МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ · PDF fileansys и...

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ

АКАДЕМИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА

А. Ю. Шаманин

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ

РАБОТАМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ПРОЧНОСТЬ КОРАБЛЯ

РАСЧЕТЫ КОНСТРУКЦИЙ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ANSYS

Москва, 2012

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ

АКАДЕМИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА

Александр Юрьевич Шаманин

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ

РАБОТАМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ПРОЧНОСТЬ КОРАБЛЯ

РАСЧЕТЫ КОНСТРУКЦИЙ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ANSYS

Москва, 2012

УДК 004.942

А.Ю. Шаманин. Методические указания к практическим работам по

дисциплине прочность корабля. Расчеты конструкций методом конечных элементов

в ANSYS. - МГАВТ, 2012-77с.

Настоящее учебно-методическое пособие предназначено для студентов очного и

заочного обучения специальности «180100 Кораблестроение и океанотехника». Может

быть полезным для аспирантов, инженерно-технических и научно-педагогических

работников, специализирующихся в области расчетов конструкций методом конечных

элементов.

Основная цель пособия - получить навыки работы с программным комплексом

ANSYS и дать общее представление о возможностях программного комплекса ANSYS.

Описаны алгоритмы решения, наиболее распространенных в практике судостроения,

задач в ANSYS. Приведены задания для практических работ по курсу «Прочность судовых

конструкций».

Материал, изложенный в пособии, в течение ряда лет апробирован на кафедре

Судостроение и судоремонт Московской государственной академии водного транспорта.

академия водного транспорта, 2012 г.

Содержание

1. Введение в МКЭ .................................................................................................................... 5

1.1. Метод Конечных Элементов ................................................................................ 5

1.1.1. История развития метода .................................................................................... 5

1.1.2. Основы метода конечных элементов ................................................................. 5

1.2. Уравнения МКЭ ......................................................................................................... 6

1.3. Элементы матричной алгебры ............................................................................. 7

1.4. Типы конечных элементов ..................................................................................... 9

1.5. Уравнение МКЭ для балок ...................................................................................... 9

1.5.1. Функции формы ....................................................................................................... 10

1.5.2. Матрица напряжений ........................................................................................... 11

1.5.3. Матрица жесткости ............................................................................................ 12

1.5.4. Матрица масс .......................................................................................................... 12

1.5.5. Вектор сил ................................................................................................................ 13

1.5.6. Уравнение МКЭ ....................................................................................................... 13

1.6. Пример решения МКЭ ........................................................................................... 14

2. ВВЕДЕНИЕ В ANSYS. ........................................................................................................ 17

3. АНАЛИЗ ЗАДАЧИ В ANSYS. ............................................................................................ 21

4. Лабораторная работа №1 ..................................................................................................... 28

Список литературы ..................................................................................................................... 76

1. Введение в МКЭ

Метод конечных элементов (МКЭ) — численный метод решения дифференциальных

уравнений с частными производными, а также интегральных уравнений, возникающих при

решении задач прикладной физики. Метод широко используется для решения задач

механики деформируемого твёрдого тела (сопромата), теплообмена, гидродинамики и

электродинамики.

Википедия (http://www.wikipedia.org/)

1.1. Метод Конечных Элементов

1.1.1. История развития метода

Возникновение метода конечных элементов связано с решением задач космических

исследований в 1950-х годах. Основоположником теории МКЭ считается Р. Курант (1943

г.), но из-за нахождения вычислительной техники в зачаточном состоянии метод не

получил развития, поэтому впервые был применён на ЭВМ лишь в 1944 году Аргирисом.

Этот метод возник из строительной механики и теории упругости, а уже затем было

получено его математическое обоснование. Существенный толчок в своём развитии МКЭ

получил в 1963 году после того, как было доказано то, что его можно рассматривать как

один из вариантов распространённого в строительной механике метода Рэлея — Ритца,

который путём минимизации потенциальной энергии сводит задачу к системе линейных

уравнений равновесия. После того, как была установлена связь МКЭ с процедурой

минимизации, он стал применяться к задачам, описываемым уравнениями Лапласа или

Пуассона. Область применения МКЭ значительно расширилась, когда было установлено (в

1968 году), что уравнения, определяющие элементы в задачах, могут быть легко получены

с помощью вариантов метода взвешенных невязок, таких как метод Галёркина или метод

наименьших квадратов. Это сыграло важную роль в теоретическом обосновании МКЭ, так

как позволило применять его при решении многих типов дифференциальных уравнений.

Таким образом, метод конечных элементов превратился в общий метод численного

решения дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений. Более

полно история возникновения метода коечных элементов отражена в [1], [2].

С развитием вычислительных средств возможности метода постоянно расширяются,

также расширяется и класс решаемых задач. Практически все современные расчёты

прочности проводят, используя МКЭ.

1.1.2. Основы метода конечных элементов

Инженерные конструкции представляют совокупность конструктивных элементов

(балки, стержни, пластинки, оболочки), соединенные в конечном числе узлов. В сплошной

среде, количество точек связи и количество составных элементов (в металле – зерен)

бесконечно, именно это и осложняет решение задач в сплошной среде. Введенное

Тёрнером и др. [2] понятие конечный элемент, позволяет преодолеть эту трудность путем

разбиения сплошного тела на конечные элементы (исчислимого количества),

взаимодействующие между собой только в точках соединения элементов (в узлах), в

которых вводятся фиктивные силы, эквивалентные поверхностным напряжениям,

распределенным по границам элементов. В случае принятия такой идеализации, задача

сводится к обычной задаче строительной механики, которая может решаться численно.

Основная идея МКЭ состоит в том, что любую непрерывную в некоторой области

величину (например, внутреннее усилие в конструкции, перемещение и т.п.) можно

аппроксимировать дискретной моделью, которая создается из множества кусочно-

непрерывных функций, определенных в конечном числе подобластей (элементов). Обычно

такими функциями являются полиномы – линейные, квадратичные, кубичные и т.д.

Кусочно-непрерывные функции строятся с помощью значений непрерывной величины в

узлах. Таким образом, чтобы определить неизвестную непрерывную вели чину, нужно

определить ее значения в узлах.

Основные этапы создания дискретной модели неизвестной величины следующие:

1. В исследуемой области задается конечное число точек (узлов).

2. Значения непрерывной величины в каждом узле считаются неизвестными, они

должны быть определены.

3. Исследуемая область разбивается на конечное число подобластей (элементов),

имеющих общие точки (узлы).

4. Непрерывная величина в каждом элементе аппроксимируется полиномом, который

определяется с помощью узловых значений этой величины: для каждого элемента

определяется свой полином, но его коэффициенты подбираются так, чтобы сохранялась

непрерывность величины на каждой границе элемента

1.2. Уравнения МКЭ

В общем виде, для созданной конечно-элементной модели, состоящей из n элементов и

m узлов, составляются матрицы1:

Матрица сил возникающих в узлах, где 𝐹𝑖 – подматрица-столбец, с количеством

элементов равным количеству степеней свободы узла.

{𝐹} =

[ 𝐹1𝐹2𝐹3⋮𝐹𝑚]

Перемещения узлов, где 𝛿𝑖 − подматрица-столбец, с количеством элементов равным

количеству степеней свободы узла.

{𝛿} =

[ 𝛿1𝛿2𝛿3⋮𝛿𝑚]

1 Для понимания дальнейшего материала необходимо знание основ матричной алгебры. Необходимые

сведения содержатся в главе 1.4.

Матрица жесткости (квадратная матрица), где 𝑘𝑖𝑗 – квадратные подматрицы

размерности 𝑙 × 𝑙, а 𝑙 – число компонент силы в рассматриваемых узлах.

{𝑘} =

[ 𝑘11 𝑘12 … 𝑘1𝑚

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

𝑘𝑚1 𝑘𝑚2 … 𝑘𝑚𝑚]

{𝐹}𝑝 – силы, уравновешивающие действующие на элемент распределенные нагрузки;

{𝐹}𝜀 – силы в узлах обусловленные начальными деформациями.

Для упругого элемента основное соотношение может быть записано в виде

{𝐹} = {𝑘} × { 𝛿} + {𝐹}𝑝 + {𝐹}𝜀

Или для напряжений:

{𝜎} = {𝑆} × { 𝛿} + {𝜎}𝑝 + {𝜎}𝜀

{𝜎} – напряжения в узлах;

{𝑆} – матрица напряжений элемента;

{ 𝛿} – матрица перемещений узлов;

{𝜎}𝑝 – напряжения возникающие в узлах от действия внешних нагрузок;

{𝜎}𝜀 – напряжения в узлах обусловленные начальными деформациями.

1.3. Элементы матричной алгебры

Матрица (математика) — система элементов 𝑎𝑖𝑗, расположенных в виде

прямоугольной таблицы.

Википедия (http://www.wikipedia.org/)

Матрицей размером mn называют совокупность mn чисел расположенных в виде

таблицы состоящей из m строк и n столбцов и записанных в виде:

............

Элементы матрицы – это числа 𝒂𝒊𝒋 ( njmi ...,,2,1,...,,2,1 ) составляющие её, где i

– номер строки, j – номер столбца на пересечении которых находится элемент матрицы.

Основные операции над матрицами

Сложение и вычитание матриц Определяется для матриц одинакового размера. Суммой (разностью) матриц A и B,

обозначаемой A+B (A-B), называется матрица C, элементы которой определяются по

формуле: cij=aij+bij ( aij-bij), где aij и bij – соответственно элементы матриц A и B.

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы A и числа , обозначаемым A, называется матрица B той

же размерности, элементы которой bij=aij, где aij элементы матрицы A, т.е. при умножении

матрицы на число надо все элементы матрицы умножить на это число.

