View
7
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
!!" # $ #"% $ #"& $ ! ! ! !#" !%"
#' #(
!"
## %# &# $ $ $
)
%! !
"!"
#
&#
%! "%! " * #"' '#$
%"## * +$#,(&,
%"### * ($-,+-(
#-
%$ * # $#
%$
#
&$
#
-
( # $#
%$
#
-$
#
-* # $
%
%#
%% * # $#
%$
#
&$
#
-$
#
+$
#
'$
#
($
#
,
+(
!
"!
#!
#!
$!
$!
$!
$% !
&
"!
'
" !#
"$
# ! '
' ' '
'
"!
#!
(!
$! " " " %
"
!
"!
&!
#" " "
!%!$
!
&!
)!
*!
+! " " "
"!
"!
#!
(!
$!
,! " " "
!%!$
'
' & ' ' ,,,
' '
# " #- '
" ./0# ' % # " $ ./0#
#- 1
! " ! "#$"%$&%" !#&"&'%'
!! (# %)'))( !#(%""!)' !!! )#*%(*)!% !#())) ((
! !!! $#)%)&!&! !#())"&(& !! !!! "#!$! *& !#())""!&
!!! !!! *#'$")"&) !#())" & ! !!! !!! &#&$(' ' !#())" ()
" ./0 & ' ' %
#- ' '2&3 % (&
#- 243 '
' #- 253 '
#- ' " 2 # % $
3 ' (&
)$
2 4 6 8
0.5
1.0
1.5
2 4 6 8
0.5
1.0
1.5Hn − 1 < log n
Hn −
1
n> log n
(a) Underestimation with rectangles. (b) Overestimation with rectangles.
!"#
$ $ " ! %"" #℄ $
!!
"
$ ' "% ()*# %
!!
"
$"
$ & $
& " % ()*# % & "
#"
$ & " $ " # % ' % "
$ ' $ ( + ,- ' , ". . " # % ( % " $
$ '
' ' +& & ' ()*,# ". ()*#
+"
#' ()*
!" "
#
")
$ ! !+ / ! * ()*," !.
! " # $
' ' % /"
$ ' '
#"# / % ' % " $ ' ,/" ".
$
' $ (01 !"
# !!
"
$ ()*#
$" , !".
' $ $ #
$ & % ()*# ' '
23
!"!"
!"! # " ! !"!
# $ %
#
#
# " #
" & ! !"! & !
'#
#$
# ()*
# #
#
#
" " ! %
*
!% +
%
*
"! %
*
!%
*+
%
,
"! # # # ! %
*
!%
!! %+
%
!
"
& ! %
*!
!%
*+
%
,+ # # # +
%
!! %
"! %
*!
&%
*+
%
*!$
!$% # " " %%*
# " $)-
2 4 6 8
0.5
1.0
1.5
S1
S2 S3 S4 S5 S6 S7
Sn =1
2
(
1
n−
1
n+ 1
)
()*.
" #
" & ! !"! & ! !"!+ !" %
& !#
!"!! !"/!! %0$!
# !"/!! %0! !"/!! *0
$! # # # !
# !" *! !" %
$$
1$
!"# $ !% & !!' "!( & ! ! !
" $ # # !$#
!"#!
) &)
$
"
$ # !$#
)
$ !
)
$ )
%$ &
)
'$! )
($"& ! ! !"
&)
%
$)
%&
# !$#
)
%$
# !$#
)
'$!&
# !$#
)
($" ! ! ! &
%"#
" $! !$#
)
%$
! !$#
)
'$!&
! !$#
)
($" ! ! ! & *(+%,
(+' '*(,
( '*(,
" $'*%,
% '*',
'&
'*(,
( ! ! ! & *(+',
% (
'*(, ) ) !"# % $ ) )!% & )!' ! ! !
"
" $ # !$
!"#$
$ )$ # &
!$
!"#!
) )
$
"
$ !$#
)
$
!$
!)
$&
)
%$ &
)
'$!&
)
($"& ! ! !"
$ ) & !$
)
%$
!$
)
'$!&
!$
)
($" ! ! ! &
%"#
" $ ) '*%, )
% '*', )
' '*(, )
( ! ! ! $ )
! !$#
'*$ & ), )
$ & )& *(+(,
$ '*$, ) $ % !
*(+(, ' )- )
.)
!"!#
!
"#
$%
#
&%
#
'%
#
(%
#
##% %
#
! "
)# * ! " !!" !"" $ $ $ " !
# % % " ! !!!" ! %#
% ! ! #
! !
!
+,$
)-../0 12324* # ! #
&
$$55(
+,$!
!!"# $%&%' ! " () * + (,(+-(.)*/()) 01 .+ (,/)0/(+0)( ))) (-/ ..+ 0,(./)/)(2() ))) ( 00. . .+2 0,*/2)1../()) ))) . 1.0 .. ..( 0,+)10+0(/( ))) ))) +/ *./ ... ./2 0,//+20/()() ))) ))) --* 1+. . ... ..( 2,)*(**.2/
$6
7$
!
! !"
!
! ""
!
! #" " #
$
$
# !%$ &
&
! !"
&
! ""
&
! #" " &
$#
! & !
&! ! !
&" & # &! "&$
&
! !
!"
&
! "
!"
&
! #
!" " &
$#
!&%! !
! & ! !
&" #
&
! !
!"
&
! "
!"
&
! #
!" " &
$#
&" " &%$ !
'
' # !! ! !!!" !! ("#
)!# )"# * * * # ) % ! (
!
' ("
&'
!! ! !!
" #$% "&#
" #$% "&# ' "" %! ( !!# ' " %$ )$ ( !! *"! % !! +!!
," ! "!! "#! "%! ""℄ ' ,!! .! .! !! !℄ # ' !%"
! ," ! "!! $ $ $ ! "!℄ "!
#!% !
% % " "!!% % & "!&!' (
% % ' %(" % / %! ' %
%
!' %! ' %("
0
!
!' /
!
!'!/
!
!'#/ ' !
"!
)
#
!"!#
) !()
1*! $!
")
!
+' ! % !
"/
!
%% !
2/ / *%!+!
!
)!
1*!!
1*!! ' 1*!! / !(") ") / !
1*!!' ' 1*!! % !
") / !' *!! /
!
") *") / !+!
1*!! ' 1*!!' ' 1*!!!
