001 CEE221 Flexibility Beams

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 11©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

4. 4. ΕπίλυσηΕπίλυση ΔοκώνΔοκών καικαι ΠλαισίωνΠλαισίων

μεμε τιςτις ΜεθόδουςΜεθόδους ΕυκαμψίαςΕυκαμψίας

((ήή ΔυνάμεωνΔυνάμεων) )

ΠΠΜΠΠΜ 221221: : ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα

ΕαρινόΕαρινό εξάμηνοεξάμηνο 20112011

ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμοςkomodromos@ucy.ac.cykomodromos@ucy.ac.cy

http://http://www.engwww.eng..ucy.ac.cy/petrosucy.ac.cy/petros

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 22©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΘέματαΘέματα

ΜέθοδοςΜέθοδος δυνάμεωνδυνάμεων ήή ευκαμψίαςευκαμψίας

ΑνάλυσηΑνάλυση δικτυωμάτωνδικτυωμάτων

ΑνάλυσηΑνάλυση ισοστατικώνισοστατικών δικτυωμάτωνδικτυωμάτων

ΑνάλυσηΑνάλυση υπερστατικώνυπερστατικών δικτυωμάτωνδικτυωμάτων

ΑνάλυσηΑνάλυση δοκώνδοκών καικαι πλαισίωνπλαισίων

ΑνάλυσηΑνάλυση ισοστατικώνισοστατικών δοκώνδοκών καικαι πλαισίωνπλαισίων

ΑνάλυσηΑνάλυση υπερστατικώνυπερστατικών δοκώνδοκών καικαι πλαισίωνπλαισίων

ΧρήσηΧρήση συμπυκνωμένωνσυμπυκνωμένων μητρώωνμητρώων

ΑνάλυσηΑνάλυση μικτώνμικτών κατασκευώνκατασκευών μεμε τητη μέθοδομέθοδο ευκαμψίαςευκαμψίας

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 33©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΣύγχρονεςΣύγχρονες μέθοδοιμέθοδοι ανάλυσηςανάλυσης κατασκευώνκατασκευών

μέθοδοςμέθοδος τωντων δυνάμεωνδυνάμεων ήή ευκαμψίαςευκαμψίας

ooιι άγνωστοιάγνωστοι στιςστις σχηματιζόμενεςσχηματιζόμενες εξισώσειςεξισώσεις είναιείναι δυνάμειςδυνάμεις καικαι ροπέςροπές

μέθοδοςμέθοδος τωντων μετακινήσεωνμετακινήσεων ήή δυσκαμψίαςδυσκαμψίας

ooιι άγνωστοιάγνωστοι στιςστις σχηματιζόμενεςσχηματιζόμενες εξισώσειςεξισώσεις είναιείναι μετακινήσειςμετακινήσεις

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 44©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΓενικευμένηΓενικευμένη μέθοδοςμέθοδος τωντων δυνάμεωνδυνάμεων ήή ευκαμψίαςευκαμψίας

βασίζεταιβασίζεται σταστα μητρώαμητρώα ευκαμψίαςευκαμψίας τωντων επιμέρουςεπιμέρους μελώνμελών μιαςμιαςκατασκευήςκατασκευής τατα οποίαοποία συνδυάζονταισυνδυάζονται, , χρησιμοποιώνταςχρησιμοποιώνταςκατάλληλακατάλληλα μητρώαμητρώα μετασχηματισμώνμετασχηματισμών, , ώστεώστε νανα σχηματιστείσχηματιστεί τοτομητρώομητρώο ευκαμψίαςευκαμψίας FF τηςτης κατασκευήςκατασκευής

χρήσιμηχρήσιμη γιαγια επιλύσειςεπιλύσεις απλώναπλών προβλημάτωνπροβλημάτων μεμε τοτο χέριχέρι

δύσκοληδύσκολη αυτοματοποίησηαυτοματοποίηση καικαι προγραμματισμόςπρογραμματισμός τηςτης μεθόδουμεθόδου

οο τρόποςτρόπος καικαι ηη διαδικασίαδιαδικασία επίλυσηςεπίλυσης ενόςενός φορέαφορέα μεμε τητη μέθοδομέθοδοευκαμψίαςευκαμψίας διαφέρειδιαφέρει ανάλογαανάλογα μεμε τοτο αναν οο φορέαςφορέας είναιείναι ισοστατικόςισοστατικός ήήυπερστατικόςυπερστατικός

μπορούνμπορούν νανα γίνουνγίνουν διαφορετικέςδιαφορετικές επιλογέςεπιλογές στονστον καθορισμόκαθορισμό τωντωνυπερστατικώνυπερστατικών μεγεθώνμεγεθών

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 55©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΠροσδιορισμόςΠροσδιορισμός μητρώουμητρώου ευκαμψίαςευκαμψίας δοκούδοκού

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 66©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 77©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΣχηματισμόςΣχηματισμός μητρώουμητρώου FF**

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 88©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΙσοστατικάΙσοστατικά πλαίσιαπλαίσια

σχηματισμόςσχηματισμός μητρώουμητρώου μετασχηματισμούμετασχηματισμού bb

τοτο οποίοοποίο συνδέεισυνδέει τιςτις εξωτερικάεξωτερικά επιβαλλόμενεςεπιβαλλόμενεςεπικόμβιεςεπικόμβιες ροπέςροπές μεμε τιςτις ροπέςροπές σταστα άκραάκρα τωντων μελώνμελών

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 99©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΔιαδικασίαΔιαδικασία επίλυσηςεπίλυσης ισοστατικούισοστατικού πλαισίουπλαισίου