Свойства

Пусть A, B, C – матрицы одного размера, , любые действительные числа, тогда:

1. A+ B= B+ A

2. (A+ B)+ C= A+(B+ C)

3. (A+B)= A+B

4. (+)A=A+A

5. ()A=(A)

Матрица, все элементы которой равны нулю называется нулевой. Пусть O – нулевая

матрица, тогда:

6. A+ O= A

(-1)A – противоположная к A и обозначается – A.

7. A+(- A)= O.

Транспонирование матриц Матрица AT, полученная из данной матрицы A заменой её строк столбцами с теми

же номерами называется транспонированной:

............

Умножение матриц

Произведением матриц Am n и Bn p называется матрица Cm p= A B (или проще AB),

элементы которой

, где ik

a , kj

b - элементы матриц A и B. Произведение

AB существует только в том случае, когда первый множитель A имеет число столбцов,

равное числу строк второго множителя B.

Свойства умножения

1. AB BA даже если оба произведения определены, но существуют матрицы A,B, такие

что AB= BA, тогда они называются перестановочными.

Матрица E вида:

1...000

..............

0...010

0...001

E называется единичной матрицей. E – перестановочная с любой

квадратной матрицей того же размера, т.е. AE=EA=A.

2. Умножение матриц ассоциативно, т.е. если определены произведения AB и (AB)C, то

определены BC и A(BC) и выполняется равенство:

(AB)C=A(BC).

3. Умножение матриц дистрибутивно по отношению к сложению, т.е.:

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC.

4. Для любого числа :

(AB)=(A)B=A(B).

5. Если существует AB, то определено (существует) BТAТ и выполняется равенство:

(AB)Т= BТAТ.

Обратная матрица

Матрица X, удовлетворяющая вместе с заданной матрицей A равенствам XA=AX=E,

называется обратной к A и обозначается A-1.

1.4. Типы конечных элементов

Существует большое количество разнообразных типов конечных элементов

позволяющих моделировать различные физические задачи (в программе ANSYS – около

200 видов конечных элементов1).

Задача разбиения тела на конечные элементы неоднозначна. В некоторых случаях

(например, в случае расчета ферм) конструктивные элементы совпадают с конечными

элементами (балки, стержни). В этих случаях, моделирование конструкции не представит

особого труда и будет состоять в выполнении некоторого объема работы по стандартным

правилам. Гораздо сложнее выполнить эту операцию для двумерных или трехмерных

областей/тел. Здесь, прежде всего, нужно выбрать тип (или типы) конечных элементов (2х

или 3х мерные), наилучшим образом аппроксимирующие исследуемую область. Плоские

двумерные элементы применяются, в основном, для моделирования мембран, тонких

пластин, тонкостенных оболочек и т. п. Объемные трехмерные элементы применяются, в

основном, при исследовании полей температур, деформаций напряжений в массивных

телах и т. п. [3], [4].

1.5. Уравнение МКЭ для балок

В качестве примера рассмотрим решение с применением МКЭ наиболее

распространенной и в тоже время простой задачи Строительной механики корабля, расчет

прочности балочной конструкции.

Балка - одномерный, геометрический элемент произвольного поперечного сечения.

Основным различием между балкой и стержнем является тип воспринимаемой нагрузки

(балки подвергаются воздействию поперечной нагрузки: поперечные силы,

распределенные нагрузки и моменты, которые приводят к поперечной деформации балки).

1 Более подробно о конечных элементах, применяемых в ANSYS, можно прочитать в [3].

Узел конечного элемента имеет две степени свободы в: отклонение в поперечном

направлении оси y (направление v) и вращение в плоскости осей x-y, θz (относительно оси

Z). В итоге, балочный элемент (с двумя узлами по концам) имеет 4 степени свободы.

Рисунок 1- Балочный конечный элемент

1.5.1. Функции формы

Рассмотрим конечный элемент длиной l=2a с узлами 1 и 2 по концам, как показано

на Рисунок 1Рисунок 1. Ось X определяет локальную систему координат элемента, начало

оси находится посередине балки в центре среднего поперечного сечения балки.

Для каждой степени свободы конечного элемента балки можно составить уравнения

равновесия, получим четыре функции формы. Удобнее когда функции формы определены

относительными координатами в локальной системе координат. В относительной системе

координат элемент определяется координатами -1 и +1, как показано на Рисунок 1.

Отношение между натуральной системой координат и локальной системой

координат можно определить отношением

Выведем четыре функции формы в локальной системе координат, в виде полинома

третьего порядка, содержащего четыре неизвестные постоянные:

𝑣(𝜉) = 𝛼0 + 𝛼1𝜉 + 𝛼2𝜉2 + 𝛼3𝜉

где 𝛼0 − 𝛼3 неизвестные постоянные. Выбран полином третьего порядка, т.к. четыре

неизвестные в уравнении могут быть отнесены к каждой из четырех степеней свободы узлов

элемента. Уравнение (2) может быть записано в матричной форме:

𝑣(𝜉) = [1 𝜉 𝜉2 𝜉3] [

𝛼0𝛼1𝛼2𝛼3

или

𝑣(𝜉) = 𝒑𝑇(𝜉)𝛼 (4)

где p – вектор базисной функции и α – вектор коэффициентов. Величина поворота элемента

θ может быть получена дифференцированием уравнения (2) с учетом (1).

𝜃 =𝜕𝑣

𝜕𝑥=𝜕𝑣

𝜕𝜉

𝜕𝑥=1

𝑎(𝛼1 + 2𝛼2𝜉 + 3𝛼3𝜉

2) (5)

Четыре неизвестные постоянные 𝛼0 − 𝛼3 могут быть определены из граничных условий:

При 𝑥 = −𝑎 или 𝜉 = −1

𝑣(−1) = 𝑣1

𝑑𝑣

𝑑𝑥|𝜉=−1

= 𝜃1

При 𝑥 = +𝑎 или 𝜉 = +1

𝑣(1) = 𝑣2 𝑑𝑣

𝑑𝑥|𝜉=1

= 𝜃2

Применение граничных условий дает:

𝑣1𝜃1𝑣2𝜃2

[ 1 −1 1 −1

0 1𝑎⁄

−2𝑎⁄

3𝑎⁄

1 1 1 1

0 1𝑎⁄

2𝑎⁄

3𝑎⁄ ] [

𝛼0𝛼1𝛼2𝛼3

или

𝐝e = 𝐀eα (9)

Решение системы уравнений (8), относительно 𝛼, можно записать:

𝛼 = 𝑨𝑒−1𝒅𝑒 (10)

где

𝑨𝑒−1 =

2 𝑎 2 −𝑎−3 −𝑎 3 −𝑎0 −𝑎 0 𝑎1 𝑎 −1 𝑎

] (11)

Подставив выражение (10) в уравнение (4), получим

𝑣 = 𝑵(𝜉)𝒅𝑒 (12)

где 𝑵(𝜉) является матрицей функций формы:

𝑵(𝜉) = 𝑷𝑨𝑒−1 = [𝑵𝟏(𝜉) 𝑵𝟐(𝜉) 𝑵𝟑(𝜉) 𝑵𝟒(𝜉)] (13)

Функции формы, входящие в матрицу функций формы (13), записываются следующим

образом:

𝑵𝟏(𝜉) =1

4(2 − 3𝜉 + 𝜉3)

𝑵𝟐(𝜉) =1

4𝑎 (1 − 𝜉 − 𝜉2 + 𝜉3)

𝑵𝟑(𝜉) =1

4(2 + 3𝜉 − 𝜉3)

𝑵𝟒(𝜉) =1

4𝑎 (−1 − 𝜉 + 𝜉2 + 𝜉3)

функции формы 𝑵𝟏(𝜉) и 𝑵𝟑(𝜉) определяют перемещения, а функции 𝑵𝟐(𝜉) и 𝑵𝟒(𝜉) –

вращение узлов.

1.5.2. Матрица напряжений

Теперь, получив функции формы, следующим шагом будет вычисление матрицы

напряжений элементов. Напряжение и деформации связаны следующим отношением:

휀𝑥𝑥 = 𝑩𝒅𝑒 (15)

где матрица напряжений 𝑩 определяется:

𝑩 = −𝑦𝐿𝑵 = −𝑦𝜕2

𝜕𝑥2𝑵 = −

𝑎2𝜕2

𝜕𝜉2𝑵 = −

𝑎2𝑵′′ (16)

Из (14), можно найти:

𝑵′′ = [𝑵𝟏′′ 𝑵𝟐

′′ 𝑵𝟑′′ 𝑵𝟒

′′] (17)

где

𝑵𝟏′′ =

𝑵𝟐′′ =

2(−1 + 3𝜉)

𝑵𝟑′′ = −

𝑵𝟒′′ =

2(1 + 3𝜉)

1.5.3. Матрица жесткости

Вычислив матрицу напряжений, мы теперь можем вычислить матрицы жесткости и

массы. Матрица жесткости может быть определена по следующему выражению:

𝒌𝑒 = ∫ 𝑩𝑇𝒄𝑩𝑑𝑉 = 𝐸 ∫ 𝑦2𝑑𝐴

∫(𝜕2

𝜕𝑥2𝑵)

(𝜕2

𝜕𝑥2𝑵)𝑑𝑥 = 𝐸𝐼𝑍 ∫

𝑎4(𝜕2

𝜕𝜉2𝑵)

(𝜕2

𝜕𝜉2𝑵)

−𝑎𝑉

𝑎𝑑𝜉 =

=𝐸𝐼𝑍

𝑎3∫ 𝑵′′𝑇𝑵′′𝑑𝜉1

−1 (19)

где IZ = ∫ y2dAA

момент инерции поперечного сечения балки относительно оси Z.

