View
222
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
1
Zadatak 161 (Zdravka, srednja škola) Put između postaja A i B putnički vlak prevali za 3 sata manje nego teretni. Kolika je
udaljenost od A do B ako je brzina teretnog vlaka 50 km/h, a putničkog 80 km/h?
Rješenje 161
∆t = tt – tp = 3 h, vt = 50 km/h, vp = 80 km/h, s = ?
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
,s
s v t tv
= ⋅ ⇒ =
gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.
Neka je s udaljenost od A do B. Taj put teretni vlak prevali za vrijeme tt brzinom vt.
.s
ttvt
=
Isti put s putnički vlak prevali za vrijeme tp brzinom vp.
.s
t pvp
=
Budući da put s između postaja A i B putnički vlak prevali za 3 sata manje nego teretni, vrijedi
jednadžba
1 1 v vs s p tt t t t s t s tpt
v v v v v vp p pt t t
−− = ∆ ⇒ − = ∆ ⇒ ⋅ − = ∆ ⇒ ⋅ = ∆ ⇒
⋅
50 80
3 400 .
8
/
0 50
km kmv v v vp pvt t h hs t s t h km
km kmv v v
vpt
v vppt th h
t vp
⋅⋅
⋅− ⋅⇒ ⋅ = ∆ ⇒ = ∆ ⋅ = ⋅ =
⋅ − −−
Vježba 161
Put između postaja A i B putnički vlak prevali za 6 sati manje nego teretni. Kolika je
udaljenost od A do B ako je brzina teretnog vlaka 50 km/h, a putničkog 80 km/h?
Rezultat: 800 km.
Zadatak 162 (QW, medicinska škola)
Pretpostavimo da se Sunce 'ugasi'. Nakon koliko vremena bi na Zemlji nastupio mrak, ako je
udaljenost Zemlja – Sunce jednaka 152 · 106 km? (brzina svjetlosti u praznini c = 3 · 10
8 m/s)
. . . . . 8.44 min . . 8 .A Istog trena B Nakon nekoliko godina C Nakon ute D Nakon s
Rješenje 162
s = 152 · 106 km = 152 · 109 m, c = 3 · 108 m/s, t = ?
11 60 min 1 min
60.h h= ⇒ =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
,s
s v t tv
= ⋅ ⇒ =
gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.
Pretpostavimo da se Sunce 'ugasi'. Vrijeme nakon kojega bi na Zemlji nastupio mrak iznosi:
[ ]9
152 10506.67 8.44 mi5 n .06.67:
0
08
3 1
6s m
t smc
s
⋅= = = = =
⋅
2
Odgovor je pod C.
Vježba 162
Pretpostavimo da se Sunce 'ugasi'. Nakon koliko vremena bi na Zemlji nastupio mrak, ako je
udaljenost Zemlja – Sunce jednaka 1.52 · 108 km? (brzina svjetlosti u praznini c = 3 · 10
5 km/s)
. . . . . 8.44 min . . 8 .A Istog trena B Nakon nekoliko godina C Nakon ute D Nakon s
Rezultat: C.
Zadatak 163 (Josipa, srednja škola)
Automobil vozi na putu dugom 200 km srednjom brzinom 72 km/h. Prvih 100 km prevalio je
za 1 sat. Koliko mu vremena treba za preostalih 100 km?
Rješenje 163
s = 200 km, v = 72 km/h, s1 = 100 km, t1 = 1 h, s2 = 100 km, t2 = ?
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
,s
s v t tv
= ⋅ ⇒ =
gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s, što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t:
.s
vt
∆=
∆
Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s, onda kažemo da se na tom
putu tijelo giba jednoliko te vrijedi
.s
vt
=
Izračunamo ukupno vrijeme t potrebno automobilu da put s prijeđe srednjom brzinom v.
.s
tv
=
Budući da je prvi dio puta s1 prevalio za vrijeme t1, ostatak puta s2 prevalit će za vrijeme t2.
2001 1.78 .
2 1 2 172
s kmt t t t t h h
kmv
h
= − ⇒ = − = − =
Vježba 163
Automobil vozi na putu dugom 400 km srednjom brzinom 144 km/h. Prvih 200 km prevalio je
za 1 sat. Koliko mu vremena treba za preostalih 200 km?
Rezultat: 1.78 h.
Zadatak 164 (Pavle, srednja škola)
Filip pliva s jedne na drugu obalu rijeke brzinom 0.5 m/s u smjeru okomitom na tok rijeke.
Rijeka je široka 10 m. Koliko ga je metara rijeka odvukla nizvodno ako je brzina rijeke 3 m/s?
. 10 . 15 . 30 . 60A m B m C m D m
Rješenje 164
v1 = 0.5 m/s, d = 10 m, v2 = 3 m/s, s = ?
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi
, , ,s s
s v t t vv t
= ⋅ = =
gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.
3
Sličnost trokuta
b1
c1
a1
c
b a
C1
A B
C
A1
B1
Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su
odgovarajući kutovi jednaki, a odgovarajuće stranice proporcionalne.
,, ,1 1 1
1 1 1
.a b c
ka b c
α α β β γ γ= = = = = =
Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti. Kraće:
Dva su trokuta slična ako su im kutovi sukladni, a odgovarajuće stranice proporcionalne (razmjerne).
Prvi poučak sličnosti (K – K)
Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta.
Drugi poučak sličnosti (S – K – S)
Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu, a stranice koje određuju taj kut su
proporcionalne.
Treći poučak sličnosti (S – S – S)
Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne.
Četvrti poučak sličnosti (S – S – K)
Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne, a podudaraju se u kutu nasuprot većoj
stranici.
