Upload
dangngoc
View
225
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
07/11/2015
1
RUANG VEKTOR UMUM
Yang dibahas…….
1. Ruang vektor umum
2. Subruang
3. Hubungan dependensi linier
4. Basis dan dimensi
5. Ruang baris, ruang kolom, ruang nul, rank
dan nulitas
AKSIOMA RUANG VEKTOR
V disebut ruang vektor jika memenuhi:1.
2. u+v = v+u3. u+(v+w)=(u+v)+w4.
5.
6.
7. k(u+v)=ku+kv8. (k+l)u=ku+kl9. k(lu)=(kl)(u)10.
VvuVvu )(,
VuuuuV ,000
0)()()(, uuuuVuVu
VkuVuk ,
uu 1
07/11/2015
2
SUBRUANG
Definisi 1.
MisalkanV adalah ruang vektor atas R dan
S V . S disebut Sub Ruang dariV jika
terhadap operasi yang sama denganV, S juga
mrp ruang vektor.
CONTOH:
1. S = { 0 } mrp sub ruang dari ruang Rn, dan
disebut sub ruang nol.
Dapat ditunjukkan bahwa S terhadap
operasi penjumlahan dan perkalian skalar
memenuhi aksioma2 dari ruang vektor.
2. Misalkan W = {(a, b, 0) / a, b R}. Dapat
ditunjukkan bahwaW adalah sub ruang
dari R3
07/11/2015
3
Teorema 1
MisalkanV adalah ruang vektor dan S V.
S disebut sub ruang dariV jhj
1. u + v S (tertutup thd penjumlahan)
2. ku S (tertutup thd perkalian skalar)
untuk setiap u, v S dan k R.
LATIHAN:
1. Misalkan
S merupakan sub ruang dari M2x3.
Tunjukkan dengan Teorema 1
2. Misalkan S = {(a, b, 1) / a, b R}. Apakah S
subruang dari R3?
Rdcba
dc
baS ,,,/
0
0
07/11/2015
4
Definisi 2
Misal V adalah ruang vektor dan
S = {v1, v2, … , vk } V. Suatu vektor v V
disebut sebagai kombinasi linier dari S jika
ada k1,k2,…,kr R s.d.h
v = k1v1 + k2v2 + … + krvr
Ilustrasi gambar
k1v1
Vektor v di R2 sbg kombinasi linier dari v1 dan v2
k2v2
v = k1v1+k2v2
07/11/2015
5
Definisi 3
Misal V adalah ruang vektor dan S = {v1, v2, … , vr } V.
Himpunan semua vektor dariV yg mrp kombinasi linier
dari S disebut span S (rentang S).
Span S = {k1v1 + k2v2 + … + krvr/ci R}
Catt:
Span S mrp sub ruang dariV.
Ilustrasi Gambar
Jika S = {u, v}, dengan u, v R3 tidak berada dalam satu garis, maka
span(S) mrp bidang yang melalui titik pusat dan titik u dan v.
07/11/2015
6
Himpunan Pembangun
JikaV adalah r.v. dengan maka
dikatakan S adalah himpunan pembangun untukV.
Dengan kata lain, S membangun V artinya setiap
vektor dalam V dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linier dari S
CONTOH:
1. Unit vektor: span
2. Himpunan {1, x, x2, …, xn} membangun semua
polinomial berderajad ≤ n.
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
321 eee3
R
07/11/2015
7
Bagaimana???
Apakah himpunan
membangun R3 ?
Penyelesaian:
Apakah ada x1, x2, x3 R s.d.h
x1 (1, 1, 1)t + x2(1, -1, -1)t + x3 (3, 1, 1)t = b
utk setiap b R3 ?
Persamaan diatas dapat ditulis:
)113(),111(),111( S
3
2
1
3
2
1
111
111
311
b
b
b
x
x
x
Merupakan SPL non homogen :
SPL akan konsisten jhj
rank [A|b] = rank (A)
Dalam kasus ini, rank (A)=2, rank [A|b]=3
Jadi S bukan span R3.
bAx
bAx
)0,1,0( 321 bbb
07/11/2015
8
KEBEBASAN LINIER
Definisi 1.
Suatu himpunan dikatakan Himpunan
Bebas Linier jhj utk persamaan
hanya dipenuhi oleh
Jika ada , maka dikatakan S HimpunanTak Bebas
Linier.
nvvvS ,...,, 21
0...2211 rrvkvkvk
0...21 rkkk
0ik
Dengan kata lain….