Подставив (17) в (19), получим:

𝒌𝑒 =𝐸𝐼𝑧

𝑎3∫

[ 𝑁′′1𝑁

′′1 𝑁′′1𝑁

′′2 𝑁′′1𝑁

′′3 𝑁′′1𝑁

′′4

𝑁′′2𝑁′′1 𝑁′′2𝑁

′′2 𝑁′′2𝑁

′′3 𝑁′′2𝑁

′′4

𝑁′′3𝑁′′1 𝑁′′3𝑁

′′2 𝑁′′3𝑁

′′3 𝑁′′3𝑁

′′4

𝑁′′4𝑁′′1 𝑁′′4𝑁

′′2 𝑁′′4𝑁

′′3 𝑁′′4𝑁

′′4] 𝑑𝑥

−1 (20)

Интегрируя (20) получим:

𝒌𝑒 =𝐸𝐼𝑧

2𝑎3[

3 3𝑎 −3 3𝑎4𝑎2 −3𝑎 2𝑎2

3 −3𝑎симм. 4𝑎2

] (21)

1.5.4. Матрица масс

Чтобы получить матрицу масс, мы заменяем (5.13) в (3.75):

Подставим в матрицу масс матрицу функций формы (13), получим

𝒎𝑒 = ∫ 𝜌𝑵𝑇𝑵𝑑𝑉𝑉

= 𝜌∫ 𝑑𝐴

∫𝑁𝑇𝑁𝑑𝑥 = 𝜌𝐴 ∫𝑁𝑇𝑁𝑎𝑑𝜉 =

−𝑎

= 𝜌𝑨𝑎 ∫ [

𝑁1𝑁1 𝑁1𝑁2 𝑁1𝑁3 𝑁1𝑁4𝑁2𝑁1 𝑁2𝑁2 𝑁2𝑁3 𝑁2𝑁4𝑁3𝑁1 𝑁3𝑁2 𝑁3𝑁3 𝑁3𝑁4𝑁4𝑁1 𝑁4𝑁2 𝑁4𝑁3 𝑁4𝑁4

] 𝑑𝑥1

−1 (22)

где A - площадь поперечного сечения балки. Интегрируя (22), с учетом (14) получим:

𝒎𝑒 =𝜌𝐴𝑎

78 22𝑎 27 −13𝑎8𝑎2 13𝑎 −6𝑎2

78 −22𝑎симм. 8𝑎2

] (23)

1.5.5. Вектор сил

Следующая матрица элементов будет вектор сил. Предположим, что элемент загружен

внешней распределенной силой вдоль оси x fy , двумя сосредоточенными силами fs1 и fs2, и

сосредоточенными моментами ms1 и ms2 соответственно, в узлах 1 и 2. полный вектор силы

узлов становится (24)

𝒇𝑒 = ∫ 𝑵𝑇𝑓𝑏𝑑𝑉𝑉+ ∫ 𝑵𝑇𝑓𝑆𝑑𝑆𝑓𝑆𝑓

= 𝑓𝑦𝑎 ∫ [

𝑁1𝑁2𝑁3𝑁4

] 𝑑𝜉1

−1+ {

𝑓𝑆1ms1𝑓𝑆2ms2

𝑓𝑦𝑎 + 𝑓𝑆1

𝑓𝑦𝑎2/3 + ms1𝑓𝑦𝑎 + 𝑓𝑆2

−𝑓𝑦𝑎2/3 + ms2}

В заключительном уравнение МКЭ для балок есть форма (3.89). но элемент матрицы

определен (5.21). (5.23) и (5.24).

1.5.6. Уравнение МКЭ

Найденные матрицы (9), (21), (23) и (24) используются в уравнении МКЭ

𝒌𝑒𝒅𝑒 +𝒎𝑒�̈�𝑒 = 𝒇𝑒

1.6. Пример решения МКЭ

Жестко защемленная балка постоянного прямоугольного поперечного сечения

нагружена сосредоточенной силой P = 1000N на свободном конце. Балка выполнена из

алюминия.

Размеры поперечного сечения:

Высота 0,06 м

Ширина 0,1 м

Длина балки 0,5 м

Рисунок 2 – Консольно-закрепленная балка с сосредоточенной статической нагрузкой

Свойства материала балки (алюминиевый сплав):

Модуль Юнга, E 69 ГПа

Коэффициент Пуассона, μ 0,33

Чтобы понять дальнейшие шаги, рассмотрим простой пример. Рассмотрим сначала

один элемент балки, для нахождения отклонения, в этом случае, у элемента будут степени

свободы как показанные на Рисунок 2.

Шаг 1: Получение элементов матрицы

Первый шаг в составлении уравнений конечного элемента необходимо выразить

элементы матрицы и в этом случае, будучи единственным используемым элементом,

рассматриваемый элемент является конечным элементом матрицы. Функции формы для

этих четырех степеней свободы даны в (14). Матрица жесткости элемента может быть

получена, используя (21). Заметим, поскольку это - статическая задача, матрица масс здесь

не требуется.

Момент инерции площади поперечного сечения относительно оси Z может быть

определен:

𝐼𝑧 =1

12𝑏ℎ3 =

120,1 ∙ 0.063 = 1,8 × 10−6м4 (25)

Так как используется только один элемент, матрица жесткости балки является и

матрицей жесткости элемента (21):

0,1 м

0,5 м

P=1000 Н

𝑲 = 𝒌𝑒 =(69 × 109)(1,8 × 10−6)

2 × 0,253[

3 0,75 −3 0,750,75 0,25 −0,75 0,125−3 −0,75 3 −0,750,75 0,125 −0,75 0,25

= 3,974 × 106 [

3 0,75 −3 0,750,75 0,25 −0,75 0,125−3 −0,75 3 −0,750,75 0,125 −0,75 0,25

]Нм−2 (26)

Решение уравнения для конечного элемента:

3,974 × 106 [

3 0,75 −3 0,750,75 0,25 −0,75 0,125−3 −0,75 3 −0,750,75 0,125 −0,75 0,25

𝜐1𝜃1𝜐2𝜃2

𝑄1 =?𝑀1 =?𝑄2 = 𝑃𝑀2 = 0

→ неизвестная сила реакции→ неизвестный момент реакции

Отметим, что в узле 1 балка имеет жесткую заделку. Поэтому, реакционные сила и

момент в этом узле являются искомыми величинами. Для решения уравнения МКЭ (27),

мы должны наложить граничное условие смещения в зажатом узле.

Шаг 2: Применение граничных условий

Балка жестко защемлена одним концом. Это подразумевает это в закрепленном конце

отклонение, υ1, и угол поворота θ1, равны нолю:

𝜐1 = 𝜃1 = 0 (28)

Наложение вышеупомянутого граничного условия смещения приводит к удалению

первого и второго рядов и колонок матрицы жесткости:

После сокращения, получаем матрицу 2х2:

𝑲 = 3,974 × 106 [3 −0,75

−0,75 0,25] Нм−2 (30)

КЭ уравнение, после наложения граничных условий условия смещения, можно

записать следующим образом:

𝑲𝒅 = 𝑭 (31)

где

𝒅𝑇 = [𝑣2 𝜃2] (32)

Вектор силы F определяется:

𝐹 = [−10000

]Н (33)

Отметим, что мы все еще не определили реактивные силу 𝑄1 и момент 𝑀1, но уже на

этом этапе мы можем определить 𝜐2, и 𝜃2. Это позволяет нам удалить неизвестные

величины 𝑄1 и 𝑀1 из оригинального уравнения КЭ. Мы вернемся к определению

неизвестных величины 𝑄1 и 𝑀1 после того, как определим все неизвестные перемещения

(отклонения и поворот на свободном конце балки).

Шаг 3: Решение матричного уравнения КЭ

Последний шаг в этом примере состоит в решении системы уравнений (31), для

нахождения 𝜐2, и θ2. Фактически, (31) представляет систему из двух уравнений с двумя

неизвестными величинами, которая может быть легко решена. В случае, когда у нас есть

больше неизвестных величин или степеней свободы, могут потребоваться применение

методов решения матричных уравнений. Решение(31).

𝜐2 = −3,355 × 10−4м

𝜃2 = −1,007 × 10−3рад.

После нахождения 𝑣2, и 𝜃2, значения перемещений (34) могут быть подставлены в

уравнение (27), для определения реактивного усилия в узле 1:

𝑄1 = 3,974 × 106(−3𝜐2 + 0,75𝜃2) =

= 3,974 × 106[−3 × (−3,355 × 10−4) + 0,75(−1,007 × 10−3)] = 998,47 Н

и момента в узле 1.

𝑀1 = 3.974 × 106(−0,75𝜐2 + 0,125𝜃2)=

= 3.974 × 106[−0,75(−3,355 × 10−4) + 0,125(−1,007 × 10−3)] = 499,73 Нм

2. ВВЕДЕНИЕ В ANSYS.

2.1. Назначение ANSYS

ANSYS – программный комплекс, позволяющий решать следующие задачи:

1. Построение модели конструкции (геометрия, реологические свойства, краевые

условия) или импорт их из CAD систем.

2. Изучение реакции конструкции на различные физические воздействия, такие, как

воздействие различных нагрузок, температурных и электромагнитных полей, решение

задач механики жидкости и газа.

3. Оптимизация геометрии конструкции.

2.2. Графический интерфейс программы

Для удобства пользования ANSYS имеет графический интерфейс пользователя (ГИП),

предоставляющий быстрый доступ к различным функциям, командам, а также к обширной

HELP - системе.