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.
Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete,
a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta.
Tangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine
katete uz taj kut.
Složena gibanja Tijelo se složeno giba kad istodobno obavlja dva ili više gibanja. Pri takvom gibanju vrijedi načelo
neovisnosti gibanja koje glasi:
Kad tijelo istodobno obavlja dva gibanja, giba se tako da se u svakom trenutku nalazi u točki do koje bi stiglo kad bi obavilo samo jedno gibanje u određenom vremenskom razmaku, a neovisno o tom gibanju istodobno i drugo gibanje u istom vremenskom razmaku.
vvvv1111
vvvv2222
ssss
dddd
αααααααα
dddd
ssss
vvvv2222
vvvv1111
1.inačica
Uočimo dva pravokutna trokuta. Prvi pravokutni trokut ima katete v1 i v2, a drugi d i s. Oni su
međusobno slični jer imaju jednake kutove. Iz sličnosti pravokutnih trokuta dobije se omjer:
4
32 2 2 10 60 .
1 1 1 0.5
/
mv v vs s ss d m m
md v d v v
s
d= ⇒ = ⇒ ⋅ =⋅ = ⋅ =
Odgovor je pod D.
2.inačica
Uočimo dva pravokutna trokuta. Prvi pravokutni trokut ima katete v1 i v2, a drugi d i s. Budući da
pravokutni trokuti imaju jednake kutove, pomoću funkcije tangens dobije se:
metoda/
kompar
32 2 2 10 60 .
2 1 1acije
1 0.5
1
smtg
d v v vs s ss d m mv md v d v v
tgsv
d
α
α
=
⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ = ⋅ =
=
⋅
Ili
10 6 60 .362
1 0.5
/s
tgsdtg
d s d tgms m m
v tgstg tgm
d
v
s
αα
α
αα α
==
= ⋅⇒ ⇒ ⇒ = ⋅ =
== =
⋅
Odgovor je pod D.
3.inačica
Koristimo se načelom neovisnosti složenog gibanja. Vrijeme za koje plivač prepliva rijeku širine d
brzinom v1 kad bi plivao okomito na suprotnu obalu je
1020 .
1 0.5
d mt s
mv
s
= = =
Za to vrijeme struja je plivača ponijela nizvodno za udaljenost s brzinom v2 pa je:
3 20 60 .2
ms v t s m
s= ⋅ = ⋅ =
Odgovor je pod D.
Vježba 164
Filip pliva s jedne na drugu obalu rijeke brzinom 1 m/s u smjeru okomitom na tok rijeke.
Rijeka je široka 10 m. Koliko ga je metara rijeka odvukla nizvodno ako je brzina rijeke 6 m/s?
. 10 . 15 . 30 . 60A m B m C m D m
Rezultat: D.
Zadatak 165 (4A, TUPŠ)
Zrakoplov se pri uzlijetanju otisne brzinom od 315 km/h pod kutom od 22° prema ravnini
piste. Na kojoj se visini izraženoj u metrima zrakoplov nalazi nakon 8 s?
Rješenje 165
v = 315 km/h = [315 : 3.6] = 87.5 m/s, α = 22°, t = 8 s, h = ?
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
,s v t= ⋅
gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.
5
Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete,
a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta.
Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine
hipotenuze.
αααα
hhhh
ssss
Zrakoplov se pri uzlijetanju otisne brzinom v pa za vrijeme t prevali put
s v t= ⋅
i postigne visinu h. Uočimo pravokutan trokut čija je kateta h, a hipotenuza s. Pomoću funkcije sinus
dobije se:
sin sin sinsin
/ v
s v th h
h v thv t v t
s
tα α αα
= ⋅
⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⋅⋅ ⋅ =⋅ ⋅=
087.5 8 sin 22 262.22 .
ms m
s= ⋅ ⋅ =
Vježba 165
Zrakoplov se pri uzlijetanju otisne brzinom od 315 km/h pod kutom od 22° prema ravnini
piste. Na kojoj se visini izraženoj u metrima zrakoplov nalazi nakon 16 s?
Rezultat: 524.45 m.
Zadatak 166 (Maja, srednja škola)
Na brojčaniku automobila pročitamo s1 = 15159 km u 9 h 40 min i s2 = 15301 km u 11 h 25
min. Odredite srednju brzinu automobila.
Rješenje 166
s1 = 15159 km, t1 = 9 h 40 min, s2 = 15301 km, t2 = 11 h 25 min, v = ?
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s, što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t:
prijeđeni dio puta2 1
pripadni dio vremena2
, .
1
,s ss
v v vt t t
−∆= = =
∆ −
[ ]15301 15159 1422 1
11 25 min 9 40 min 10 81
5 min 9 40 min0 n
1
mi
2
6s s km km km
vt t h h h h
h− −
= = === =− − −
142 142 142 142 60 14281.14 .
45 60 45 1051 45 min 1051
60 60 60
km km km km km km
h h hh h h h
⋅= = = = = =
++
6
Vježba 166
Na brojčaniku automobila pročitamo s1 = 15158 km u 8 h 40 min i s2 = 15300 km u 10 h 25
min. Odredite srednju brzinu automobila.
Rezultat: 81.14 km/h.
Zadatak 167 (Panter, obrtnička škola)
Gibanje materijalne točke prikazano je u v – t dijagramu. Odredite ukupan put što ga je
prešla materijalna točka za 0.6 sati od početka gibanja. Nacrtajte s – t dijagram danog gibanja.