Himpunan bebas linier :
himpunan yang vektor-vektornya tidak
saling berhubungan (tidak bergantung /
bebas)
HimpunanTak Bebas Linier :
himpunan yang salah satu vektornya mrp
kombinasi linier dari vektor2 yang lain
(satu vektor bergantung pada vektor lain /
tidak bebas).
07/11/2015
9
CONTOH:
Tunjukkan himpunan berikut bebas linier atau tidak.
Penyelesaian:
Bentuk
7
6
5
,
2
0
1
,
1
2
1
S
0
0
0
7
6
5
2
0
1
1
2
1
321
Bentuk diatas dapat ditulis
Jika maka
Karena terdapat penyelesaian yang non trivial (tidak
tunggal), maka S tidak bebas linier.
0
0
0
721
602
511
3
2
1
721
602
511
A
000
210
301
AE
07/11/2015
10
Tunjukkan apakah himpunan berikut
bebas linier atau tidak
(a).
(b).
(c).
(d).
9
5
1
,
0
1
2
,
3
2
1
111,600,540,321
0
1
2
,
0
0
1
,
1
2
3
2202,2022,2222
BASIS dan DIMENSI
Definisi 2
MisalkanV ruang vektor atas R dan
S = {v1, v2, … , vn} subset dariV.
S disebut basis dariV jika
1. S membangunV ( span(S) = V )
2. S bebas linier
07/11/2015
11
Definisi 3
Jika S = {v1, v2, … , vn} adalah basis dari
ruang vektor V, maka dikatakan V
berdimensi n.
Notasi dim(V) = n
Jadi, dimensi suatu ruang vektor adalah
jumlah vektor yang bebas linier dan
membangun ruang vektor tsb.
TEOREMA-TEOREMA DALAM
KEBEBASAN LINIER dan BASISAnita T. Kurniawati
07/11/2015
12
Teorema 1
(i) Suatu himpunan berhingga dari vektor2
yang memuat vektor nol mrp himpunan
yang tak bebas linier.
(ii) Himpunan yang terdiri atas dua elemen
vektor saja mrp himpunan bebas linier
jhj tidak ada vektor yg mrp kelipatan
skalar dari vektor lain.
BUKTI(i) Andaikan S = {v1, v2, …, vn, 0} himpunan bebas
linier, maka
untuk kombinasi linier
1v1 + 2v2 + … + nvn + k.0 = 0 … (*)
hanya dipenuhi oleh 1 = 2 = … = n = k = 0.
Terjadi kontradiksi, karena untuk persamaan
0. v1 + 0. v2 + … + 0. vn + k. 0 = 0
k. 0 = 0
k ≠ 0
Jadi yang benar adalah S tak bebas linier.
07/11/2015
13
(ii) Arah Kanan ()
Diketahui W = {v1, v2} adalah himp. bebas linier.
Dibuktikan : v1 ≠ k.v2 , dengan k ≠ 0.
Andaikan v1 = k.v2, maka
v1 - k.v2 = 0
KarenaW bebas linier, maka 1 = 0. Terjadi kontradiksi.
Jadi yang benar, v1 ≠ k.v2 , dengan k ≠ 0.
Arah Kiri ()
Diketahui v1 ≠ k.v2 , dengan k ≠ 0.
DibuktikanW = {v1, v2} adalah himp.bebas linier.
AndaikanW adalah himp.tak bebas linier. Maka ada 1 ≠ 0s.d.h kombinasi linier 1v1 + 2v2 = 0.
Dari sini diperoleh v1 + (2/ 1)v2 = 0
v1 + c.v2 = 0
v1 = -c.v2 = k.v2
Terjadi kontradiksi. Yang benar W bebas linier.
TEOREMA 2
Jika S = {v1, v2, …, vn} adalah basis untuk ruang
vektorV, maka untuk setiap v V dapat
dinyatakan sebagai kombinasi linier dari S secara
tunggal.
07/11/2015
14
BUKTI
KarenaV = span(S), maka jelas untuk setiap v V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari S.
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa kombinasi linier ini adalah tunggal.
