Diferencijalna jednadžba kretanja

7/23/2019 Diferencijalna jednadžba kretanja

http://slidepdf.com/reader/full/diferencijalna-jednadzba-kretanja 1/10

Diferencijalna jednadžba kretanja

Prvi i drugi Newtonov aksiom određuju odnose između

kinematičke veličine ubrzanja i dinamičkih veličina, mase tijela irezultujuće sile koja djeluje na njega, tj.

++=⇒

=⇒=

→→→→→→→→→→

k dt

z d j

dt

yd i

dt

xd m F t vr F

dt

r d m

m

F

dt

r d 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

,,

(sila zavisi od relativnog položaja i brzine po nekom određenom

zakonu).

Pravolinijsko kretanje materijalne tačke pod djelovanjemkonstantne sile

i!eren"ijalna jednadžba pravolinijskog kretanja materijalne tačke

po #$osi, na osnovu prethodnih jednadžbi, bit %e&

= t

dt

dx x F

dt

xd m ,,

2

2

.

'omponente sile teže prema

sli"i su&

, === z y x F F mg F .

i!eren"ijalna jednadžba

kretanja u ovom slu*aju je&

.2

2

const mg dt xd m ==

odakle je&

g dt

dx

dt

d =

.

+lika

o

-- #/"onst.

z

0

#



1ntegriranjem dobivamo& C gt dt

dx += , gdje je (C integra"iona

konstanta, koja se određuje iz po*etnih uslova kretanja.

Ponovnim integriranjem dobivamo opće rješenje diferencijalne jednadžbe kretanja materijalne ta*ke pod djelovanjem sile teže&

2

2

2

C t C gt x ++= .

Nađimo rjeenja za tri slučaja ovog pravolinijskog kretanja&

. Slobodan pad

Pri slobodnom padu materijalna ta*ka po*inje kretanje bezpočetne brzine, tj. za )(, == xvt i )( x x = .

3a ove po*etne uvjete dobivamo da je =C i 2 xC = , pa imamo&

gt dt

dxv x == i ,,

2

2 ==+= z y x gt x ,

odnosno,

gs x x g v x 2)(2 =−= .

2. Hitac uvis

obiva se pri po*etnim uslovima&

)(, vvt −== i )( = x , pa je vC −= , a 2 =C ,

odakle se dobija&

v gt dt

dxv x −== i ,

2

2 ==−= z yt v gt x .



4. Hitac nadolje

3a hita" prema dolje vrijede po*etni uslovi&

)(, vvt x == i )( x x = ,

pa dobivamo vC = i 2 xC = , odnosno&

v gt dt

dxv x +== i ,

2

2 xt v gt x ++=

Kretanje materijalne tačke pod djelovanjem sile oblika )(→→→

= v F F

vk F −=





Pravolinijsko kretanje materijalne tačke pod djelovanjem sile)(t F F

→→

=

!"D"#"

Kretanje čestice u $omo%enom %ravitacijskom polju

+lu*aj gdje sila na *esti"u iznosi m% i ima smjer nadolje, to u

vektorskoj !ormi zapisujemo kao&→→

−= jmg F .



1z drugog Njutnovog zakona dobivamo jednadžbu kretanja&

→→→→

−=

++ jmg k

dt

z d j

dt

yd i

dt

xd m

2

2

2

2

2

2

.

5dgovaraju%e skalarne jednadžbe&

,

,

2

2

2

2

2

2

=

−=

=

dt

z d m

mg dt

yd m

dt

xd m

.

1ntegra"ijom dobivamo&



.

4

2

,

,

C v

dt

dz

C gt vdt

dy

C vdt

dx

z

y

x

==

+−==

==

1z po*etnih uslova kretanja slijedi&

,sin,"os 42 ====== z y x vC vvC vvC α α .

Ponovnom integra"ijom dobivamo&

6 "os"os C t v xvdt

dx+⋅=⇒= α α ,

7

2

2

sinsin C gt

t v y gt vdt

dy+−⋅=⇒−= α α ,

8 C z dt

dz =⇒= .

1z po*etnih uslova kretanja& ,, 876 === C yC xC .

'ona*ne jednadžbe puta i brzine su&

α "osvv x = , gt vv y −= α sin ,

= z v ,

"os xt v x +⋅= α ,

2

2

sin y gt

t v y +−⋅= α , = z .

9liminiranjem vremena t dobivamo jednadžbu putanje koso%$ica&



2

)22

)

)) )(

"os2)( x x

v

g x xtg y y −−−+=

α

α .

-ko su g vo , i α zadane konstante, jednadžba predstavlja parabolu. Njeno tjeme određeno je maksimumom !unk"ije, pa dobivamo&

)("os

22

=−−= x xv

g tg

dx

dy

α

α ,

pa %e koordinate tjemena biti&

2

2

2

sin2

,2sin2

y g

v y

x g

v x

T

T

+=

+=

α

α

.

Domet koso% $ica dobiva se iz uvjeta y y = , pa prema prethodnoj

jednadžbi imamo&

g

v

g

tg v D

α α α 2sin"os2 2

22

=⋅

= .

Predavanje 5

Kretanje naelektrisane čestice u $omo%enom električnom polju

:ednadžba kretanja za naboj ; i masu m u elektri*nom polju→

E ,

koje je homogeno u prostoru i stalno u vremenu glasi&→→→→→→

==⇒== E m

q

dt

r d a E qam F

2

2

1ntegriranjem po vremenu i koriste%i po*etne uvjete za→→

== , vvt i→→

= r r , dobivamo&→→

→→

++=

2

2r t vt

m

E qr



Kretanje naelektrisane čestice u $omo%enom ma%netnom polju

:ednadžba kretanja naelektrisane *esti"e mase m i naboja ; u

stalnom magnetnom polju → B , glasi&

×==

→→→→

Bvqdt

vd m

dt

r d m

2

2

&mpuls sile i količina kretanja 'impuls(

&mpuls sile je produkt sile i vremensko% intervala u kojem tasila djeluje. 1mpuls sile

→

I je vektorska veli*ina i ima smjer sile&

t F I ∆=

→→

.-ko sila nije stalna, nego se mijenja u vremenu, tada impuls

nađemo tako da vremenski interval podijelimo na mnogo malih

intervala. <kupni impuls jednak je zbiru svih tih impulsa. =a*nu

vrijednost impulsa sile dobivamo uzimanjem grani*ne vrijednosti

tog izraza&

∫ ∑ →→

→∆

→

=∆=2

)(lim

t

t i

it

dt t F t F I .

Prema Njutnovom aksiomu sila je jednaka brzini promjenekoli*ine kretanja&

==

→→

→vm

dt

d

dt

pd F .

3a kratko vrijeme dt tijelo %e dobiti impuls sile&→→

= pd dt F ,

dok %e u vremenskom intervalu t ∆ između (t i 2t primljeni impuls

sile biti&

−=−==

→→→→→→

∫ ∫ (2(2

2

(

2

(

vvm p p pd dt F

p

p

t

t

&mpuls sile jednak je promjeni količine kretanja tijela na kojeta sila djeluje



'oli*ina kretanja je osobina tijela koje se kre%e, to je produkt

njegove mase i brzine, dok je impuls sile uti"aj sile, tj. okoline na

posmatrano tijelo.

Documents

Diferencijalna jednadžba kretanja