#2
! " "!
# #
# #
$" % !
"
% " "
!
"
& "
'! ! ! ! % ()* #
# ()*+"!$, % $ $"! !$#!& $$!'!! ! !$ % "
#
# % -
& % ! !
% #
# % ! "% " #
& # # &
# & #
#
# #
#
$" % " "
!
"
& "
'!
"
. "
/!
"
0 "
1! ! ! !
% " "
"
'!
"
& "
/ "
1!
"
. "
"2 "
" ! ! ! ! '
# # #
$" %"" "
# "
'!""
& "
/
# "
1!""
. "
"2
# "
" ! ! ! !
%"
"" "
!
"
& "
'!
"
. "
/! ! ! !#
%()*
#
$" % ()* #
#
#
" - " # 2 # &
/.
!""
#""
$ !" %
# !$%
!!
#! & ! !
'! & # !
'! & '
"
% # !$%
!
#! & !
& # !$%
!
#! & #
% # !$%
!
#! & ! # !$%
!
#! & #
& # !$
!
#! & #
%& # !$%
( !)!
! & ! !
#
& # !$
!
! & !"
$
!" # !""
! !"" #
#
$"
!% & "" "# *+ - .-/. # # ' ( ) $ %$" $#% ( %"
# ) $"
' $# ('01)
$ !" % $ & &
#"
#
! # &' 234 #
# # &'
# #
# #
55
!
" #"
$#
"
% "
&#
"
'#
"
(#
"
""#
"
"$ "
)#
"
"%#
"
"'#
"
"(#
"
&" "
*
#"
&$#
"
&%#
"
&'#
"
&( "
+#
"
$"#
"
$$#
"
$%#
"
$' "
",# ! ! !
"&
",, ",
!"
!
"
!"- " #
"
&"#
"
$"#
"
)"# ! ! !
!
"
!"" " #
! !
.#
#"- &
& $ % ' "" "$ "' $ $ $
" ) ( "* &% $* )( $ $ $
"*))
"'$%
%"&*
/01 # - , # - %!
2! - , #" #& $ $ $3 '2(3 - , (! (" $ $ $ (
'2(3 '2(3 - 2( (!32( ("3 ! ! ! 2( ( 3
(
/01 # - # 2# # %32# %32# # &%32# &%3 ! ! ! - # " !
2#" %"!"3
*'
! ! "
"#$ # % $#! !"
!! #
! "
"%
$
# ! & "#$# # ! ! $ $ % !
'
"#$# % #! !"
!! #
! "
"%
)* #
+ ,
-./
O-2✥ -✥ ✥ 2✥
1
2
-1
-2
1st order
1000th order
6th order
2nd order
!"#
" $
%&' ( !"
)
!#"#* ! ! ! #
$ $ %&' ( $"+ * ! ! !$
! !
,-
!
!
"
"#
!"
$"
!"#$
%&% '! !#' $(%)
$(%) #
!"""#"""$
!
'* %
% !
'! % & +
&"
!
' %
%+ ! % &
!
'
&"
% $(%* '!) # $(%)
π 2π−π−2π
π/2
−π/2
O
%&%, '! !#'
$(%) # '# * !
(' ./ % * ( /01 %) "
'# ' (
'# #"
'!
' !!!
$(%) 2%" ' #"
!
' !!!
$(%) ./ % 2%"
( #"
!
' !!!
$(%) /01 % 2%"
$(%) ' # +
( # + $(%)
( # + '
$(%) # % " #
./(') * ")%
! (' !" !
#$
!" # !"$ %
# # ! %!
$# &
'
!(
'
) !(
'
* !(
!$
!"& % %
!
+# ' (
'
) (
'
* ( $
%
!
+# ' (
'
$ (
'
) (
!!
'
$ (
'
& (
'
, (
!
# " !"
'
% ! '
$
" !"
'
% #
)
&
" !"
'
% $
% " !"
'
% #
!
,$
%
%
% % %
%
% % &
% %
!"
% % ! ",
% % &
& -
' &" # ' ('
$!(
'
)!(
'
&!( $ &.*"
% % %
/!
!"!#
! ! " # $
" # % "
! %! # " #& "
"
$! "! # $ '
$
% '
$
( '
$
) ' ' $
% &
"
$! " # ' $ '
$
% '
$
%
!'
$
) '
$
) '
$
) '
$
)
!
'
$
% !! #"'
$
% !! #"' '
$
% !! #"
!
# $ '%
% '
)
) ' ' %! #
% !! #"
#! #""$%
%"!# " #$ ! %!!# "
$ ! %# &
$! "! " % " # " ( $ "
$! "! '
$
$ ! %# &
$! "! % "
$! "! ( $ " ! ! " ( $
!"!$
"
" ! ! "
! ! #!"!$#
$
% &
"
"
*$
! !! "! " " "
! "! ! ! #! " ! $! # ! %! $ ! &&! " " "
! !! "" ## $$ !! ! "%
" !
#
#
$ ! $!! $"! " " "
'
%(&) !!!#%!
&
'$!!
% !% "%&&&
! ! "%
&
$ "
!! ! "%
"� !!
%
&
$ "
$% !
! ! "%
&
& ! $"
! (*+,)
%(&)
(*+,) # %(&)
(*+,)
%(&) !! "%
&
& ! $"
! (*+%)
%(") *+#
(-../0 12324) ' '
(# (# ( ')
)"*, (! &",**5#*'%) *+#
%(&)
(*+%)
167 %(&) ! !!!#%
&& ! &
#
'!
!!#%
&&
#8
&
" "#8
&
# ##8
'
+!!#%
&&
#8
&
"#8
&
##8
'! (*+9)
!!#%
&
$#!
&
"$8
&
#$8
&
$$8 +
!!#%"
&
'$!
%"
!"# $%&
!!"# $%&%' ! () * (+,-,),.)/()) ., (+0*(-*,.)( ))) (0/ (+0**1.,(-() ))) ( ..- (+0**-(1-.()) ))) - ,-. (+0**-2.1,( ))) ))) 1/ *-/ (+0**-22-0() ))) ))) 00* ,1- (+0**-2*)0
' $ !(&
)*+ ,- $ !(& ! !
.
" / ! "
! "
.
#!
"0 !
.
" / ! "
$ $$& .& % $ !1&
'
$$& . !.
. %#!! . 0
" #
.
