สงครามกรีก-เปอร์เซีย กับทฤษฎีบทของ...

1

สงครามกรก-เปอรเซย โดย ศล (22/05/2552) กองกาลงเปอรเซยกรฑาทพเขาประจนหนากบกองทพกรก (คดงาย ๆ วาทงสองฝายเดนเขาหากนในแนวเสนตรง) แตละทพเดนดวยอตราเรวคงทซงไมจาเปนตองมอตราเรวเทากน และแตละทพสงสายสบทพละสองนาย ประกอบดวยพลเดนเทาหนงนายและทหารมาอกหนงนายออกเดนทางลวงหนา สายสบทงคเดนทางดวยอตราเรวไมเทากน แตคงท ทหารมาเดนทางเรวกวาพลเดนเทา ถากรกและเปอรเซยสงสายสบออกไปไมพรอมกน แตเวลาปลอยจะปลอยสายสบทงสองคนพรอม ๆ กน นอกจากขบวนทพกรกและเปอรเซยแลวในแนวเสนตรงททงสองทพกาลงมงเขาประจญกนนนยงมนกแสวงบญผหนงทกาลงเดนทางดวยอตราเรวคงท (อาจจะเดนเขาหาฝายไหนกไดครบ เชน นกแสวงบญคนนกาลงมงตรงไปยงทพเปอรเซย) หลงจากททหารมาเปอรเซยเดนทางไปถงทพกรกแลวจะบายหนากลบสทพเปอรเซยทนท ทหารมากรกกทาแบบเดยวกน สายสบพลเดนเทาของกรกเดนถงทพเปอรเซยเปนเวลาเดยวกบททหารมาเปอรเซยยอนกลบมาถงทพเปอรเซย และสายสบพลเดนเทาของเปอรเซยเดนถงทพกรกเปนเวลาเดยวกบททหารมากรกยอนกลบมาถงทพกรก ทงขาไปและขากลบทหารมาของทงสองทพเดนทางสวนทางกน ณ เวลาเดยวกบททงคผานนกแสวงบญ จงพสจนวาในขาไปของสายสบเดนเทาทงสองฝายกตองสวนทางกน ณ เวลาเดยวกบททงคเดนทางผานนกแสวงบญเชนเดยวกน ผเขยนเจอโจทยปญหาขอนในเวบบอรดแหงหนง1 ซงอานดผาน ๆ รอบแรกกชวนใหตงคาถามในใจวา “จรงเหรอ?” “จาเปนดวยเหรอ?” กลองวาดภาพเหตการณลงบนกระดาษโดยเขยนแผนภาพทแสดงความสมพนธระหวางตาแหนงกบเวลา (เรยกวา space-time diagram) ใหแกนตงเปนตาแหนงพกดของทพทงสอง และแกนนอนเปนเวลา ถาเราสมมตใหแนวเสนตรงทแสดงทศการเดนทางของทงสองฝายอยในแนวทศเหนอใต อาจจะกาหนดใหเปอรเซยยกทพจากเหนอลงสใต ในขณะทกรกยกทพจากใตขนเหนอ เมอเวลาผานไป ระยะหางระหวางสองทพนกจะนอยลง ซงถาเราเขยนกราฟแสดงความสมพนธระหวางระยะทางกบเวลาไมวาของฝายใดกตามเราจะไดกราฟเสนตรง เพราะโจทยสรางเงอนไขอตราเรวคงท (อตราเรวหาจากระยะทางทเคลอนทไดตอหนวยเวลา พดไดวาสาหรบกราฟการเคลอนททแสดงความสมพนธระหวางระยะทาง-เวลา ความชนของมนกคออตราเรว และมเพยงเสนตรงเทานนทความชนคงท) เขยนแผนภาพไดดงรป

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8t0

X3

X2

X1

G0G1

G2

G3

B

P3

P2

P1

P0

กรก

เปอรเซย

ผแสวงบญ

เวลา

ตาแหนง

แผนภาพตาแหนง-เวลาของเหตการณ

1 ตอนอานจบผเขยนวาดภาพตามไดเปนฉาก ๆ นกถงหนง 300 จากการตนของ Frank Miller ทเลาเรองราวการศกชองเขาเทอรโมพเล (Thermopylae คานแปลตรงตววา hot gates) ของกษตรยเลโอไนดสท 1 (Leonidas ชอนแปลวาบตรแหงสงโต) ทนาทหารสปารตาไมกพนคนตานเพอชะลอทพเปอรเซยนบแสนทบกมาจากฝงอาหรบของเทพกษตรยเซอรเซส (ชอ Xerxes แปลวา “นกรบ” แตมนกการศกษาสมยใหมเสนอวาคานนาจะแปลวา “วรบรษในหมนกปกครอง” มากกวา)