Andaikan v = 1v1 + 2v2 + … + nvn dan
v = k1v1 + k2v2 + … + knvn
Maka
1v1 + 2v2 + … + nvn = k1v1 + k2v2 + … + knvn
(1 – k1)v1 + (2 – k2)v2 + … + (n – kn)vn = 0
Karena {v1, v2, …, vn} bebas linier, maka diperoleh
1 – k1 = 0 , 2 – k2 = 0 , … , n – kn = 0
1 = k1 ,, 2 = k2 , …, n = kn ,
TEOREMA 3
Jika V ruang vektor berdimensi n dan S = {v1, v2, …, vn} adalah
basis untuk ruang vektorV, maka
(i) setiap himpunan yang terdiri lebih dari n vektor mrp himpunan
yang tak bebas linier.
d.k.l
Jika S’ = {w1, w2, …, wm} dimana m > n maka S’ tak bebas linier.
(ii) Tidak ada himpunan yang lebih kecil dari n vektor yang dapat
membangunV.
d.k.l
Jika S’ {w1, w2, …, wr} adalah vektor2 dalam V dengan r < n
makaV ≠ span(S’).
07/11/2015
15
CATATAN:
Teorema 3 Bagian (i) mrp definisi dari
Himpunan Bebas Linier Maksimal
Teorema 3 Bagian (ii) mrp definisi dari
Himpunan Pembangun Minimal.
Bukti Teorema 3
(i) Misalkan S’ = {w1, w2, …, wm} adalah m
vektor dalam V (m > n). Karena S = {v1, v2,
…, vn} adalah basis untuk ruang vektor V,
maka setiap wi (i = 1, 2, …,m) dapat
dinyatakan sebagai kombinasi linier dari S,
yaitu
w1 = a11v1 + a21v2 + … + an1vn
w2 = a12v1 + a22v2 + … + an2vn …..(*)
…. dst
wm = a1mv1 + a2mv2 + … + anmvn
07/11/2015
16
Selanjutnya….
Akan ditunjukkan S’ tak bebas linier, yaitu ada k1,
k2, …, km yg tak nol s.d.h
k1w1 + k2w2 + … + kmwm = 0……(**)
Dari persamaan (*) dan (**) diperoleh
(k1a11 + k2a12 + … + kma1m) v1
+ (k1a21 + k2a22 + … + kma2m) v2
+ …. + (k1an1 + k2an2 + … + kmanm) vn = 0
Karena S = {v1, v2, …, vn} bebas linier , maka
a11k1 + a12k2 + … + a1mkm = 0
a21k1 + a22k2 + … + a2mkm = 0
…. dst
an1k1 + an2k2 + … + anmkm = 0…..(***)
SPL (***) mrp SPL homogen dengan
banyaknya variabel (m) > banyaknya
persamaan (n), maka solusi nya adalah non
trivial.
07/11/2015
17
(ii). Misalkan S’ = {w1, w2, …, wr} adalah vektor2 dalamV dengan
r < n.
Akan ditunjukkan S’ tidak membangunV.
Andaikan S’ membangunV, maka setiap vektor dalamV dapat
ditulis sbg kombinasi linier dari S’, khususnya vektor2 vj , (j = 1, 2,
…,n) dalam V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari wi
v1 = a11w1 + a21w2 + … + ar1wr
v2 = a12w1 + a22w2 + … + ar2wr
… dst ….. (a)
vn = a1nw1 + a2nw2 + … + arnwr
Utk menunjukkan adanya kontradiksi, akan ditunjukkan bahwa S
= {v1, v2, …, vn} tak bebas linier
Bentuk
k1v1 + k2v2 + … + knvn = 0 … (b)
A.d.t. ada ki ≠ 0 yang memenuhi pers.(b).
Atau dari persamaan (a) dan (b) diperoleh
(k1a11 + k2a12 + … + kna1n) w1
+ (k1a21 + k2a22 + … + kna2n) w2
+ …. + (k1ar1 + k2ar2 + … + knarn) wr = 0….(c)
a.d.t. ada ki ≠ 0 yang memenuhi persamaan ini.
07/11/2015
18
Dari persamaan c , jika dibentuk
a11k1 + a12k2 + … + a1nkn = 0
a21k1 + a22k2 + … + a2nkn = 0
…. dst
ar1k1 + ar2k2 + … + arnkn = 0
Maka SPL ini mrp SPL homogen dengan banyak variabel
tak diketahui (n) > banyak persamaan (r), sehingga
mempunyai penyelesaian non trivial. Jadi ki ≠ 0.
Terjadi kontradiksi. Jadi yang benar adalah S’ tidak
membangunV.