%"$!!#%0
.
%!!# .%
' $ ! % '
$$& . !.
%!!# .!
.
%!!# %!!"0
.
%!!"%
$ !1& '
)*+ ,- $ !1& ! !
.
" / " "
.
%!!"
0 !
.
" / " !
.
%!0 !
.
" / %%
' $.& '
2,3 $.& ! !
.
" / %% $ !.4&
' $.& '
. ' '
'
' ! $ !.4& '
$56678 29:9; && #' " !#' '
' 2,3(# $ !.4& '
' (# % '
<"
! "
!!"# $%&%' ! " # $()$!
*+ , - *.*-/*0+1 *.+-,/1+2**++ 21 0- *.3+23*-2 *./,/22-30* +++ */3 00- 2.*03+3+* 2.+*20/402*+ +++ * 220 0 0-4 2.,34+/++ 2.23***/30*++ +++ 0 102 00 00* 2.-+12-22 2.,0240+-1* +++ +++ -3 ,03 000 034 2.33-423* 2.///-2200*+ +++ +++ //, 1-0 0 000 00* 4.+,*,,0, 2.3*1*2-02
!"!"
#
# $%& ' !!"(
# # $#&
# # *+ $
# $ ' , - #
- # # $ ' !% $% ' ,& -& %& ' ' '&- # - #
# $ ' , # *+ $! -"$
# $ ' !% $% ' -& %& ' ' '& -
#
$! $! ( # ) ' ! $% . -"%& # "
). *)# !). *)# !)! *)# )! *) (
"+$$&" #
"+$$&" ' *+ $ ! -
$
# " *+ $". -$
&# )$% # ( "+$$&" & " *+ $"
# $ $ ' ,. *- #
*+ $ ' */ , */0 - ! * /12, /120 -
/12 , */0 - . * */ , /120 -&
( # $ ' ,. *) #
" *+ $" # $ */ ,! * /12 ,& *+0)
$/12, . * */ ,& /120)& ' *+0) ' - $3/ )$%&
4
! ! " "# $%! ! $% $&% " '&() ! *
$+ ! +,-. # ! ''
( )& ) ! *&') ! +&!)
$+ " '
!
!
"
!'
" $%"
'
$%
"'
/! % ! * %
$+ !'
" (
!
'
" " $"%"' &01'')
$+ !'
" (
!
'
%"$"'
' " "&$"%"
!'
" ! !
!
(
$"!%"! "!"!'
$+ !'
" ! !
&"') ("!,"!&(-)2
"!"!'
"!"!
!
'
%"!!
&"')!"!("!"!$"!,"!&(-)2
' &01'()
.&(/) !&"')""!("""!$"",""
&(/)2' &01'3)
/ /
.&() !$"
4' .&0) !
$#
5*' .&4) !
$$
506' .&7) !
$%
506*' 0 0 0
.&()
86
!" $ !
% &' %(! ) &'"
" %( !" ! "## $#%!#"
&
&
'( $ * !"
# #$$
! #$
!!"
$ !"!$+ !" #$
# $#%!,"
& &
!!"
$ !" $+ !" #$
*$ !" ! #$%
+ # $+&"-# $#%!."
& $#%!." $#%!+" &
! ! + $+ ! # !"' !
% !
# $#%!/"
& &
!!"
$ !"!$+ !"!% #$&
!!"
! ! ! !
+ !#
$#%!/" &
! ! $ !"!# ( !!$% !
# $#%!0"
!! &
& !! !
!"#$%
!"# $ !'"%&'(
!"# ) * )"+'
+',
+'- !'
%&'(
!
! " ! # ! $ % ! & '" " "
.#)&)'+'-
&
/.
!"#
! ! " # !"########$ $ % &"$#######& ' ' &" !(%!#)*! $($ &*% &" !$$&*'(% ( )&' %# %$ &" ! ''&*'' &%& ()$ $ (#$ ('% &" ! '##%!( $$ &'* $%' )) &'# )* &" ! %)&%&* )#& (%( & $ ) &) %$ !% &" ! %) $)) $#) *'% &!$ )(' $ !#! *() '(% !! &" ! %)$''
!"!
$ %&!'
$ %&!( )' $
$ %*' )+,-
%*' . )"&/&/" 0+/ $
$
$
%*' . )"&/&/" # %"' . )"/*0+& # %,' . )"//-* # %+' . )"//&// # %))' . )"/// + #
$ )
$
$ %*' %&!'
$
%*' .&$
,123 & (
)0
,
!"
"% 123%456%' 7%# % !)+'
$ $
%*' .$
,
!) !
!"##!
%&!'
%&! ( )'%&! ( &'& #
## % !&/'
$
$
$
,,
!"#$%&' (
!"#$%&' ( ) *
!"#$%&' ( + !
"% )!
! !"# )" $-.)/0(
!"#$%&' ( + !"# !
#$)!(
$" ! " " $-.)/1(
$-.)/0(
%&' + %!"$/ %!"!"(&)'
!"#$%&' ( + ' 2 !"#$/ %!"!"( !"# ) '$
)
+ ' !
%!"! "
! !"# ) '$
)"
)
/
%&' + %!!"$/ %"!"(&)'
!"#$%&' ( + ' !
%!"! "
! !"# ) 2
'$
)"
!"#$%&' ( $-.)/0(
$-.)/0( !"#$%&' (
$-.)/0(
!"#$%&' ( $-.)/1(
*
%&' + !# !
"/ "
$"("
#"
!"#$%&' ( + !"# 2 # !
!"#
"/ "
$"("
#
+ !"# # !
!
"
$" (" !+ !"#
!
#$)!(
$" ! " " $-.))(
$-.)/1( )
34
!"#$% !"&#'% ( )*! "#&℄
( $ ,% (
!
! -./ 012 % 3 4
!
!
! """#
.0 &%
% -./ &
#3
4 """#
$ 012 &%
&% 6
.0 &%
!%
&-./ &
% ! !
4 #
&
&# 6
#
,$6
#
7$6 ! ! !
' "
8-./ & 4 9
#:$ ,% "
8-./ &!
& ( .0 &%
( $ ,% $ ,% (
!"#$% $ ,% ( -./ 012 %
( $ ,% ( !"&#;%
(
$ ,% 4&"
9-./ & 6
#:
9
!
!