Рисунок 3- Интерфейс программной оболочки ANSYS

Программная оболочка ANSYS состоит из нескольких меню (см. Рисунок 3):

1. ANSYS Utility Menu - меню утилит, служащее для доступа к командам, доступным

из любого процессора. Это операции с файлами, управления выводом данных и другие.

2. ANSYS Input - командное окно, служащее для ввода команд.

3. ANSYS Toolbar - панель инструментов. Служит для быстрого доступа к ряду

команд, а также для размещения кнопок доступа к макросам, написанным пользователем.

4. ANSYS Main Menu - главное меню ANSYS, служит для доступа ко всем операциям

процессоров - препроцессора, процессора решения и постпроцессора.

5. ANSYS Graphics - графическое окно, служащее для графического вывода объектов.

Работать с программой ANSYS можно с помощью как графического интерфейса

пользователя (ГИП) - интерактивный режим, так и с помощью команд (исполнение

программ-скриптов) - командный режим. (Более подробно о командах, используемых для

составления программ-скриптов, а также с примерами работы как с графической

оболочкой, так и составлением скриптов можно ознакомиться в [4], [5], [6]).

В программном комплексе ANSYS функционал разбит на логические группы –

Процессоры. Каждый процессор предоставляет доступ к различным функциям и

командам. Список наиболее часто используемых процессоров и задач, с помощью них

решаемых, приведен в таблице.

Процессор Функции Команды ГИП

Предварительной

подготовки

Построение геометрической

модели объекта, задание

реологических свойств и краевых

условий.

ANSYS Main

Menu →

Preprocessor

Решения Задание краевых условий, выбор

решателя, спецификация

решателя, решение.

ANSYS Main

Menu → Solution

Обработки

решения

Обзор результатов решения для

стационарного случая или по

шагам нагрузки или времени.

Средства вывода в файл.

Графическая визуализация.

ANSYS Main

Menu → General

Postproc

2.3. Командный режим в ANSYS.

Каждое действие, производимое с помощью ГИП, можно выполнить с помощью

команды, вводя ее в окно меню ANSYS Input. Все эти команды отражаются в LOG-файле.

ANSYS содержит около 1000 команд используемых для различных целей. С помощью этих

команд можно запрограммировать необходимые для анализа действия. Исполнить

программу можно выполнив команду

ANSYS Utility Menu → File → Read Input from.

2.4. Особенности ввода исходных данных в ANSYS

При вводе исходных данных в ANSYS, необходимо учитывать следующие

ограничения системы:

1. Для задания действительных чисел используется десятичная точка «.» . Для

чисел в экспоненциальной форме можно применять формы записи с E и D. Например,

число 25000(25 × 103) может быть записано в форме 25E3 или 25D3.

2. Допустимые пределы изменения переменных: от ±10-60 до ±1060.

3. Для имен переменных используются латинские буквы, при этом в именах не

допускаются символы: ! @ # $ % & ^ * ( ) _ - + = | \ { } [ ] “ ‘ / < → ~

Замечание о единицах измерения

Угловые значения по умолчанию задаются в градусах.

Иные величины задаются в единицах СИ (кг, Н, м, сек, Вт и т.п. [7]).

2.5. Создание проекта

Запуск программного комплекса ANSYS производится, запуском ANSYS Product

Launcher. В открывшемся окне необходимо указать путь к каталогу, в котором будут

сохраняться создаваемые в процессе работы файлы (Working Directory), а также

наименование проекта (Job Name) см. Рисунок 4.

Файлу базы данных и всем сопутствующим файлам присваивается имя проекта (Job

Name). Если этого не выполнить, то файлы будут иметь имя по умолчанию file с

соответствующим расширением.

Рисунок 4 – Интерфейс ANSYS Product Launcher

2.6. Файлы проекта

2.6.1. DB - файл

При работе программы основным является файл базы данных Jobname.db. В нем

сохраняется информация о геометрии исследуемого объекта, конечно-элементном

разбиении, нагрузках и результатах решения. В объем определяемого в Total Workspace

рабочего пространства входит суммарный размер всех файлов, образуемых при работе

программы.

2.6.2. LOG - файл

При работе с программой как с помощью ГИП, так и с помощью команд, ANSYS

отражает все действия в LOG-файле. В LOG-файле хранятся и фиксируются в

процессе работы команды работы с программой. Файл имеет расширение .LOG и имеет

формат записи ASCII - его можно просмотреть и любым внешним редактором. Этот файл

представляет программу, которую можно исполнить. Для просмотра всего содержимого

файла необходимо выполнить команду

ANSYS Utility Menu → List → Files → Log File.

С помощью LOG-файла можно исправить ошибки, допущенные при работе. Для этого

необходимо:

1) записать LOG-файл с помощью команды

ANSYS Utility Menu → File → Write DB Log File в файл, которому дать расширение txt (это

необходимо для редакции файла Блокнотом);

2) открыть сохраненный файл, внести необходимые поправки и сохранить. Этот файл

представляет программу, написанную с помощью команд ANSYS;

3) очистить содержимое базы данных ANSYS с помощью команды

ANSYS Utility Menu → File → Clear & Start New;

4) исполнить отредактированную программу с помощью команды

ANSYS Utility Menu → File → Read Input from.

3. АНАЛИЗ ЗАДАЧИ В ANSYS.

Анализ любой задачи в ANSYS происходит с помощью следующих этапов:

1. Построение модели

2. Решение задачи

3. Обработка результатов

Для выполнения задач на каждом этапе используется свой процессор.

3.1. Построение модели

Моделирование объекта - это основной и самый трудоемкий по времени этап

решения задачи. Моделирование производится в препроцессоре PREP7. На этом этапе,

исходя из математических моделей механики, задается геометрическая модель объекта

(также геометрическую модель можно импортировать в программный комплекс из САПР

системы), определяются типы используемых элементов, задаются свойства материала и

краевые условия. Будем рассматривать поэтапно типичные действия, выполняемые при

построении модели с использованием ГИП.

3.1.1. Определение заголовка

При выполнении этой операции в графическом окне появится название заголовка.

ANSYS Utility Menu → File → Change Title

3.1.2. Определение типа элемента

Библиотека элементов ANSYS содержит более 200 различных типов элементов.

Каждый элемент имеет свое имя, описывающее семейство элементов, необходимых для

моделирования соответствующего объекта, и номер. В таблице ниже приведены некоторые

из них.

Имя

элемента Моделирование

LINK Моделирование ферменных конструкций, тросов, канатов и т.д.

BEAM Моделирование стержневых конструкций

SHELL Моделирование тонкостенных конструкций

PLANE Моделирование двумерных задач (плоская задача, плосконапряженное

состояние, осесимметричная задача)

SOLID Моделирование трехмерных объектов

PIPE Моделирование стержневых систем - труба + жидкость

MASS Моделирование абсолютно твердого тела и материальной точки

CONTAC Моделирование условий контакта

COMBIN Моделирование пружин с различными свойствами (упругие, вязкоупругие и

т.д.)

Типом элемента определяется:

• Степени свободы элемента (которые в свою очередь влияют и на тип анализа

механический, термический, магнитный, электрический).

• Модель объекта - одномерная, двумерная или трехмерная.

Балочный элемент BEAM4, например, имеет 6 степеней свободы (UX, UY, UZ, ROTX,

ROTY, ROTZ) в узле и используется для моделирования стержневых конструкций в 3-х

мерном пространстве. Плоский элемент PLANE77 имеет в качестве степеней свободы

узловые температуры и может использоваться для моделирования только плоских

объектов.

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Element Type → Add/Edit/Delete → Add

3.1.3. Определение опций элемента

У каждого типа элементов обычно необходимо задать опции. Эти опции позволяют

управлять различными параметрами элемента.

Например, у элемента SOLID95 опции следующие: выбор локальной системы

координат, связанной с элементом; выбор точек, в которых происходит вычисление

данных (например, напряжений) внутри элемента: например, в квадратичных точках;

правило численного интегрирования для построения, например 2*2*2.

Более подробно о том, какие опции допускает соответствующий тип элемента,

необходимо смотреть в разделе помощи по каждому элементу ANSYS Elements Reference.

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Element Type → Add/Edit/Delete → Options

3.1.4. Определение констант элемента

Для некоторых элементов необходимо задавать константы элемента. В основном,

константы задаются для элементов, которые используются для моделирования трехмерных

моделей сплошной среды моделями низшей размерности, например, в случае ферменных,

балочных и оболочечных элементов. Константы элемента зависят от типа элемента. Так,

например, константы для элемента BEAM3, 2-D балочного элемента - это площадь сечения

(AREA), момент инерции (IZZ), высота сечения (HEIGHT), константа сдвига (SHEARZ),

начальная деформация (ISTRN), и добавленная масса (ADDMAS). Для оболочечных

элементов это толщина TK(I) и др. Не все элементы требуют определения констант. Более

подробно о том, какие константы соответствуют типу элемента, необходимо смотреть в

разделе помощи по каждому элементу ANSYS Elements Reference [8].

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Real Constants → Add/Edit/Delete

3.1.5. Определение свойств материала

В зависимости от задачи в ANSYS могут быть заданы следующие свойства

материала:

• Линейные или нелинейные;

• Изотропные, ортотропные и анизотропные;

• Зависящие или независящие от температуры.

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Material Props

3.1.6. Создание конечно-элементной модели

Есть два метода создания конечно-элементной модели - это твердотельное

моделирование и прямое моделирование. Твердотельное моделирование - это вначале

создание геометрической модели объекта, т.е. описание его геометрической формы, а

затем построение сетки конечных элементов на ней.

