大学院

固体物理学自由電子フェルミ気体からエネルギーバンドまで

担当：山崎

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1回目：自由電子ガスと状態密度

2回目：FD分布関数と電子気体の比熱

3回目： 電気伝導率とホール効果　　　　バンド構造とエネルギーギャップ　　　 4回目： ブロッホの定理 とクローニッヒ・ペニー模型　　　 5回目： 1電子近似の波動方程式と空格子近似

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一電子近似の波動方程式これまでは，イオン殻のみによるポテンシャルを考えていたが，実際には電子は自分以外の伝導電子による平均的な（静的な）ポテンシャルも感じている．このような場合にも，ポテンシャルは結晶格子と同じ周期性を持っている．すなわち，　　　　　　　を満たす．

ただし，単一周期であるかどうかは自明ではないので，ポテンシャルを　の個数だけのフーリエ級数として表す．

［復習］フーリエ級数

ポテンシャルは，　　　　　　　　　　　　　　となる．

また，周期境界条件より，　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　なので，　　　　　　　　

U(x) = U(x + a)

k

f(x) =12a0 +

��

n=1

�an cos nx + bn sinnx

�

=��

n=��cneinx

U(x) =��

k=��Uk eikx

U(x + a) =��

k=��Uk eik(x+a)

=��

k=��Uk eikxeika = U(x)

3

eika = 1ika = 2�in

k =2�n

a� G とすると，　　　　　　　　　　となる．U(x) =

�

G

UG eiGx

同様に，この場合の電子の波動関数も平面波の重ね合わせとして，フーリエ級数で表す．

この波動関数は先に見たように，　　　　　　　　の周期性を持っている必要はない．ただし，Blochの定理を満たしている．この波動関数の取り得る波数は，

　　　　　　　　なので，

　　　　　　　　　　である．

�(x) = �(x + a)

L

k = k ±G

=2�

Ln +

2�

an�

L > a

2�

L<

2�

a

�(x) =�

k

Ck eikx

4

存在する　点k

が取り得る　点k�(x)

すなわち，Bloch関数は，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　となる．

ここまで準備が出来たら，　　　　　　　　　　と　　　　　　　　　　を

Schrödinger方程式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　に代入する．

G(= g) G(= 2g)G(= �g)

U(x) =�

G

UG eiGx

�k(x) = Ck eikx + Ck�g ei(k�g)x + Ck+g ei(k+g)x + Ck+2g ei(k+2g)x + · · ·

=�

G

Ck+G ei(k+G)x

�=

�

G

Ck�G ei(k�G)x

�

�(x) =�

k

Ck eikx

H�(x) =�

p2

2m+ U(x)

��(x) = ��(x)

5

の係数を比較すると，

Schrödinger方程式は，微分を含まない　の個数分からなる　　　に関する代数方程式に帰結する．

よって，得られる波動関数　　　　　　　　　　は先に示したBloch関数

　　　　　　　　　　　　　　と同等のものとなる．

eikx

注意

G Ck�G

�(x) =�

k

Ck eikx

�k(x) =�

G

Ck�G ei(k�G)x

�2

2m

�

k

k2 Ck eikx +�

G

�

k

UG Ck ei(k+G)x = ��

k

Ck eikx

�2k2

2mCk eikx +

�

G

UG Ck�G eikx = �Ck eikx

���2k2

2m� �

�Ck +

�

G

UG Ck�G

�eikx = 0

��2k2

2m� �

�Ck +

�

G

UG Ck�G = 0

6

次に，このBloch関数　　　　　　　　　　　　　　がBlochの定理を満たしていることを確かめる．

ここで，

であることを思い出して，いまの場合は1次元であるから，

�k (r) = uk (r) eik ·r

uk (r + R) = uk (r)

�k(x) =�

G

Ck�G ei(k�G)x

= uk(x)

�k(x) =�

G

Ck�G ei(k�G)x

=� �

G

Ck�G e�iGx

�eikx

= uk(x) eikx

uk(x + R) =�

G

Ck�G e�iG(x+R)

=�

G

Ck�G e�iGx e�iGR

G = v1b1 + v2b2 + v3b3

R = (T ) = u1a1 + u2a2 + u3a3

ただし，　　　　　として，　　　　　　　整数また，

である．

G = v1b1, R = u1a1

e�iGR = e�iv1b1u1a1 = e�i(u1v1)a1b1

= e�2�in

= 1

u1v1 = n

n =

ai · bj = 2⇥�ij

u1v1 � nai · bj = �ij

7

したがって，

となり，Blochの定理を満たすことが確かめられた．

続いて，この代数方程式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　の解が

どのように得られるかを考える．いま，議論を簡単にするため，

のフーリエ成分として，最も短い　　　　　　　，つまり　　　　の場合として

　　　　　　のみを成分として持つ場合を考える（　　　　）．

uk(x + R) =�

G

Ck�G e�iG(x+R)

=�

G

Ck�G e�iGx e�iGR

=�

G

Ck�G e�iGx

= uk(x)

U(x) =�

G

UG eiGx

G

�=

2�

an

�n = 1

g

�=

2�

a

�G = ±g

��2k2

2m� �

�Ck +

�

G

UG Ck�G = 0

8

U(x) =�

G

UG eiGxこのとき，　　　　　　　　　　は

　　　　　　　　　　　　　　　　　　ただし，

という，１つのフーリエ成分のみを持つ．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　の中で，いくつかの　について書き下すと，