Latihan Soal
1. Yang manakah dari himpunan berikut ini mrp himp.tak bebas
linier ?
a. {(4, -1, 2), (-4, 10, 2)} di R3
b. {(-2, 0, 1), (3, 2, 5), (6, -1, 1), (7, 0, -2)} di R3
c. {(6 – x2), (1 + x + 4x2)} di P2
d. {(1+3x+3x2), (x+4x2) , (5+6x+3x2), (7+ x – x2)} di P2
2. Tunjukkan bahwa :
Jika {v1, v2, v3} bebas linier, maka himpunan {v1, v2}, {v1, v3},
{v2, v3}, {v1}, {v2}, {v3} juga bebas linier.
3. Tunjukkan :
Jika {v1, v2, v3} tak bebas linier pada ruang vektor V dan
v4 V, maka himpunan {v1, v2, v3, v4} juga tak bebas linier.
07/11/2015
19
RUANG BARIS, RUANG
KOLOM, dan RUANG NULL
Definisi 1Jika A adalah matriks ukuran mxn
maka :(i) Vektor-vektor
….
dalam Rn disebut vektor-vektor baris dari matriks A.
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
naaar 112111
naaar 222212
mnmmm aaar 21
07/11/2015
20
(ii) vektor-vektor
, , … ,
di Rm disebut vektor-vektor kolom dari
matriks A.
1
21
11
1
ma
a
a
c
2
22
12
2
ma
a
a
c
mn
n
n
n
a
a
a
c
2
1
CONTOH:
Diberikan matriks
Maka : vektor baris dari A adalah
r1 = [2 1 0] , r2 = [3 -1 4]
dan vektor kolom dari A adalah
, ,
413
012A
3
21c
1
12c
4
03c
07/11/2015
21
Definisi 2
Misalkan A adalah matriks mxn. Maka
(i) subruang dari Rn yang dibangun olehvektor2 baris dari matriks A disebutRuang Baris (row space) dari A
(ii) subruang dari Rm yang dibangun olehvektor2 kolom dari matriks A disebutRuang Kolom (column space) dari A
Jadi …
Ruang baris A, dinotasikan R(B), adalah
R(B) = Ruang yang dibangun oleh
vektor2 baris matriks A
= span{r1, r2, … , rm} Rn
Ruang Kolom A, dinotasikan R(K), adalah
R(K) = Ruang yang dibangun oleh
vektor2 kolom matriks A
= span{c1, c2, … , cn} Rm
07/11/2015
22
Apakah ada hubungan antara solusi SPL A.x = b
dengan ruang baris dan ruang kolom, dari
matriks A ?
Apakah ada hubungan antara ruang baris, ruang
kolom, ruang null dari suatu matriks ?
Teorema 1
Misalkan A adalah matriks ukuran mxn. Suatu
SPL Ax = b konsisten jhj b adalah elemen dari
ruang kolom matriks A.
Atau :
b R(K) b = A.x
07/11/2015
23
Contoh 2:
Diberikan SPL Ax = b
Dengan EGJ, diperoleh solusi :x1 = 2, x2 = -1, dan x3 = 3
sehingga :
yaitu b mrp kombinasi linier dari kolom2 matriks A. shg b mrp elemen dari ruang kolom matriks A.
3
9
1
212
321
231
3
2
1
x
x
x
2
3
2
3
1
2
3
2
1
1
2
3
9
1
Contoh:
Tentukan apakah b mrp elemen dari ruang kolom
matriks A berikut ini ? Jika ya, tuliskan kombinasi
liniernya.
10
2;
64
31bA
07/11/2015
24
Teorema 2
Operasi baris elementer tidak mengubah ruang
baris suatu matriks
dengan kata lain:
Jika matriks A dan B mrp matriks ekuivalen
baris , maka ruang baris A dan B adalah sama.
Contoh 4
Diberikan matriks
Menggunakan OBE, matriks A diubah menjadi bentukeselon baris tereduksi:
maka, ruang baris dari matriks A dan B adalah sama.
