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大学院
固体物理学自由電子フェルミ気体からエネルギーバンドまで
担当:山崎
1
1回目:自由電子ガスと状態密度
2回目:FD分布関数と電子気体の比熱
3回目: 電気伝導率とホール効果 バンド構造とエネルギーギャップ 4回目: ブロッホの定理 とクローニッヒ・ペニー模型 5回目: 1電子近似の波動方程式と空格子近似
2
一電子近似の波動方程式これまでは,イオン殻のみによるポテンシャルを考えていたが,実際には電子は自分以外の伝導電子による平均的な(静的な)ポテンシャルも感じている.このような場合にも,ポテンシャルは結晶格子と同じ周期性を持っている.すなわち, を満たす.
ただし,単一周期であるかどうかは自明ではないので,ポテンシャルを の個数だけのフーリエ級数として表す.
[復習]フーリエ級数
ポテンシャルは, となる.
また,周期境界条件より,
なので,
U(x) = U(x + a)
k
f(x) =12a0 +
��
n=1
�an cos nx + bn sinnx
�
=��
n=��cneinx
U(x) =��
k=��Uk eikx
U(x + a) =��
k=��Uk eik(x+a)
=��
k=��Uk eikxeika = U(x)
3
eika = 1ika = 2�in
k =2�n
a� G とすると, となる.U(x) =
�
G
UG eiGx
同様に,この場合の電子の波動関数も平面波の重ね合わせとして,フーリエ級数で表す.
この波動関数は先に見たように, の周期性を持っている必要はない.ただし,Blochの定理を満たしている.この波動関数の取り得る波数は,
なので,
である.
�(x) = �(x + a)
L
k = k ±G
=2�
Ln +
2�
an�
L > a
2�
L<
2�
a
�(x) =�
k
Ck eikx
4
存在する 点k
が取り得る 点k�(x)
すなわち,Bloch関数は,
となる.
ここまで準備が出来たら, と を
Schrödinger方程式 に代入する.
G(= g) G(= 2g)G(= �g)
U(x) =�
G
UG eiGx
�k(x) = Ck eikx + Ck�g ei(k�g)x + Ck+g ei(k+g)x + Ck+2g ei(k+2g)x + · · ·
=�
G
Ck+G ei(k+G)x
�=
�
G
Ck�G ei(k�G)x
�
�(x) =�
k
Ck eikx
H�(x) =�
p2
2m+ U(x)
��(x) = ��(x)
5
の係数を比較すると,
Schrödinger方程式は,微分を含まない の個数分からなる に関する代数方程式に帰結する.
よって,得られる波動関数 は先に示したBloch関数
と同等のものとなる.
eikx
注意
G Ck�G
�(x) =�
k
Ck eikx
�k(x) =�
G
Ck�G ei(k�G)x
�2
2m
�
k
k2 Ck eikx +�
G
�
k
UG Ck ei(k+G)x = ��
k
Ck eikx
�2k2
2mCk eikx +
�
G
UG Ck�G eikx = �Ck eikx
���2k2
2m� �
�Ck +
�
G
UG Ck�G
�eikx = 0
��2k2
2m� �
�Ck +
�
G
UG Ck�G = 0
6
次に,このBloch関数 がBlochの定理を満たしていることを確かめる.
ここで,
であることを思い出して,いまの場合は1次元であるから,
�k (r) = uk (r) eik ·r
uk (r + R) = uk (r)
�k(x) =�
G
Ck�G ei(k�G)x
= uk(x)
�k(x) =�
G
Ck�G ei(k�G)x
=� �
G
Ck�G e�iGx
�eikx
= uk(x) eikx
uk(x + R) =�
G
Ck�G e�iG(x+R)
=�
G
Ck�G e�iGx e�iGR
G = v1b1 + v2b2 + v3b3
R = (T ) = u1a1 + u2a2 + u3a3
ただし, として, 整数また,
である.
G = v1b1, R = u1a1
e�iGR = e�iv1b1u1a1 = e�i(u1v1)a1b1
= e�2�in
= 1
u1v1 = n
n =
ai · bj = 2⇥�ij
u1v1 � nai · bj = �ij
7
したがって,
となり,Blochの定理を満たすことが確かめられた.
続いて,この代数方程式 の解が
どのように得られるかを考える.いま,議論を簡単にするため,
のフーリエ成分として,最も短い ,つまり の場合として
のみを成分として持つ場合を考える( ).
uk(x + R) =�
G
Ck�G e�iG(x+R)
=�
G
Ck�G e�iGx e�iGR
=�
G
Ck�G e�iGx
= uk(x)
U(x) =�
G
UG eiGx
G
�=
2�
an
�n = 1
g
�=
2�
a
�G = ±g
��2k2
2m� �
�Ck +
�
G
UG Ck�G = 0
8
U(x) =�
G
UG eiGxこのとき, は
ただし,
という,1つのフーリエ成分のみを持つ.