Odredite prosječnu vrijednost brzine materijalne točke za prvih 0.6 sati.
v / v / v / v /
kmkmkmkm
hhhh
t / ht / ht / ht / h
30303030
20202020
0.60.60.60.60.50.50.50.50.40.40.40.40.30.30.30.30.20.20.20.20000 0.10.10.10.1
10101010
Rješenje 167
t1 = 0 h, t2 = 0.2 h, t3 = 0.3 h, t4 = 0.6 h, s = ?, v = ?
U v – t dijagramu površina ispod krivulje odgovara veličini puta što ga je tijelo prešlo gibajući se u
vremenu ∆t brzinom v. Dakle, prijeđeni put može se odrediti računajući površinu ispod krivulje v(t).
s
∆∆∆∆t
v = konst.
∆∆∆∆t
s = v ⋅⋅⋅⋅ ∆∆∆∆t
v
tt1 t2t2t1 t
v
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s, što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t:
prijeđeni dio puta2 1
pripadni dio vremena2
, .
1
,s ss
v v vt t t
−∆= = =
∆ −
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi
, ,s
v s v tt
= = ⋅
gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.
7
ssss3333ssss2222
ssss1111
tttt4444tttt3333
tttt2222tttt1111
v / v / v / v /
kmkmkmkm
hhhh
t / ht / ht / ht / h
30303030
20202020
0.60.60.60.60.50.50.50.50.40.40.40.40.30.30.30.30.20.20.20.20000 0.10.10.10.1
10101010
Pri rješavanju zadataka tog tipa moramo najprije pogledati koje su veličine naznačene za
koordinatne osi. Vidjet ćemo da je riječ o vremenu t iskazanom satima t / h i brzini v iskazanoj
kilometrima po satu v / kmh-1
. To znači da dijagram prikazuje promjenu brzine nekoga gibanja.
Prijeđeni put odgovara površini ispod krivulje.
Opis pravocrtnog gibanja prikazanog v – t dijagramom glasi:
• u prvom vremenskom intervalu ∆t = t2 – t1 tijelo se giba stalnom brzinom v = 30 km/h
• u drugom vremenskom intervalu ∆t = t3 – t2 tijelo miruje, v = 0
• u trećem vremenskom intervalu ∆t = t4 – t3 tijelo se giba stalnom brzinom v = 10 km/h.
Na prvom dijelu puta, od nula do 0.2 h, put ćemo izračunati iz izraza za površinu pravokutnika:
( ) ( )30 30 0.2 0 30 0.2 6 .1 2 1 1 1 1
km km kms t t s h h s h s km
h h h= ⋅ − ⇒ = ⋅ − ⇒ = ⋅ ⇒ =
Na drugom dijelu puta, od 0.2 h do 0.3 h, materijalna točka miruje jer je brzina nula.
( )0 0 .2 3 2 2
kms t t s km
h= ⋅ − ⇒ =
Na trećem dijelu puta, od 0.3 h do 0.6 h, put ćemo izračunati iz izraza za površinu pravokutnika:
( ) ( )10 10 0.6 0.3 10 0.3 3 .3 4 3 3 3 3
km km kms t t s h h s h s km
h h h= ⋅ − ⇒ = ⋅ − ⇒ = ⋅ ⇒ =
Prijeđeni put iznosi:
6 0 3 9 .1 2 3
s s s s s km km km km= + + ⇒ = + + =
tttt4444tttt3333tttt2222
tttt1111
s / kms / kms / kms / km
t / ht / ht / ht / h
9999
8888
7777
6666
5555
4444
3333
2222
0.60.60.60.60.50.50.50.50.40.40.40.40.30.30.30.30.20.20.20.20000 0.10.10.10.1
1111
Kako se iz formule za put s v t= ⋅
8
vidi, put je linearna funkcija vremena. To znači da će grafički prikaz puta kao funkcije vremena
(prikaz puta u s, t – dijagramu) biti pravac kroz ishodište s nagibom prema osi vremena (t – osi), a
nagib je ovisan o brzini v.
Prosječnu vrijednost brzine materijalne točke za prvih 0.6 sati iznosi:
915 .
0.6
s km kmv
t h h= = =
Vježba 167
Gibanje materijalne točke prikazano je u v – t dijagramu. Odredite ukupan put što ga je
prešla materijalna točka za 0.6 sati od početka gibanja.
t / ht / ht / ht / h
v / v / v / v /
kmkmkmkm
hhhh
0.50.50.50.50.30.30.30.3
30303030
20202020
0.60.60.60.60.40.40.40.40.20.20.20.20000 0.10.10.10.1
10101010
Rezultat: 7 km.
Zadatak 168 (Šumski, šumarska škola)
Tijelo se dio puta giba brzinom 4 m/s, zatim tri desetine puta brzinom 5 m/s, a zadnju desetinu
puta brzinom 3 m/s. Kolika je prosječna brzina tijela?
Rješenje 168
s1, v1 = 4 m/s, 3
,2 10
s s= ⋅ v2 = 5 m/s, 1
,3 10
s s= ⋅ v3 = 3 m/s, v = ?
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi
, ,s
s v t tv
= ⋅ =
gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s, što ga je tijelo prešlo za to
vrijeme i vremenskog razmaka ∆t:
prijeđeni dio puta2 1
pripadni dio vremena2
, .
1
,s ss
v v vt t t
−∆= = =
∆ −
Najprije odredimo koji dio ukupnog puta s odpada na početni put s1.
( ) 3 1 4
1 2 3 1 2 3 1 110 10 10s s s s s s s s s s s s s s s= + + ⇒ = − + ⇒ = − ⋅ + ⋅ ⇒ = − ⋅ ⇒
4
10
2 3.
