View
271
Download
19
Category
Preview:
Citation preview
12/04/23 16:18 1
VEKTOR DI BIDANG DAN DI RUANG
Pokok Bahasan :
1. Notasi dan Operasi Vektor
2. Perkalian titik dan Proyeksi Ortogonal
3. Perkalian silang dan Aplikasinya
Beberapa Aplikasi :
• Proses Grafika Komputer
• Kuantisasi pada proses kompresi
• Least Square pada Optimasi
• Dan lain-lain
12/04/23 16:18 2
Notasi dan OperasiVektor besaran yang mempunyai arah Notasi vektor
321321
3
2
1
,,ˆˆˆ ccckcjcic
c
c
c
c
Notasi panjang vektor
3
2
1
c
c
c
c
adalah 2
32
22
1 cccc
Vektor satuan Vektor dengan panjang atau norm
sama dengan satu
12/04/23 16:18 3
Operasi Vektor meliputi :
1. Penjumlahan antar vektor (pada ruang yang sama)
2. Perkalian vektor
(a) dengan skalar
(b) dengan vektor lain
• Hasil kali titik (Dot Product)
• Hasil kali silang (Cross Product)
12/04/23 16:18 4
Penjumlahan Vektor
u
v vu
u
u v
vu
Misalkan dan adalah vektor – vektor
didefinisikan
yang berada di ruang yang sama, maka vektor
maka
12/04/23 16:18 5
u
u2
u2
Perkalian vektor dengan skalar
u uk
u
uu
Perkalian vektor dengan skalar k,
didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali
panjang vektor dengan arah
Jika k > 0 searah dengan Jika k < 0 berlawanan arah dengan
12/04/23 16:18 6
3211 ,aaaa 321 ,, bbbb
332211 ,,.1 babababa
332211 ,,.2 babababa
321 ,,.3 kakakaak
Secara analitis, kedua operasi pada vektor diatas dapat dijelaskan sebagai berikut :
adalah vektor-vektor di ruang yang sama
dan
maka
Misalkan
12/04/23 16:18 7
Perkalian antara dua vektor
• Hasil kali titik (dot product)
• Hasil kali silang (cross product)
Hasil kali titik merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang yang sama yang menghasilkan skalar
Hasil kali titik (dot product)
Hasil kali silang merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang R3
yang menghasilkan vektor
Hasil kali silang (Cross product)
12/04/23 16:18 8
Dot Product
Misalkan adalah vektor pada ruang yang samamaka hasil kali titik antara dua vektor :
dimana
: panjang
: panjang
: sudut keduanya
cosbaba
,a b
a
b
a
b
12/04/23 16:18 9
Contoh 2 : Tentukan hasil kali titik dari dua vektor dan
Jawab :
Karena tan = 1 , artinya = 450
= 4
ia ˆ2 jib ˆ2ˆ2
cosbaba
2
182
12/04/23 16:18 10
Ingat aturan cosinus
Perhatikan
a2 = b2 + c2 – 2 bc cos ac
b
a
b
a
b
ab
cos2222
babaab
b
12/04/23 16:18 11
Selanjutnya dapat ditulis
Ingat bahwa :
cosba
222
21 abba
cos1. baba
222
21
2....2 naaaa
222
21
2....3 nbbbb
2222
211
2....4 nn abababab
nnnn
nn
ababab
aaabbb
2...22
......
11
222
21
222
21
nnbabababa ...2211
12/04/23 16:18 12
Perhatikan setiap sukunya, diperoleh hubungan :
Tentukan kembali hasil kali titik dari dua vektor pada contoh sebelumnya
= 2 (2) + 0 (2)= 4
Beberapa sifat hasilkali titik :
1.
2.
3.
2211 bababa
nnbabababa ...2211
abba
cabacba
Rkbkabakbak dimana,
12/04/23 16:18 13
Proyeksi Ortogonal
Karena
aproyc b
a
b
w
cwa bcwba
bcbw
bk
bbk
bkc
bahwaterlihat
2b
bak
12/04/23 16:18 14
Jadi, rumus proyeksi diperoleh :
Contoh 4 : Tentukan proyeksi ortogonal
vektor
terhadap vektor
3
4
2
u
4
3
1
v
bb
baaoyb 2Pr
12/04/23 16:18 15
Jawab :
4
3
1
4
3
1
26
26
4
3
1
26
)12()12(2
4
3
1
)4(31
4
3
1
3
4
2
Pr
222
2v
v
vwwoyv
12/04/23 16:18 16
Cross Product (hasilkali silang)Hasil kali silang merupakan hasil kali antara dua vektor di Ruang (R3) yang menghasilkan vektor yang tegak lurus terhadap kedua vektor yang dikalikan tersebut.
321
321
ˆˆˆ
BBB
AAA
kji
BxAC
kBB
AAj
BB
AAi
BB
AA ˆˆˆ21
21
31
31
32
32
12/04/23 16:18 17
Contoh :Tentukan ,dimana
Jawab :
vuw
321
321
ˆˆˆ
vvv
uuu
kji
w
2,2,1 u )1,0,3(v
103
221
ˆˆˆ
kji
i)2(01.2 j1.1)2(3 k2.30.1
kji ˆ6ˆ7ˆ2
12/04/23 16:18 18
Beberapa sifat Cross Product :
a.
b.
c. 2222vuvuvu
0 vxuu
0 vxuv
12/04/23 16:18 19
Dari sifat ke-3 diperoleh
2222vuvuvu
222cos vuvu
22222cos vuvu
222cos1 vu
222sin vu
sin, vuvxuJadi
12/04/23 16:18 20
Perhatikan ilustrasi berikut :
Luas segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah
u
v
sinv
u
sinGenjangJajaran Luas vuvxu
vu2
1segitigaLuas
12/04/23 16:18 21
Contoh :Diketahui titik-titik diruang ( di R³ ) adalah :
A = (1, –1, –2)B = (4, 1, 0)C = (2, 3, 3)
Dengan menggunakan hasilkali silang, tentukan luas segitiga ABC !
Jawab :Tulis
= B – A= (4, 1, 0) – (1, –1, –2) = (3, 2, 2) = C – A= (2, 3, 3) – (1, –1, –2) = (1, 4, 5)
AB
AC
12/04/23 16:18 22
Luas segitiga ABC yang berimpit di A adalah
AB AC541
223
ˆˆˆ kji
kji ˆ10ˆ13ˆ2
10016942
1Luas
2732
1
12/04/23 16:18 23
Orientasi pada titik B
BA ba
BC bc
BCBA
322
223
ˆˆˆ
kji
jki ˆ10ˆ13ˆ2
BCxBA2
11001694
2
1
2732
1
= (1,-1,-2) – (4,1,0) = (-3,-2,-2)
= (2,3,3) – (4,1,0) = (-2,2,3)
Sehingga luas segitiga ABC yang berimpit di B adalah :
=
12/04/23 16:18 24
Latihan Bab 4
1. Tentukan proyeksi ortogonal vektor terhadap vektor dan tentukan panjang vektor proyeksi tersebut:a. dan
b. dan
1
2a
2
3b
3
1
2
a
2
2
1
b
12/04/23 16:18 25
3. Tentukan proyeksi ortogonal vektor berikut ini
dan
– Tentukan proyeksi ortogonal u terhadap v– Tentukan proyeksi ortogonal v terhadap u– Lakukan cross product u x v
4. Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik sudut P (2, 0, –3), Q (1, 4, 5), dan R (7, 2, 9)
1
3
7
u
4
0
2
v
Recommended