Прямое моделирование - это непосредственное геометрическое задание узлов

элемента. Этапы геометрического моделирования рассмотрены на примерах, а построение

сетки детально описаны в [4], [5], [6].

3.1.7. Приложение нагрузок

Под нагрузками в ANSYS подразумевается задание всех видов краевых условий.

Например, в случае решения задачи по механике деформируемого твердого тела - это

задание поля перемещений на некоторой поверхности (условия закрепления) и поля сил

(локальных, поверхностных, объемных). Все нагрузки можно разделить на следующие

категории:

DOF Constraints - ограничения на степени свободы.

Forces - узловые силы.

Surface Loads - поверхностные силы.

Body Loads - объемные силы.

Inertia Loads - инерционные нагрузки.

Coupled-field Loads - нагрузки в анализе смешанных полей (термоупругий анализ,

аэроупругий анализ и др.).

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Loads

На этом заканчивается моделирование и, соответственно, работа в препроцессоре, и

можно переходить к этапу решения.

3.2. Решение задачи

На этом этапе необходимо использовать процессор решения SOLUTION для того,

чтобы определить тип анализа и опции анализа, приложить нагрузки, задать начальные

условия и решить задачу.

3.2.1. Определение типа анализа

В ANSYS реализованы следующие типы анализа [9]:

Static - статический анализ. Используется для определения перемещений,

напряжений, деформаций и усилий, возникающих в конструкции или ее составных частях

при действии нагрузок, не сопровождающихся процессами рассеяния энергии или

появлением существенных инерционных эффектов. Предполагается постоянство

нагружения и отклика системы, т.е. можно пренебречь очень медленными изменениями

этих параметров во времени.

Modal - модальный анализ - анализ конструкции на собственные частоты и формы, с

его помощью определяются собственные частоты и формы колебаний. Используется

только для задач механики твердого деформируемого тела.

Harmonic – Динамический анализ. Используется для задач механики твердого

деформируемого тела, механики жидкости и газа и электромагнитного анализа, для

определения реакции конструкции (в виде перемещений, деформаций, напряжений и

усилий) на действие произвольной нагрузки, меняющейся во времени таким образом, что

приходится учитывать инерционные эффекты и процессы рассеяния энергии.

Transient - нестационарный анализ. Используется для анализа переходных

процессов.

Spectrum - спектральный анализ. Подразумевает, что предварительно проведен

модальный анализ. Используется только для задач механики твердого деформируемого

тела.

Eigen buckling – Потеря устойчивости. Используется для определения критических

нагрузок и форм потери устойчивости в линейной постановке. Подразумевает, что

предварительно был проведен стационарный анализ с вычислением предварительно-

напряженного состояния. Используется только для задач механики твердого

деформируемого тела.

Substructuring - анализ с применением метода подконструкций. Используется для

решения всех типов задач.

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Loads → Analysis Type- New Analysis

3.2.2. Спецификация решения

На этом этапе в зависимости от типа выбранного решения, а также в зависимости от типа

задачи определяются следующие параметры:

выбор метода решения получаемых систем уравнений,

задание параметров решения (шаг нагрузки, количество шагов, шаг интегрирования,

количество определяемых собственных форм и др.),

задание точности решения, задание параметров записи результатов в файл и др.

Для корректного задания спецификации решения необходимо знать свойства решений

анализируемых задач [4], [5], [6].

3.2.3. Решение задачи

Для запуска решения задачи, необходимо выполнить команду:

ANSYS Main Menu → Solution → -Solve- Current LS

или, если дополнительные результаты должны считываться из файла нагрузки, то:

ANSYS Main Menu → Solution → -Solve- From LS Files LSSOLVE

При выполнении этой команды ANSYS берет модель и информацию по нагрузкам из

файла базы данных и вычисляет результат. При этом результат записывается в файл

результатов (Jobname.RST, Jobname.RTH, Jobname.RMG,

Jobname.RFL), а также и в файл базы данных.

3.2.4. Ошибки в работе

При работе с программой могут возникать различные ошибки. ANSYS сигнализирует

о них появлением желтого окна сообщения, в котором будет кратко объяснена структура

ошибки. В ANSYS все ошибки делятся на критические ошибки ERROR и предупреждения

WARNING. Если возникает критическая ошибка, то работа программы останавливается и в

окне появится сообщение, начинаемое с ERROR. Если возникает предупреждение, то

работа программы не прерывается, а только появляются окна сообщений, начинаемых с

WARNING. При работе может быть несколько предупреждений. Они все записываются в

файл ошибок Jobname.ERR, который можно просмотреть с помощью команды

ANSYS Utility Menu → List → Files → Error File.

3.3. Обработка результатов вычислений

Как только решение проведено, можно получить доступ к результатам, используя два

постпроцессора в зависимости от типа получаемых данных Общий постпроцессор и

Временной постпроцессор.

Постпроцессор (General Postprocessor - общий постпроцессор) используется для

обзора результатов в стационарной задаче или в течение отдельного шага решения в

нестационарной задаче. Этот постпроцессор используется для получения линий уровня

напряжений, деформаций и др.

ANSYS Main Menu → General Postproc

Постпроцессор (Time History Postprocessor - временной постпроцессор) используется

для обзора результатов в виде u = u (t), где t - параметр нагрузки, частоты и др.

ANSYS Main Menu → TimeHist Postproc

3.3.1. Сохранение результатов

При просмотре эпюр результатов расчетов, может возникнут необходимость

сохранить изображение экрана. Для этого необходимо выполнить команду

ANSYS Main Menu → PlotCtrls → Capture Image

В случае если потребуется использовать графическое изображение в печатаемых

публикациях, для получения лучшего качества и устранения фона рабочей области

необходимо выполнить команду

ANSYS Main Menu → PlotCtrls → Write Metafile →Invert White/Black

Лабораторные работы

4. Лабораторная работа №1

Расчет балочной конструкции

Для балки, выполненной из стального (Ст3) прямоугольного профиля, жестко

защемленной одним концом и нагруженной поперечной силой P на другом, определить

максимальный изгибающий момент и максимальный прогиб.

Балка имеет следующие характеристики:

Длина L = 2,5 м

Высота D = 0,1 м

Ширина W = 0,075м

Действующая нагрузка LOAD = 15 кН = 15 × 103 = 15E3

Модуль упругости E = 210 ГПа = 2.1E11

Коэффициент Пуассона ν = 0,3

0,075 м

2,5 м

P=15000 Н

1. Ввод переменных и контроль введенных данных

ANSYS Utility Menu → Parameters → Scalar parameters

2. Геометрию балки зададим при помощи ключевых точек

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Modeling → Create → Keypoints → In Active CS

Номер точки X Y Z

1 0 0 0

2 L 0 0

3. Просмотр информации о созданных ключевых точках

ANSYS Utility Menu → List → Keypoint → Coordinates only

4. Соединим ключевые точки линией

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Modeling → Create → Lines → Lines → Straight

Последовательно выделить построенные ключевые точки.

*Для отображения линий необходимо выполнить команду Plot → Lines

5. Зададим тип и параметры Конечных элементов (КЭ)

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Element type → Add/Edit/Delete → Add…

В появившемся окне выбрать балочный элемент №188

Beam → 3D finite strain 2 node 188

После этого должна появиться запись Type 1 Beam188.

После нажатия на кнопку Option появится окно свойств элементов

Где установить Element behavior (Поведение элемента) → Quadratic Form

(Криволинейная форма)

6. Зададим размеры и форму поперечного сечения балки

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Section → Beam → Common Section

В открывшемся окне выберем форму поперечного сечения балки (Sub-Type) –

прямоугольник, и зададим размеры сечения, пользуясь схематическим изображением

сечения балки.

7. Теперь зададим свойства материала балки

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Material Props → Material Models

Structural → Linear → Elastic → Isotropic

8. Зададим размеры КЭ

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Meshing → Size Cntrls → Manual Size → Global →

*Также возможно задавать разбиение количеством элементов, путем задания параметра

9. Теперь разобьем линию на КЭ выполнив команду

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Meshing → Mesh → Lines

и выделив линию

*Для отображения сетки Plot → Elements

*Для отображения номеров элементов PlotCtrls → Numbering…

Задав параметру Element/Attrib numbering значение Element numbers из списка.

10. Задание граничных условий и нагрузок

Зададим граничные условия (жесткая заделка в точке 1)

ANSYS Main Menu → Solution → Define Loads → Apply → Structural → Displacement →

On nodes

Отметить узел в точке 1, в открывшемся окне выбрать All DOF (все степени свободы).

Зададим нагрузку (сосредоточенная сила на свободном конце балке)

ANSYS Main Menu → Solution → Define Loads → Apply → Structural → Force/Moment →

On Nodes

Отметить узел в точке 2, в открывшемся окне выбрать направление действующей силы

Fy, и задать значение – LOAD

11. Теперь можно приступить к решению задачи

ANSYS Main Menu → Solution → Solve → Current LS

12. Обзор результатов

Загрузка матрицы результатов

ANSYS Main Menu → General Postproc → Read result → First set

Отображение деформированного состояния балки

ANSYS Main Menu → General Postproc → Plot results → Deformed Shape →

Def+undeformed OK

Вывод таблицы прогибов

ANSYS Main Menu → General Postproc → List results → Nodal solution

DOF solution → Y-Component of displacement

Появится таблица перемещений узлов.