! -./
"""#
$ &%%
" "% "%#
#3
4&"
96
#:
9
$
&-./
! """#
$ &%%
" "% &% 6 &% "%
% ! !
4&"
9
!-./" #
& """#
$ &%%
% % 6 #% & "
#! !"&,%
( !"&*% ( !"&,%
-./" ( !"&,%
!"&#;% ( .0 &% #% ( !"&#;%
& $ ,% ( !"&#;%
*! ℄ & (
#
!
#
!-./ 012 % 3 4
#
!
#
!
! """#
.0 &%
%6 -./ &
#3 ! !"&!%
( ( !"&#;%
( (
<=> .? !"&!% 4 #
!
#
!
!-./ 6
"""#
$ &%%
" "% "
#3
4 #
!
! -./ #% 6
"""#
$ &%%
" "% &% 6 #% "%#
#3
4
&-./ ,
!
"""#
$ &%%
" "% &% 6 #% &% 6 &% "% ! !"&7%
9$
!"# $% &'()'* +
! "!!"
$- ) !
.$/ )
#0!#
+
! "!!"
-12 ) !
) # ! .$/ )
#0!
+ "!!"
$- ) ! 3
' $ !#
).$/ )" &'()4*
"!!"
$- ) ! 3
' $+
!#
).$/ )! 5
'!#
"!!"
#&) *
$#! &) 6 3*&) 6 )*!#!%#" &'()7*
&'()7* ! + $%) #&5*
8"# $% &'()7* + 3
)
$3 6
3
5$6
3
9$6
3
7$6 ! ! !
%+ 7
34#&5*"
! + $%) &'()7*
#&5* +)$#
7
! .$/$ 6
5
)6 '
"!!"
#&) *
) &) 6 3*&) 6 )*)#!
#" &'():*
&'()5*
&'():* &'()5*
.$/$ &'();*
#&5*
&'():* &'();* '(4
#&5*
&'():* &'();*
&'();*
) &'():* 5
)#!
#&5* '(4
:;
!"# $%&
!"#! $%!&'() *+,-./ $%!&'() *+,-0/
0 1,001.-12334+156+ 1,+066+4+.2.3660.- 1,-01+21633+660+4 1,-0462+361252-25+ 1,-0-0+50+10-2.+- 1,-0-10.0-40124263 1,-0-023322435-12 1,-0-02.36010-32.. 1,-0-023.62+-6+5- 1,-0-02365+21-35.10 1,-0-02360-..+4-. 1,-0-023603-2+5611- 1,-0-0236041+..5- 1,-0-02360440150.1+ 1,-0-0236041261+6 1,-0-02360413346213 1,-0-023604126252 1,-0-0236041266401. 1,-0-023604126264 1,-0-02360412631-
$ !'(& ) $ !'%& $ !'*& )
$%& )
+,- ! . / 0 ' !
$'"&
'" $'" 0 /& '" #
)
) +,-$123$& $ !'4& )
) $ !'4& ' ) $ . !%' $5&
)
$5& .'
%/
!!#
%
"+,- ! '5
/'
#0 !" $%&
/" !
!# $'"&
'" $'" 0 /&$'" 0 '&$'" 0 %&$'" 0 & '"
$#
) $ !'/6& ' ) )
!"!#
$'"& ) ) !" )
) $'" 0 /&
!" $! )
/ /
%0
/
5 /
40 ! ! ! . !
# $ !'78&
*/
! "
#
$ " ! ! ! %
!& !"#$%&
' '
( )
'
* '
+ ) ! ! ! , *!
'*(- !"#$ &
/ /
/
' !"#$0& / 01 2034532&
/ /
/ 6
"! #& , !
!
"#
783 #$ ) '&#
#$ ) ' !"(9&
"! #& #! /
"! #& ,
!"#"$
' ! " # % 9&
' 9 " # % !& !"('&
/ / " # ) #!& , " #&
/ # , !&# /
:;" !"(9&6 "! !&#& , !
!
%' '
()
'
* '
+) ! ! !&
:;" !"('&6 "! !&#& , '
# /
/ !"#$0& ## / !"(9& !"('& / ' /
"$ #& ,!
!
"#
<7 #$ ) '&#
#$ ) '&$ !"(#0&
"$ #& ,
!""#""$
# )!
# ! " # % 9&
# )!
# 9 " # % !&
!"(#%&
/
/ !"! # , 9
6 ' ) '&($ ) '&*$ ) ! ! ! , !$&=
!"(#0& !"(#%& /
"% #& ,!
!
"#
783 #$ ) '&#
#$ ) '&% !"((0&
=#
!! "
!!!"!!!#
!!
#$
"
#! " ! ! # %!$
!!
#$
"
#! % ! ! # "!$
&'(()!
*
* ! " "%# *
+,' &'((-!. "%#! "&
"
$/ /
( $
/
0 /
1 $ " " "
%$
+,' &'(()!. "%#! " "!
2$
"!
&"
"!
2$
&'#3)! #( * * &'((-! &'(()!
*
" !! " &
"
& #$
56 #& $ /!!
#& $ /!"$ &'(&-!
" !! "
!!!!"!!!!#
!
7$
"
&!! $
"
#& " ! ! # %!$
!
7$
"
&!! $
"
#& % ! ! # "!$
&'(&)!
* !
* &'(0-! &'(0)! *
% !! " &
"
& #$
689 #& $ /!!
#& $ /!%$ &'(0-!
% !! "
!!!!"!!!!#
!"
#&$
"
/#! $
"
#&! " ! ! # %!$
!"
#&$
"
/#! $
"
#&! % ! ! # "!$
&'(0)!
*
! " "%# *
+,' &'(0-!. % "%#! " &
"
$/ /
(%$
/
0% /
1%$ " " "
%$
+,' &'(0)!. % "%#! " ""
#& " /7 $""
/# " 2 ""
#& " # " 0"%
(2&$
&'#3 ! # !"# $ ! "%&
2(
! " #
# #
$ !""
#
% !" #
& !"" ! ! ! '
( #) ! !"
! ! (! )*" # (+,$-)
" %
! " #
%
(+,$-) %
!
$( )
%
! !"
( /01&)
/01& #
&' #"
! '
(! )*& !"#
$(! ) '( #) !"! !"! '
(! )*#
& /01 & # ' ! #"
( #) !"$(! )!&
!
" #
& "# !& #(!