1 1 15 5s s s s s s s s⇒ = − ⋅ ⇒ = − ⋅ ⇒ = ⋅
Svaki je dio puta tijelo prešlo za određeno vrijeme:
• na putu s1 gibalo se brzinom v1 pa je proteklo vrijeme
9
3
3511 1 1 5
1 1 1
ss st t t
v v v
⋅⋅
= ⇒ = ⇒ =⋅
• na putu s2 gibalo se brzinom v2 pa je proteklo vrijeme
3
31022 2 2 10
2 2 2
ss st t t
v v v
⋅⋅
= ⇒ = ⇒ =⋅
• na putu s3 gibalo se brzinom v3 pa je proteklo vrijeme
1
3 10 .3 3 3 10
3 3 3
ss st t t
v v v
⋅
= ⇒ = ⇒ =⋅
Ukupno vrijeme na putu je:
6 33 3 2 3 1 3 1 21 2 3 5 10 10 10
1 2 3 1 2 3
v v s v v s v v ss s st t t t t t
v v v v v v
⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⋅ ⋅= + + ⇒ = + + ⇒ = ⇒
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
6 32 3 1 3 1 2 .
101 2 3
v v v v v vt s
v v v
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⇒ = ⋅
⋅ ⋅ ⋅
Prosječna brzina tijela iznosi:
6 3 6 32 3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 2
10 101 2 3 1 2 3
s sv v v
v v v v v v v v v v v vts
v v v v v
s
sv
= ⇒ = ⇒ = ⇒⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅
⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
101 1 2 36 3 6 32 3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 2
101 2 3
v v vv v
v v v v v v v v v v v v
v v v
⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = =
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅
⋅ ⋅ ⋅
10 4 5 3
4.11 .
6 5 3 3 4 3 4 5
m m m
ms s s
m m m m m m s
s s s s s s
⋅ ⋅ ⋅
= =
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅
Vježba 168
Tijelo se tri petine puta giba brzinom 4 m/s, zatim tri desetine puta brzinom 5 m/s, a zadnji dio
puta brzinom 3 m/s. Kolika je prosječna brzina tijela?
Rezultat: 4.11 m/s.
Zadatak 169 (Neodlučna, gimnazija)
Biciklist učini 1500 okreta pedalama u 10 minuta. Polumjer kotača bicikla je 30 cm. Kolikom
se stalnom brzinom giba biciklist?
Rješenje 169
n = 1500, t = 10 min = 600 s, r = 30 cm = 0.30 m, v = ?
Opseg kruga polumjera r:
2 .O r π= ⋅ ⋅
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest kvocijent dijela puta ∆s, što ga je tijelo prešlo za
to vrijeme i vremenskog razmaka ∆t:
10
prijeđeni dio puta2 1
pripadni dio vremena2
, .
1
,s ss
v v vt t t
−∆= = =
∆ −
s = n s = n s = n s = n ⋅⋅⋅⋅ OOOO
OOOOOOOO
Ako se kotač bicikla jedanput okrene prijeđeni put po iznosu jednak je opsegu kotača
2 .O r π= ⋅ ⋅
Budući da se kotač n puta okrenuo ukupan put dan je izrazom
2 .s n O s n r π= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅
Brzina kojom se giba biciklist iznosi:
metoda
supstituc
22 1500 2 0.30
600ije
s n rn r m
vst sv
t
ππ π
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⇒ ⇒ = = = =
[ ]4.71 3.64.71 16.96 .m km
s h= = =⋅
Vježba 169
Biciklist učini 3000 okreta pedalama u 20 minuta. Polumjer kotača bicikla je 30 cm. Kolikom
se stalnom brzinom giba biciklist?
Rezultat: 16.96 .km
h
Zadatak 170 (Neodlučna, gimnazija)
Na kojoj je udaljenosti od Marka nastao grom, ako je bljesak munje vidio 5 s prije nego što je
čuo grom? Brzina svjetlosti je 3 · 108 m/s, a brzina zvuka 330 m/s.
Rješenje 170
∆t = 5 s, c = 3 · 108 m/s, v = 330 m/s, s = ?
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
,s
s v t tv
= ⋅ ⇒ =
gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.
Računamo vrijeme za koje Marko:
• vidi munju: s
tmc
=
• čuje grom: .s
tgv
=
Budući da je razlika u vremenima ∆t, slijedi:
1/
1s s c v c vt t t t s t s t s tg m
v
v c v c v c v
c
c vc
− −− = ∆ ⇒ − = ∆ ⇒ ⋅ − = ∆ ⇒ ⋅ = ∆ ⇒ ⋅ = ∆ ⇒
⋅ ⋅
⋅⋅
−
8330 3 10
5 1650 1.65 .8
3 10 330
m m
v c s ss t s m kmm mc v
s s
⋅ ⋅⋅
⇒ = ∆ ⋅ = ⋅ = =−
⋅ −
11
Vježba 170
Na kojoj je udaljenosti od Marka nastao grom, ako je bljesak munje vidio 10 s prije nego što je
čuo grom? Brzina svjetlosti je 3 · 108 m/s, a brzina zvuka 330 m/s.
Rezultat: 3.3 km.
Zadatak 171 (Amer, srednja škola)
Automobil je projurio pored policajca 10 min nakon kamiona. Na kojoj će udaljenosti
automobil stići kamion, ako se on giba brzinom 60 km/h, a kamion 40 km/h?
Rješenje 171
∆t = 10 min = 600 s, v1 = 60 km/h = [60 : 3.6] = 16.67 m/s,
v2 = 40 km/h = [40 : 3.6] = 11.11 m/s, s = ?