Для просмотра деформированного состояния балки

ANSYS Main Menu → General Postproc → Plot Rresults → Deformed Shape

Выбрать Def + undef edge (деформированное и не деформированное состояние балки)

13. Построение эпюр

Эпюра изгибающих моментов

Из матрицы результатов выгрузим матрицу изгибающих моментов

ANSYS Main Menu → General Postproc → Element table → Define table

Add… → By sequence num, SMISC, 3 Для левого узла элемента

16 Для правого узла элемента

Построение эпюры

ANSYS Main Menu → General Postproc → Plot result → Contour plot → Line Element Res

SMISC 3, SMISC 16

В итоге получится следующая эпюра:

Содержание отчета:

1. Включить в отчет эпюры перерезывающих сил (SMISC 6, SMISC 19), изгибающих

моментов полученные в программном комплексе ANSYS.

2. Произвести расчет для исходных данных с применением справочников строительной

механики (См. далее).

3. Произвести расчет в матричном виде методом конечных элементов (см. пример стр.

14) для условий из Расчетно-графической работы №1 курса Строительной механики

корабля.

4. Определить отклонение результатов расчетов полученных в ANSYS, в матричных

вычислениях МКЭ относительно случая использования аналитических решений.

* Выдержка из справочника по строительной механике корабля [10].

-37500

-33333 -29167

-25000 -20833

-16667 -12500

-8333 -4167

.103E-08

LINE STRESS STEP=1 SUB =1 TIME=1 SMIS3 SMIS16 MIN =-37500 ELEM=1 MAX =.103E-08 ELEM=10

Расчет рамы

Для рамы, изображенной на схеме, построить эпюры изгибающих моментов и

перерезывающих сил.

При следующих исходных величинах:

b1 = 2,0 м

b2 = 1,0 м

h1 = 1,5 м

h2 = 1,5 м

M = 10 кНм

F = 5 кН

q = 1,5 кН/м

Рама выполнена из таврового профиля с полкой шириной w1 = 70 мм, высотой профиля

w2 = 100мм, и толщиной t = 8мм.

Материал рамы сталь Ст3, с характеристиками:

Модуль упругости E = 210 ГПа

Коэффициент Пуассона ν = 0,3

2. Геометрию балки зададим при помощи ключевых точек

1 0 0 0

2 0 h1+h2 0

3 b1 h1+h2 0

4 b1+ b2 h1+h2 0

5 b1+ b2 h1 0

6 b1+ b2 0 0

Результат построения точек

POINTS

TYPE NUM

3. Соединим последовательно ключевые точки линиями

Результат построения линий

Указать последовательно построенные ключевые точки.

*Для отображения линий выполните команду ANSYS Utility Menu → Plot → Lines

*Для отображения номеров линий необходимо выполнить команду

ANSYS Utility Menu → PlotCtrls → Numbering… и отметить пункт Line numbers

4. Зададим направление ориентации поперечного сечения рамы

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Meshing → Mesh Attributes → Picked Lines

Выберем линию №1 (соединяющую точки 1 и 2)

В появившемся окне выберем пункт:

После нажатия Ok выберем точку 6.

Проделаем эту операцию для линий 2 — 5, соответственно выбирая точки

Для линий 2 и 3 – точка 1, для линий 4 и 5 – точка 2.

5. Зададим тип и свойства КЭ

В появившемся окне выбрать балочный элемент №188

Beam → 3D finite strain 2 node 188

2 L22 3 L33 4

LINE NUM

После этого должна появиться запись Type 1 Beam188.

После нажатия на кнопку Option появится окно свойств элементов

Где установить Element behavior (Поведение элемента) → Quadratic Form

(Криволинейная форма 2-го порядка)

6. Теперь зададим свойства материала балки

7. Зададим размеры и форму поперечного сечения балки

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Section → Beam → Common Section

Нажав на кнопку Preview можно увидеть изображение заданного сечения построенного

в масштабе, а также его геометрические характеристики

8. Зададим размер КЭ

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Meshing → Size Cntrls → Manual Size → Global

→Size

9. Теперь разобьем линию на КЭ

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Meshing → Mesh → Lines

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

ELEMENTS

ELEM NUM

*Для отображения сетки ANSYS Utility Menu → Plot → Elements

*Для отображения номеров элементов ANSYS Utility Menu → PlotCtrls → Numbering…

Задав, из списка, параметру Element/Attrib numbering значение Element numbers.

10. Зададим в модели граничные условия

Шарнир в узле 1

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Loads → Dfine Loads → Apply → Structural →

Displacement → On nodes

Отметим узел 1, в открывшемся окне выбрать перемещения, которые необходимо

ограничить (UX, UY, UZ – перемещение вдоль осей X, Y, Z, ROTX, ROTY – поворот

относительно осей X, Y)

Жесткая заделка в узле 6

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Loads → Define Loads → Apply → Structural →

Displacement → On nodes

Отметить узел 1, в открывшемся окне выбрать All DOF (ограничение всех степеней

свободы).

11. Нагрузки

Force/Moment → On Nodes

Отметить узел 2, в открывшемся окне выбрать направление нагрузки Mz – изгибающий

момент, и задать значение –М (отрицательное значение – изгибающий момент направлен

против часовой стрелки, положительное - по направлению часовой стрелки).

Отметить узел 5, в открывшемся окне выбрать FХ, и задать значение F

ANSYS Main Menu → Solution → Define Loads → Apply → Structural → Pressure → On Lines

Выбрать линию № 3, в открывшемся окне задать величину распределенной нагрузки –Q

(распределенная нагрузка направлена в противоположном направлении оси Y)

В результате задания нагрузок, расчетная схема принимает следующий вид

12. Теперь можно приступить к решению задачи

TYPE NUM

Отображение деформированного состояния балки

Def+undeformed OK

Отобразится деформированная форма балки

Отобразим балку с учетом ее профиля, для этого выполним команду

ANSYS Utility Menu → PlotCtrls → Style → Size and Shape

Вывод таблицы прогибов

ELEMENTS

ANSYS Main Menu → General Postproc → List results → Nodal solution

DOF solution → Y-Component of displacement

Появится таблица перемещений узлов.

Для просмотра деформированного состояния балки

ANSYS Main Menu → General Postproc → Plot Rresults → Deformed Shape

Выбрать Def + undef edge (деформированное и не деформированное состояние балки)

14. Построение эпюр

Эпюра изгибающих моментов

Из матрицы результатов выгрузим матрицу изгибающих моментов

ANSYS Main Menu → General Postproc → Element table → Define table

Add… → By sequence num, SMISC, 2 Для левого конца элемента

15 Для правого конца элемента

Построение эпюры

ANSYS Main Menu → General Postproc → Plot result → Contour plot → Line Element Res

SMISC 2, SMISC 15

В итоге получится эпюра изгибающих моментов:

1. Произвести расчет в ANSYS статически неопределимой балки из Расчетно-

графической работы курса Строительной механики корабля №2.

2. Привести в отчете эпюры перерезывающих сил (SMISC 5, SMISC 18) и изгибающих

моментов.

3. Определить отклонение результатов расчетов полученных в ANSYS, в матричных

вычислениях МКЭ относительно решения полученного по методу раскрытия

статической неопределимости Строительной механики корабля.

-2214-1050

114.7921279

24443609

47735938

LINE STRESS

STEP=1

SUB =1

TIME=1

SMIS3 SMIS16

MIN =-3379

ELEM=25

MAX =7103

ELEM=13

Потеря устойчивости гофрированного листа

Определить величину критической нагрузки и форму потери устойчивости

для стального гофрированного листа, толщиной 1мм и длиной 1м.

H = 0.044 м, высота волны;

AH = 0.035 м, длина подошвы волны;

BH = 0.1 м, длина вершины волны;

CH = 0.0325 м, проекция наклонной волны;

T = 0.001 м, толщина листа;

L = 1 м, длина расчетного листа.

E = 2.1×1011 = 2.1e11 Па, модуль упругости ×

Nu = 0.3 коэффициент Пуассона

2. Зададим тип и параметры КЭ

В появившемся окне выбрать

Shell → Elastic 8 node 93

После этого должна появиться запись Type 1 Shell93.

15. Зададим толщину листа

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Real Constants → Add/Edit/Delete

В появившемся окне выбрать тип элемента которому будет присвоена толщина и нажать

В появившемся окне, в строке Shell thickness (толщина оболочки) указать Т

16. Теперь зададим тип и свойства материала листа

3. Построение геометрии перфорированного листа.

Построим одну волну, после создадим 3 ее копии.

Создания геометрии перфорированного листа начнем с задания ключевых точек

1 0 0 0

2 CH H 0

3 CH+BH H 0

4 2*CH+BH 0 0

5 2*CH+BH

6 0 0 L

4. Просмотр информации о созданных ключевых точках

ANSYS Utility Menu → List → Keypoint → Coordinates only

5. Соединим ключевые точки линиями

Соединим последовательно точки 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 5, 1 и 6.

Выбирая две точки и нажимая Ok, будет появляться созданная линия.

*Для отображения линий выполните команду ANSYS Utility Menu → Plot → Lines

ANSYS Utility Menu → PlotCtrls → Numbering… и отметить строку Line numbers

*Для отображения номеров точек необходимо выполнить команду

ANSYS Utility Menu → PlotCtrls → Keypoint numbers

На рисунке показаны пронумерованные точки соединенные линиями.

6. Строим поверхность путем вытягивания линий (под номерами 1-4) вдоль

направляющей (линия № 5).

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Modeling → Operate → Extrude → Lines → Along

Выделить линии образующие контур профиля (с номерами 1-4), нажать Ok, и выделить

линию-направляющую (номер 5). В итоге получится полуволна состоящая из 4х

прямоугольных поверхностей.

