπόχωροι1. Οι n×n άνω τριγωνικοί πίνακες.2. Οι n×n αντιστρέψιμοι πίνακες.3. Οι λύσεις του συστήματος Ax= b.

4. Οι λύσεις του ομογενούς συστήματος Ax= 0.5. Το σύνολο των διανυσμάτων (x,y,z) που ανήκουν στο

Άσκηση

Ποιά απο τα παρακάτω σύνολα είναι διανυσματικοίυπόχωροι1. Οι n×n άνω τριγωνικοί πίνακες.2. Οι n×n αντιστρέψιμοι πίνακες.3. Οι λύσεις του συστήματος Ax= b.4. Οι λύσεις του ομογενούς συστήματος Ax= 0.

5. Το σύνολο των διανυσμάτων (x,y,z) που ανήκουν στοεπίπεδο z= 2.

Άσκηση

Ποιά απο τα παρακάτω σύνολα είναι διανυσματικοίυπόχωροι1. Οι n×n άνω τριγωνικοί πίνακες.2. Οι n×n αντιστρέψιμοι πίνακες.3. Οι λύσεις του συστήματος Ax= b.4. Οι λύσεις του ομογενούς συστήματος Ax= 0.5. Το σύνολο των διανυσμάτων (x,y,z) που ανήκουν στο

Γραμμική Άλγεβρα - Υλικό...

Documents

Άλγεβρα - iep.edu.gr

4 Β΄ Λυκείου Άλγεβρα Προαγωγικές_2010

Mουσικό υλικό

Άλγεβρα Β Λυκέιου Κεφάλαιο 1

110565139 Άλγεβρα Β Τόμος Καζαντζης

Υλικό Πολυμέσων

Γραμμική Άλγεβρα - Κανονική 2014-2015 Ομάδα Β

Γραμμική Άλγεβρα 2

τόλης ευάγγελος άλγεβρα β΄λυκείου

Άλγεβρα Β Λυκείου

1Β΄ Λυκείου Άλγεβρα Προαγωγικές-2010

Γενετικό υλικό

γραμμική αλγεβρα

221. Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ (2009-10) 31

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Η Άλγεβρα ου Αλ …me.math.uoa.gr/dipl/dipl_Papadopoulos.Stathis.pdfΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Η Άλγεβρα ου Αλ-Χουαρίζμι

γραμμική άλγεβρα ι

Εκπαιδευτικό Υλικό

Γραμμική Β

Άλγεβρα Α Λυκείου 1983

Γραμμική Άλγεβρα - Θέματα