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
,s
s v t tv
= ⋅ ⇒ =
gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.
VVVV2222
VVVV1111
Neka je t vrijeme za koje automobil sustigne kamion. Put automobila iznosi:
.1 1
s v t= ⋅
Budući da je kamion vozio ∆t vremena dulje od automobila, prevalio je put
( ) .2 2
s v t t= ⋅ + ∆
U trenutku stizanja je
( )1 2 1 2 1 2 2 1 2 2s s v t v t t v t v t v t v t v t v t= ⇒ ⋅ = ⋅ + ∆ ⇒ ⋅ = ⋅ + ⋅ ∆ ⇒ ⋅ − ⋅ = ⋅ ∆ ⇒
( ) ( ) 21 2 2 1 2 2
1/
1 2 1 2
v tt v v v t t
vv v v t
vt
v v
⋅ ∆⇒ ⋅ − = ⋅ ∆ ⇒ ⋅ − = ⋅ ⇒ =
− −⋅∆ =
11.11 600
1198.92 .
16.67 11.11
ms
s sm m
s s
⋅
= =
−
Udaljenost s susreta automobila i kamiona može se izračunati na dva načina:
• 1
16.67 1198.92 199861
1 1
s s ms v t s m
s v t s
=⇒ = ⋅ = ⋅ =
= ⋅
• ( )
( ) ( )211.11 1198.92 600 19986 .
22 2
s s ms v t t s s m
ss v t t
=⇒ = ⋅ + ∆ = ⋅ + =
= ⋅ + ∆
Vježba 171
Automobil je projurio pored policajca 10 min nakon kamiona. Na kojoj će udaljenosti
automobil stići kamion, ako se on giba brzinom 120 km/h, a kamion 80 km/h?
Rezultat: 19986 m.
12
Zadatak 172 (Josip, tehnička škola)
Autobus duljine 20 m vozi brzinom 36 km/h, a automobil duljine 4 m brzinom 90 km/h.
Izračunaj koliko vremena treba da se mimoiđu.
Rješenje 172
d1 = 20 m, v1 = 36 km/h = [36 : 3.6] = 10 m/s, d2 = 4 m,
v2 = 90 km/h = [90 : 3.6] = 25 m/s, t = ?
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
,s
s v t tv
= ⋅ ⇒ =
gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.
dddd2222dddd1111
vvvv2222
vvvv1111
Pri mimoilaženju automobil mora prijeći put koji je jednak njegovoj duljini d2 i duljini autobusa d1 pa
je ukupni put
.1 2
d d d= +
Budući da se vozila mimoilaze, relativna brzina automobila u odnosu na autobus je
.1 2
v v v= +
Vrijeme mimoilaženja iznosi:
20 41 2 0.69 .
1 2 10 25
d dd m mt t s
m mv v v
s s
+ += ⇒ = = =
++
Vježba 172
Autobus duljine 40 m vozi brzinom 72 km/h, a automobil duljine 8 m brzinom 180 km/h.
Izračunaj koliko vremena treba da se mimoiđu.
Rezultat: 0.69 s.
13
Zadatak 173 (Mario, srednja škola)
Srednja brzina autobusa iznosi 90 km/h. Ako krene u 9 h 10 min, u koliko sati će stići u
mjesto udaljeno 123 km? Uračunaj 10 min stajanja.
Rješenje 173
v = 90 km/h = [90 : 3.6] = 25 m/s, t1 = 9 h 10 min, s = 123 km = 123000 m,
∆t = 10 min, t = ?
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
,s
s v t tv
= ⋅ ⇒ =
gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.
9 h 10 min9 h 10 min9 h 10 min9 h 10 min ????
vvvv
Vrijeme koje je autobus proveo na putu iznosi:
[ ]123000
4920 82 min .2
4920 : 60
25
st s
mv
s
= = = = =
Računamo u koliko će sati autobus stići u mjesto.
[ ]9 10 min 82 min 10 min 9 102 mi 1n 10 42 min .1 2
60 mint t t t h h hh= + + ∆ = + + = = ==
Vježba 173
Srednja brzina autobusa iznosi 90 km/h. Ako krene u 7 h 10 min, u koliko sati će stići u
mjesto udaljeno 123 km? Uračunaj 10 min stajanja.
Rezultat: 8 42 min .h
Zadatak 174 (Mislav, srednja škola)
S obale je istodobno odaslan zvučni signal kroz vodu i zrak. Na brodu su ti signali primljeni u
razmaku ∆t = 16 s. Brzina zvuka u zraku iznosi v1 = 340 m/s, a u vodi v2 = 1450 m/s. Kolika su
vremena putovanja zvuka kroz vodu i zrak?
Rješenje 174
∆t = 16 s, v1 = 340 m/s, v2 = 1450 m/s, t1 = ?, t2 = ?
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
,s v t= ⋅
gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.
Budući da je udaljenost s kroz zrak i vodu od obale do broda jednaka, vrijedi:
1 1.
1 1 2 22 2
s v tv t v t
s v t
= ⋅⇒ ⋅ = ⋅
= ⋅
• Računamo vrijeme t1 putovanja zvuka kroz zrak.
1/ metoda
2supsti
11 1 2 21 1 2 2 2 1
21 2
1 2 1
tuci e
2
j
vv t v tv t v t t t
vt t t
t t t t t t
v⋅ = ⋅⋅ = ⋅ = ⋅
⇒ ⇒ ⇒ ⇒− = ∆
− = ∆ − = ∆
⋅
11 1 1 2 111 1 1 1 11
2 2 2 2
v v v v vt t t t t t t t t
v v v v
−⇒ − ⋅ = ∆ ⇒ ⋅ − = ∆ ⇒ ⋅ − = ∆ ⇒ ⋅ = ∆ ⇒
14
1450 162 1 2 20.9 .