ΑρίθμησηΑρίθμηση όλωνόλων τωντων μελώνμελών καικαι καθορισμόςκαθορισμός τωντων εντατικώνεντατικών τουςτους μεγεθώνμεγεθών ss

ΚαθορισμόςΚαθορισμός γιαγια όλαόλα τατα μέλημέλη τωντων σχέσεωνσχέσεων μετακινήσεωνμετακινήσεων--δυνάμεωνδυνάμεων

ΣχηματισμόςΣχηματισμός τουτου γενικούγενικού μητρώουμητρώου FF** μεμε όλαόλα τατα επιμέρουςεπιμέρους μητρώαμητρώα ευκαμψίαςευκαμψίας

FFii, , τοτο οποίοοποίο συνδέεισυνδέει τιςτις μετακινήσειςμετακινήσεις σταστα άκραάκρα τωντων ράβδωνράβδων μεμε τατα αντίστοιχααντίστοιχα

εντατικάεντατικά μεγέθημεγέθη

ΠροσδιορισμόςΠροσδιορισμός τουτου μητρώουμητρώου μετασχηματισμούμετασχηματισμού bb

ΥπολογισμόςΥπολογισμός τουτου απόλυτουαπόλυτου μητρώουμητρώου ευκαμψίαςευκαμψίας ήή ελαστικότηταςελαστικότητας

ΜεΜε δεδομέναδεδομένα τατα επικόμβιαεπικόμβια εξωτερικάεξωτερικά φορτίαφορτία RR μπορούνμπορούν νανα υπολογιστούνυπολογιστούν::

-- τατα εντατικάεντατικά μεγέθημεγέθη σταστα άκραάκρα τωντων μελώνμελών τουτου φορέαφορέα ss,,

-- οιοι μετακινήσειςμετακινήσεις τωντων κόμβωνκόμβων τηςτης κατασκευήςκατασκευής UU,,

-- οιοι μετακινήσειςμετακινήσεις σταστα άκραάκρα τωντων μελώνμελών τουτου φορέαφορέα uu,,

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 1010©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα--11:: επίλυσηεπίλυση ισοστατικούισοστατικού πλαισίουπλαισίου

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 1111©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 1212©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 1313©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 1414©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΥπερστατικάΥπερστατικά πλαίσιαπλαίσια

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 1515©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΔιαδικασίαΔιαδικασία επίλυσηςεπίλυσης υπερστατικώνυπερστατικών πλαισίωνπλαισίων

αρίθμησηαρίθμηση όλωνόλων τωντων μελώνμελών καικαι καθορισμόςκαθορισμός τωντων εντατικώνεντατικών μεγεθώνμεγεθών ss

καθορισμόςκαθορισμός γιαγια όλαόλα τατα μέλημέλη τωντωνσχέσεωνσχέσεων μετακινήσεωνμετακινήσεων--δυνάμεωνδυνάμεων

σχηματισμόςσχηματισμός τουτου γενικούγενικού μητρώουμητρώου FF** μεμε όλαόλα ταταεπιμέρουςεπιμέρους μητρώαμητρώα ευκαμψίαςευκαμψίας FFii

καθορισμόςκαθορισμός κατάλληλωνκατάλληλων υπερστατικώνυπερστατικών μεγεθώνμεγεθών μεμε προσθήκηπροσθήκηελευθεριώνελευθεριών ώστεώστε νανα προκύψειπροκύψει ισοστατικόςισοστατικός σταθερόςσταθερός φορέαςφορέας

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 1616©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΣχηματισμόςΣχηματισμός ((συμπυκνωμένωνσυμπυκνωμένων) ) μητρώωνμητρώωνμετασχηματισμούμετασχηματισμού bb00 καικαι bbχχ::

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 1717©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 1818©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα--22:: επίλυσηεπίλυση υπερστατικούυπερστατικού πλαισίουπλαισίου

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 1919©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΣχηματισμόςΣχηματισμός συμπυκνωμένωνσυμπυκνωμένων μητρώωνμητρώων μετασχηματισμούμετασχηματισμού::

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 2020©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 2121©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 2222©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα--33:: επίλυσηεπίλυση πλαισιακούπλαισιακού φορέαφορέα

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 2323©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 2424©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 2525©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 2626©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 2727©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 2828©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 2929©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 3030©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 3131©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΑνάλυσηΑνάλυση μικτώνμικτών κατασκευώνκατασκευών μεμε τητη μέθοδομέθοδο ευκαμψίαςευκαμψίας

ΜίαΜία μικτήμικτή κατασκευήκατασκευή αποτελείταιαποτελείται απόαπό διαφορετικάδιαφορετικά δομικάδομικάστοιχείαστοιχεία, , όπωςόπως ππ..χχ. . δοκούςδοκούς καικαι δικτυώματαδικτυώματα, , καικαι μπορείμπορεί νανααναλυθείαναλυθεί μεμε τητη μέθοδομέθοδο ευκαμψίαςευκαμψίας μεμε τοντον απλόαπλό συνδυασμόσυνδυασμότωντων μητρώωνμητρώων ευκαμψίαςευκαμψίας επιμέρουςεπιμέρους μελώνμελών

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 3232©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα--44:: ανάλυσηανάλυση μικτώνμικτών κατασκευώνκατασκευών

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 3333©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 3434©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 3535©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 3636©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 3737©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 3838©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα--55:: ανάλυσηανάλυση μικτώνμικτών κατασκευώνκατασκευών

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 3939©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 4040©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 4141©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111

ΠΠΜΠΠΜ 221: 221: ΑνάλυσηΑνάλυση ΚατασκευώνΚατασκευών μεμε MMητρώαητρώα 4242©© ΠέτροςΠέτρος ΚωμοδρόμοςΚωμοδρόμος, 20, 201111