387
312
121
A
000
3/510
3/701
B
07/11/2015
25
Basis utk ruang baris dan ruang kolom
Misalkan
Menggunakan OBE, matriks A diubah kebentuk matriks eselon baris tereduksi :
Ruang baris matriks A dan B adalah sama
34021
32732
41823
43021
A
00000
11000
10110
10201
B
Selanjutnya…
Basis utk ruang baris matriks A adalah vektor2 baris
tak nol dari matriks B, yaitu
w1 = [1 0 2 0 1]
w2 = [0 1 1 0 1]
w3 = [0 0 0 1 -1]
Sedangkan basis untuk ruang kolom matriks A adalah
vektor kolom standar dari matriks B, yaitu
u1 = , u2 = , u3 =
1
2
3
1
2
3
2
2
4
2
1
3
07/11/2015
26
Prosedur utk mencari basis dari sub ruang
V di Rn
Misalkan S = {v1, v2, … , vk} adalah vektor2 di Rn, dengan V =
span(S). Maka basis utk V ditentukan dengan langkah2 :
Langkah 1
Bentuk matriks
A =
Langkah 2
Ubah matriks A kebentuk matriks eselon baris tereduksi B.
Langkah 3
vektor2 baris tak nol dari matriks B mrp basis utk V.
kv
v
v
2
1
Contoh 5
Misalkan S = {v1, v2, v3, v4} adalah vektor2
di R5 dengan v1 = [1 -2 0 3 -4]
v2 = [3 2 8 1 4]
v3 = [2 3 7 2 3]
v4 = [-1 2 0 4 -3]
dan misalkan V adalah subruang dari R5
yang dibangun oleh S. Tentukan basis
untuk V
07/11/2015
27
Contoh 6
Carilah basis utk ruang baris dan ruang kolom dari
matriks berikut :
452431
791962
281962
452431
B
Teorema 3
Jika A sebarang matriks, maka ruang baris dan
ruang kolom dari matriks A mpy dimensi yang
sama.
07/11/2015
28
Contoh 7
Pada contoh 5,
dim(ruang baris A) = 3
dim(ruang kolom A) = 3
Pada contoh 6,
dim(ruang baris B) = 3
dim(ruang kolom B) = 3
RANK MATRIKS
DEFINISI 3
(i) Dimensi dari ruang baris disebut rank
baris
(ii) Dimensi dari ruang kolom disebut rank
kolom
07/11/2015
29
Definisi 4
Jika A adalah matriks sebarang, maka
rank baris A = rank kolom A = rank A.
Rank matriks A dituliskan : rank(A).
Cara mencari Rank suatu matriks
Misalkan A adalah sebarang matriks.
Langkah 1
Ubah matriks A menjadi matriks eselon
baris tereduksi B.
Langkah 2
Rank A = jumlah baris tak nol dari
matriks B.
07/11/2015
30
Carilah rank dari matriks :
232
383
191
121
A
RUANG NULL dan NULLITY
Definisi 5
(i) Himpunan dari semua solusi sistem
homogen A.x = 0 disebut dengan
Ruang Null (Nullspace).
Nullspace merupakan subset dari Rn.
(ii) Dimensi dari ruang null disebut Nullity.
07/11/2015
31
Basis utk Ruang Null
Diberikan SPL homogen A.x = 0, dengan A matriks
berukuran m x n.
Solusi dari sistem di atas dicari menggunakan EGJ, yaitu
matriks augmented
diubah ke matriks eselon baris tereduksi
dimana matriks B mpy r baris tak nol, 1 ≤ r ≤ m.
0A
0B
Jika m > n (r = n), yaitu
00000
00000
0100
00010
00001
B
r = n
m
n
Maka, solusi A.x = 0 trivial. Artinya, semua solusinya adalah
nol, sehingga ruang solusinya tidak punya basis, akibatnya,
nullity = 0.
07/11/2015
32
Jika m < n (r < n), yaitu
0000000
0000000
0000000
01000
00010
00001
1
221
111
rnr
n
n
ss
ss
ss
B
r
m
n
Maka, solusi A.x = 0 adalah non trivial (mpy r buah solusi), shg
ruang solusinya mpy r buah basis, akibatnya nillity = r.
Contoh 9
Carilah ruang null dan nullity dari SPL homogen :
0
0
20233
12111
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
07/11/2015
33
Teorema 4
Jika A adalah matriks ukuran m x n, maka
rank(A) + nullity A = n
Contoh 10
Apakah SPL berikut mpy solusi?
5
2
6
515
111
111
3
2
1
x
x
x
07/11/2015
34
RANK dan KESINGULARAN
MATRIKS
Teorema 6
Diberikan matriks A berukuran nxn .
det(A) ≠ 0 jhj rank(A) = n
Teorema 7
Misalkan A matriks ukuran nxn.
i. SPL A.x = b mempunyaipenyelesaian tunggal jhj rank(A) = n
ii. SPL A.x = 0 mpy solusi non trivial jhjrank(A) < n.