1 12 2 1 1450 3
2
1 40
/
2
msv v v t
st t t sm mv v v
s
v
v v
s
⋅−
⋅− ⋅ ∆⇒ ⋅ = ∆ ⇒ = = =
−−
• Računamo vrijeme t2 putovanja zvuka kroz vodu.
1/ metoda
1supsti
21 1 2 21 1 2 2 1 2
11 2
1 2 1
tuci e
2
j
vv t v tv t v t t t
vt t t
t t t t t t
v⋅ = ⋅⋅ = ⋅ = ⋅
⇒ ⇒ ⇒ ⇒− = ∆
− = ∆ − = ∆
⋅
12 2 2 2 112 2 2 2 21
1 1 1 1
v v v v vt t t t t t t t t
v v v v
−⇒ ⋅ − = ∆ ⇒ ⋅ − = ∆ ⇒ ⋅ − = ∆ ⇒ ⋅ = ∆ ⇒
340 162 1 1 4.9 .
2 21 2 1 1450 3
1/
02 41
msv v v t
st t t sm mv v
v
v v v
s s
⋅−
⋅− ⋅ ∆⇒ ⋅ = ∆ ⇒ = = =
−−
Vježba 174
S obale je istodobno odaslan zvučni signal kroz vodu i zrak. Na brodu su ti signali primljeni u
razmaku ∆t = 32 s. Brzina zvuka u zraku iznosi v1 = 340 m/s, a u vodi v2 = 1450 m/s. Kolika su
vremena putovanja zvuka kroz vodu i zrak?
Rezultat: 41.8 , 9.8 .1 2t s t s= =
Zadatak 175 (Dado, tehnička škola)
Na tijelo djeluju tri sile sa zajedničkim hvatištem: sila od 112 N ima smjer prema zapadu, sila
od 100 N prema istoku, a sila od 5 N prema sjeveru. Kolika je rezultanta sila i koji joj je smjer?
A) 18 N u smjeru jugozapada
B) 118 N u smjeru sjeveroistoka
C) 13 N u smjeru sjeverozapada
D) 218 N u smjeru jugoistoka
E) 30 N u smjeru sjeverozapada
Rješenje 175
F1 = 112 N, F2 = 100 N, F3 = 5 N, Fr = ?
Zbrajanje vektora po pravilu paralelograma
Zbroj dvaju vektora sa zajedničkom početnom točkom (hvatištem) je vektor čiji je početak ta točka, a
završetak četvrti vrh paralelograma konstruiranog zadanim vektorima.
cccc = = = = a a a a + + + + bbbb
ccccbbbb
aaaa
ABABABAB + + + + AC AC AC AC = = = = ADADADADDDDD
AAAA BBBB
CCCC
Ako vektori komponenata leže na istom pravcu zbrajaju (oduzimaju) se algebarski.
15
vvvv = = = = vvvv2222 - - - - vvvv1111
vvvvvvvv1111
vvvv2222vvvv1111
Pitagorin poučak: Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak
zbroju kvadrata nad katetama.
Slike govore sve! ☺
FFFF12121212
FFFF2222
FFFF3333FFFF3333
FFFF2222FFFF1111
JJJJ
SSSS
IIIIZZZZ
JJJJ
S
IIIIZZZZ
Vektori i1 2
F F→ →
leže na istom pravcu, a imaju suprotne orijentacije pa je iznos njihove rezultante F12
jednak:
112 100 12 .12 1 2
F F F N N N= − = − =
FFFF12121212
FFFF3333 FFFF3333
FFFFrrrr
FFFF12121212
JJJJ
SSSS
IIIIZZZZ
JJJJ
S
IIIIZZZZ
16
Rezultanta Fr sila dobije se pomoću Pitagorinog poučka:
( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2
12 5 13 .12 3 12 3 12 3
/F F F F F F F F F N N Nr r r= + ⇒ = + ⇒ = + = + =
Sa slike vidi se da je smjer rezultante sila sjeverozapad.
Odgovor je pod C.
Vježba 175
Na tijelo djeluju tri sile sa zajedničkim hvatištem: sila od 112 N ima smjer prema istoku, sila
od 100 N prema zapadu, a sila od 5 N prema sjeveru. Kolika je rezultanta sila i koji joj je smjer?
A) 18 N u smjeru jugozapada
B) 13 N u smjeru sjeveroistoka
C) 13 N u smjeru sjeverozapada
D) 15 N u smjeru jugoistoka
E) 13 N u smjeru sjeverozapada
Rezultat: B.
Zadatak 176 (Moni, priprema za prijamni)
Udaljenost od Zagreba do Dubrovnika iznosi 600 km. Prvih 150 km automobil vozi brzinom
od 120 km/h. Kolikom srednjom brzinom mora prevaliti preostalih 450 km da ukupna srednja brzina
bude 80 km/h?
Rješenje 176
s = 600 km, s1 = 150 km, v1 = 120 km/h, s2 = 450 km, v = 80 km/h, v2 = ?
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
,s
s v t tv
= ⋅ ⇒ =
gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.