の中で,いくつかの について書き下すと,
について,
について,
U(x) = Ug eigx + U�g e�igx
= U (eigx + e�igx) ( U � Ug = U�g)= 2U cos gx
k
� �k
k � 2g
(⇥k�2g � �)Ck�2g + · · · + U�2gCk + U�gCk�g + U0Ck�2g + UgCk�3g + U2gCk�4g + · · · = 0
k � g
(⇥k�g � �)Ck�g + · · · + U�2gCk+g + U�gCk + U0Ck�g + UgCk�2g + U2gCk�3g + · · · = 0
k
(⇥k � �)Ck + · · · + U�2gCk+2g + U�gCk+g + U0Ck + UgCk�g + U2gCk�2g + · · · = 0 について,
��2k2
2m� �
�Ck +
�
G
UG Ck�G = 0
9
k + g
(⇥k+g � �)Ck+g + · · · + U�2gCk+3g + U�gCk+2g + U0Ck+g + UgCk + U2gCk�g + · · · = 0
k + 2g
(⇥k+2g � �)Ck+2g + · · · + U�2gCk+4g + U�gCk+3g + U0Ck+2g + UgCk+g + U2gCk + · · · = 0
について,
について,
となる.これらをまとめると,
となり,最終的に行列式
を解けば,5つの が得られる.
�
�����
⇥k�2g � � U 0 0 0U ⇥k�g � � U 0 00 U ⇥k � � U 00 0 U ⇥k+g � � U0 0 0 U ⇥k+2g � �
�
�����
�
�����
Ck�2g
Ck�g
Ck
Ck+g
Ck+2g
�
�����=0
����������
⇥k�2g � � U 0 0 0U ⇥k�g � � U 0 00 U ⇥k � � U 00 0 U ⇥k+g � � U0 0 0 U ⇥k+2g � �
����������
=0
�10
さらに議論を簡単にするため,ブリュアン域境界に注目する.
つまり, の場合である.
この時, から,
について,
について,
となる.まとめると,
ただし,前に定義したように
この時の解は,
から得られる.
k = ±�
a= ±1
2
�2�
a
�= ±g
2�⇥k � �
�Ck +
�
G
UG Ck�G = 0
k =g
2(⇥ g
2� �)C g
2+ · · · + U�2gC� 3g
2+ U�gC� g
2+ U0C g
2+ UgC 3g
2+ U2gC 5g
2+ · · · = 0
k = �g
2(⇥� g
2� �)C� g
2+ · · · + U�2gC� 5g
2+ U�gC� 3g
2+ U0C� g
2+ UgC g
2+ U2gC 3g
2+ · · · = 0
�U ⇥ g
2� �
⇥� g2� � U
� �C� g
2
C g2
�=0
����U ⇥ g
2� �
⇥� g2� � U
���� =0
U � Ug = U�g
11
U2 � (⇥� �)2 = 0行列式は,
ただし,
とした.ここから, なので,
となり, 基本方程式からも ブリュアン域境界では
大きさ のエネルギーギャップが開くことが導かれる.これは,いま考えているポテンシャル の係数部分であり,
前回求めた における係数部分 に対応する.
(U + ⇥� �)(U � ⇥ + �) = 0
� = ⇥± U
=�2
2m
�± g
2
�2
± U
U(x) = U cos�2�
ax�
2UU(x) = 2U cos gx
U
�
a
Eg
� g2
= �� g2
=�2
2m
�± g
2
�2
=�2g2
8m= �
= 2U
12
[空格子モデル]注目している結晶と同じ結晶格子をもっているにもかかわらず,各格子点には原子がいない(空格子)モデル.この場合,原子という散乱体がないため,電子は何のポテンシャルも感じずに運動する.(完全に自由電子の場合には,結晶の周期性から導かれるBrillouinゾーン自体がないため空格子で考える.)この場合のバンドの分散関係は自由電子のものと近似できる.この時,
� =�2
2mk2
�(kx, ky, kz) =�2
2m(k + G)2
=�2
2m[(kx + Gx)2 + (ky + Gy)2 + (kz + Gz)2]
13
[演習]単純立方格子の[100]方向の分散を還元ゾーン方式で書いてみよう.[100]方向では であるので,
ただし, とした.
この時,以下の表を埋めよう.また,この表をもとに分散を還元ゾーン方式で書いてみよう.
バンド 1 (0,0,0) 2 (1,0,0) 3 (-1,0,0) 4 (0,1,0) 5 (0,-1,0) 6 (0,0,1) 7 (0,0,-1) 8 (1,1,0) ・ ・
ky = kz = 0
�(kx, 0, 0) = (kx + Gx)2 + G2y + G2
z�2
2m= 1
�(kx, 0, 0) �(0, 0, 0)
(kx +2�
a)2
�2�
a
⇥2
a
2�G
G =�
2�
a, 0, 0
�� a
2�G = (1, 0, 0)
14
2�
a�2�
a
�2�
a
⇥2
2�2�
a
⇥2
[100]1st BZ
�
0 �
a��
a
15
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