!&
! /01 !& #
!' #"
( #) !"$(! ) & # (+,$&)
2+
! !
!
"" "
" $% " &
!
#'"$( " % ')*+,(
')*+,(
! !"
!&'$" (
!
$ " &
!
$# !
!" &$&
!
$-
$"-
"
$#-
#
$$- # # #
!&
"
$ '$ " (&
"
$"-
#
$#-
$
$$# # #
$
!
"
$ '$ " (& #'"( " - #'+( # - #')( $ - # # # &
"
#'$( % ')*+.(
#'!(
#'!(
/$0 " &#'"(
""-
#'+(
"#-
#')(
"$# # # &
"
#'$(
" % ')*)12(
!" /$0 " &#'"(
""" #'+(
"#-
#')(
"$" # # # &
"
'"!( #'$(
" % ')*)13(
! ')*+.( & !&" "
& "!&"
/$0 "
,4
!"!#$ ! # $ % %
#! " $ & # ' ' ' ! ! ! %
!"
# # $
#
& $ ($ #$ ' $ )$ #$ # ' $ !$ #$ $ ' ! ! ! & !
$ #$ #$ % !"!#$
!")*$ %
% %
$ ($ #$ ' $ )$ #$ ' $ !$ #$ ' ! ! ! & !
$ #$ #$ & #% !"!(+$
$ ($ #
( '
$ )$ #
(#'
$ !$ #
($' ! ! ! &
!
$ #$
( & ,-. ( #
(% !"!(/$
$ ($ #
( $ )$ #
(#'
$ !$ #
($ ! ! ! &
!
$ #$
( &
0
1 ,-. (% !"!( $
# !"!#$ & # % % !"!#$
& # % !"
!
#
#
"
# &
# '
!
!
#
#
"
& ' !
!
#
#
"& !
!
#
#
"%
& # ( ) !"!#$ %
% & #!( & #!(
% ,-. (
! !"
% ,-. (
,-. (
% &
% ' $
!"0 % ' # ' #$ & #3
% %
4#
' # ' $& (!"
# !"
!# '
#
"(!"# %
51
!"# $% & !' ( "! !
!!"#"
% &!
#
# !
#
$
( "! !
% !"
)#"&
!#
*## !$
+#$& ! ! !&
( "! &$$)'
)!" $$*'
*!# &
$$+'
+!$ ! ! !
! ( % !"# $%' ( !"# % ( ,
" ($$)'
) $$*'
*&$$+'
+ ! ! !
+-%-% $!'
$%%)' ("&
$*%)' ("&%) "
" ( !"#+
&& )
%$$)'
) ! )" $$*'
* ! )# &$$+'
+ ! )$ ! ! !&'
" !"# $ !%$&
$ ! $ '!%(&
( ! $! '!%)&
) ! $" ' ! ! !!"
$
*
# !"# $ $ !%(&
( ! $! '!%+&
+ ! $# '!%,&
, ! $$ ' ! ! !! !"# $
" %&
!%$$ ' -&
%$$ ' -& $ " %).)(&
).-.- %).)& * %).)(&
)., * %).)(& *
%).)& $ * $ -
$ - * * %).)(& $ -
* * )
!"
* !%%& % & -
* *
* * *
*
/,
!"#
!!"#$ %& '()(* !!"#$ %& '()(+*
, -),,,,,,,,,,,,,,, ,)./+-(0-1,22//(23 ,).-,-1,..2233.1/ ,)21,,-(-02,3(,3,( ,)2133-(+,.,..3+, ,)200+31(/2/-,/2(. ,)201-+-,(-13+012 ,)20033,1/-302/(.1 ,)200+/13-02(,21/ ,)2003-2/3(221+1+-, ,)20032+1++0/-,./ ,)2003-2.01+0-+02-3 ,)20033+110,/,,-1 ,)2003-2..2.3--.+-( ,)2003-0(0+,,0(0( ,)2003-2..(/(,1-,-. ,)2003-.,.1.-/+(- ,)2003-2..(/,+0-3-1 ,)2003-202.--23(2 ,)2003-2..(/,-.223, ,)2003-2.120,.,(/ ,)2003-2..(/,-2(,
!"!#
$
! % & ' ( ( ! ( " ( ! ! ! $ " " " '
$ " " # ' !% & $
$ !% & " " " '
! #% & ) $
! #% & '
)(
( '
(
% ( '&!
*( ! ! ! +
! $
% ( '&
) %##
" ( '" " ) !, %-&
$ ! % & ) ! #% & $ $ ! % &
) $ ! #% &
$
! #% & +! !$
% ( '&!
)!%#+
! !$
'
)!%#
! $
!!
"
+! $
! !$
'
)!%#
!!
" #
$ ! % & + ! #% &
$! !$
$
)!%#+ %. % ! &
**
!!" # !!!"
" " " " !"!$"!"!%" " " " !"!#& $"
# # '
! !"
$
%!#!#
$
%&
$
(&
$
)&
$
$*& " " " # $$
!(+((" #
# & $
! !" #!
" #!
%!#!#
! !" #!
!!" & $""
%!#!! !# & $""
%!#!
"
# %!
!" #$
" #!
%!#!! !# & $"
! !" #!
"
%!#!
# %
#� ! !" #!
" #!
%!#!! !# & $",
% #$
%& ! !# & $"
'#,! #,
% #!
(
# %!
!" #!
" #!
%!#!! !# & $",
! !" #!
" #!
%!#!# !" & $",
# # ' !(+((" #
# & $ !(+((" # # ' #
!!" # !!!"
!!!" $! & $$ % %
$!$ % $
% !!" !!!" !
(+- !." !!" !!!"
$' ! $' " !!"
' % ! % $ " !!" ! % $
!!!" ! % !/ $'
!!" !!!"
!$ % ! % $
)0
!!" !!!" !!!"
!!"
!!" !!!"
O 1-1-2-3
1
2
3
O-2-4
✦0(✧): |✧| < 1
✦-1
(✧): |✧ + 1| < 2
Re ✧
Im z
✦-1
(✧)✦
0(✧)
1 / (1 -✧)
(a) Radii of convergence. (b) Tenth-order approximation.