2

ลองมาตความจากแผนภาพกน ทเวลา t0 กษตรยเซอรเซสเรมยกทพออกจากเปอรเซย (P0) มงหนาลงใตหมายยดครองกรก ผานไป t1-t0 หนวยเวลา กษตรยเลโอไนดสแหงสปารตา (G0) รขาวจงชกชวนทหารหาญจานวนหนงขนเหนอออกรบศก (แผนภาพนบอกเราวาเปอรเซยกบสปารตาหางกน P0-G0 หนวยระยะทาง) จากนนเวลา t2 ทตาแหนง P1 เซอรเซสสงพลเดนเทาและทหารมาออกไปเพอสบขาวกองทพกรก ทหารมา (ดเสนสแดง) ใชเวลาเดนทาง t5-t2 หนวยเวลาในการเดนทางถงทพกรกซงขณะนนไดเคลอนพลมาถงตาแหนง G2 แลว ระหวางทกาลงเดนทางมายงทพกรกเขาไดสวนทางกบทหารมาสอดแนมชาวกรก (ดเสนสนาเงน) และนกแสวงบญคนหนง (ดเสนสเขยว) ทตาแหนง X1 (เหนไดชดวานกแสวงบญทานนกาลงเดนทางขนเหนอตรงไปยงกองกาลงเปอรเซย) หลงจากบรรลถงยงทพของเลโอไนดสแลวทหารมาเปอรเซยกบายหนากลบคนสคายของตนเองทนท และถงคายทพเปอรเซยทเวลา t6 ณ ตาแหนง P3 ซงเปนเวลาเดยวกบทพลเดนเทาชาวกรก (ดเสนสฟา) ไดเดนทางมาถงทพเปอรเซยเชนกน (พลเดนเทาและทหารมากรกเดนทางออกจากคายกรกเมอเวลา t3 ขณะททพกรกตงอย ณ ตาแหนง G1) ระหวางทางขากลบทหารมาเปอรเซยผานนกแสวงบญคนเดมทตาแหนง X3 และสวนทางกบทหารมาชาวกรกคนเดม คาถามของโจทยขอนคอจด X2 ซงเปนจดทพลเดนเทาของกรก (ฟา) และพลเดนเทาของเปอรเซย (ชมพ) เดนสวนทางกนนน อยบนเสนสเขยวหรอไม? หรออกนยหนงเทากบถามวาทงสองคนเดนสวนทางกนพรอม ๆ กบทเดนผานนกแสวงบญหรอไม? (โจทยบอกวา “ใช” และใหเราพสจน) ดงนนเมอวาดแผนภาพแลวคาถามนเปลยนเปนคาถามเชงเรขาคณต คอ จงพสจนวาจด X1, X2 และ X3 อยบนเสนตรงเดยวกน มาถงตรงนถาใครรจกทฤษฎบทของพพพส2 (Pappus’ Therem) กจบทนท ทฤษฎบทของพพพสบอกวา (ดรปขวามอ) ถา A, B, C เปนจดสามจดบนเสนตรงเสนหนง และ D, E, F เปนจดอกสามจดบนเสนตรงอกเสนหนง ถา AE ตดกบ BD ทจด X, AF ตดกบ CD ทจด Y และ CE ตดกบ BF ทจด Z แลวจด X, Y และ Z อยบนเสนตรงเดยวกน (collinear) จะเหนวาถาเราแทน A, B, C ดวย P1, P2, P3 และ D, E, F ดวย G1, G2, G3 และ X, Y, Z ดวย X1, X2, X3 แผนภาพตาแหนง-เวลาของเหตการณสงครามกรก-เปอรเซยตรงกบรปในทฤษฎบทพพพสทกประการ ลองมาพสจนกนครบ คดแบบตรงไปตรงมา วธทจะแสดงวา X1, X2, X3 อยบนเสนตรงเดยวกนหรอไม เราใชวธพจารณาความชนของเสนตรงทเชอมระหวางจดสองจด ถาความชนของ X1X2 เทากบ X2X3 (หรอ X1X3) เราพดไดทนทวา X1, X2, X3 อยบนเสนตรงเดยวกน เพอความสะดวกในการคานวณ ผเขยนจะขอหมนแกนตาแหนง-เวลาใหมเพอใหแกนเวลาขนานกบเสนตรง G0B (ในแกนใหมนพดไดวากองทพของกรกไมไดเดนทาง แตปกหลกอยตาแหนงเดมตลอดเวลา) และกาหนดตาแหนงพกดในแกนใหมสาหรบจด G1, G2, G3 และ P1, P2, P3 คอ (t1,s1), (t2,s2), (t3,s3) และ (t4,s4), (t5,s5), (t6,s6) ตามลาดบ และจด X1, X2, X3 คอ (tX1,sX1), (tX2,sX2), (tX3,sX3) เนองจาก G0B ขนานกบแกนเวลาใหม ดงนน s1=s2=s3=sG และเพอความสะดวกยงขน เราจะปรบให sG = 0 และถา P0B มความชนเทากบ m มสมการในรป y = mx + c ดงนน si = mti + c เมอ i=4, 5 และ 6 สงเกตวาถาเรากาหนดใหจด B เปนจดกาเนด (หรอเหตการณ B เกดขนท t = 0 ) เราสามารถกาจดพจน c ได (ในทนการปรบเลอนแกนไมมผลกระทบตอการพสจน)

