講義04...

はじめての現代制御理論　講義04

講義04 状態空間表現と伝達関数表現の関係

システムの伝達関数表現の特徴を理解しよう．

システムの状態空間表現より伝達関数表現を求める方法を理解しよう．伝達関数表現から状態空間表現への変換方法を理解しよう．

1

講義04のポイント

1. 伝達関数表現から状態空間表現への変換2.状態空間表現から伝達関数表現への変換3.伝達関数表現と状態空間表現の特徴

講義04の内容

はじめての現代制御理論　講義04

4.1 伝達関数表現から状態空間表現への変換

2

一般的なシステムの運動方程式： 階定係数微分方程式

：システムのパラメータすべての初期値を0としてラプラス変換...

システムの伝達関数表現

はじめての現代制御理論　講義04

4.1 伝達関数表現から状態空間表現への変換

3

システムの極と零点

「分母多項式」=0の根の根

「分子多項式」=0の根の根

はじめての現代制御理論　講義04

4.1 伝達関数表現から状態空間表現への変換

4

極はすべて異なるものとする分母と分子は共通因子を持たないと仮定

分母は に関して分子は に関して

のとき，厳密にプロパーな伝達関数のとき，プロパーな伝達関数のとき，プロパーでない伝達関数

はじめての現代制御理論　講義04

4.1 伝達関数表現から状態空間表現への変換

5

例4.1： 既約

分子を分母で割る

はじめての現代制御理論　講義04

4.1 伝達関数表現から状態空間表現への変換

6

例4.1：+

+

分子の部分分母の部分

はじめての現代制御理論　講義04

4.1 伝達関数表現から状態空間表現への変換

7

例4.1：

はじめての現代制御理論　講義04

4.1 伝達関数表現から状態空間表現への変換

8

例4.1：

はじめての現代制御理論　講義04

4.1 伝達関数表現から状態空間表現への変換

9

例4.1：

はじめての現代制御理論　講義04

4.1 伝達関数表現から状態空間表現への変換

10

例4.1：+

+

のために現れる項

はじめての現代制御理論　講義04

4.1 伝達関数表現から状態空間表現への変換

11

相対次数が1の場合：

はじめての現代制御理論　講義04

4.1 伝達関数表現から状態空間表現への変換

12

相対次数が0の場合：

のために現れる項

はじめての現代制御理論　講義04

4.1 伝達関数表現から状態空間表現への変換

13

既約な伝達関数表現を状態空間表現に変換した場合

伝達関数の分母多項式の次数と状態空間表現の状態ベクトルの次数を一致させることができる状態変数の選び方は，変数間の関係を満たしていれば自由に選ぶことができる

伝達関数表現から状態空間表現に変換した際の表し方は一通りではなく，さまざまな表現方法がある

はじめての現代制御理論　講義04

4.2 状態空間表現から伝達関数表現への変換

14

の列ベクトルの行列

の列ベクトルの行ベクトル

スカラー

ベクトルのラプラス変換に従い，状態空間表現をラプラス変換する

：初期ベクトル

はじめての現代制御理論　講義04

4.2 状態空間表現から伝達関数表現への変換

15

と仮定

次元正方行列で正則行列とする

はじめての現代制御理論　講義04

4.2 状態空間表現から伝達関数表現への変換

16

ラプラス変換

の計算

の行列式 の余因子行列

はじめての現代制御理論　講義04

4.2 状態空間表現から伝達関数表現への変換

17

伝達関数表現を求める具体的な計算

次元1入力1出力システムの伝達関数はスカラーとなるの分母・分子多項式に共通因子がない場合

分母多項式は に関する 次多項式となる

としていることに注意

はじめての現代制御理論　講義04

4.2 状態空間表現から伝達関数表現への変換

18

伝達関数表現を求める具体例

次元1入力1出力システムの伝達関数

はじめての現代制御理論　講義04

4.2 状態空間表現から伝達関数表現への変換

19

伝達関数表現を求める具体例

分母多項式は に関して 次多項式となる

はじめての現代制御理論　講義04

4.2 状態空間表現から伝達関数表現への変換

20

伝達関数表現を求める具体例

分子のみ前例と異なる

はじめての現代制御理論　講義04

4.3 伝達関数表現と状態空間表現の特徴システムのモデルとして伝達関数表現を用いる

21

システムの応答が簡単に求められるPID制御法に代表される，制御系設計法（制御器の設計法）が確立

直流モータのモデルを伝達関数表現する制御系設計において考慮できるのは出力である直流モータの回転角速度 のみ

電機子回路内の電流 は考慮できない

はじめての現代制御理論　講義04

4.3 伝達関数表現と状態空間表現の特徴直流モータの入力を

22

，出力を とした伝達関数

状態空間表現に変換

電機子回路内の電流 が含まれない伝達関数表現は入力と出力というシステムの外部からみた変数のみによってシステムの特性を表す

はじめての現代制御理論　講義04

4.3 伝達関数表現と状態空間表現の特徴直流モータの運動方程式から状態空間表現を導出

23

のみならず の応答も考慮した制御系設計が可能となる状態空間表現はシステムを構成する時間関数の応答を知ることができ，さらに設計も考慮できる

はじめての現代制御理論　講義04

4.3 伝達関数表現と状態空間表現の特徴システムのモデルと表現方法

24

はじめての現代制御理論　講義04

講義04のまとめ伝達関数表現から状態空間表現への変換において，伝達関数の分母と分子の次数が等しい場合は変換の際に注意を要する状態空間表現から伝達関数表現への変換において，行列とベクトルの掛け算，正方行列の逆行列の計算が必要となる

25