2
-2
2
-6
-4
✧
!"#
$!% &
$!% ! &
! $!% ' ! ( !! ( !" ( !# ( ' $!% ! "
"!" # ) & $!% "!" # )
& $!% ' ) ( ! $!% $!% &
$!% ')
) ! !$"!" # )%"
& ) ( ! ( !! ( !" ( )$$)! !% &
"!" # ) & )$$) ! !% & ! ' )
) & & )$$) ! !% $!%
$$!% & $$!%
! ( ) &
$! ( )% $$!% '! %
$! ( )% &$
* &$' * $$!% ! )"
$$!% &
$$!% ')
) ! !$"! ( )" # *%"
+,
!!
"
" #
"
"
" ! $ % " !!! " %
" " ! $ %
" %# % " !! "
&'( )! %# % " !! !! ! !! "
" !
!"!#
"
$ %! " " $ &! $ &" %!*
" "
" "
$ %! $ "
' !( !+') &'&(!
" $ %! $ %" $ %,%! $ %$ %!
" " $ &! $ &" %!*
&'-
&'&(! "
&'&(! " ' $ &* " "
$ %! $ & "
* !( "#+*)
" "
%
& $
%
$ %!
"
* !( "#+*)
" & " % "
+ %! $%
$ %!
"
"!""!
* !( "#+* $%
$ %!
"
* !
(# " %+*) &'&-!
!" ! #! !$
.%
1O 2 3 4
2
4
6
8
-2
-1-2-3
-4
!"#
!$"! ! %&
' $ ! "& ' () # $ %
' %$#& " & $#& '$#&
# ' # # * # !" ""!" !#$%!# * !"
' %$#& '
%$#& * &
'
(! &
"! ! %+ ,
"
&
# &
"! ! %+ ) $ ! -&
. #
' $ % "! ! % $ "!!. '
!!!!! "
&
&
"! ! %+
!!!!! * . "
& !" &" !+ )
' () # % % !" & % % '
!!!!! "
&
&
"! ! %+
!!!!! * . "
&" !+ * . $() # % %&)
' () # $ % '
!!!!! "
&
&
"! ! %+
!!!!! * . "
' !" &" !+
% . "
' #!" $ &" !+ * $&() #' ! %&/ $() # $ %&
0.
! ! !"#"$%
&
' " " # ' " !"# '%
'
"# '
! "# ! $( #
!
!
" # '( #
! "# ! $( $
'
!"# '%!)* !# '%#
!
!
" # '( #
'
)* !# '
!"#"$% ' )* ! % '
&!!% )* ! % '
!"!#
'!!% )* ! % '
(! % + )!" # '%
!( %"&! %
!( %"&! %
,-$$%
!
! !( %"&! % ( +
! !( %"&! % ( .
!
!( %"&! % ( $ !"#"/%
& * + - )* ! % '
(! % 0
( "! % +" # ' # "
!" # '%$$
* + ' !"#"/% & % '
')!" # '% # &"
&( "! %& # "!" . " $ . " %$ ! % '%
12
!"!#$ % & !
! ! $ '
" !"
!
#"!'
(
!
#"!!'
(
!
" #"!'
#$
& ) * &
% & %
& !"!#$ ) +
! $ , $"#$
&"
'- "$
& +
! ! $ , $"#$
&""
'- "$
& +
&!# ,% %($-
%)$!#$ ( !$$
& ! $ ! ! $ " " " %) &
. # # ) ! ! $ &
)
!
$ ! ! $ ' ,
!
$
$"#$
&""
'- ""$' ,
% $"#$
)
' ( * ( )
&""
'- ""$"
& $
$
& /0 * + $) & &
, , ) /0 * + $)
& , , %$ *$ - - - !"!#$ & &
! %%& $ & ! $
+
#!%$
"#$
'%"
(! %"& $$ ! %%& $ , .$ , , %$ *$ - - -$$ !"!1$
& #! $ )$ ! $ ,
& )
#!'! $ ( ! ! $
($ ! ! $ , )$
& %
#!'! $ ( %! ! $ ( ! !! $
($ ! !! $ , .$
1!
!"!#$ !"!#$
!"!#$
%
%!
"
!!" !
"!"
## ""# !$ # "!# !$
$& "
!!" !
"!"
# "# ""# !$ ' # ""$%# !$
# # "!$%# !$
& " # !$ ' " !!
" %
%"!"
#'"
!" %
#&# ""# !$ ' " # "!$%# !$ # "#$%# !$
& " # !$ ' " !!
" %
"!$%"
## ""# !$ ' " # "!$%# !$ # "#$%# !$
& " !!
" %
"!$%"
## ""# !$ # "#$%# !$$
' ( !"!#$ ) !"!#$
%
# "!# !$ &"
" (
! %!" !
"!"
## ""# !$$
!"!*$ + )
''''( !%
!$# "!# !$ %!'''' ! "
" (
! %!" !
"!"
# ''''( !%
!$# ""# !$ %!''''
& +! %!" !
"!"
# ''''( !%
!$# ""# !$ %!'''' $
) % & + )''''( !%
!$# "" !$ %!'''' & +
)''''( !%
!$# !$ %!'''' '
''''( !%
!$# " !$ %!''''*$
% & ,$ ( ) ' !"!*$
) ) % & +
!"!*$ ( )
% ) !"!*$ + '
!"!*$ ( )
) !"!*$ (
( %!!$# "!# !$ %! &
( %!
!!" !
)"$!
-!"$$ &
!!" !
+(
' '' (
)"$!
-!"$$$%
,%!$
) )
+
#.
! ! "" # $ % $
"
!" #""%&
# # '%#"$% &%!!"!"&
" !" #"" "%&
# # (%#"$% ! # "%&%!!"!#'
$
"
!# # (%# ! '%# ! "%
# # '%# '%# "%
%
#"$% %
#"$% # ! !%&
$ ' $ "%" ( "$#)*)+% ' ,-& '℄ $
$ $ ) !" ! - #" ! '& "& ' ' '%
$ #)*)+% ' $
/0 # * #' #! ! -& '& "& )& 1& ' ' '%&
/0 # * #" #! ! (& 2& 3& ' ' '%&
#)*)+% " # $
#)*)+%
$
+##% !'
, ##%
$
%"!"
-# # ' 4%& #)*2-%
$
.#%% $ /##% $ , ##% +##% /#0% $
/##% ! $
%"! .#%% 4%& #)*2'%
$ $ /##% /0 # * '
$
/##% !
!%"!"
