TMV151/TMV181 Fredrik LindgrenOutline 1 Massa, moment masscentrum. Avsnitt 7.4. Massa Moment och masscentrum 2 Centroider, Pappus sats, avsnitt 7.5 Centroider Pappus sats F. Lindgren

TMV151/TMV181

Fredrik Lindgren

Matematiska vetenskaper

Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet

19 november 2013

F. Lindgren (Chalmers&GU) Envariabelanalys 19 november 2013 1 / 24

Outline

1 Massa, moment masscentrum. Avsnitt 7.4.MassaMoment och masscentrum

2 Centroider, Pappus sats, avsnitt 7.5CentroiderPappus sats


Punktmassor, linjedensiteters massor

Den totala massan m av N punktmassor med massorna mj ,j = 1, . . . ,N ges av

m =N∑

j=1

mj .

Den totala massorna av en rät tråd från x = a till x = b medlinjedensitet δ(x) ges av

m =

∫ b

a

δ(x) dx .


Ytors massor

Om ett område begränsas av a ≤ x ≤ b och 0 ≤ y ≤ f (x) och omytdensiteten σ(x) beror endast av x så ges ytans massa av

m =

∫ b

a

σ(x)f (x) dx .

En yta som fås av att rotera grafen (x , f (x)) för a ≤ x ≤ b runtx-axeln och som har en ytdensitet som bara beror av positionen i x-ledhar en massa m som ges av

m = 2π∫ b

a

σ(x)f (x)√

1 + f ′(x)2 dx


Kroppars massor

Om en kropp har känd snittsarea A(x) för snitt genom i (x , 0, 0)vinkelräta mot x-axeln och densitet ρ(x) som bara beror av positioneni x-led så ges massan hos den del av kroppen som befinner sig mellanx = a och x = b av

m =

∫ b

a

ρ(x)A(x) dx .

En rotationskropp som fås av att rotera området a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ f (x) runt x-axeln och som har densitet ρ(x) har massan

m = π

∫ b

a

ρ(x)f (x)2 dx .

Hur ser uttrycket för massan av en rotationskropp runt y -axeln ut?


Punktmassors moment

Definition

Om vi har N punktmassor mj utplacerade i punkterna xj , j = 1, . . . ,N såges massornas moment med avseende på punkten x0 av

Mx=x0 =N∑

j=1

mj(xj − x0).

Momentet m.a.p. x0 är alltså summan av produkten av punktmassona ochderas avstånd till x0 (med tecken!)


Punktmassors masscentrum

Definition

Masscentrum är den punkt x̄ för vilken Mx=x̄ = 0

Sats

Masscentrum x̄ ges av

x̄ =Mx=0

m.

Bevis.

Det gäller att

0 = Mx=x̄ =N∑

j=1

mj(xj − x̄) =N∑

j=1

mjxj −N∑

j=1

mj x̄ = Mx=0 − x̄m.

Så mx̄ = Mx=0 ⇔ x̄ = Mx=0m .


En massfördelning kan ersättas med en punktmassa

En massfördelning kan ersättas med en punktmassa i momentberäkningarenligt följande sats.

Sats

Det gäller att punktmassornas moment m.a.p. x = x0 ges av

Mx=x0 = m(x̄ − x0)

där x̄ är systemets masscentrum.


Bevis av satsen ovan.

Bevis.

Vi har att

Mx=x0 =N∑

j=1

mj(xj − x0) =N∑

j=1

(mj(xj − x̄) + mj(x̄ − x0))

=N∑

j=1

mj(xj − x̄) +N∑

j=1

mj(x̄ − x0) = Mx=x̄ + m(x̄ − x0)

= 0 + m(x̄ − x0).


Moment hos linjedensiteterEn tunn rät tråd med linjedensiteten δ(x) kan ses som en oändlig mängdpunktmassor där linjestycket dx innehållande punkten x har massandm = δ(x)dx och således momentet dMx=0 = xδ(x)dx med avseende påx = 0.

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

1

2

3

4

5

dx

dm=δ(x)dx

x=a x=b\bar{x}

linjedensitetenδ(x)

Figur: Bild som beskriver linjdensitet ...F. Lindgren (Chalmers&GU) Envariabelanalys 19 november 2013 10 / 24

Det följer att hela trådens moment ges av

Mx=0 =

∫ b

a

xδ(x)dx .

Trådens masscentrum ges av

x̄ =Mx=0

m=

∫ b

axδ(x)dx

∫ b

aδ(x)dx

.


Moment och masscentrum hos punktmassor i planetVi låter våra N punktmassor mj vara utplacerade i planet i punkterna(xj , yj).

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

m1=1

m2=2

m3=1

(xj,y

j)=(−1 ,0)

(xj,y

j)=(1 ,−1)

(xj,y

j)=(1 ,1)

x=\bar{x}y=\bar{y}

Figur: Bild som beskriver punktmassor.


Moment och masscentrum hos punktmassor i planet, forts.Momentet m.a.p. linjen x = x0 ges som förut av

Mx=x0 =N∑

j=1

mj(xj − x0).

och masscentrums x-koordinat av

x̄ =Mx=0

m.

Vi inför nu momentet My=y0 m.a.p linjen y = y0 på samma sätt:

My=y0 =N∑

j=1

mj(yj − y0).

och med motsvarande definition av masscentrums y -koodinat ȳ så fås att

ȳ =My=0

moch My=y0 = (ȳ − y0)m.