　　　について，

　　　について，

U(x) = Ug eigx + U�g e�igx

= U (eigx + e�igx) ( U � Ug = U�g)= 2U cos gx

k

� �k

k � 2g

(⇥k�2g � �)Ck�2g + · · · + U�2gCk + U�gCk�g + U0Ck�2g + UgCk�3g + U2gCk�4g + · · · = 0

k � g

(⇥k�g � �)Ck�g + · · · + U�2gCk+g + U�gCk + U0Ck�g + UgCk�2g + U2gCk�3g + · · · = 0

k

(⇥k � �)Ck + · · · + U�2gCk+2g + U�gCk+g + U0Ck + UgCk�g + U2gCk�2g + · · · = 0　について，

��2k2

2m� �

�Ck +

�

G

UG Ck�G = 0

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k + g

(⇥k+g � �)Ck+g + · · · + U�2gCk+3g + U�gCk+2g + U0Ck+g + UgCk + U2gCk�g + · · · = 0

k + 2g

(⇥k+2g � �)Ck+2g + · · · + U�2gCk+4g + U�gCk+3g + U0Ck+2g + UgCk+g + U2gCk + · · · = 0

　について，

　 について，

となる．これらをまとめると，

となり，最終的に行列式

を解けば，５つの　が得られる．

�

�����

⇥k�2g � � U 0 0 0U ⇥k�g � � U 0 00 U ⇥k � � U 00 0 U ⇥k+g � � U0 0 0 U ⇥k+2g � �

�

�����

�

�����

Ck�2g

Ck�g

Ck

Ck+g

Ck+2g

�

�����=0

����������

⇥k�2g � � U 0 0 0U ⇥k�g � � U 0 00 U ⇥k � � U 00 0 U ⇥k+g � � U0 0 0 U ⇥k+2g � �

����������

=0

�10

さらに議論を簡単にするため，ブリュアン域境界に注目する．

つまり，　　　　　　　　　　　　　　の場合である．

この時，　　　　　　　　　　　　　　　　　　から，

　　　について，

　　　　について，

となる．まとめると，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ただし，前に定義したように

この時の解は，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　から得られる．

k = ±�

a= ±1

2

�2�

a

�= ±g

2�⇥k � �

�Ck +

�

G

UG Ck�G = 0

k =g

2(⇥ g

2� �)C g

2+ · · · + U�2gC� 3g

2+ U�gC� g

2+ U0C g

2+ UgC 3g

2+ U2gC 5g

2+ · · · = 0

k = �g

2(⇥� g

2� �)C� g

2+ · · · + U�2gC� 5g

2+ U�gC� 3g

2+ U0C� g

2+ UgC g

2+ U2gC 3g

2+ · · · = 0

�U ⇥ g

2� �

⇥� g2� � U

� �C� g

2

C g2

�=0

����U ⇥ g

2� �

⇥� g2� � U

���� =0

U � Ug = U�g

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U2 � (⇥� �)2 = 0行列式は，

ただし，

とした．ここから，　　　　　　　　　　　　　　　　なので，

　　　　　　　　　　　　　　　　となり， 基本方程式からも ブリュアン域境界では　　

大きさ　　のエネルギーギャップが開くことが導かれる．これは，いま考えているポテンシャル　　　　　　　　　の係数部分であり，

前回求めた　　　　　　　　　　　における係数部分　に対応する．

(U + ⇥� �)(U � ⇥ + �) = 0

� = ⇥± U

=�2

2m

�± g

2

�2

± U

U(x) = U cos�2�

ax�

2UU(x) = 2U cos gx

U

�

a

Eg

� g2

= �� g2

=�2

2m

�± g

2

�2

=�2g2

8m= �

= 2U

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［空格子モデル］注目している結晶と同じ結晶格子をもっているにもかかわらず，各格子点には原子がいない（空格子）モデル．この場合，原子という散乱体がないため，電子は何のポテンシャルも感じずに運動する．（完全に自由電子の場合には，結晶の周期性から導かれるBrillouinゾーン自体がないため空格子で考える．）この場合のバンドの分散関係は自由電子のものと近似できる．この時，

� =�2

2mk2

�(kx, ky, kz) =�2

2m(k + G)2

=�2

2m[(kx + Gx)2 + (ky + Gy)2 + (kz + Gz)2]

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［演習］単純立方格子の［１００］方向の分散を還元ゾーン方式で書いてみよう．［１００］方向では　 　　　　　　　　　であるので，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ただし，　　　　　　とした．

この時，以下の表を埋めよう．また，この表をもとに分散を還元ゾーン方式で書いてみよう．

　　バンド　　　　　　１　　　　（0,0,0)　　　２　　　　 (1,0,0)　　　３　　　 　(-1,0,0)　　　４　　　　 (0,1,0)　　　５　　　　 (0,-1,0)　　　６　　　 　(0,0,1)　　　７　　　 　(0,0,-1)　　　８　　　　 (1,1,0)　　　・　　　・

ky = kz = 0

�(kx, 0, 0) = (kx + Gx)2 + G2y + G2

z�2

2m= 1

�(kx, 0, 0) �(0, 0, 0)

(kx +2�

a)2

�2�

a

⇥2

a

2�G

G =�

2�

a, 0, 0

�� a

2�G = (1, 0, 0)

14

2�

a�2�

a

�2�

a

⇥2

2�2�

a

⇥2

[100]1st BZ

�

0 �

a��

a

15