## ' .#%%" $
# '
## ' $
%"!". "#%% 4%& #)*2"%
$ %%& .#%% %-!# $ .#-% ! )$
$ ' /0 0 * ' $ /0 # ' '$ " $ /0 # * -
51
!"#$%& '( ! % !"#$)& %
% "! & '( ! *
% '( ! % %
!"#$)& !"#$%& !"#$)& %
'( ! % "! & '( ! *
) % "! & + % %
'(, !
"! & + -./ !
! %& "! &
+ !"
# "!$& 0$ + #!*& + %"&
"! &
!"#$)& "! &
"! & + !
$ #!
! %&# "!$&
"!"
1%
! %&
!"
$ # ""!$& 0$& !"#$2&
$!" # "!$& # $'#! # "!*& +
%! !"#$2& % '( ( ! * !"#$2& )
'( ! %
!"#$2& % '( ! % )
'( ! % "! & + %& * %
+ *
'(, "
"! & + -./ "
"! &
+ !"
# ""!$& 0$ + # "!*& + %!&
"! &
)
"! & + ! %&""#
# !
%
1 * )
!"
$ #"#$# %"&!$& 0$ !'( ! % )&& !"#$"&
"! &
"! & + %& *& %& )& + + + %
+ )
'(, #"
"! & +%"#!
!) 1 %&3&
45
!! " #
" #"# !! ! $ %$ #$ &$ % % % #
" & !! $ !!"# !! " ! $ #$ &$ '$ % % %
" & !! " ' $ % # "
"
(
#
# !!$ !( !
" !
!# )
!
)
"(!!#"$
" (
# !! $ *+,$"
*!*-
! !) #! ! ! ! ! ) *!$
! $ + # !! "
./0! !%
# !! $ *+,!"!%
! ) +!# !!
$ *+,!"!%
*+,$"
! ) +!*!*-
! !) #! ! ! ! ! ) + #! ! ) +! ! ) + ) #! ! ! ! ! ) *!
$ *+,$"
#!%*!%*-
+- * +!-
$ #!%
+-*+,$"
!# )
#
*
"!# )
&
*
"! ! !!# )
+ #
*
"
$ #!%
+-$
" # ! ) #! $ !# !! "
"
./0! !%
# !! $ *+,!"!%
! ) +!# !!
$ *+,!"!%
! ) +!# ! ) + ) # + ) #!!
$ *+,!"!
! #!# ! + ) #!!
$ *+,!"!
! #!# !!
! #! ! &! ! ! ! ! + #!$
#!%
+-$
" !! # !! ! $ + # "
& +! $ *+,&"
!!
# !!$
./0! !%
!!
./0! !%
# !!$
#!%,%"!
+ ) # + $ %$ #$ &$ % % %!$
12
!
"#$ % &
'! " '" ( &$ % #
'"! " '"$ % # "" % &! '! !! $ $ $$!
"#$ % &
'! " %$ % #!!"
% ( &"% % &! '! !! $ $ $$!
& "'$ ' % &
("'$ & ' % & "'$ &
)*+"#"
"'$ %&
& "&$)*+"#"
("'$ % &!
' % &
!"!
"'$ %&
& "'$
$
)"!"
*# &,)!
)* ' + &
-./ , (!,! - & ,$ (! ,
,! 0
,! 01 )* ' + &
- " # ,$
%
)"!"
*# &,) % 234
$"$.-"
&
$
*'"(
*$)!" &,/ % 234
$"$.-"!"
&
$*'%"!"&(,)
% 234$"$
'.-"!"*&'%"!"& +350"' &$
' &% # ")* ' + &$!
,!
&
& "'$
%
1"!"
*# &,) % "'$ ")* ' + &$!
66
! !"
"
# #$$
!!
%" "%! &
!
!
#!%"#$$!
%" "%!
& %"#$#! $ !
!
!!
%" "%! & %"#$#! $&#$$ #'( $ ' "$(
&#$$
&#$$ &"
# #$$
"
%"#$#! $ "
!!
%" "%!
&%#$#! $
!)# #$$ )*+"#$ "$
!!
%" "%!
& "
!)# #$$ )*+"$
# !$! %" "
%! & # #" $$!")
# !$! %" "
%!( #,-..$
# #$$# #" $$ & "* )*+"$
'( $ ' " '( $ ! "
CrC+
C−
C = C+ + Cr + C−
2πi
4πi
−2πi
−4πi
CR
R = (2n+ 1)π
R
CR+
,-/0
#,-..$ '( $ ! "
! & + ,-/ 1 %%
%% 23 2
&#$$ &# #" $$
!")
# !$ & %" "
%! &# #" $$
!")
%
# !$ & %" "
%!(
"44
!
" !#! ! $ " !#! "!"#"! # $$
#
# % $ ! $$
" !# %
"& $% " $#%$
! '%&
%'
&&!' % !'
$
! % '
()*&%&
" !# %
"& $%
" $#%$ %%$
"$! $#&'
( "$ ! $# % $& ! $$
)" $# %" $#%%%$
$! $'
%'
)"'# % $
+ ! !" " #$ % #
!" ! !"$ % & " % # ! ' $ $ $$
( ( (
( )* % & # '
( % ' " '!! (
% ( ' " '!! ( +,-
'! ( + . ( " )(( ( " )((
( )(( ( )( ( ( ( % !* " #$+
( )* % & # ( ( ! " ( '!
!""# ( , % -# ) !* " #$+ ( & & . & # ( !""# $!
,$%!#
/" #/,
&! !!!
,$% %!#
/# " #/- &
! !!!
,$% %!#/-
&! !!!
#
(#!$% %/, %
!
(!$% %
#&#
!" ! # "
!" ! #
# $ $ % %&
!! !"#
& #'$ "
'! ()#
!!
&!
*$'#$ $ "
' ()&(
$"#
+ +,
# $ $ % %&
!! "#
& #'$ "
'! ()#
!!
&!