2 L2 2 3

4 L4 4 5

LINES LINE NUM

*Для отображения поверхностей выполните команду ANSYS Utility Menu → Plot →

*Для отображения номеров поверхностей необходимо выполнить команду

ANSYS Utility Menu → PlotCtrls → Numbering… и отметить строку Area numbers

7. Создадим 4 волны гофрированного листа путем копирования созданных

поверхностей в направлении оси Х с шагом 2*CH+BH+AH.

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Modeling → Copy → Areas

В итоге получим лист с 4 гофрами состоящий из 16 поверхностей.

AREAS AREA NUM

8. Зададим размер КЭ

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Meshing → Size Cntrls → Manual Size → Global

→Size

9. Сгенерируем сетку на всех созданных поверхностях

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Meshing → Mesh → Areas → Free

В появившемся окне нажать Pick ALL (Выделить все) или последовательно нажать на

каждую поверхность мышью.

Гофрированный лист разбитый на КЭ показан на рисунке

A9 A10

A11 A12

A13 A14

A15 A16

AREAS AREA NUM

10. Объединим совпадающие узлы

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Numbering Ctrls → Merge Items

11. Вычисление предварительно-напряженного состояния

ANSYS Main Menu → Solution → Analysis Type → Sol'n Controls

ELEMENTS

12. Закрепление кромки листа

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Loads → Dfine Loads → Apply → Structural →

Displacement → On Lines

В появившемся окне выбрать тип выделения Box

Выделите прямоугольной областью, на виде сверху, кромку гофрированного листа.

Указать ALL DOF (ограничение всех степеней свободы)

13. Приложение нагрузки на противоположную закрепленной грани

Pressure → On Lines

Выбрать последовательно все линии свободной кромок листа.

ANALISE FRAME

ELEMENTS

14. Запустим вычисление предварительно-напряженного состояния для текущей

модели

Solution → Solve → Current LS

15. Перейдем в режим решения задач потери устойчивости

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Loads → Analysis Type → New Analysis

16. Укажем количество отыскиваемых форм потери устойчивости

ANSYS Main Menu → Solution → Analysis Type → Analysis Options

ANALISE FRAME

ELEMENTS

PRES-NORM

17. Запустим решатель

ANSYS Main Menu → Solution → Solve

ANSYS Main Menu → General Postproc → Read result → By Pick

Выбрать искомою форму потери устойчивости

Потеря устойчивости произойдет при нагрузке больше приложенной в 37595 раз.

19. Отображение деформированного состояния балки

Def+undeformed OK

20. Построение эпюры перемещений

ANSYS Main Menu → General Postproc → Plot result → Contour plot → Nodal Solu

Причина потери устойчивости – Потеря устойчивости стенки гофры, локальная потеря

устойчивости.

ANALISE FRAME

.832E-03

.001664

.002496

.003328

.00416

.004992

.005824

.006656

.007488

NODAL SOLUTION

STEP=1

SUB =1

FREQ=37595

USUM (AVG)

RSYS=0

DMX =.007488

SMX =.007488

1. Определить величину напряжений 1й формы потери устойчивости1.

2. Построить эпюры перемещений для 3,11 и 19 формы потери устойчивости и

определить тип потери устойчивости.

3. Аналитически вычислить величину напряжений потери устойчивости свободной

полоски перфорированного листа потерявшей устойчивость (принять ширину

полосы 55 мм). При вычислении принять, что у полоски одна продольная кромка

свободна, а другая либо защемлена/свободно опирается.

4. Определить величину и возможную причину расхождения результатов расчетов

полученных в ANSYS и аналитического решения.

Выдержка из Справочника по строительной механике корабля [11]:

Защемленная по одному наибольшему

ребру полоса

Свободно опирающаяся по одному

наибольшему ребру полоса

𝜎э = 𝑘1𝜋2𝐷

𝑏2𝑡

Где 𝑘1 = 1,33 – безразмерный

коэффициент

𝜎э = 𝑘𝜋2𝐷

𝑏2𝑡

Где 𝑘 = 1,03 (𝑏

𝑎)2

+ 0,427 – безразмерный

коэффициент

D =𝐸𝑡3

12(1−𝜈2) - цилиндрическая жесткость пластины;

t – толщина листа;

a – длина листа;

b – ширина листа.

1 Результатом расчета в ANSYS является значение распределенной нагрузки потери устойчивости,

распределенной по кромке сжимаемого листа. Напряжение потери устойчивости можно определить по

следующему отношению: σэ = qэ t⁄ (где qэ – распределённая нагрузка, t – толщина листа).

Определение напряжений в вершине концентратора

Определить напряжение возникающее в вершине концентратора (круглое

отверстие) при растяжении пластины. Размеры пластины и отверстия показаны на схеме.

Параметры

D = 0,01 м – диаметр сквозного отверстия

H = 0,2 м – высота пластины

B = 0.1 м – ширина пластины

P = 1 кН/м – прикладываемое усилие

S = 0,003 м – толщина листа

Материал-сталь

E = 210 ГПа = 210Е9 Па

ν = 0,3

В расчете рассмотрим ¼ пластины

Расчетная модель

Номера точек построения

D = 0,01 м – диаметр сквозного отверстия

H = 0,2 м – высота пластины

B = 0.1 м – ширина пластины

P = 1 кН/м – прикладываемое усилие

S = 0,003 м – толщина листа

Материал-сталь

E = 210 ГПа = 210Е9 Па модуль упругости

Nu = 0.3 – коэффициент Пуассона

2. Зададим тип и параметры КЭ

В появившемся окне выбрать плоский 2D элемент

Hyperelastic → 2D 8 node 183

После этого появится запись Type 1 PLANE183

3. Теперь зададим тип и свойства материала листа

Structural → Lineral → Elastic → Isotropic

4. Геометрию пластины зададим при помощи ключевых точек

Номер точки X Y

1 D/2 0

2 B/2 0

3 B/2 H/2

4 0 H/2

5 0 D/2

5. Соединим ключевые точки линиями

Соединим последовательно линией точки 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 5 и 1.

Построим дугу

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Modeling → Create → Lines → Arcs → By End KPs

POINTS

TYPE NUM

Указать сначала начало и конец дуги (точки 4 и 5), нажать OK

Указать центр дуги (точка 6), нажать OK

В появившемся окне ввести параметр Radius of the arc D/2

ANSYS Utility Menu → PlotCtrls → Numbering… и отметить строку Line numbers

6. Создадим поверхность используя построенный контур

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Modeling → Create → Areas → Arbitrary → By

Последовательно выбираем линии контура

L116 L21 2

3L4 34

LINE NUM

7. Разобьем построенную поверхность на конечные элементы

Зададим размеры КЭ (0.01 м)

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Meshing → Size Cntrls → Manual Size → Areas →All

Разобьем построенную поверхность на КЭ

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Meshing → Mesh → Areas → Mapped →By Corners

Выделив поверхность и нажав Ok

Последовательно отметить точки 1,2,4 и5, затем нажать Ok.

8. Зададим симметричное закрепление граней для имитации отброшенных

симметричных частей

AREA NUM

ELEMENTS

Displacement → Symmetry B.С. → On Lines

9. Нагрузим свободную грань пластины

Pressure → on Line

10. Выполним расчет

Выберем тип расчета

ANSYS Main Menu → Solution → Analysis Type → New Analysis

Запустим решатель

ELEMENTS

PRES-NORM

11. Загрузка матрицы результатов

12. Построение эпюры напряжений

ANSYS Main Menu → General Postproc → Plot result → Contour plot → Nodal Solu

В разделе Stress (Напряжение) выбрать von Mises stress (напряжения по Мизесу –

усредненные значения напряжений)

Отобразим пластину целиком

ANSYS Utility Menu → PlotCtrls → Style → Symmetry Expansion → Periodic/Cyclic Symmetry

Expansion

.429875

.648148.86642

1.0851.303

1.5211.74

1.9582.176

NODAL SOLUTION

STEP=1

SUB =1

TIME=1

SEQV (AVG)

DMX =.486E-12

SMN =.429875

SMX =2.394

13. Определим коэффициент концентрации в вершине концентратора

Найдем напряжения в вершине концентратора и на удалении

ANSYS Main Menu → General Postproc → Query result → Subgrid Solu

Будем определять в узлах напряжения направленные вдоль оси Y.

Отметим 2 узла, в вершине концентратора и на краю пластины

.429875

.648148.86642

1.0851.303

1.5211.74

1.9582.176

NODAL SOLUTION

STEP=1

SUB =1

TIME=1

/EXPANDED

SEQV (AVG)

DMX =.486E-12

SMN =.429875

SMX =2.394

Вычислим коэффициент концентрации

𝐾𝑡 =𝜎𝑚𝑎𝑥𝜎ном

=2,497Па

0,985Па= 2,536

1. Определить коэффициент концентрации для сдвиговых напряжений используя

ANSYS.

2. В отчет включить эпюры нормальных и сдвиговых напряжений.

3. Вычислить коэффициент концентрации для пластины с круглым отверстием [12]

4. Сравнить коэффициенты концентрации напряжений определенные МКЭ и

аналитически. Сформулировать возможные причины отличия результатов расчетов.

Выдержка из Formulas for stress, strain and structural matrices…[12].

Стационарный тепловой анализ

Провести стационарный тепловой анализ пластины с двумя отверстиями.

1. Определяем тип анализа (тепловой расчет):

ANSYS Main Menu → Preferences… → Thermal → Ок.

2. Выбираем тип используемого элемента, задаём его толщину и определяемся со

свойствами материала

Выбираем тип конечного элемента

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Element Type → Add/Edit/Delete… → Add… →

Thermal Solid Quad 4 Node 55 → Ok → Close.