Ytdensiteters moment I

Betrakta den plana ytan som begränsas av a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x).Om den har en densitet σ = σ(x) så ges den infinitessimala massandm ovanför dx av dm = σ(x)f (x)dx . . .

. . . och momentet runt x = 0 som den ger upphov till avdMx=0 = xdm = xσ(x)f (x)dx . . .

. . . så det totala mometet ges av

Mx=0 =

∫ b

a

xσ(x)f (x)dx .


Ytdensiteters moment II

För att få momentet med avseende på y = 0 så konstaterar vi attmasscentrum för arean ovanför dx ligger i (x , 1

2f (x)). . .

. . . varvid dMy=0 = 12 f (x)dm =12f (x)σ(x)f (x)dx = 1

2σ(x)f (x)2dx

. . .

. . . varvid

My=0 =12

∫ b

a

σ(x)f (x)2dx .


Ytdensiteters masscentrum

Det gäller att

x̄ =Mx=0

m=

∫ b

axσ(x)f (x)dx

∫ b

aσ(x)f (x) dx

och

ȳ =My=0

m=

12

∫ b

aσ(x)f (x)2dx

∫ b

aσ(x)f (x) dx .

Dessutom är

Mx=x0 = m(x̄ − y0), My=y0 = m(ȳ − y0)


Kurvdensiteters moment och masscentrum

Om en kurva C ges av en funktionsgraf C = {(x , f (x)) : a ≤ x ≤ b} ochhar densitet δ(x) så ges dess moment runt koordinataxlarna av

Mx=0 =

∫ b

a

xδ(x) ds =

∫ b

a

xδ(x)√

a + f ′(x)2 dx

respektive

My=0 =

∫ b

a

δ(x)f (x)√

a + f ′(x)2 dx .

Masscentrum ges sedan av

x̄ =Mx=0

m, ȳ =

My=0

m

med m =∫ b

aδ(x)

√

a + f ′(x)2 dx . Övertyga dig om detta!


Outline

1 Massa, moment masscentrum. Avsnitt 7.4.MassaMoment och masscentrum

2 Centroider, Pappus sats, avsnitt 7.5CentroiderPappus sats


Centroid

Om ett plant område a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x) har fix densitet σ = 1så är massan densamma som arean av området.

m =

∫ b

a

σf (x) dx =

∫ b

a

f (x) dx = A.

I det här fallet kallas områdets masscentrum (x̄ , ȳ) dess centroid ochär alltså en egenskap hos det geometriska objektet.Talet x̄ kallas också f :s medelvärde.För ett plant område a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x) gäller alltså att attcentoriden ges av

x̄ =Mx=0

A, ȳ =

My=0

A.

där

Mx=0 =

∫ b

a

xf (x) dx ,

My=0 =12

∫ b

a

f (x)2 dx ,


Exempel, centroider

Exempel

En cirkels centroid är dess centrum.

Exempel

Halvcirkeln begränsad av −R ≤ x ≤ R, 0 ≤ y ≤√

R2 − x2 har centroiden ix̄ = 0 på grund av symmetrin. Det gäller att A = πR2/2 och

My=0 =12

∫ R

−R

(R2 − x2) dx = 12

(

2R3 −[

x3

3

]R

−R

)

=12

(

2R3 − 2R3

3

)

=2R3

3.

så

ȳ =2R3/3πR2/2

=4R3π


Triangelns centroid

Sats (Triangelns centroid)

En triangels centroid ges av skärningspunkterna mellan dess medianer.

Bevisidé.

Beviset bygger på faktumet att masscentrum är oberoende av val avkoordinataxlar. Genom att visa att momentet med avssende på engodtycklig median är noll följer att masscentrum måste ligga på varjemedian och därmed i medianernas skärningspunkt.


Pappus sats

Sats (Pappus sats)

Om ett plant område S ligger helt och hållet på ena sidan om en linje L såges volymen av kroppen då vi roterar S runt L av områdets area A gångersträckan som centroiden färdas under rotationen. Låt r̄ vara det vinkelräta

avståndet från centroiden (x̄ , ȳ) till L. Då färdas centroiden sträckan 2πr̄och volymen V ges av

V = 2πr̄A.


−3 −2 −1 0 1 2 3−2

0

2

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

y

z


Bevis av Pappus sats

Bevis.

Välj koordinatsystem så L är y -axeln och antag att vår yta S är ingstängdmellan x = a och x = b. Då är r̄ = x̄ . Låt dA vara arean ovanför den tunnaremsan med bredd dx . Vi har att rotationscylinderns volym ges avdV = 2πxdA och

V = 2π∫ b

a

x dA = 2πMx=0 = 2πx̄A = 2πr̄A.

Pappus sats kan användas för att räkna ut såväl volymer som masscentrum(hos plana ytor). Studera exempel 5-6 sid. 422.


Massa, moment masscentrum. Avsnitt 7.4.MassaMoment och masscentrum

Centroider, Pappus sats, avsnitt 7.5CentroiderPappus sats

Documents

TMV151/TMV181 Fredrik LindgrenOutline 1 Massa, moment masscentrum. Avsnitt 7.4. Massa Moment och masscentrum 2 Centroider, Pappus sats, avsnitt 7.5 Centroider Pappus sats F. Lindgren