*$'#$ $ "
' '"# ()&(
$ "# !" ! (
" !" ! ( $
" !" ! ( "
!%
& #'$ "
'! ()# $
!% !%
& #'$ "
'! ()# &!" ! ('(
" " "
# $ *)%* &* $ #(%((%*( + + +' (
!"-! %&"'
& #'$ "
'! ($ ./0!!%&"'
&# *)%*' & #'$ "
'! (
$ ./0!!&
# & # *)%*'$ "
'! ($ &*)'$ "*$ "' &"'$ "((%(
" %" " # $ #
!%
& #'$ "
'! ()# $ *)%
""#
' "
&*)'$ "*$ "' &"'$ "((%
$ *)% & &*)'$ """' "
*$ "' &"'$ "((%#( % '&"'$ "(
$
$ *)% & * &*)'$ " 2-)& ('
*
""' "
(
*" $
$ *)% & * &*)'$ ",&( ' -/3)
*(
(#*
! " #
$
!%"& " ' # ! $ % "& !% "& ()*#"
'%+, " % && %-./0&
$ '! $
$ +, " % $ %-./0&
$ %-./0& $
" " '( %( " & '& ) ) )& $ ()*% #(& " #
$ $ % 1 '(& !% 1 '(& $ !% '(& " #
$ $ $ $
$ " " '(1 $ ()*% (1
*'&# " % &"$ $ %'(& " %'( &2 $ $
!%'(& "% &"! '!"! #!"+!"
%'(&2&
$ !% '( 1 & " +!"*'(
$ -.3 ' $ %-.//&
$ $
' -.3 $ $
$ $ $ , " #
$
$
-.4 $
!%,& , " $
$ $ $ -
$ $
$
$ !% & " +#" *% 1 &
#5
1O
1
2
3
4
-1
2 3 4 5 6
★2/6
-1/2
★4/90
★6/945
-1/12
1/120
-1/252-0.05
-2
-0.1
0.05
-4-6 -1-3
!"#
!"#$% $ %
!"# $ %!& ! %# $ %!%& ! &# $ " ! '# $ %!%&"
!"# ! % (%
& (
%
' (
%
) ( " " "
!"# $ % ( % ( % ( " " "
!"# $ *+,! !
! !
! !
! ! ! !
! ""#$
! ""#$ % " #& ! " #&
!"#
$
%&!
!"!"
! !" ! # $ % $ & $ ' $ " " "
! "(
" !#" ) !
$ #!! ) # $ % # $ & #! $ ' #" $ " " " !'*+,"
!
"#!#" ) # $ # $ #! $ #" $ #$ $ " " " )#
# #%
" !#" " !#"
" !#" ) # $ %# $ &#! $ '#" $ +#$ $ " " "
"#!#" # " !#" ) " "#!#"
" !#" ) !#"#!#""" " !#" )
!#"#!#"""
" !#" ) # $ %# $ &#! $ '#" $ " " " )-
-#
#
# #)
#
!# #"!%
"!!#" ) !#" !#""" %
"!!#" ) # $ %!# $ &!#! $ '!#" $ " " " )-
-#
#
!# #"!)
# $ #
!# #""%
# " % !#" ) !#" !#"""
&
""!#" ) # $ %"# $ &"#! $ '"#" $ " " " )-
-#
# !# $ #"
!# #"")
# $ '# $ #!
!# #"$%
&
! # # ! !# #" %!
! #
" % !#" )#
!# #" %!
!&#
& "! #!% !'*+."
#/+
!!" # !! !!""!
!"!!" #$
!$ !" !#
!$ !"
!!$%
" !!! % !# % &"
!!$%
" !!!!
"
#$
!$ !" !#
#" % %
!!$%
$!$ % $"" ! % !# $ % $"" "!
%!! % " !
!
&%
!! " ! "!
" ! # !# $ % $"" "! % !$ % $"" "!% " % # " # $% !'()*"
" % # " # $ !!" # $&!$ !""
"%% # $ +
'(, -
" ! # " " ! !'(./"
# #% $
" ! "& ! ' ! # !$ % $"" " ! % !# % $ $ % $"" " !!
# !$ % $"" "! % !!# % $" $ % $"" "! # " ! "!%
# % $
'(,-
! ! " # $ % & '
!! ! !" ! $ !# ! !! !! !$ ! "& && "& !% ! %' # " # " %' !& ! !" !!(! "$!& !!(! !" !' ! "$' $"(# !%&!( !%&!( $"(# "$' !
" ! $ !#% $"0
" !
!!$%
" ! # " % % !!$
" ! % "
$/.
!! ! ""
!"! " ! #$ !" ! "" ! #$ !"
"! !
""!
"" ! #$ !" ! ""
"! " ! #$ !" "!! #$ ""!
!"#
% !" ! ! # & !" "
# % ""!
" "! ! #$' "()*#$
" % $ "%$
% % # %
$ "#$ # ! + ! , ! ( ! ! ! !
% &" !$ %
%
$ "%$ #
"# %$ #
""!
!"%"#
% % # $ "%$ %
% # '" !$ " $ " #$ %
'" !$ # + ! , ( ! ! ! ! #
+ #
""!
" #$" !"#
% '" !$ "# + # $&" !$ %
&" !$ '" !$# + #
#
+ # "# + # $
""!
" #$" !"#
" " % ! "! +($
% % &" +($ & %
% ()- %
&" #$ #
#+# &" ,$ #
#+&# &" .$ #
+.+#
&" /$ #
+(&# &" 0$ #
#,+#
% &" +(! #$ )$#*+(
% &"&$ %
'"&$ $!" #$ #
# %####$"
#
+#
#&/
!" # $!%
&
&
& &
$ ' $ ' $ ' $ ' $ ' ! ! ! # $!%"
$ ' % ' ( ' ) ' * ' ! ! ! # $!$%"
$ ' % ' ( ' ) ' * ' ! ! ! # !"
$ ' %! ' (! ' )! ' *! ' ! ! ! # $!$%!"
$ ' %" ' (" ' )" ' *" ' ! ! ! # !"
$ ' %# ' (# ' )# ' *# ' ! ! ! # $!%*%"
&
& &
& $" & $' %#'(# ')#! ' ! ! ! #$! $ #" & # # $ # # $
& # # $ & # # $
$ ' %# ' (# ' )#! ' ! ! ! "#" $ $ &
"#" $ $ &
$! $ #" & # # $
& # # $ " # # $ # # $
& $ ' %# ' (# ' )#! ' ! ! ! &
$! $ #" &
$" & $ ' % ' ( ' ) ' ! ! !& & $" # $!$% &
$ ' % ' ( ' ) ' ! ! ! # $!$% & &
&
& & %
&
&
$ ' %! ' (! ' )! ' ! ! ! (
(" # $!$%! &
$!+
!"# $ #%"#
!"
Recommended