Prvi dio puta s1 automobil je brzinom v1 prevalio za vrijeme t1:
1 .1
1
st
v=
Drugi dio puta s2 automobil je brzinom v2 prevalio za vrijeme t2:
2 .2
2
st
v=
Cijeli put s, od Zagreba do Dubrovnika, automobil je prevalio za vrijeme t:
.1 2
t t t= +
U istom vremenu t mogao je prijeći cijeli put s vozeći srednjom vrzinom v pa vrijedi:
1 2 2 1 2 1 1 2 11 2
1 2 2 1 2 1 2 1 1
s s s s s s v v s v v vs st t t
v v v v v v v v v s s v v s
⋅ − ⋅ ⋅+ = ⇒ + = ⇒ = − ⇒ = ⇒ = ⇒
⋅ ⋅ − ⋅
/2
2 1 12 2
2 1 1 1 1
v v v v vv s
s s v v s vs
s v s
⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⋅ =
⋅ − ⋅ ⋅⋅
− ⋅
80 120
450 72 .
600 120 80 150
km km
km kmh h
km km h hkm km
h h
⋅
= ⋅ =
⋅ − ⋅
17
vvvv2222vvvv1111
ssss
ssss2222ssss1111
Vježba 176
Udaljenost od Zagreba do Dubrovnika iznosi 600 km. Zadnjih 450 km automobil vozi
brzinom 72 km/h. Kolikom srednjom brzinom mora prevaliti prvih 150 km da ukupna srednja brzina
bude 80 km/h?
Rezultat: 120 km/h.
Zadatak 177 (Hana, medicinska škola)
Koliko je daleko od promatrača eksplodirala raketa vatrometa ako je promatrač vidio njezin
bljesak 2 s prije nego što je čuo zvuk eksplozije? Brzina zvuka u zraku iznosi 340 m/s i puno je manja
od brzine svjetlosti.
. 170 . 340 . 680 . 1360A m B m C m D m
Rješenje 177
t = 2 s, v = 340 m/s, s = ?
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
,s v t= ⋅
gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.
Budući da je brzina svjetlosti mnogo veća od brzine zvuka, promatrač je vidio bljesak vatrometa
trenutačno. Zvuk eksplozije rakete čuo je 2 s kasnije pa njegova udaljenost do mjesta eksplozije
rakete iznosi:
340 2 680 .m
s v t s ms
= ⋅ = ⋅ =
Odgovor je pod C.
Vježba 177
Koliko je daleko od promatrača eksplodirala raketa vatrometa ako je promatrač vidio njezin
bljesak 4 s prije nego što je čuo zvuk eksplozije? Brzina zvuka u zraku iznosi 340 m/s i puno je manja
od brzine svjetlosti.
. 170 . 340 . 680 . 1360A m B m C m D m
Rezultat: D.
Zadatak 178 (Tonka, gimnazija)
Putnički vlak prelazi put između dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka. Ako je prosječna
brzina putničkog vlaka 60 km/h, a prosječna brzina brzog vlaka 100 km/h, koliko iznosi udaljenost
postaja?
Rješenje 178
t1 = t + 2 vrijeme putničkog vlaka u satima, t2 = t vrijeme brzog vlaka u satima,
v1 = 60 km/h, v2 = 100 km/h, s = ?
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
18
,s
s v t tv
= ⋅ ⇒ =
gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.
Dogovor!
Mjerna jedinica za brzinu je km/h, mjerna jedinica za vrijeme je h, mjerna jedinica za put je km.
1.inačica
Budući da je jednaki put s putnički vlak prešao za 2 sata sporije od brzog vlaka, vrijedi:
( )1 12 2
1 1 2 2 1 2 1 1 22 2
s v tv t v t v t v t v t v v t
s v t
= ⋅⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ + = ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⇒
= ⋅
( )2 2 22 1 1 2 1 1 2 1 1
v t v t v v t v t v t v v v⇒ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ − = ⋅ ⇒
( ) 1/
2
212 .
2 1 121 1
vt v v v t
vv v v⋅
−
⋅⇒ ⋅ − = ⋅ ⇒ =
−
Našli smo vrijeme, u satima, za koje brzi vlak prevali put s. Duljina puta s iznosi:
2 21
2 2 221 1 1 22 1 2
2 1 2 1 2 12 2
2 2
t tv
tv v v vv vt s v s
v v v v v vs v t
s v t
=⋅
=⋅ ⋅ ⋅ ⋅−= ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒
− − −= ⋅
= ⋅
2 60 100300 .
100 60s s km
⋅ ⋅⇒ = ⇒ =
−
2.inačica
Vrijeme t1 za koje putnički vlak prevali put s brzinom v1 iznosi:
.1
1
st
v=
Vrijeme t2 za koje brzi vlak prevali put s brzinom v2 iznosi:
.2
2
st
v=
Budući da putnički vlak prelazi put s dva sata dulje od brzog vlaka, slijedi:
1 1 2 12 2 2 21 2
1 2 1 2 1 2
v vs st t s s
v v v v v v
−− = ⇒ − = ⇒ ⋅ − = ⇒ ⋅ = ⇒
⋅
2 2 60 1002 1 1 22 300 .10
1 2/0 60
1 2 2 1 2 1
v v
v v
v v v vs s s s km
v v v v
− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
⋅⋅
−⋅ − −
Vježba 178
Putnički vlak prelazi put između dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka. Ako je prosječna
brzina putničkog vlaka 120 km/h, a prosječna brzina brzog vlaka 200 km/h, koliko iznosi udaljenost
postaja?
Rezultat: 600 km.