Задаем параметры материала:

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Material Props → Material Models.

Thermal → Conductivity → Isotropic.

В окне CONDUCTIVITY FOR MATERIAL NUMBER 1 нажимаем три раза на кнопку

ADD TEMPERATURE и в полях TEMPERATURES задайте температуру: 20, 40, 60,

100; в полях KXX задайте теплопроводность материала 30, 35, 55, 95.

Аналогично раскрываем DENSITY и в поле DENS задаем плотность 7800 кг/м3.

3. Строим деталь

Прямоугольник со сторонами 0.5 и 0.75 метра:

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Modeling → Create → Areas → Rectangle → By

Dimensions…

и задаем координаты X1, X2 и Y1, Y2 равные 0, 0.5 и 0, 0.75 соответственно. Нажимаем

Окружность радиусом 0.1 метра, с координатами центра окружности 0.25, 0.15 по оси OX

и OY:

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Modeling → Create → Areas → Circle → Solid

Circle

далее задаем указанные координаты и радиус и нажимаем ОК.

Окружность радиусом 0.1 метра, с координатами центра окружности 0.25, 0.6 по оси OX и

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Modeling → Create → Areas → Circle → Solid

Circle

далее задаем указанные координаты и радиус и нажимаем ОК.

4. Создаем конструкцию посредством логического вычитания геометрических

объектов

ANSYS Main Menu → Preprocessor → –Modeling– Operate → –Booleans– Subtract → Areas

затем нажимаем на прямоугольник 1 и на ОК, далее нажимаем сначала на окружность 2,

потом 3, потом ОК.

5. Разбиваем конструкцию на конечные элементы:

Задаем средний размер грани конечных элементов:

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Meshing → Size Cntrls → Manual Size → Global →

переменной SIZE присваиваем значение 0.025, нажимаем ОК.

Создание КЭ сетки

ANSYS Main Menu → Preprocessor → Meshing → Mesh → Areas → Free.

Выделить построенную ранее поверхность с отверстиями и нажать OK.

6. Задаем граничные условия

Задаем температуру окружающей среды, контактирующую с линией 1:

Ansys Main Menu → Solution → Define Loads → Apply → Convection → On Lines

и нажимаем на данную линию, потом ОК. В окне, переменной VALI и VAL2I

присваиваем значение 20 и нажимаем ОК.

Задаем температуру, действующую на линию 2:

Ansys Main Menu → Solution → Define Loads → Apply → Convection → On Lines

NOV 12 2008

18:43:08

ELEMENTS

и нажимаем на данную линию, потом ОК. В окне, переменной VALI и VAL2I

присваиваем значение 110 и нажимаем ОК.

Определяем количество шагов за которые выполнится расчет

Ansys Main Menu → Solution → Load Step Opts → Time/Frequenc → Time And Substps и в

окне задаем переменным TIME и NSUBST значение 1 и нажимаем ОК.

7. Проводим расчет:

Ansys Main Menu → Solution → Solve → Current Ls → Ok.

8. Просматриваем результаты:

Эпюра распределения температуры:

Ansys Main Menu → General Postproc → Plot Results → Contour Plot → Nodal Solu → Dof

Solution → Nodal Temperature → Ok.

9. График изменения температуры на заданном пути

Задаем путь

Ansys Main Menu → General Postproc → Path Operations → Define Path → By Nodes

выделяем два узла на противоположных сторонах конструкции, где 1 – начало пути и 2 –

его конец, и нажимаем ОК, переменной NAME присваиваем имя, например TEMP, и

нажимаем ОК.

а) Определяем, что выводить на графике:

Ansys Main Menu → General Postproc → Path Operations → Map Onto Path…, где в

пункте /PDEF вводим значение DOF SOLUTION и переменной /PBC устанавливаем

галочку YES и нажимаем ОК.

82.266

84.14886.029

87.9189.791

91.67293.553

95.43497.315

99.196

NODAL SOLUTION

STEP=1

SUB =1

TIME=1

TEMP (AVG)

RSYS=0

SMN =82.266

SMX =99.196

б) Вывод графика

Ansys Main Menu → General Postproc → Plot Results → Path Operations → Plot Path Item

→ On Graph выбираем заданное имя пути TEMP и нажимаем ОК, в результате

строится график.

10. График величины теплового потока (количество теплоты проходящей через

единицу поверхности за единицу времени (Ват)) по заданному пути

Определяем, что выводить на графике

Ansys Main Menu → General Postproc → Path Operations → Map Onto Path…

выбираем PDEF значение FLUX & GRADIENT, THERMAL FLUX TFSUM и

нажимаем ОК.

Ansys Main Menu → General Postproc → Plot Results → Path Operations → – Plot Path Item–

On Graph

выбираем TFSUM и нажимаем, ОК.

99.196

STEP=1

SUB =1

TIME=1

PATH PLOT

NOD1=62

NOD2=12

96.113

192.226

288.339

384.452

480.565

576.678

672.791

768.904

865.017

961.128

STEP=1

SUB =1

TIME=1

PATH PLOT

NOD1=62

NOD2=12

1. Построить графики изменения температуры и величины теплового потока по пути

параллельному приведённому в примере, но не пересекающему отверстия.

2. Сравнить полученные результаты. Оценить влияние отверстий на тепловой поток.

Список литературы

1. Taylor, O.C. Zienkiewicz & R.L. The finite element method. Fifth edition. Volume 1: The

basis. 2000 : б.н., Butterworth-Heinemann.

2. Logan, Daryl L. A First Course in the Finite Element Method, SI Version, 5th Edition. б.м. :

CL Engineering, 2011.

3. Release 11.0 Documentation for ANSYS. [В Интернете]

http://www.kxcad.net/ansys/ANSYS/ansyshelp/ansys.set.html.

4. Каплун, А. Б., Морозов, Е. М. и Олферьева, М. А. ANSYS в руках инженера:

Практическое руководство. Москва : Едиториал УРСС, 2003.

5. Moaveni, Saeed. Finite element analysis. Theory and application with ANSYS. New Jersey :

PRENTICE HALL, 1999.

6. К.А., Басов. ANSYS в примерах и задачах. Москва : КомпьютерПресс, 2002.

7. 015-94, Общероссийский классификатор единиц измерений ОК.

8. Электронная версия руководства к ANSYS.

9. ПРОГРАММА ANSYS (КРАТКИЙ КУРС) - ANSYS User’s Manual for Revision 5.0.

10. Ю.А., Шиманский. Справочник по строительной механике корабля. Том 2. Ленинград :

СУДПРОМ ГИЗ, 1958.

11. —. Справочник по строительной механике корабля. Ленинград : СУДПРОМ ГИЗ, 1958.

12. Walter D. Pilkey Formulas for stress, strain, and structural matrices. Second edition. б.м. :

JOHN WILEY & SONS, INC., 2005.

13. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике. Москва : МИР, 1975.

14. Д. Норри, Ж.де Фриз. Введение в метод конечных элементов. [перев.] А.Л. Урванцева

Г.В. Демидова. Москва : МИР, 1981.

Александр Юрьевич Шаманин

Методические указания к практическим работам по дисциплине прочность корабля.

Расчеты конструкций методом конечных элементов в ANSYS

Подписано в печать _____ 2012г.

Формат 60*90/16. Объем ____п.л.

Заказ №_______.Тираж______экз.

Московская Государственная Академия Водного Транспорта

г. Москва, Новоданиловская набережная, д.2, корп.1

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ · PDF fileansys и...

Documents

fdino.vlsu.rufdino.vlsu.ru/.../Morozova_O_V/2015_Teorija_i_metodik… · Web viewМетодические указания к практическим занятиям Тема 1

О БИЗНЕС-ВОЗМОЖНОСТЯХ

ГЕНЕТИКА: ОТ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ К ПРАКТИЧЕСКИМ РЕКОМЕНДАЦИЯМ

Отчёт по практическим занятиям по дисциплине "Введение в специальность"

вебинар о новых возможностях TrueConf Server 4.3.5

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ...bek.sibadi.org/fulltext/ED1432.pdfК ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ОСНОВАНИЯМ И

Задачи с практическим содержание: методическая копилка учителя математики

БИЗНЕС ПУТЕВОДИТЕЛЬ ПО ФЕДЕРАТИВНОЙ ... · 2020. 3. 4. · БИЗНЕС-ПУТЕВОДИТЕЛЬ ... Информация о возможностях

отчет по практическим занятиям

О возможностях московской системы образования по подготовке и проведению ремонтных работ

Методические рекомендации для самостоятельной подготовки к практическим занятиям по травматологии,

методические указания к практическим занятиям «показатели значений центра и размаха вариации статистического

методические указания к практическим занятиям «основные понятия статистики и выборочный метод»

ББК 74.100 - narod.rutestuser7.narod.ru/Philipok/Proshkina.pdfСодержание трудовой деятельности наряду с обучением детей практическим

О средствах и возможностях электронного/ дистанционного обучения на Химическом факультете МГУ

О возможностях реализации Федерального закона № 217-ФЗ от 02.08.2009г

Пара слов о мечтах, страхах и возможностях - выступление перед школьниками 2013

Учебные издания 2009 · и рельефа, выпуску чертежей и планшетов. Главное внимание уделено практическим

amiac.amurzdrav.ruŸодсистема ДЕЛО-Web.pdf · В данном документе содержатся сведения о функциональных возможностях

ОТЧЕТ О ВОЗМОЖНОСТЯХ КОМПАНИИ ПО ...zvsk.ru/files/modules/site_options/1/common-otchet_o...ОТЧЕТ О ВОЗМОЖНОСТЯХ КОМПАНИИ ПО