เสนตรง G1P2 มสมการ3คอ =− −

5

1 5

mtst t t t1

, เสนตรง G2P1 มสมการคอ =− −

4

2 4

mtst t t t2

และจด (sX1,tX1)

เปนจดตดของเสนตรงทงสอง ดงนนเราไดระบบสมการ

2 พพพสแหงอะเลกซานเดรย (Pappus of Alexandria) เปนนกคณตศาสตรชาวกรกทมชวตอยในราวปลายครสตศตวรรษทสามถงตนศตวรรษทส ผลงานทโดงดงและคงเหลอรอดมาจนถงปจจบนคอ Synagoge หรอ Collection ซงเปนตารารวบรวมเนอหาคณตศาสตรแปดเลม โดยทวไปเมอพดถงทฤษฎบทของพพพสนน คนสวนใหญจะนกถงทฤษฎบทรปหกเหลยม (Pappus’s Hexagon Theorem) แตกยงมอกสามทฤษฎบททนยมเรยกยอ ๆ วาทฤษฎบทของพพพสเชนกน ไดแก Centroid Theorem, Pappus Chain และ Harmonic Theorem สาหรบในบทความนใชคาวาทฤษฎบทของพพพสหมายถง Hexagon Theorem

3 สมการเสนตรงทผานจด (x1,y1) กบ (x2,y2) คอ ⎛ ⎞−

− = −⎜ ⎟−⎝ ⎠

2 11 1

2 1

y yy y (x x )

x x

3

=− −

5X1

X1 1 5 1

mtst t t t

(๑)

=− −X1 4

X1 2 4 2

s mtt t t t

(๒)

แก (๑) และ (๒) ได ⎛ ⎞−

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

2 4 5 1 4 5X1

2 5 1 4

t t t t t ts m

t t t t,

− + −=

−2 4 5 1 4 5 1 2 5 1 2 4

X12 5 1 4

t t t t t t t t t t t tt

t t t t

หมนแกนเพอให G0B // แกนเวลาใหม

เวลาใหม

ตาแหนงใหม

P0

X3 (tX3,sX3)

X2 (tX2,sX2)

X1 (tX1,sX1)

G0G1 (t1,s1)

G2 (t2,s2)

G3 (t3,s3)

B

P3 (t6,s6) P2 (t5,s5)

P1 (t4,s4)

กรก

เปอรเซย

ผแสวงบญ

หมนแกนเดมเพอใหแกนเวลาใหมขนานกบ G0B

P1 (t4,mt4)

ความชน P0B = m = −−

4 6

4 6

s st t

G0

P0

ตาแหนงใหม

G1 (t1,0) G2 (t2,0) G3 (t3,0) B

P3 (t6,mt6)

P2 (t5,mt5)

เวลาใหมจดกาเนด

หมนรปทหมนแกนแลวใหดงายขนจากนนปรบให sG=0 และ B เปนจดกาเนด (origin)