19
Zadatak 179 (Dalibor, strukovna škola)
Na crtežu je prikazan (v, t) graf gibanja nekoga tijela. Koliko iznosi srednja brzina tijela
tijekom prvih 5 s gibanja?
t/s
v/ms-1
54321
5
4
3
0
1
2
Rješenje 179
t = 5 s, ?v =
Ploština pravokutnog trokuta duljina kateta a i b izračunava se po formuli:
2.
a bP
⋅=
Trapez je četverokut kojemu su dvije suprotne stranice usporedne (paralelne). Usporedne stranice zovu
se osnovice, a druge dvije zovu se kraci trapeza. Ploština trapeza izračunava se po formuli
2,
a cP v
+= ⋅
gdje je v visina trapeza.
Površina pravokutnika je jednaka produktu njegove duljine a i širine b.
.P a b= ⋅
Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest kvocijent dijela puta ∆s, što ga je tijelo prešlo za
to vrijeme i vremenskog razmaka ∆t:
.s
vt
∆=
∆
Srednja brzina pri jednoliko ubrzanom ili usporenom gibanju je
2,1 2
v vv
+=
gdje su v1 početna brzina gibanja i v2 konačna brzina gibanja.
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
,s v t= ⋅
gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.
Za izračunavanje prijeđenog puta iz bilo kojeg (v, t) grafa primijenjujemo tvrdnju da je prijeđeni put
tijela pri svakom gibanju brojčano jednak površini ispod (v, t) grafa.
1.inačica
20
s2s1
t/s
v/ms-1
A
B
54321
5
4
3
0
1
2
Put se može izračunati kao površina ispod krivulje koja prikazuje zavisnost brzine o vremenu. U ovom
slučaju to je pravokutan trokut 02B i trapez 25AB pa je:
2 5 5 202 2 2 5
25 3 15.5 .1 2 2 2 2 2
m m ms
B B A s s ss s s s s m
⋅ +⋅ += + ⇒ = + ⋅ = + ⋅ =
Srednja brzina iznosi:
15.53.1 .
5
s m mv
t s s= = =
2.inačica
s3
s2
s1
t/s
v/ms-1
C A
B
54321
5
4
3
0
1
2
Put se može izračunati kao površina ispod krivulje koja prikazuje zavisnost brzine o vremenu. U ovom
slučaju to su pravokutni trokutu 02B i CAB te pravokutnik 25AC pa je:
02 225 5
1 2 3 2 2
B CA CBs s s s s A
⋅ ⋅= + + ⇒ = + + ⋅ =
2 5 3 3
3 2 15.5 .2 2
m ms s
ms s s ms
⋅ ⋅
= + + ⋅ =
Srednja brzina iznosi:
21
15.53.1 .
5
s m mv
t s s= = =
3.inačica
v0
t/s
v/ms-1
v2
v1
54321
5
4
3
0
1
2
Sa slike vidi se da u početnom trenutku t = 0 s tijelo miruje, v0 = 0 m/s. Nakon t1 = 2 s brzina tijela je
v1 = 5 m/s, a nakon t2 = 5 s ona iznosi v2 = 2 m/s.
U vremenskom intervalu 02 tijelo se giba jednoliko ubrzano i promijeni brzinu od v0 = 0 m/s na
v1 = 5 m/s. Njegova srednja brzina iznosi
0 50 1 2.5 ,
1 2 2
m mv v ms sv
s
++= = =
a prijeđeni put
2.5 2 5 .1 1 1
ms v t s m
s= ⋅ = ⋅ =
U vremenskom intervalu 25 tijelo se giba jednoliko usporeno i promijeni brzinu od v1 = 5 m/s na
V2 = 2 m/s. Njegova srednja brzina iznosi
5 21 2 3.5 ,
2 2 2
m mv v ms sv
s
++= = =
a prijeđeni put
( ) ( )2 2 33.5 5 2 10.5 .
2 2 2 13 2 1
s v t ms v t t s s m
st t t
= ⋅⇒ = ⋅ − = ⋅ − =
= −
Srednja brzina iznosi:
5 10.51 2 3.1 .5
s s m m mv
t s s
+ += = =
Vježba 179
Na crtežu je prikazan (v, t) graf gibanja nekoga tijela. Koliko iznosi srednja brzina tijela
tijekom prvih 5 s gibanja?
22
t/s
v/ms-1
54321
10
8
6
0
2
4
Rezultat: 6.2 m/s.
Zadatak 180 (Nela, gimnazija)
Kuharica Nela ☺ prolila je pola litre mlijeka na pod. Koliku će površinu morati obrisati ako je
nastala lokvica dubine (debljine) 1 mm?
Rješenje 180
V = 0.5 l = 0.5 dm3 = 500 cm3, d = 1 mm = 0.1 cm, S = ?
31 .1l dm=
3 31 10 1 10, 1,00 .10dm cm dm cm cm mm= = =
2 21 1 , .00 1 10 000m cm m cm= =
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke, koju zovemo središte kruga,
manja ili jednaka određenom broju, koji zovemo polumjer kruga. Ploština kruga:
2.S r π= ⋅
Obujam valjka
Uspravni i kosi valjak polumjera osnovke (baze) r i visine v imaju jednake obujmove. Taj obujam
iznosi:
2.V S v V r vπ= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅
Sd
Lokvica mlijeka na podu ima oblik valjka obujma V kojemu je ploština osnovke S, a visina d (dubina
lokvice). Ploština lokvice iznosi:
[ ]3
500 2 25000 0.5 .
0.1
1/ 5000 : 10 000
V cmV S d V S d S c
dm m
d cm= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = = = = =⋅
23
Vježba 180
Kuharica Nela ☺ prolila je 5 dl mlijeka na pod. Koliku će površinu morati obrisati ako je
nastala lokvica dubine (debljine) 0.01 dm?
Rezultat: 0.5 m2.
Recommended