4

ทานองเดยวกน ⎛ ⎞−

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

3 4 6 1 4 6X2

3 6 1 4

t t t t t ts m

t t t t,

− + −=

−3 4 6 1 4 6 1 3 6 1 3 4

X23 6 1 4

t t t t t t t t t t t tt

t t t t และ

⎛ ⎞−= ⎜ ⎟

−⎝ ⎠3 5 6 2 5 6

X33 6 2 5

t t t t t ts m

t t t t,

− + −=

−3 5 6 2 5 6 2 3 6 2 3 5

X33 6 2 5

t t t t t t t t t t t tt

t t t t

ถงตรงนถาเราหาความชนเสนตรง X1X2 ตรง ๆ กคงทาไดครบ คอ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −−⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− + − − + −−

− −

2 4 5 1 4 5 3 4 6 1 4 6

2 5 1 4 3 6 1 4

2 4 5 1 4 5 1 2 5 1 2 4 3 4 6 1 4 6 1 3 6 1 3 4

2 5 1 4 3 6 1 4

t t t t t t t t t t t tm m

t t t t t t t tt t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t

t t t t t t t t

แตเหนแบบนผเขยนกขวญกระเจงแลว วธทใชรบมอกบรปแบบนคอการเปลยนตวแปร จบแตงตวเสยใหม

สงเกตพจนทดตาลายทสด เชน − + −

=−

2 4 5 1 4 5 1 2 5 1 2 4X1

2 5 1 4

t t t t t t t t t t t tt

t t t t มตวแปรทเกยวของสตว t1, t2, t4

และ t5 ดทตวตง (เศษ) ของมนมสพจนยอย แตละพจนยอยขาดตวแปรทเกยวของไปพจนยอยละตว เราจดรป

ตวตงใหมใหมหนาตา ( ) ⎛ ⎞− + −⎜

⎝ ⎠1 2 4 5

1 2 4 5

1 1 1 1t t t t

t t t t⎟ และจดรปของตวหาร (สวน) ในทานองเดยวกน

( ) ⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠1 2 4 5

1 4 2 5

1 1t t t t

t t t t ดงนน

− + −=

−

1 2 4 5X1

1 4 2 5

1 1 1 1t t t t

t1 1

t t t t

จงดเหมอนการกาหนดตวแปรใหมให ui = 1/ti

เปนการเปลยนตวแปรทมเหตผล เมอจดรปใหม เราได

− + −= =

−1 2 4 5 X1

X11 4 2 5 X1

u u u u Tt

u u u u D,

⎛ ⎞−= =⎜ ⎟

−⎝ ⎠1 2 X1

X11 4 2 5 X1

u u Ss m

u u u u Dm

− + −= =

−1 3 4 6 X2

X21 4 3 6 X2

u u u u Tt

u u u u D,

⎛ ⎞−= =⎜ ⎟

−⎝ ⎠1 3 X2

X21 4 3 6 X2

u u Ss m

u u u u Dm

− + −= =

−2 3 5 6 X3

X32 5 3 6 X3

u u u u Tt

u u u u D,

⎛ ⎞−= =⎜ ⎟

−⎝ ⎠2 3 X3

X32 5 3 6 X3

u u Ss m

u u u u Dm

สงเกต TX1+TX3 = TX2, SX1+SX3 = SX2 และ DX1+DX3 = DX2 ตรวจสอบเงอนไขททาให X1, X2, X3 อยบน

เสนตรงเดยวกน คอ −−

=− −

X2 X3X1 X2

X1 X2 X2 X3

s ss st t t t

−−=

− −

X3X2X1 X2

X2 X3X1 X2

X1 X2 X3X2

X1 X2 X2 X3

SSS Sm mm m

D DD DT T TTD D D D

−−=

− −X2 X3 X3 X2X1 X2 X2 X1

X1 X2 X2 X1 X2 X3 X3 X2

S D S DS D S DT D T D T D T D

(๓)

5

แทนคา TX1+TX3 = TX2 และ DX1+DX3 = DX2 ลงใน (๓) ได

−−=

+ − + + − +

−−=

− −

− = −

X2 X3 X3 X2X1 X2 X2 X1

X1 X1 X3 x1 X3 X1 x1 X3 X3 X3 X1 X3

X2 X3 X3 X2X1 X2 X2 X1

X1 X3 X3 X1 x1 X3 X3 X1

X1 X2 X2 X1 X2 X3 X3 X2

S D S DS D S DT (D D ) (T T )D (T T )D T (D D )

S D S DS D S DT D T D T D T D

S D S D S D S D

จดรป (SX1+SX3)DX2 = SX2(DX1+DX3) พบวาเปนจรง เพราะฉะนน X1, X2, X3 อยบนเสนตรงเดยวกน

QED